Custos de Produção- Notas de Aula

Aula 12 - Teoria da firma... Teoria de custos: Custos de produção: \n\n - Problema da empresa: maximizar o lucro, \n - O produtor quer maximizar sua produção; \n - O produtor quer minimizar seus custos de produção\n\n 1. Custo de produção \n\n Serão assumidos aqui que todos os custos os firms são perfeitamente compatíveis nos mesmos níveis de fatores de produção, enfrentando preços, fixos para os seus fatores: \n\n Seja w = (w1,...,wn) ⩾ 0 um vetor de preços de insumos, onde a firma compõe os fatores de produção x = (x1,...,xn). \n\n Como a firma é maximizadora de lucros, deve pegar um nível de produção que utilize seu vetor de insumos com o menor dispêndio monetário. \n\n Definição 1 - A função custo \n\n A função custo definida para todos os preços dos insumos w ⩾ 0 a todos os níveis de produção y ∈ (ℝ+) e o valor mínimo da função: \n\n C(w,y) ≡ min x∈ℝ^n w · x, s.a. f(x) ≥ g \n\n (21) \n\n S . x(w,y) resolve o problema de minimização de custos, tendo: \n\n C(w,y) = w·x(w,y) \n\n Como f é estritamente crescente, a vetor nunca será unívoca em uma solução. Consequentemente, o problema de minimização é equivalente a, \n\n C(w,y) ≡ min x∈ℝ^n w · x, s.a. f(x) = y \n\n (22) Seja x* uma solução para (22). Simplificando assumimos que x* > 0, e f não é diferenciável em x* com ∇f(x*) > 0. Então, pelo teorema de logaritmo existe um λ* ∈ ℝ+, tal que, \n\n wi = λ* ∂f(x*) / ∂xi, i = 1,...,m. \n\n Como wi > 0, i = 1,...,m e podemos deduzir a i-ésima equação obtida pela condição de otimalidade. Restando: \n\n TMST (i) = ∂(x*) / ∂xi = wi / wj \n\n (23) \n\n Portanto, a partir da expressão (23), a minimização de custo implica que a taxa marginal de substituição técnica (TMST) entre os insumos é igual ao rácio de seus preços. \n \n Das condições da primeira ordem (CPO), a solução depende dos parâmetros w e g. Além disso, como wi > 0 e i é estritamente quasi-côncava, a solução é única. \n\n Damos forma a podemos escrever: x*(w,g) para denotar os vetores de insumos que minimizam o custo de produção g, vinculados aos produtos (11) e preços dos insumos w. A redução x(w,g) é determinada como demonstra condição de mínimo, pois a condição ao nível de preços, que arbitrário e pela não maximizando livre.\n\n Se x1(x,w,g) e x2(x1,g) são redução, então \n\n C(w,g) = w1x1(w,g) + w2x2(w,g) \n\n Exemplo custo: \n\n Suponto que a firma tem uma tecnologia com dois insumos na forma CES. Assim, o problema de minimização de custos pode ser expressa toda do seguinte forma: \n\n min w1x1 + w2x2 s.a. (x1ρ + x2ρ) ᵖ/ʹ ≥ y \n\n Assumindo y > 0 e como seleção interior, temos o seguinte problema de minimização: Teorema 24 - Propriedades da função custo\nSe t é contínuo e estritamente crescente em c(w,g) e:\n1. g quando g=0\n2. contínuo no seu domínio\n3. V w>0, é estritamente crescente e limitada sobre g\n4. é certo em w\n5. homogênea de grau 1 em w\n6. cíclica em w\n7. lema de Shephard: c(w,g) é diferenciável no ponto (w,g), sempre que w>0,\n∂c(w,g)\n∂w_i = x_i(w,g), i=1,...,m.\n\nExemplo notável: Lema de Shephard.\nConsidere uma função custo com uma tecnologia Cobb-Douglas, na forma:\nc(w,g) = Aw^αg^β\nTemos que, da propriedade 1, pedimos obter as demandas condicionais de insumos X1 x X2, utilizando em relação ao preço dos insumos.\nX1(w,g) = ∂c(w,g)/∂w1 = A w^(α-1) w2^β g\nX2(w,g) = ∂c(w,g)/∂w2 = A w^α (β w1^(α-1)) g\nSe pegarmos a noção da demanda condicional de insumos ótimos,\nX1(w,g) = d w2\nX2(w,g) = ß w1\nPortanto, o proporção com que a firma, com uma função custo, utiliza os insumos i, vai depender apenas dos preços relativos dos insumos, que é totalmente independente do nível de escala da prática.\nPodemos definir também a proporção dos insumos:\nΣi ∈ wi x_i (w,g) / c(w,g) Como a proporção da despesa total gasta pela firma no insumo i, para a função custo representada. Assim, temos que:\nS1 = α\nS2 = β { Sempre não constante }\n\nAula 13 - cont. Teoria dos custos\nTeorema 2.2 - Propriedade da Demanda condicional de insumos\nSeja uma função de produção contínua, estritamente crescente e estável, ou seja, cíclica em w1 e g, e t(0)=0 a que a função custo associado e dues seja com tratamento diferencial. Então: \n1. c(w,g) é homogênea de grau 1 em i;\n2. A matriz de substituição, definida e denotada por:\nσ*(w,g) ≡\n[ ∂2X(w,g) / ∂w1 ∂X(w,g) / ∂w1\n∂X(w,g) / ∂w2 ∂2X(w,g) / ∂w2 ]\n\né simétrica e semi-definida positiva. Em particular, a propriedade semi-definida negativa implica que:\n∂xi/∂ω = 0,\n∀ i.\n\nTeoremas de proporção homogêneas, em mais geralmente homotéticas, são bastante comuns nos trabalhos teóricos aplicados.\n\nAssim, a aula é da demanda condicional de insumos associados a suas tecnologias, têm algumas propriedades especiais. A seguir, iremos apresentar alguns deles:\nTeorema 2.3 - O custo e a demanda condicional de insumos quando aposto e homotética:\n1. Dando a função de produção +, as propriedades de função homotética; a) A função de custo é proporcional multiplicativamente nos pesos, dos insumos e na produção, e pode ser escrita como: c(w,g) = h(g) c(w,1) onde h(g) é estritamente crescente em (c(w,1) * a função auto inteira, e custa de uma unidade de produto.\n\nb) As demandas condicionais de insumos por multiplicativamente proposta nos pesos dos insumos e na produção, podem ser escritas como: x_i(w,g) h(g) = x(w,1), onde h(g)>0 para x(w,1), é a demanda condicional de insumos para 1 unidade de produto.\n\n2) Quando a função de produção é homogênea de grau α>0,\na) c(w,g) = γ_i c(w,1);\nb) x(w,g) = γ_i x(w,1);\n\n\nHomemork 3 - Prova deste teorema\nDefinição 2.3 - Função de custo de curto prazo e de estocástica e definida como:\nSeja uma função de produção f(2), onde z ∈ E(X, f). Suponha que Xj um subvetor de insumos e Xᵢ um vetor de insumos.\n\nPortanto, a função de custo total de custo pago ao vetor x e definida como:\n5c(w,ωi,ωj;X) ≡ min w·X + ω·x ≥ 0\n\nSe x(w,ωᵢ,ωᵧ;X) resolve o problema de minimização, então:\n\n5c(w,ωᵢ,ωᵧ;X) = w·x(w,ωᵧ;X)\nOnde:\nA maximização do custo dos insumos variáveis, ω·x(w,ωᵧ;X) é chamada de custo variável total.\n\nO custo dos insumos x(w,ωᵧ,ωᵧ) é chamado do custo fixo total.\n\nDisso para concluir que, para um determinado nível de produção, os custos de longo prazo, quando a empresa foi livre para escolher todos os insumos de forma ótica, nunca podem ser menores que os custos de curto prazo, onde a empresa para realiza algo, mas nos três os insumos de forma ótica. Para explicar em poucos mais uma relação X(g) entre a escolha dos insumos fixo que minimizam o custo da produção e no custo pago, dado o preço dos insumos. Assim, \n\n(2.4)\n\t\t\t\t\t\t(c(w,\\bar{w},g) = sc(c(w,\\bar{w},g) \times X(g))\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t(2.5)\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t0 = \n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\tdc(c(w,\\bar{w},g) \times X(g))\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t(void)\\frac{\partial c}{\partial x_i}\n\nPara todos os insumos fixos i.\n\tAgora diferenciando (2.4) e usando (2.5), tomos\n\t\t\t\tdc(c(w,\\bar{w},g) \times X(g)) + \sum_i dc(c(w,\\bar{w},g) \times X(g)) \\times \\frac{\\partial X(g)}{\\partial g}\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tdc(c(w,\\bar{w},g) \times X(g)) = 0\n\n\tA expressão (2.6) diz que a informação da função custo de custo pago não segue o valor econômico da função custo de longo prazo, mas porém custo pacotado.\n\n\tRedefinimos o termo custo como um instrumento da Teorema do Envelope.\n\n\t- Homework 2. Custos e Prova e teorema da Envelope.\n\n\tPortanto, se os custos fixos assumem o mesmo valor nos mesmos pontos no plano de custo, e se seus índices não iguais, eles não se tocam.\n\n\tAssim podemos afirmar que a curva de custo total de curto prazo envolve mais baixo de todos as curvas de custo total de curto pago.\n\n\t• Dualidade na produção\n\n\tExiste uma dualidade entre produção e custo, assim como existe entre utilidades e desejos na teoria do consumidor.\n\n\tOs princípios são idênticos. Portanto, re compararmos com uma função de produção e derivar sua função custo, podemos obter uma função de produção a partir dessa função custo\n\n\tSe a função de produção assumindo não é mais côncava, a função de custo derivada é uma \"concavidade\" dela.\n\n\tAlém disso, qualquer função com todas as propriedades de uma função de custo gera alguma função de produção para a qual é a função custo associada.\n\n\tPortanto, de acordo com a dualidade, podemos então \"recuperar\" a função de produção subjacente da função de custo.\n\n\tNos itens 1 e 2, podemos fazer bem uso da equivalência entre as funções, estas dependem dos requisitos teóricos e que combinamos o análogo dos seguintes teoremas 2.1 e 2.2 da teoria do consumidor.\n\n\t- Teorema 2.1: Construindo uma função de utilidades a partir de uma própria de um preço.\n\n\t- Teorema 2.2: A função dos custos e derivada de utilidades.\n\n\t- Teorema 2.4: Recuperando uma função de produção de uma função custo.\n\n\tSeja c: R^m x R^{n} -> R, respeitando as propriedades 1 a 7 da função custo dada no teorema 2.1 inicial; a função f: R^n -> R, definida por:\n\n\tf(x) ≡ max { y ≥ 0 | w × x ≤ c(w,g), \forall w > 0 }\n\n\té corrente, ilimitada acima e quase côncava. Além disso, o função custo gera sen g.\n\n\tTambém podemos estabelecer um teorema de tipo integrabilidade para demanda do insumo.\n\n\tA questão básica é: se R(X,g) representa o comportamento da demanda de insumos condicionado a algo firme, em que condições podemos concluir que as comportamentos e constantes com a hipótese de cada nuvem de produto provocado pela impressora por reflexão da possibilidade de recuperação uma função de custo que gera os demanda do insumos dados. De um lado, esses demandados são consistentes com a minimização de custos em cada nível de produção x e somente x, não há uma função de custos com posterior. Então:\n\n\t(2.5)\n\n\tTeorema 2.5 ➔ Integrabilidade para a função custo\n\n\tUma função continuamente diferencial x(w,g) mapeando R^{n+m} x R^{r} nos R^{+} \n\té a função de demanda de insumos condicionado por algum função de produção que côncava e intensamente crescente, se:\n\n\t\t\texiste ∂x_i(w,g) | ∀ i,\ n\in c_w.\n\t• Sua matriz de substitutibilidade, algo j é sempre entrada é ∂x_{i}(w,g) | a\n\n\tseria permutável e sempre negativa, x(w,g) é estritamente crescente em g.