Derivações Complexas Explicação Detalhada do Teorema 9

É claro que ζz ηz αz e βz tendem a z0 quando z tende a z0 De 3 e 4 obtemos e de 5 e 6 obtemos Agora Como z z0z z0 1 e y y0z z0 1 segue que Teorema 9 Suponhamos que uma função f u iv está definida em um aberto A de C e que as derivadas parciais ux uy vx e vy existem em todo ponto de A Se cada uma dessas derivadas parciais é contínua em um ponto z0 de A e se as equações de CauchyRiemann são satisfeitas por u e v em z0 então f é diferenciável em z0 Demonstração Coloquemos c fx z0 a ib Por hipótese Nosso objetivo é mostrar que quando z z0 Começemos fixando r 0 tal que Δ Δz0 r A e coloquemos z0 x0 iy0 Seja z x iy Δz0 r Quando restringimos u a um segmen TEOREMA 9 Suponhamos que uma função f u iv está definida em um aberto A de C e que as derivadas parciais ux uy vx vy existem em todo ponto de A Se cada uma dessas derivadas parciais é contínua em um ponto z0 de A e se as equações de CauchyRiemann são satisfeitas por u e v em z0 então f é diferenciável em z0 Demonstração Coloquemos c fx z0 a ib Como por hipótese as equações de CauchyRiemann são satisfeitas por u e v em z0 então Nosso objetivo é mostrar que isto é quando z z0 Começemos fixando n 0 tal que Δ Δz0 n A notemos que existe n 0 já que A é aberto e coloquemos z0 x0 iy0 Seja z x iy Δz0π Δz0π z0 notemos no segmento horizontal z7z uv depende só de x no segmento vertical z0z1 uv depende só de y Assim quando restringimos uv a um segmento horizontal em Δ uv se reduz a uma função de variável real x com derivada já que por hipótese existem em todo ponto de Δ portanto segue do Teorema do Valor Médio existem ξz αz no segmento horizontal de reta que liga x0iy a xiy tal que uxy ux0y uxξzxx0 ① vxy vx0y vxαzxx0 ② Também quando restringimos uv a um segmento vertical em Δ uv se reduzem a uma função de variável real y com derivada já que por hipótese existem em todo ponto de Δ portanto segue do Teorema do Valor Médio existem ηz βz no segmento vertical de reta que liga x0iy0 a x0iy tal que ux0y ux0y0 uyηzyy0 ③ vx0y vx0y0 vyβzyy0 ④ do gráfico z αz ηz βz Δz0 zz0 ξzz0 zz0 quando zz0 então ξz z0 Analogamente αz z0 ηz z0 βz z0 ① De ① e ③ obtemos uz uz0 uxy ux0y0 uxy ux0y ux0y ux0y0 uxξzxx0 uyηzyy0 ⑤ De ② e ④ obtemos vz vz0 vxy vx0y0 vxy vx0y vx0y vx0y0 vxαzxx0 vyβzyy0 ⑥ Agora fz fz0 cz z0 uz i vz uz0 i vz0 aibxiy x0iy0 uz uz0 i vz vz0 aib xx0 i yy0 uz uz0 i vz vz0 a xx0 b yy0 i bxx0 ayy0 uz uz0 axx0 byy0 i vz vz0 bxx0 ayy0 cR uz uz0 uxz0xx0 uyz0yy0 i vz vz0 vxz0xx0 vyz0yy0 de ⑤ e ⑥ uxξz xx0 uxz0xx0 uyz0 yy0 i vxαzxx0 vyβz yy vxz0xx0 vyz0 yy0 uxξz uxz0 i vxαz vxz0 xx0 uyηz uyz0 i vyβz vyz0 yy0 Por outro lado xx02 xx02 yy02 xx0 xx02 yy02 xx0 z z0 xx0zz0 1 Analogamente yy02 xx02 yy02 yy0 xx02 yy02 yy0 z z0 yy0zz0 1 Assim pela desigualdade triangular fzfz0Czz0 UxξzUxz0 iVxαzVxz0xx0 UyηzUyz0 iVyβzVyz0yy0 Logo fzfz0Czz0zz0 UxξzUxz0 iVxαzVxz0xx0zz0 1 UyηzUyz0 iVyβzVyz0yy0zz0 1 fzfz0Czz0zz0 UxξzUxz0 iVxαzVxz0 UyηzUyz0 iVyβzVyz0 Novamente pela desigualdade triangular fzfz0Czz0zz0 UxξzUxz0 VxαzVxz0 UyηzUyz0 VyβzVyz0 Pela hipótese Ux é continua em z0 logo UxzUxz0 0 quando zz0 Assim quando zz0 ξzz0 logo UxξzUxz0 0 de Analogamente quando zz0 de αzz0 ηzz0 βzz0 Daí VxαzVxz0 0 UyηzUyz0 0 VyβzVyz0 0 Assim em temos quando zz0 fzfz0Czz0zz0 0 Isto é f é diferenciável em z0