Ecuaciones Diferenciales 7 4

4. y''' - y'' - 4 y' + 9 y = 5 - e^x + e^{2x}\nResolviendo la ec. homogénea asociada: m^3 - m^2 - m + 4 = 0\n 1 -1 -4 4 12\n 2 7 2 -9\n 1 1 -2 0 12\n -2 -2 1 0\n 1 -1 0\nm_1 = 2\nm_2 = -2\nm_3 = 1\n\nFunción complementaria: y_c = C_1 e^{c_1 x} + C_2 e^{c_2 x} + C_3 e^{c_3 x}\n\nAhora, la solución particular\nPara la parte no homogénea g(x) = 5\nAsumimos una solución con la forma y_p = A, con sus derivadas y'_p = 0, y''_p = 0\n0 - 0 - 4(0) + A = 5 => A = 5/4\nAsí, y_p = 5/4\n\nPara la parte no homogénea g(x) = -e^x\nAsumimos una solución con la forma y_{pk} = B e^x\n\nSus derivadas: y'_p = B e^x + B e^x, y''_p = B e^x + B e^x, y'''_p = B e^x + B e^x\nsustituyendo en la ec. diferencial correspondiente: y''' - y'' - 4y' + 9y = -e^x\n3B e^x - 2B e^x - 4B e^x + 4B e^x = -e^x\n-3B e^x = -e^x\n3B = 1\nB = 1/3\n\nAsí, y_{p2} = x e^x/3