El Problema de Fuerzas Centrales

• El problema de fuerzas centrales\nEl problema de fuerzas centrales se define por un potencial que depende de solo la distancia al origen:\nV = V(r), r = |x|\n\nLa lagrangiana de una partícula de masa m que se mueve en este potencial, está dada por\nL = \\frac{1}{2} m \\dot{x}^2 - V(r)\n\nMostremos que L es invariante bajo rotaciones. Hemos visto que bajo SO(3) las componentes del vector de posición se transforman como\nx' = O_{ij}x_j; \\quad x'_i = O_{ij}x_j;\n...\n\nque O_{ij}(t) no depende del tiempo. Por lo tanto, la velocidad se transforma como el vector de posición. En consecuencia, notando que V(r') = V(r), y que SO(3) deja invariante la distancia al origen, tenemos\n\nL' = \\frac{1}{2} m \\dot{x}'^2 - V(r) = \\frac{1}{2} m \\dot{x}^{'2} - V(r),\n...\n\\quad = \\frac{1}{2} m \\dot{x}_j \\dot{x}_k - V(r) = \\frac{1}{2} m \\dot{x}^2 - V(r) = L -> Invariante. La hamiltoniana está dada por\nH = p_i \\dot{x}_i - L, \\quad p_i = \\frac{\\partial L}{\\partial \\dot{x}_i} = m \\dot{x}_i = \\frac{p_i}{m}\n\n= p_i \\left( \\frac{p_i}{m} \\right) - \\frac{1}{2} m \\left( \\frac{p_i}{m} \\right) \\left( \\frac{p_i}{m} \\right) + V(r)\n\nH = \\frac{p_i^2}{2m} + V(r) = \\frac{p^2}{2m} + V(r)\n\nNotando que \\vec{p} se transforma como \\vec{x}, vemos que H es también invariante bajo el grupo SO(3). De hecho, tanto L como H son invariantes bajo O(3). El problema de fuerzas centradas respeta las simetrías de rotaciones y periodicidad. Podemos afirmar que al problema de fuerzas centrales lo define el grupo O(3).\n\nMostremos que la invariancia de H bajo SO(3) implica la conservación del momento angular. Por definición,\n\\vec{L} = \\epsilon_{ijk} x_i x_j p_k =) L_i = \\epsilon_{ijk} x_j p_k. Entonces,\n\\{ L_i, H \\} = \\frac{dL_i}{dt} = \\{ \\epsilon_{ijk} x_j p_k, \\frac{p^2}{2m} + V(r) \\}\n\n= \\epsilon_{ijk} \\left( x_j p_k \\frac{p}{2m} + \\epsilon_{ijk} x_j p_k, V(r) \\right) {\n\nAhora bien,\n\\epsilon_{ijk} \\{ x_j p_k, \\frac{p^2}{2m} \\} = - \\frac{1}{2m} \\epsilon_{ijk} \\{\\frac{\\partial (x_j p_k)}{\\partial x_n}, \\frac{\\partial (x_j p_k)}{\\partial p_n} \\}\n\n= -\\frac{1}{2m} \\epsilon_{ijk}\\{p_j S_n \\}\n\n= \\frac{1}{m} \\epsilon_{ijk} p_k p_j = 0,0\n\n\\epsilon_{ijk} \\{ x_j p_k, V(r) \\} = \\epsilon_{ijk} \\left[ \\frac{\\partial (x_j p_k)}{\\partial x_n} \\frac{dV(r)}{dr} \\frac{\\partial (x_j p_k)}{\\partial p_n} \\right] {\n\n= - \\epsilon_{ijk} x_j \\delta_{kn} \\frac{dV(r)}{dr} \\frac{d(r)}{dr}, r = \\sqrt{x_s x_s} \\ Recuerdo el resultado muy importante:\n\n\\delta H = - \\epsilon \\frac{\\partial G}{\\partial t},\nel cual, en nuestro caso, toma la forma\n\n\\delta H = - \\epsilon \\frac{dL_{i}}{dt} \n\\downarrow\n0 \\rightarrow L \n\\text{se conserva}\n\nPor otra parte, del 'álgebra de Lie de so(3),\n\\{L_{i}, L_{j}\\} = \\epsilon_{ijk} L_{k}\nvemos que\n\n\\{L^{2}, L_{j}\\} = \\{L_{i} L_{k}, L_{j}\\} = 2 L_{i} L_{j} \\rightarrow 0.\nesto es, \\; L^{2} \\text{ es invariante bajo rotaciones, como era de esperarse, ya so(3) preserva el producto escalar.} Ahora bien, sabemos que\n\\{L_{i}, H\\} = 0,\nentonces\n\\{L^{2}, H\\} = \\{L_{i} L_{i}, H\\} = 2 L_{i} \\{L_{i}, H\\} = 0.\nAdicional, dado que H no depende explícitamente del tiempo,\n\\dot{H} = \\{H, H\\} = 0,\nH es una constante de movimiento del problema de fuerzas centrales. Entonces, las constantes de movimiento del sistema son H y L^{2}. Podemos resumir los resultados como sigue:\n\\{L_{i}, L_{j}\\} = \\epsilon_{ijk} L_{k}, \\{L_{i}, H\\} = 0\n\\{L^{2}, L_{j}\\} = 0 \\{L^{2}, H\\} = 0\n\nLas observables del sistema son H, \\; L^{2} \\rightarrow \\text{isotropía del espacio } \\rightarrow \\text{sistema físico estable. } H \\rightarrow \\text{homogeneidad del tiempo } \\rightarrow \\text{sistema solar } \\rightarrow \\text{clásico } \\rightarrow \\text{átomo } \\rightarrow \\text{cuántico}\n\nGrupos de simetrías: so(3) \\oplus t(1) \\rightarrow \\text{traslaciones en t.}