Equações de Deslocamento em Vigas - Cálculo e Análise Estrutural

1ª Questão Determine a equação para estimar os deslocamentos e o deslocamento máximo da viga abaixo Observar a carga pontual na extremidade da viga e a carga distribuída ao longo da dela 2ª Questão Determine a equação para estimar os deslocamentos e o deslocamento máximo da viga abaixo Questão 1 Note que a reação no apoio de valor 𝑅 aponta para cima e temos também um momento concentrado de valor 𝑀𝑐 Fazendo um balanço de forças na vertical temos 𝑅 𝑤𝐿 𝑃 0 𝑅 𝑤𝐿 𝑃 Fazendo o balanço dos momentos no apoio temos 𝑀𝑐 𝐿𝑃 𝐿2 2 𝑤 0 𝑀𝑐 𝐿𝑃 𝐿2 2 𝑤 Para determinar o deslocamento podemos utilizar a seguinte equação 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀 Aqui o momento em função de 𝑥 é dado por 𝑀 𝑅𝑥 𝑤 𝑥2 2 𝑀𝑐 Logo temos 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑅𝑥 𝑤 𝑥2 2 𝐿𝑃 𝐿2 2 𝑤 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑤𝐿 𝑃𝑥 𝑤 𝑥2 2 𝐿𝑃 𝐿2 2 𝑤 𝑥 Integrando uma vez considerando que 𝑑𝑣 𝑑𝑥 0 0 temos 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑤𝐿 𝑃 𝑥2 2 𝑤 𝑥3 6 𝐿𝑃 𝐿2 2 𝑤 𝑥2 2 Integrando novamente vez considerando que 𝑣0 0 temos 𝑬𝑰𝒗𝒙 𝒘𝑳 𝑷 𝒙𝟑 𝟔 𝒘 𝒙𝟒 𝟐𝟒 𝑳𝑷 𝑳𝟐 𝟐 𝒘 𝒙𝟐 𝟐 Logo o deslocamento na ponta será dado por 𝐸𝐼𝑣𝐿 𝑤𝐿 𝑃 𝐿3 6 𝑤 𝐿4 24 𝐿𝑃 𝐿2 2 𝑤 𝐿2 2 𝐸𝐼𝑣𝐿 𝑤𝐿 𝐿3 6 𝑃 𝐿3 6 𝑤 𝐿4 24 𝐿3𝑃 2 𝐿4 4 𝑤 𝐸𝐼𝑣𝐿 𝑤 4𝐿4 24 𝑃 𝐿3 6 𝑤 𝐿4 24 𝐿3𝑃 2 𝐿4 4 𝑤 𝐸𝐼𝑣𝐿 𝑤 3𝐿4 24 𝑃 𝐿3 3 6𝐿4 24 𝑤 𝐸𝐼𝑣𝐿 𝑤 3𝐿4 24 𝑃 𝐿3 3 𝐸𝐼𝑣𝐿 𝑤 3𝐿4 24 𝑃 𝐿3 3 𝒗𝑳 𝑳𝟑 𝟔𝑬𝑰 𝟑 𝟒 𝒘𝑳 𝟐𝑷 Questão 2 Note que as reações nos apoios cada uma de valor 𝑅 apontam para cima Fazendo um balanço de forças na vertical temos 2𝑅 𝑃 0 𝑅 𝑃 2 Para determinar o deslocamento podemos utilizar a seguinte equação 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀 Aqui o momento em função de 𝑥 distância a partir do ponto A é dado por 𝑀 𝑅𝑥 𝑃 2 𝑥 Logo temos 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑃 𝑥 2 Integrando uma vez temos 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑃 𝑥2 4 𝐶 Mas devemos ter 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝐿 2 0 logo 0 𝑃 𝐿 2 2 4 𝐶 𝐶 𝑃𝐿2 16 Assim temos 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑃 𝑥2 4 𝑃𝐿2 16 Integrando novamente vez considerando que 𝑣0 0 temos 𝑬𝑰𝒗𝒙 𝑷 𝒙𝟑 𝟏𝟐 𝑷𝑳𝟐 𝟏𝟔 𝒙 Logo o deslocamento máximo será dado por 𝐸𝐼𝑣 𝐿 2 𝑃 𝐿 2 3 12 𝑃𝐿2 16 𝐿 2 𝐸𝐼𝑣 𝐿 2 𝑃 𝐿3 96 𝑃𝐿3 32 𝑣 𝐿 2 𝑃𝐿3 𝐸𝐼 1 96 1 32 𝑣 𝐿 2 𝑃𝐿3 32𝐸𝐼 1 3 1 𝑣 𝐿 2 𝑃𝐿3 32𝐸𝐼 2 3 𝒗 𝑳 𝟐 𝑷𝑳𝟑 𝟒𝟖𝑬𝑰 Questão 1 Note que a reação no apoio de valor R aponta para cima e temos também um momento concentrado de valor M c Fazendo um balanço de forças na vertical temos RwLP0 RwLP Fazendo o balanço dos momentos no apoio temos M cLP L 2 2 w0 M cLP L 2 2 w Para determinar o deslocamento podemos utilizar a seguinte equação EI d 2v d x 2M Aqui o momento em função de x é dado por MRxw x 2 2 M c Logo temos EI d 2v d x 2M EI d 2v d x 2Rxw x 2 2 LP L 2 2 w EI d 2v d x 2wLP xw x 2 2 LP L 2 2 w x Integrando uma vez considerando que dv dx 0 0 temos EI dv dx wLP x 2 2 w x 3 6 LP L 2 2 w x 2 2 Integrando novamente vez considerando que v 0 0 temos EIv x wLP x 3 6 w x 4 24LP L 2 2 w x 2 2 Logo o deslocamento na ponta será dado por EIv LwLP L 3 6 w L 4 24LP L 2 2 w L 2 2 EIv LwL L 3 6 P L 3 6 w L 4 24 L 3 P 2 L 4 4 w EIv Lw 4 L 4 24 P L 3 6 w L 4 24 L 3P 2 L 4 4 w EIv Lw 3 L 4 24 P L 3 3 6 L 4 24 w EIv Lw 3 L 4 24 P L 3 3 EIv Lw 3 L 4 24 P L 3 3 v LL 3 6 EI 3 4 wL2P Questão 2 Note que as reações nos apoios cada uma de valor R apontam para cima Fazendo um balanço de forças na vertical temos 2 RP0 RP 2 Para determinar o deslocamento podemos utilizar a seguinte equação EI d 2v d x 2M Aqui o momento em função de x distância a partir do ponto A é dado por MRxP 2 x Logo temos EI d 2v d x 2P x 2 Integrando uma vez temos EI dv dx P x 2 4 C Mas devemos ter d v dx L 20 logo 0P L 2 2 4 C CPL 2 16 Assim temos EI dv dx P x 2 4 P L 2 16 Integrando novamente vez considerando que v 0 0 temos EIv x P x 3 12P L 2 16 x Logo o deslocamento máximo será dado por EIv L 2P L 2 3 12 P L 2 16 L 2 EIv L 2P L 3 96 PL 3 32 v L 2P L 3 EI 1 96 1 32 v L 2 P L 3 32 EI 1 31 v L 2 P L 3 32 EI 2 3 v L 2P L 3 48 EI