Exercício Cálculo 2

1 O gráfico de g é apresentado Estime integral 2 to 4 gx dx com seis subintervalos usando a extremidades direitas b extremidades esquerdas e c pontos médios 2 Uma tabela de valores de uma função crescente f é dada Use a tabela para encontrar uma estimativa inferior e superior para integral 0 to 25 fx dx x 0 5 10 15 20 25 fx 42 37 25 6 15 36 3 Calcule integral 0 to 1 sqrt1 x2 dx 4 Calcule integral 0 to 1 x dx 5 Encontre integral 0 to 5 fx dx se fx 3 se x 2 x se x 2 6 Se Fx integral 2 to x ft dt em que f é a função cujo gráfico é dado qual dos valores seguintes é o maior a F0 b F1 c F2 d F3 e F4 7 Demonstre 2 integral 1 to sqrt2 sqrt1 x2 dx 2 sqrt2 8 Demonstre integral 0 to 1 cfx dx c integral 0 to 1 fx dx 9 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função fx integral 1 to x 1t2 1 dt fx integral 1 to x sqrt1 sec2 t dt fx integral 1 to e2 1t dt fx integral 1 to 2x t31 t2 dt Do gráfico observamos que X 2 1 0 1 2 3 4 gx 0 15 0 15 05 1 05 assim os seis subintervalos sao 211001122334 Aqui não importa se os intervalos são abertos ou fechados Note que são espaçados por 1 unidade a uma estimativa usando extremidades direitas pode ser encontrada por integral 2 to 4 gx dx aproximadamente 1 g1 g0 g1 g2 g3 g4 15 0 15 05 1 05 0 b uma estimativa usando extremidades esquerdas pode ser encontrada por integral 2 to 4 gx dx aproximadamente 1 g2 g1 g0 g1 g2 g3 0 15 0 15 05 1 05 c Para obter uma estimativa por pontos médios note que X 15 05 05 15 25 35 gx 1 1 1 1 0 05 Assim integral 2 to 4 gx dx aproximadamente 1 g15 g05 g05 g15 g25 g35 1 1 1 1 0 05 05 2 Uma estimativa inferior pode ser obtida por espacados em 5 unidades Ainf A1 A2 A3 A4 A5 5h1 5h2 5h3 5h5 5 h1 h2 h5 5 42 37 25 6 15 475 enquanto uma estimativa superior Asup A1 A5 5 h1 h5 5 37 25 6 15 36 85 Assim 475 integral 0 to 25 fx dx 85 7 Note que para x 1 1 temos que 1 1 x² max x 11 1 x² 2 Assim 1 1 x² 2 Integrando de 1 a 1 from 1 to 1 1 dx from 1 to 1 1 x² dx from 1 to 1 2 dx 2 from 1 to 1 1 x² dx 22 6 Note que a função Fx representa a área sob o gráfico da função f Assim se x 2 temos que Fx from 2 to x ft dt from x to 2 ft dt 0 e além disso para 2 x 4 a função Fx 0 a área está abaixo do eixo x E em x 2 temos F2 from 2 to 2 ft dt 0 Portanto o maior valor é F2 3 ₀¹ 1x² dx ₀π2 1sen²θ cosθ dθ ₀π2 cos²θ dθ cos²θ 121cos2θ x senθ dx cosθ ₀π2 12 1cos2θ dθ 12 ₀π2 dθ 12 ₀π2 cos2θ dθ 12 π2 12 12 sen 2θ₀π2 π4 4 ₀⁵ x dx x²2 ₀⁵ 5²2 252 5 ₀⁵ fx dx ₀² fx dx ₂⁵ fx dx ₀² 3 dx ₂⁵ x dx 32 x²2 ₂⁵ 6 252 42 6 212 332 8 Defina Ft t to b cρx dx ct to b ρx dx pelo teorema fundamental do cálculo parte 1 temos Ft cρt cρt 0 portanto F é uma função constante logo F0 Fb b to b cρx dx cb to b ρx dx 0 assim 0 F0 0 to b cρx dx c0 to b ρx dx 0 to b cρx dx c0 to b ρx dx 9 Para a primeira função basta aplicar o teorema diretamente ou seja ddxf1x f1x 1x² 1 Para a segunda devemos manipular um pouco para estar na forma do teorema f2x x to π 1 sec²t dt π to x 1 sec²t dt assim f2x 1 sec²x Para a terceira e quarta função devemos usar a regra da cadeia defina F3x 1 to x ln t dt e F4x 1 to x t³1 t² dt assim F3x ln x e F4x x³1 x² Mas note que f3x Fe²ˣ 1 to e²ˣ ln t dt f3x 2e²ˣ Fe²ˣ 2e²ˣ lne²ˣ 4xe²ˣ f4x 1 to 12x t³1 t² dt F412x f4x 2F412x 212x³1 12x²