Exercícios de cálculo: Determinação de pontos de descontinuidade, valores de funções contínuas e limites

Responder apenas os itens destacados em vermelho As repostas devem ser explicativas não utilizar macetes etc Exercício 3 Esboce o gráfico e encontre os pontos de descontinuidade da função f definida por fx 2x² 35 se x 1 6 5x se 1 x 3 x 3 se x 3 Exercício 4 Seja f uma função real contínua definida em torno do ponto a 1 tal que fx x² 3x 2 x 1 para x 1 Quanto vale f1 Por quê Exercício 5 Determine o conjunto de pontos de seu domínio em que a função f é contínua Justifique a fx 1 x² se x 1 4 x se x 1 b fx x² 1x 1 se x 1 3x 1 se x 1 Exercício 6 Mostre que a função fx x² x x² 1 se x 1 1 se x 1 não é contínua em todo seu domínio Exercício 7 Considere a função fx 3 x 3 x se x 0 x k se x 0 onde k é uma constante Determine o valor de k de modo que a função seja contínua no ponto x 0 Exercício 8 Determine o valor de L de modo que cada uma das funções dadas abaixo seja contínua no ponto a indicado 1 a 2 fx x³ 8x² 4 se x 2 L se x 2 2 a 3 fx x 3x 3 se x 3 L se x 3 Exercício 9 A função f é tal que para x 2 f satisfaz 1 4x x² fx x² 4x 9 Calcule lim x2 fx Exercício 10 Se φ uma função tal que 1 x²4 φx 1 x²2 calcule lim x0 φx Exercício 11 Considere a função g definida por gx 1 se x 0 1 se x 0 Inverta a existência dos limites lim x0 gx e lim x0 x² gx Exercício 12 Seja f uma função tal que fx x² x ℝ Mostre que f é contínua em x 0 5 a fx 1 x² se x 1 4 x se x 1 Df ℝ 1 3 b fx x² 1 x 1 se x 1 3x 1 se x 1 p1 8 1 x³ 8 x² 4 x 2 x 2 2 x 3 x 3 x 3 L x 3 L 32 x 1x 2 x 2x 2 4 2x 1 L 2 L 32 4 2x 1 L 2 x 1x 2 x 2x 2 L x1x2 x2x2 x 2 x 2 x2 lim fx L 32 x2 lim fx 2 x 3 x 3 1 x 3 L 1 3 3 2 a gx 1 se x 0 1 se x 0 y 0 Df ℝ um não existe pois limites laterais são diferentes lim x0 gx existe porém não é contínua em 0 31 gx 1 se x x0 1 se x x0 Df ℝ um não existe pois limites laterais são diferentes lim xx0 existem porém mesmo lado anterior Exercício 13 Calcule os seguintes limites caso existam a lim x0 sin3xx b lim x0 sin5x2x c lim x0 tanxx d lim x0 1 cosxx e lim x0 tan3xcsc6x f lim x0 1 cosx x² Exercício 14 Calcule os limites laterais indicados a lim x0 1x b lim x0 1x c lim x0 1x² d lim x0 1x² e lim x3 5x 3 f lim x3 5x 3 g lim x0 2x 1x h lim x0 x 3x² i lim x0 2x 1x² x j lim x0 5x³ 6x 16x³ 2 Exercício 15 Calcule os seguintes limites no infinito a lim x x⁴ 3x 2 b lim x x² 2x 3 3x² x 1 c lim x x⁵ x⁴ 1 2x⁵ x 1 d lim x 2x³ 1 x⁴ 2x 3 e lim x x³ 3x 1 2x² x 1 f lim x x 1 x 3 g lim x x x 3 h lim x x x² 3 crossed out i lim x x x³ 3 Exercício 16 Sabendo que para x 1 fx satisfaz x 1² x² 1fx x 1² calcule lim x fx 1 lim x 1 x3 2x x4 3 39 2 qlim x0 x x x x0 qlim X1 xx0 x0 x 0 x x x0 0 x 13 qlim x0 2x3x 3 lim x0 sin x lim x0 5 lim x0 sinx 5 lim x0 x lim x0 cosx 1 lim x0 1 lim x0 xx lim x0 2x² x2 lim x0 2x2 1𝑥 lim x0 1𝑥 𝜆 𝜆 lim x0 1x 2x1 1x lim x0 lim x0 1 1x 2 1x 2 lim x0 1x2 2 1x2 1x lim x0 2 1x2 1x 2 1x2 1x lim x0 1𝑥 1𝑥 x3 𝜆 lim x0 x x3 1 lim x0 2 1x 11x 2 1x 11x lim x0 x1 x1 9 lim x0 xx x1 x1 lim x0 x1 x1 lim x1 x1 x1 lim6 17 lim x1 1x1 1x1 𝑥 1