Exercícios Resolvidos Geometria Retas Triângulos Polígonos e Poliedros

Fazer 3 exercícios sobre Retas paralelas cortadas por uma transversal Construção de pontos notáveis de triângulos com régua e compasso Triângulos no plano cartesiano Polígonos classificação propriedades regulares inscrição e circunscrição copiar a perguntas E fazer 17 exercícios sobre Polígonos regulares classificação propriedades inscrição e circunscrição Poliedros e teorema de Euler copiar a pergunta 1409 EXERCÍCIOS Retas Paralelas cortadas por uma transversal 1 Sendo a reta a parelela à reta b determine x nos casos Respostas a Os Ângulos 50º e X são ângulos alternos externos nesse caso quando as duas linhas linhas são paralelas os ângulos alternos externos são congruentes ou seja possuem a mesma medida Logo X 50º b À congruência dos angulos de todos os pares correspondentes e à suplementariedade dos ângulos de todos os pares colaterais Logo 120 X 180º X 180º 120º X 60º 2 Determine o valor real de x sabendo que rs Resposta Perceba que os ângulos 3x 15º e x 25º são colaterais internos portanto 3x 15º x 25º 180º Fonte POMPEO DOLCE 2019 Fonte Superintendência de Educação Infantil e Ensino Fundamental Secretaria do Esstado de Esducação de Goias resolvendo a equação temos 4x 40º 180º 4x 180º 40º 4x 140º x 35º 3 Na figura abaixo as retas r e s são paralelas Os ângulos de medidas 60º e 120º são a congruentes pois são colaterais internos b congruentes pois são correspondentes c congruentes pois são alternos internos d suplementares pois são colaterais internos e suplementares pois são colaterais externos Resposta e suplementares pois são colaterais externos Construção de pontos notáveis de triângulos com régua e compasso 1 Dado um segmento com extremidades C e P se quisermos construir uma circunferência de centro C e raio CP devemos colocar a ponta seca ponta fixadora do compasso sobre o ponto C e a outra ponta sobre o ponto P agora basta girar o compasso em alguma direção até formar uma circunferência sem alterar o ângulo de abertura conforme figura abaixo Essa construção nos permite observar que qualquer ponto da circunferência está a uma mesma distância do centro C que nesse caso é CP r Fonte Superintendência de Educação Infantil e Ensino Fundamental Secretaria do Esstado de Esducação de Goias Dessa maneira seja PCr a propriedade dos pontos do plano que estão a uma distância r do ponto C Como achar um lugar geométrico referente a essa propriedade Resposta Podemos traçar um segmento de tamanho r de extremos C e P e abrir o compasso com esse tamanho fixando a ponta seca em C e a outra ponta na outra extremidade do segmento Assim ao girarmos o compasso obtemos um conjunto de pontos T que estão a uma mesma distância r de C Logo todos esses pontos estão em LC circunferência de centro C uma vez que todos eles satisfazem a propriedade PCr ou seja T LC 2 Um marceneiro foi contratado para fazer uma mesa de forma circular com o intuito de economizar na compra de material ele decidiu utilizar uma peça de madeira que havia sobrado de um outro serviço Mas a referida peça tem a forma de um triângulo com lados distintos Se o marceneiro quer aproveitar ao máximo a peça como ele dever proceder na produção da referida mesa Resposta Para aproveitar ao máximo a madeira disponıvel a mesa que tem a forma circular terá que tangenciar os lados da peça de madeira que possui forma triangular Assim seja ABC o triângulo dado O centro da circunferência inscrita incentro é o ponto de interseção das bissetrizes internas Então precisamos traçarar as bissetrizes de dois ângulos do triângulo conforme a figura abaixo O ponto de interseção das duas bissetrizes I é o centro da circunferência inscrita agora traçamos por I uma reta perpendicular a BC cortando BC em M Para isso com centro em I devemos tracar uma circunferência qualquer cortando o lado BC nos pontos D e E como mostra a figura abaixo Fonte MEDEIROS 2020 Temos agora um ponto por onde passa a circunferência inscrita Traçamos então a circunferência de centro I e raio IM como na figura abaixo e o problema está resolvido 3 Nos últimos anos a televisão tem passado por uma verdadeira revolução em termos de qualidade de imagem som e iteratividade com o telespectador Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital Entretanto muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia Buscando levar esses benefícios a três cidades uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão que envie sinal às antenas A B e C já existentes nessas cidades As localizações das antenas estão representadas na figura abaixo A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas Dessa forma qual é o local adequado para a construção dessa torre Resposta O ponto notável de um triângulo que está a uma mesma distância de seus vértices é o circuncentro Dessa forma para encontrar o local onde a torre deve ser instalada basta traçar segmentos com os pontos A B e C formando o triângulo ABC Figura mapa da cidade de Santa Cruz RN Fonte Google Maps adaptado por MEDEIROS 2020 Logo após traçar a mediatriz em dois lados desse triângulo encontrando a interseção P dessas mediatrizes que é o circuncentro do triângulo ABC Logo a torre deve ser instalada sobre o ponto P Triângulos no plano cartesiano 1 Calcule a distância entre os pontos A0 3 e B2 1 Resposta Temos XA 0 YA 3 XB 2 e YB 1 dAB XB XA² YB YA² dAB 2 0² 1 3² Figura mapa da cidade de Santa Cruz RN Fonte Google Maps adaptado por MEDEIROS 2020 Fonte Secretaria de Educação de Taubaté dAB 2² 4² 4 16 dAB 20 dAB 25 2 Considere um triângulo ABC com vértices A12 B34 e C16 Quais as coordenadas de seu baricentro Resposta GxG yG G xA xB xC 3 yA yB yC 3 G 1 3 1 3 2 4 6 3 G 53 4 3 Determine a mediana AM de um triângulo ABC que tenha como vértices os pontos A12 B34 e C16 Resposta M 3 1 2 4 6 2 25 Mediana dAM 12² 25² 1² 3² 1 9 10 Polígonos 1 Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados Resposta eneágono 2 Determine a soma dos ângulos internos de um a Pentágono convexo A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo pode ser determinada usando a fórmula Soma dos ângulos internos n 2 180º onde n é o número de lados do polígono No caso de um pentágono n 5 você teria Soma dos ângulos internos 5 2 180º 3 180º 540º b Hexágono convexo Da mesma forma para um hexágono convexo n 6 você pode usar a mesma fórmula Soma dos ângulos internos 6 2 180º 4 180º 720º No entanto você mencionou que a soma dos ângulos internos de um hexágono convexo é 320º o que está incorreto A resposta correta é 720º Portanto a soma dos ângulos internos de um hexágono convexo é 720º 3 Dado o polígono regular ABCDE inscrito em uma circunferência de raio r analise as alternativas a seguir e assinale aquela que for correta a Podemos afirmar que exatamente quatro vértices desse polígono também pertencem a essa circunferência b O raio desse polígono também mede r e equivale a todo segmento de reta que parte do centro do polígono e vai até a sua borda c Esse polígono pode ser dividido em cinco triângulos isósceles caso a divisão seja feita por meio de seus raios d O centro desse polígono não coincide com o centro da circunferência na qual ele está inscrito e Os lados desse polígono podem assumir valores distintos Resposta c Esse polígono pode ser dividido em cinco triângulos isósceles caso a divisão seja feita por meio de seus raios 4 Na figura abaixo ABCD e PQRS são dois quadrados cujos centros coincidem no ponto O Se PT mede 1 cm então a área do círculo de centro O inscrito nesses quadrados em cm² é igual a a π 1 22 b 2π 1 22 c π 3 22 d 2π 2 2 Resposta Repare inicialmente que o círculo tem raio R igual a metade do lado do quadrado L ou seja R L2 A área do círculo AC vale AC π R² AC π L2² Equação I Agora olhe para o segmento de reta PR ilustrado abaixo repare que ele é uma diagonal do quadrado de lado L logo essa diagonal vale L2 além disso sabemos que PR é igual a 1 L 1 e podemos igualar veja Vamos igualar 1 L 1 L2 2 L L2 2 L2 L L 2 1 2 L2 1 2 1 Vamos manter L2 isolado e também vamos multiplicar numerador e denominador por 2 1 L2 1 2 1 2 12 1 L2 2 1 2² 1² L2 2 1 21 L2 2 1 1 L2 2 1 Equação II Agora vamos aplicar este valor na equação I AC π 2 1² AC π 2 22 1 AC π 3 22 Alternativa correta é a letra c Polígonos Regulares classificação propriedades inscrição e circunscrição Poliedros e teorema de Euler 1 Determine o ângulo interno e externo de um a triângulo equilátero Resposta Triângulo Equilátero n 3 Ângulo Interno 180 3 2 3 180 1 3 60 Ângulo Externo 360 3 120 b quadrado Resposta Quadrado n 4 Ângulo Interno 180 4 2 4 180 2 4 90 Ângulo Externo 360 4 90 c pentágono regular Pentágono Regular n 5 Ângulo Interno 180 5 2 5 180 3 5 108 Ângulo Externo 360 5 72 d hexágono regular Hexágono Regular n 6 Ângulo Interno 180 6 2 6 180 4 6 120 Ângulo Externo 360 6 60 2 Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono Ache a O polígono b O total de diagonais c A soma dos ângulos internos d A soma dos ângulos externos e A medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo Resposta Número de diagonais do hexágono n 6 d nn3 2 d 66 3 2 9 Novo polígono de cada vértice partem n 3 diagonais Então n 3 9 n 12 a O polígono regular é o dodecágono n 12 b d nn 3 2 d 1212 3 2 d 54 diagonais c Si n 2 180º Si 12 2 180º Si 1800º d A soma dos Ângulos externos é constante Sc 360º e n ae 360º 12 ae 360º ae 30º ai ae 180º ai 180º 30º ai 150º 3 Numa circunferência está inscrito um triângulo equilátero cujo apótema mede 3 cm A medida do diâmetro dessa circunferência é a 6 cm b 10 cm c 12 cm d 42 cm e 36 cm Resposta Um triângulo equilátero é um triângulo com todos os lados de igual comprimento e todos os ângulos internos medindo 60 graus Quando um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência os vértices do triângulo tocam a circunferência formando um círculo circunscrito ao triângulo O apótema é a distância do centro do círculo ao ponto médio de um dos lados do triângulo equilátero Neste caso o apótema mede 3 cm Isso significa que o raio do círculo circunscrito ao triângulo equilátero também é igual a 3 cm pois o apótema é igual ao raio do círculo O diâmetro de uma circunferência é igual a duas vezes o raio Portanto o diâmetro deste círculo é Diâmetro 2 Raio 2 3 cm 6 cm Portanto a resposta correta é a 6 cm 4 O lado de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 102 cm A medida do lado do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência é a 103 b 302 c 102 d 153 Fonte httpss3saeast1amazonawscomdescomplicablogwpcontentuploads 201503Materialdeapoioextensivomatematicaexerciciospoligonosregularesinscritos Resposta Sabemos que o lado do quadrado inscrito na circunferência mede 102 cm O diâmetro da circunferência é igual à diagonal do quadrado A diagonal de um quadrado pode ser calculada como o lado multiplicado pela raiz de 2 Diagonal do quadrado Lado 2 Diagonal do quadrado 102 2 Diagonal do quadrado 20 cm Agora temos o diâmetro da circunferência que é igual à soma dos lados do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência A relação entre o diâmetro D e o lado L de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência é D L 3 Neste caso o diâmetro é igual a 20 cm 20 cm L 3 Agora podemos encontrar o valor de L o lado do triângulo equilátero L 20 cm 3 Multiplicamos o numerador e o denominador por 3 para racionalizar o denominador L 20 cm 3 3 3 L 203 cm 3 A medida do lado do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência é 203 cm Portanto a resposta correta é letra a 103 5 O poligono cujo o número de diagonais é igual ao de lados é o a pentágono b hexágono c heptágono d octógono e NRDA Resposta Para determinar o polígono no qual o número de diagonais é igual ao número de lados podemos usar a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono Número de diagonais n n 3 2 Onde n representa o número de lados do polígono Agora vamos encontrar um polígono em que o número de diagonais seja igual ao número de lados Número de diagonais n número de lados Então igualamos as duas expressões n n 3 2 n Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador n n 3 2n Expandindo o lado esquerdo n2 3n 2n Subtrair 2n de ambos os lados n2 5n 0 Agora fatoramos o lado esquerdo nn 5 0 Isso nos dá duas soluções possíveis para n n 0 não faz sentido em termos de polígonos regulares pois não pode haver um polígono com 0 lados n 5 0 o que nos dá n 5 Portanto o polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados é um pentágono 5 lados A resposta correta é a pentágono 6 O polígono de 14 diagonais tem gênero igual a a 5 b 7 c 9 d 11 e N R A Resposta ara determinar o gênero de um polígono número de lados com base no número de diagonais podemos usar a seguinte fórmula Gênero número de lados 12 Diagonais 2 Neste caso você mencionou que o polígono tem 14 diagonais Vamos calcular o gênero Gênero número de lados 12 14 2 Gênero número de lados 12 16 Gênero número de lados 8 Portanto o polígono com 14 diagonais tem um gênero igual a 8 A resposta correta é e NRA Não está nas opções fornecidas 7 Usando cartolina um aluno construiu um prisma sem uma das tampas bases e uma pirâmide sem o fundo base de mesma base e mesma altura do prisma Em seguida encheu a pirâmide de areia e a despejou dentro do prisma Repetiu essa operação até encher o prisma com areia Quantas vezes foram necessárias despejar o conteúdo da pirâmide no interior do prisma para enchêlo por completo Resposta Como o prisma e a pirâmide possuem bases iguais é óbvio que suas áreas também serão iguais Dessa forma podemos calcular o volume de cada um dos dois sólidos V prismaAbase h V pirâmide Abase h 3 Vêse que o volume do prisma é o triplo do volume da pirâmide Logo para encher o prisma por completo foi necessário despejar o conteúdo da pirâmide 3 vezes 8 No sólido abaixo representado sabese que as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6 cm² e 10 cm² respectivamente O volume desse sólido é de a 8 cm³ Fonte httpswwwimeuspbrdsmiglyensinomaterialapoioQuest C3B5es20sobre20Poliedrospdfregularesinscritoscircunscritospdf b 10 cm³ c 12 cm³ d 16 cm³ e 24 cm³ Resposta A área de ABCD é dada por ABBC Daí temos 2AB6 AB3 Já a área de BCFE é dada por CBEB Então 2EB10EB5 Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AEB EA² AB²EB² EA²3²5²EA5²3² EA4 O volume desse sólido que é classificado como um prisma é dado por VABBCEAV 324V24cm³ A resposta é a alternativa e 9 Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8de maneira que dois de seus vértice P e Q sejam respectivamente os pontos médios de AD e BC e os vértices da face superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior desse cubo como indicado na figura ao lado Nessas condições o volume desse sólido é a 64 b 128 c 256 d 512 e 1024 Resposta A área de cada quadrado que compõe esse cubo é 8² 64 Como P e Q são pontos médios segue AEHP AAEHD 2 e AFGQ ABFGC 2 Como AAEHD ABFGC 64 ficamos com AEHP AFGQ 64 2 32 O volume do sólido é VAEHP HG V 32 8V 256 Fonte httpswwwimeuspbrdsmiglyensinomaterial apoioQuestC3B5es20sobre 20Poliedrospdfregularesinscritos circunscritospdf Fonte httpswwwimeuspbrdsmiglyensinomaterialapoioQuest C3B5es20sobre20Poliedrospdfregularesinscritoscircunscritospdf A alternativa c é a correta 10 Acerca do poliedro ao lado são feitas as seguintes afirmações 01 É um poliedro de Platão mas não é regular 02 É um poliedro euleriano 04 Suas faces são polígonos regulares e congruentes 08 É chamado de dodecaedro regular Seja C o valor da soma das alternativas corretas Então é correto afirmar que C é a Um número cubo perfeito b Um número perfeito c Um número quadrado perfeito d Um número ímpar e Um número primo Resposta Analisando os itens 01 Falsa O poliedro mostrado é um poliedro de Platão mas todo poliedro de Platão é regular 02 Verdadeira O poliedro satisfaz a Relação de Euler pois tem 30 arestas 12 vértices e 20 faces e 12 30 20 2 04 Verdadeira Por ser um poliedro regular como foi dito ele é composto por polígonos regulares triângulos equiláteros e congruentes 08 Falsa O nome desse poliedro é icosaedro regular Assim temos C24C6 Como 6 é um número perfeito segue que a alternativa correta é a b 11 Qual das afirmações abaixo é verdadeira a Um dodecaedro tem duas faces b Uma face é a intersecção de duas arestas c Um pentadecaedro tem 15 arestas d Existe poliedro que tem quatro faces e Todo poliedro tem no mínimo 12 arestas Resposta Vamos analisar cada afirmação separadamente a A afirmação é falsa pois um dodecaedro tem 12 faces b A afirmação é falsa pois a intersecção de duas ou mais arestas é um vértice c A afirmação é falsa pois um pentadecaedro tem 15 faces d A afirmação é verdadeira Podemos citar como exemplo o tetraedro regular ou qualquer pirâmide de base triangular e A afirmação é falsa pois existem poliedros com menos de 12 arestas A resposta é a alternativa d Fonte httpswwwimeuspbrdsmiglyensino materialapoioQuestC3B5es 20sobre20Poliedrospdfregulares inscritoscircunscritospdf 12 Maíra adora brincar na piscina da casa de Jean A piscina tem 3 m de largura por 4 m de comprimento A parte mais rasa tem 05 m de profundidade e a parte funda 1 m de profundidade O piso da piscina é o usual uma rampa plana A quantidade de litros de águanecessária para enchêla é a 6000 b 8000 c 9000 d 10000 e 12000 Resposta A piscina pode ser dividida em um prisma de dimensões 3m 4m e 05m e uma pirâmide quadrangular de dimensões 05m 3m e 4m Calculando o volume de cada um V prisma 3 4 05 V prisma 6 m³ V pirâmide 05 3 4 3 V piramide 2m³ O volume da piscina é dado pela soma dos volumes do prisma e da pirâmide V piscina V prismaV pirâmideV piscina62V piscina 8m³ Como 8 m³ 8000 ℓ segue que é necessário 8000 litros de água para encher a piscina Alternativa b 13 Num poliedro convexo o número de faces é 6 e o número de vértices é 8 Então o número de arestas desse poliedro é a 12 b 18 c 28 d 30 e 32 Resolução Aplicando o Teorema de Euler segue de forma imediata que VAF28A62 A12 Assim a alternativa correta é a letra a 14 Determine o número de arestas e véstices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triângulares Resposta Como podemos ver o poliedro tem 6 faces quadrangulares calculamos 6 4 24 arestas O poliedro tem 4 faces triangulares 4 3 12 arestas Como cada aresta foi contada duas vezes o número total de arestas é A 24 12 2 18 Temos então F 10 e A 18 Aplicando a relação de Euler V A F 2 V 18 10 2 V 10 Logo o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices 15 Arquimedes séc III aC descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais todas regulares Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970 Quantas vértices possui esse poliedro Resposta Como o poliedro tem 12 faces pentagonais então 12 5 60 arestas O poliedro tem 20 faces hexagonais então 20 6 120 arestas Logo F 12 20 32 Cada aresta foi contada duas vezes portanto temos 2A 60 120 2A 180 A 90 Como o poliedro é convexo vale a relação de Euler V A F 2 V 90 32 2 V 2 90 32 V 60 Assim o número de vésrtices é 60 16 Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas determine o número de faces dessa figura Resposta Temos que o número de vértices é igual a 20 V 20 As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas então devemos dividir por dois o número total de arestas Veja De acordo com a relação de Euler temos que F V A 2 F 20 50 2 F 52 20 F 32 O poliedro em questão possui 32 faces 17 Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades Calcule o número de faces Resposta F V A 2 A V 6 F V V 6 2 F V V 8 F 8 O poliedro possui 8 faces REFERÊNCIAS MORGADO A C WAGNER E JORGE M Geometria I 2º grau exame supletivo e vestibulares Rio de Janeiro Livraria Francisco Alves editora SA 5º ed 1990 MEDEIROS G H B Régua compasso e pontos notáveis de um triângulo Dissertação de Mestrado PROFMATUFRN Natal RN 2015 POMPEO J N DOLCE O Fundamentos de matemática 9 elementar geometria plana São Paulo Saraiva Didáticos 9ª ed 2019 EXERCÍCIOS Retas Paralelas cortadas por uma transversal 1 Sendo a reta a parelela à reta b determine x nos casos Respostas a Os Ângulos 50º e X são ângulos alternos externos nesse caso quando as duas linhas linhas são paralelas os ângulos alternos externos são congruentes ou seja possuem a mesma medida Logo X 50º b À congruência dos angulos de todos os pares correspondentes e à suplementariedade dos ângulos de todos os pares colaterais Logo 120 X 180º X 180º 120º X 60º 2 Determine o valor real de x sabendo que rs Resposta Perceba que os ângulos 3x 15º e x 25º são colaterais internos portanto 3x 15º x 25º 180º Fonte POMPEO DOLCE 2019 Fonte Superintendência de Educação Infantil e Ensino Fundamental Secretaria do Esstado de Esducação de Goias resolvendo a equação temos 4x 40º 180º 4x 180º 40º 4x 140º x 35º 3 Na figura abaixo as retas r e s são paralelas Os ângulos de medidas 60º e 120º são a congruentes pois são colaterais internos b congruentes pois são correspondentes c congruentes pois são alternos internos d suplementares pois são colaterais internos e suplementares pois são colaterais externos Resposta e suplementares pois são colaterais externos Construção de pontos notáveis de triângulos com régua e compasso 1 Dado um segmento com extremidades C e P se quisermos construir uma circunferência de centro C e raio CP devemos colocar a ponta seca ponta fixadora do compasso sobre o ponto C e a outra ponta sobre o ponto P agora basta girar o compasso em alguma direção até formar uma circunferência sem alterar o ângulo de abertura conforme figura abaixo Essa construção nos permite observar que qualquer ponto da circunferência está a uma mesma distância do centro C que nesse caso é CP r Fonte Superintendência de Educação Infantil e Ensino Fundamental Secretaria do Esstado de Esducação de Goias Dessa maneira seja PCr a propriedade dos pontos do plano que estão a uma distância r do ponto C Como achar um lugar geométrico referente a essa propriedade Resposta Podemos traçar um segmento de tamanho r de extremos C e P e abrir o compasso com esse tamanho fixando a ponta seca em C e a outra ponta na outra extremidade do segmento Assim ao girarmos o compasso obtemos um conjunto de pontos T que estão a uma mesma distância r de C Logo todos esses pontos estão em LC circunferência de centro C uma vez que todos eles satisfazem a propriedade PCr ou seja T LC 2 Um marceneiro foi contratado para fazer uma mesa de forma circular com o intuito de economizar na compra de material ele decidiu utilizar uma peça de madeira que havia sobrado de um outro serviço Mas a referida peça tem a forma de um triângulo com lados distintos Se o marceneiro quer aproveitar ao máximo a peça como ele dever proceder na produção da referida mesa Resposta Para aproveitar ao máximo a madeira disponıvel a mesa que tem a forma circular terá que tangenciar os lados da peça de madeira que possui forma triangular Assim seja ABC o triângulo dado O centro da circunferência inscrita incentro é o ponto de interseção das bissetrizes internas Então precisamos traçarar as bissetrizes de dois ângulos do triângulo conforme a figura abaixo O ponto de interseção das duas bissetrizes I é o centro da circunferência inscrita agora traçamos por I uma reta perpendicular a BC cortando BC em M Para isso com centro em I devemos tracar uma circunferência qualquer cortando o lado BC nos pontos D e E como mostra a figura abaixo Fonte MEDEIROS 2020 Temos agora um ponto por onde passa a circunferência inscrita Traçamos então a circunferência de centro I e raio IM como na figura abaixo e o problema está resolvido 3 Nos últimos anos a televisão tem passado por uma verdadeira revolução em termos de qualidade de imagem som e iteratividade com o telespectador Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital Entretanto muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia Buscando levar esses benefícios a três cidades uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão que envie sinal às antenas A B e C já existentes nessas cidades As localizações das antenas estão representadas na figura abaixo Figura mapa da cidade de Santa Cruz RN Fonte Google Maps adaptado por MEDEIROS 2020 A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas Dessa forma qual é o local adequado para a construção dessa torre Resposta O ponto notável de um triângulo que está a uma mesma distância de seus vértices é o circuncentro Dessa forma para encontrar o local onde a torre deve ser instalada basta traçar segmentos com os pontos A B e C formando o triângulo ABC Logo após traçar a mediatriz em dois lados desse triângulo encontrando a interseção P dessas mediatrizes que é o circuncentro do triângulo ABC Logo a torre deve ser instalada sobre o ponto P Triângulos no plano cartesiano 1 Calcule a distância entre os pontos A0 3 e B2 1 Figura mapa da cidade de Santa Cruz RN Fonte Google Maps adaptado por MEDEIROS 2020 Fonte Secretaria de Educação de Taubaté Resposta Temos XA 0 YA 3 XB 2 e YB 1 dAB XB XA² YB YA² dAB 2 0² 1 3² dAB 2² 4² 4 16 dAB 20 dAB 25 2 Considere um triângulo ABC com vértices A12 B34 e C16 Quais as coordenadas de seu baricentro Resposta GxG yG G xA xB xC 3 yA yB yC 3 G 1 3 1 3 2 4 6 3 G 53 4 3 Determine a mediana AM de um triângulo ABC que tenha como vértices os pontos A12 B34 e C16 Resposta M 3 1 2 4 6 2 25 Mediana dAM 12² 25² 1² 3² 1 9 10 Polígonos 1 Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados Resposta eneágono 2 Determine a soma dos ângulos internos de um a Pentágono convexo A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo pode ser determinada usando a fórmula Soma dos ângulos internos n 2 180º onde n é o número de lados do polígono No caso de um pentágono n 5 você teria Soma dos ângulos internos 5 2 180º 3 180º 540º b Hexágono convexo Da mesma forma para um hexágono convexo n 6 você pode usar a mesma fórmula Soma dos ângulos internos 6 2 180º 4 180º 720º No entanto você mencionou que a soma dos ângulos internos de um hexágono convexo é 320º o que está incorreto A resposta correta é 720º Portanto a soma dos ângulos internos de um hexágono convexo é 720º 3 Dado o polígono regular ABCDE inscrito em uma circunferência de raio r analise as alternativas a seguir e assinale aquela que for correta a Podemos afirmar que exatamente quatro vértices desse polígono também pertencem a essa circunferência b O raio desse polígono também mede r e equivale a todo segmento de reta que parte do centro do polígono e vai até a sua borda c Esse polígono pode ser dividido em cinco triângulos isósceles caso a divisão seja feita por meio de seus raios d O centro desse polígono não coincide com o centro da circunferência na qual ele está inscrito e Os lados desse polígono podem assumir valores distintos Resposta c Esse polígono pode ser dividido em cinco triângulos isósceles caso a divisão seja feita por meio de seus raios 4 Na figura abaixo ABCD e PQRS são dois quadrados cujos centros coincidem no ponto O Se PT mede 1 cm então a área do círculo de centro O inscrito nesses quadrados em cm² é igual a a π 1 22 b 2π 1 22 c π 3 22 d 2π 2 2 Resposta Repare inicialmente que o círculo tem raio R igual a metade do lado do quadrado L ou seja R L2 A área do círculo AC vale AC π R² AC π L2² Equação I Agora olhe para o segmento de reta PR ilustrado abaixo repare que ele é uma diagonal do quadrado de lado L logo essa diagonal vale L2 além disso sabemos que PR é igual a 1 L 1 e podemos igualar veja Vamos igualar 1 L 1 L2 2 L L2 2 L2 L L 2 1 2 L2 1 2 1 Vamos manter L2 isolado e também vamos multiplicar numerador e denominador por 2 1 L2 1 2 1 2 12 1 L2 2 1 2² 1² L2 2 1 21 L2 2 1 1 L2 2 1 Equação II Agora vamos aplicar este valor na equação I AC π 2 1² AC π 2 22 1 AC π 3 22 Alternativa correta é a letra c Polígonos Regulares classificação propriedades inscrição e circunscrição Poliedros e teorema de Euler 1 Determine o ângulo interno e externo de um a triângulo equilátero Resposta Triângulo Equilátero n 3 Ângulo Interno 180 3 2 3 180 1 3 60 Ângulo Externo 360 3 120 b quadrado Resposta Quadrado n 4 Ângulo Interno 180 4 2 4 180 2 4 90 Ângulo Externo 360 4 90 c pentágono regular Pentágono Regular n 5 Ângulo Interno 180 5 2 5 180 3 5 108 Ângulo Externo 360 5 72 d hexágono regular Hexágono Regular n 6 Ângulo Interno 180 6 2 6 180 4 6 120 Ângulo Externo 360 6 60 2 Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono Ache a O polígono b O total de diagonais c A soma dos ângulos internos d A soma dos ângulos externos e A medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo Resposta Número de diagonais do hexágono n 6 d nn3 2 d 66 3 2 9 Novo polígono de cada vértice partem n 3 diagonais Então n 3 9 n 12 a O polígono regular é o dodecágono n 12 b d nn 3 2 d 1212 3 2 d 54 diagonais c Si n 2 180º Si 12 2 180º Si 1800º d A soma dos Ângulos externos é constante Sc 360º e n ae 360º 12 ae 360º ae 30º ai ae 180º ai 180º 30º ai 150º 3 Numa circunferência está inscrito um triângulo equilátero cujo apótema mede 3 cm A medida do diâmetro dessa circunferência é a 6 cm b 10 cm c 12 cm d 42 cm e 36 cm Resposta Um triângulo equilátero é um triângulo com todos os lados de igual comprimento e todos os ângulos internos medindo 60 graus Quando um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência os vértices do triângulo tocam a circunferência formando um círculo circunscrito ao triângulo O apótema é a distância do centro do círculo ao ponto médio de um dos lados do triângulo equilátero Neste caso o apótema mede 3 cm Isso significa que o raio do círculo circunscrito ao triângulo equilátero também é igual a 3 cm pois o apótema é igual ao raio do círculo O diâmetro de uma circunferência é igual a duas vezes o raio Portanto o diâmetro deste círculo é Diâmetro 2 Raio 2 3 cm 6 cm Portanto a resposta correta é a 6 cm 4 O lado de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 102 cm A medida do lado do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência é Fonte httpss3saeast1amazonawscomdescomplicablogwp contentuploads201503Materialdeapoioextensivomatematicaexerciciospoligonos regularesinscritoscircunscritospdf a 103 b 302 c 102 d 153 Resposta Sabemos que o lado do quadrado inscrito na circunferência mede 102 cm O diâmetro da circunferência é igual à diagonal do quadrado A diagonal de um quadrado pode ser calculada como o lado multiplicado pela raiz de 2 Diagonal do quadrado Lado 2 Diagonal do quadrado 102 2 Diagonal do quadrado 20 cm Agora temos o diâmetro da circunferência que é igual à soma dos lados do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência A relação entre o diâmetro D e o lado L de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência é D L 3 Neste caso o diâmetro é igual a 20 cm 20 cm L 3 Agora podemos encontrar o valor de L o lado do triângulo equilátero L 20 cm 3 Multiplicamos o numerador e o denominador por 3 para racionalizar o denominador L 20 cm 3 3 3 L 203 cm 3 A medida do lado do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência é 203 cm Portanto a resposta correta é letra a 103 5 O poligono cujo o número de diagonais é igual ao de lados é o a pentágono b hexágono c heptágono d octógono e NRDA Resposta Para determinar o polígono no qual o número de diagonais é igual ao número de lados podemos usar a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono Número de diagonais n n 3 2 Onde n representa o número de lados do polígono Agora vamos encontrar um polígono em que o número de diagonais seja igual ao número de lados Número de diagonais n número de lados Então igualamos as duas expressões n n 3 2 n Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador n n 3 2n Expandindo o lado esquerdo n2 3n 2n Subtrair 2n de ambos os lados n2 5n 0 Agora fatoramos o lado esquerdo nn 5 0 Isso nos dá duas soluções possíveis para n n 0 não faz sentido em termos de polígonos regulares pois não pode haver um polígono com 0 lados n 5 0 o que nos dá n 5 Portanto o polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados é um pentágono 5 lados A resposta correta é a pentágono 6 O polígono de 14 diagonais tem gênero igual a a 5 b 7 c 9 d 11 e N R A Resposta ara determinar o gênero de um polígono número de lados com base no número de diagonais podemos usar a seguinte fórmula Gênero número de lados 12 Diagonais 2 Neste caso você mencionou que o polígono tem 14 diagonais Vamos calcular o gênero Gênero número de lados 12 14 2 Gênero número de lados 12 16 Gênero número de lados 8 Portanto o polígono com 14 diagonais tem um gênero igual a 8 A resposta correta é e NRA Não está nas opções fornecidas 7 Usando cartolina um aluno construiu um prisma sem uma das tampas bases e uma pirâmide sem o fundo base de mesma base e mesma altura do prisma Em seguida encheu a pirâmide de areia e a despejou dentro do prisma Repetiu essa operação até encher o prisma com areia Quantas vezes foram necessárias despejar o conteúdo da pirâmide no interior do prisma para enchêlo por completo Resposta Como o prisma e a pirâmide possuem bases iguais é óbvio que suas áreas também serão iguais Dessa forma podemos calcular o volume de cada um dos dois sólidos V prismaAbase h V pirâmide Abase h 3 Vêse que o volume do prisma é o triplo do volume da pirâmide Logo para encher o prisma por completo foi necessário despejar o conteúdo da pirâmide 3 vezes Fonte httpswwwimeuspbrdsmiglyensinomaterialapoioQuestC3B5es 20sobre20Poliedrospdfregularesinscritoscircunscritospdf 8 No sólido abaixo representado sabese que as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6 cm² e 10 cm² respectivamente O volume desse sólido é de a 8 cm³ b 10 cm³ c 12 cm³ d 16 cm³ e 24 cm³ Resposta A área de ABCD é dada por ABBC Daí temos 2AB6 AB3 Já a área de BCFE é dada por CBEB Então 2EB10EB5 Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AEB EA² AB²EB² EA²3²5²EA5²3² EA4 O volume desse sólido que é classificado como um prisma é dado por VABBCEAV 324V24cm³ A resposta é a alternativa e 9 Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8de maneira que dois de seus vértice P e Q sejam respectivamente os pontos médios de AD e BC e os vértices da face superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior desse cubo como indicado na figura ao lado Nessas condições o volume desse sólido é a 64 b 128 c 256 d 512 e 1024 Resposta A área de cada quadrado que compõe esse cubo é 8² 64 Como P e Q são pontos médios segue AEHP AAEHD 2 e AFGQ ABFGC 2 Fonte httpswwwimeuspbrdsmiglyensinomaterial apoioQuestC3B5es20sobre20Poliedros pdfregularesinscritoscircunscritospdf Fonte httpswwwimeuspbrdsmiglyensinomaterialapoioQuestC3B5es 20sobre20Poliedrospdfregularesinscritoscircunscritospdf Como AAEHD ABFGC 64 ficamos com AEHP AFGQ 64 2 32 O volume do sólido é VAEHP HG V 32 8V 256 A alternativa c é a correta 10 Acerca do poliedro ao lado são feitas as seguintes afirmações 01 É um poliedro de Platão mas não é regular 02 É um poliedro euleriano 04 Suas faces são polígonos regulares e congruentes 08 É chamado de dodecaedro regular Seja C o valor da soma das alternativas corretas Então é correto afirmar que C é a Um número cubo perfeito b Um número perfeito c Um número quadrado perfeito d Um número ímpar e Um número primo Resposta Analisando os itens 01 Falsa O poliedro mostrado é um poliedro de Platão mas todo poliedro de Platão é regular 02 Verdadeira O poliedro satisfaz a Relação de Euler pois tem 30 arestas 12 vértices e 20 faces e 12 30 20 2 04 Verdadeira Por ser um poliedro regular como foi dito ele é composto por polígonos regulares triângulos equiláteros e congruentes 08 Falsa O nome desse poliedro é icosaedro regular Assim temos C24C6 Como 6 é um número perfeito segue que a alternativa correta é a b 11 Qual das afirmações abaixo é verdadeira a Um dodecaedro tem duas faces b Uma face é a intersecção de duas arestas c Um pentadecaedro tem 15 arestas d Existe poliedro que tem quatro faces e Todo poliedro tem no mínimo 12 arestas Resposta Vamos analisar cada afirmação separadamente a A afirmação é falsa pois um dodecaedro tem 12 faces b A afirmação é falsa pois a intersecção de duas ou mais arestas é um vértice c A afirmação é falsa pois um pentadecaedro tem 15 faces d A afirmação é verdadeira Podemos citar como exemplo o tetraedro regular ou qualquer pirâmide de base triangular e A afirmação é falsa pois existem poliedros com menos de 12 arestas Fonte httpswwwimeuspbrdsmiglyensino materialapoioQuestC3B5es20sobr e20Poliedrospdfregularesinscritos circunscritospdf A resposta é a alternativa d 12 Maíra adora brincar na piscina da casa de Jean A piscina tem 3 m de largura por 4 m de comprimento A parte mais rasa tem 05 m de profundidade e a parte funda 1 m de profundidade O piso da piscina é o usual uma rampa plana A quantidade de litros de águanecessária para enchêla é a 6000 b 8000 c 9000 d 10000 e 12000 Resposta A piscina pode ser dividida em um prisma de dimensões 3m 4m e 05m e uma pirâmide quadrangular de dimensões 05m 3m e 4m Calculando o volume de cada um V prisma 3 4 05 V prisma 6 m³ V pirâmide 05 3 4 3 V piramide 2m³ O volume da piscina é dado pela soma dos volumes do prisma e da pirâmide V piscina V prismaV pirâmideV piscina62V piscina 8m³ Como 8 m³ 8000 ℓ segue que é necessário 8000 litros de água para encher a piscina Alternativa b 13 Num poliedro convexo o número de faces é 6 e o número de vértices é 8 Então o número de arestas desse poliedro é a 12 b 18 c 28 d 30 e 32 Resolução Aplicando o Teorema de Euler segue de forma imediata que VAF28A62 A12 Assim a alternativa correta é a letra a 14 Determine o número de arestas e véstices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triângulares Resposta Como podemos ver o poliedro tem 6 faces quadrangulares calculamos 6 4 24 arestas O poliedro tem 4 faces triangulares 4 3 12 arestas Como cada aresta foi contada duas vezes o número total de arestas é A 24 12 2 18 Temos então F 10 e A 18 Aplicando a relação de Euler V A F 2 V 18 10 2 V 10 Logo o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices 15 Arquimedes séc III aC descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais todas regulares Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970 Quantas vértices possui esse poliedro Resposta Como o poliedro tem 12 faces pentagonais então 12 5 60 arestas O poliedro tem 20 faces hexagonais então 20 6 120 arestas Logo F 12 20 32 Cada aresta foi contada duas vezes portanto temos 2A 60 120 2A 180 A 90 Como o poliedro é convexo vale a relação de Euler V A F 2 V 90 32 2 V 2 90 32 V 60 Assim o número de vésrtices é 60 16 Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas determine o número de faces dessa figura Resposta Temos que o número de vértices é igual a 20 V 20 As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas então devemos dividir por dois o número total de arestas Veja De acordo com a relação de Euler temos que F V A 2 F 20 50 2 F 52 20 F 32 O poliedro em questão possui 32 faces 17 Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades Calcule o número de faces Resposta F V A 2 A V 6 F V V 6 2 F V V 8 F 8 O poliedro possui 8 faces REFERÊNCIAS MORGADO A C WAGNER E JORGE M Geometria I 2º grau exame supletivo e vestibulares Rio de Janeiro Livraria Francisco Alves editora SA 5º ed 1990 MEDEIROS G H B Régua compasso e pontos notáveis de um triângulo Dissertação de Mestrado PROFMATUFRN Natal RN 2015 POMPEO J N DOLCE O Fundamentos de matemática 9 elementar geometria plana São Paulo Saraiva Didáticos 9ª ed 2019