Exercícios Resolvidos - Identidade de Lagrange, Vetores no Plano e Espaço

SUAS RESPOSTAS SÓ SERÃO CONSIDERADAS SE VIEREM ACOMPANHADAS DOS CÁLCULOS LITERAIS EOU NUMÉRICOS QUANDO COUBER E DAS EXPLICAÇÕES E JUSTIFICATIVAS CORRETAS A interpretação das questões faz parte da prova Respostas numéricas devem ser expressas em notação científica e com o número correto de algarismos significativos É claro O número de pontos de cada item está indicado entre colchetes Nas suas respostas indique com toda a clareza a numeração das questões e a identificação dos itens separando sempre duas questões por uma linha horizontal que vá de uma margem à outra da folha Suas explicações devem atender o critério dos 4 Cs de uma boa resposta Correta Clara Completa Concisa NÃO SERÃO ACEITAS RESOLUÇÕES EM OUTRO FORMATO QUE NÃO SEJA PDF OU ENVIOS QUE NÃO SEJAM POR EMAIL OU FORA DO PRAZO ESTABELECIDO ACIMA 1 Considere um sistema bidimensional de coordenadas cartesianas ortogonais Oxy Ache os valores de t para que o ponto P de coordenadas 2t 4 3 2t esteja A 1 ponto no quarto quadrante B 1 ponto sobre o eixo x 2 2 pontos A chamada identidade de Lagrange estabelece que para quaisquer vetores a b c d a b c d a cb d a db c Não se preocupe com a demonstração dessa identidade Com base nesse resultado justifique cuidadosamente a seguinte afirmação Se a c d são os vetores da figura ao lado e independentemente de quais sejam o módulo a direção e o sentido do vetor b os vetores a X b e c X d são perpendiculares 3 Considere um sistema de coordenadas cartesiano retangular 0xyz Seja um vetor U de módulo 5 situado sobre o plano z 4 ou seja sobre um plano paralelo ao plano xy e tal que todos os pontos desse plano têm coordenadas z iguais a 4 Admita que a posição de U sobre esse plano seja tal que ele é paralelo ao eixo y e apontando no mesmo sentido desse eixo Seja outro vetor V de módulo 3 situado sobre o eixo z e apontando no mesmo sentido desse eixo Por fim seja W um vetor de módulo 2 situado sobre o eixo x e apontando no sentido contrário a esse eixo 1 Considere um sistema bidimensional de coordenadas cartesianas ortogonais Oxy Ache os valores de t para que o ponto P de coordenadas 2t 4 3 2t esteja A 1 ponto no quarto quadrante B 1 ponto sobre o eixo x a Para está no 4º quadrante Coordenada x é 0 Coordenada y é 0 Logo 2t 4 0 3 2t 0 2t 4 2t 3 t 2 t 32 Então para satisfazer ambos t 32 b Para está no eixo x a coordenada y deve ser zero Portanto 3 2t 0 t 32 t 32 Único ponto no eixo x é 2 32 4 3 2 32 70 A 1 ponto Determine V X W B 1 ponto Determine U V X W C 1 ponto Seja X 2V Determine V X SUGESTÃO Recomendo que para efeitos de sua própria orientação você procure fazer uma figura mostrando o sistema de coordenadas o plano z 4 e todos esses vetores 4 Um dipolo elétrico é um sistema constituído por duas cargas de mesmo módulo mas sinais contrários A molécula de água H2O por exemplo pode ser considerada um dipolo elétrico com a região de carga negativa ficando mais próxima ao átomo de Oxigênio e a região de carga positiva ficando mais próxima aos átomos de Hidrogênio O dipolo elétrico é caracterizado por uma grandeza vetorial denominada momento de dipolo elétrico representado por p na figura abaixo Este vetor tem módulo p q d onde q é o módulo de cada uma das cargas e d é a distância entre elas direção ao longo da linha que une as cargas e sentido da carga negativa para a positiva veja a figura Pode ser mostrado que quando um dipolo elétrico é colocado numa região onde existe um campo elétrico externo uniforme isto é que tem o mesmo valor em todos os pontos do espaço E representado pelas setas cor de rosa na figura abaixo ele fica submetido a um torque dado por t p X E Por outro lado a energia potencial elétrica U desse sistema é dada por U p E Na figura seguinte embora tenham sido desenhadas apenas três setas para simplificar a figura o campo elétrico está presente em todos os pontos inclusive nos pontos onde se localizam as cargas A existência do torque mencionado é o princípio de funcionamento dos modernos fornos de microondas Nesse caso o campo é oscilante isto é fica constantemente mudando de sentido Essa informação contudo não é relevante para a solução da presente questão A 1 ponto Reproduza a figura e desenhe as forças elétricas que atuam nas duas cargas Justifique B 1 ponto Determine o torque sobre o dipolo da figura supondo que E 50 X 105 NC q 16 X 1019 C f π6 rad d 0 125 nm 1 nm 1 nanometro 109 m C 1 ponto Calcule de quanto varia a energia potencial elétrica do sistema ΔU quando o ângulo f variar desde o valor 180º até o valor 0º Lembre que variação é o valor final menos o valor inicial BOA PROVA 2 2 pontos A chamada identidade de Lagrange estabelece que para quaisquer vetores ã b ĉ d ã x b ĉ x d ã cb d ã db c Não se preocupe com a demonstração dessa identidade Com base nesse resultado justifique cuidadosamente a seguinte afirmação Se ã ĉ d são os vetores da figura ao lado e independentemente de quais sejam o módulo a direção e o sentido do vetor b os vetores ã x b e ĉ x d são perpendiculares Nunca vi essa notação em vetores Caso signifique que ã te ĉ d vai valer a afirmação Como ã d temos que ã d 0 Logo ã x b ĉ x d ã cb d ã db c ã cb d ã x b é perpendicular a ĉ x d ã x bĉ x d 0 Logo ã cb d ã x b ĉ x d 0 Dessa forma ã c 0 ou b d 0 Então ã x b ĉ x d ã ĉ ou b d Caso ã ĉ vale para todo vetor b Caso contrário vale somente se b for perpendicular d Portanto não vale para todo b se ã e ĉ não são perpendiculares 3 Considere um sistema de coordenadas cartesiano retangular 0xyz Seja um vetor U de módulo 5 situado sobre o plano z 4 ou seja sobre um plano paralelo ao plano xy e tal que todos os pontos desse plano têm coordenadas z iguais a 4 Admita que a posição de U sobre esse plano seja tal que ele é paralelo ao eixo y e apontando no mesmo sentido desse eixo Seja outro vetor V de módulo 3 situado sobre o eixo z e apontando no mesmo sentido desse eixo Por fim seja W um vetor de módulo 2 situado sobre o eixo x e apontando no sentido contrário a esse eixo A 1 ponto Determine V x W B 1 ponto Determine U V x W C 1 ponto Seja X 2V Determine V X U xyz como U 5 temos x² y² z² 25 Como U está sobre o plano z 4 temos que U 001 0 z 0 U eixo y U 010 α R U α 010 y 0 xy0 α 010 α y e x 0 Portanto U 0 y 0 e como 5 U y U 050 V pertence ao eixo z V 00c com c 0 para ter mesmo sentido Como V 3 c 3 V 003 W pertence ao eixo x W a00 com a 0 para ter sentido contrário Como W 2 a 2 a 2 W 200 a V x W det i j k 0 0 3 2 0 0 6 j 060 b U V x W 050060 30 c X 2V X 2 001 002 V X 003 002 005 Um dipolo elétrico é um sistema constituído por duas cargas de mesmo módulo mas sinais contrários A molécula de água H2O por exemplo pode ser considerada um dipolo elétrico com a região de carga negativa ficando mais próxima ao átomo de Oxigênio e a região de carga positiva ficando mais próxima aos átomos de Hidrogênio O dipolo elétrico é caracterizado por uma grandeza vetorial denominada momento de dipolo elétrico representado por p na figura abaixo Este vetor tem módulo p q d onde q é o módulo de cada uma das cargas e d é a distância entre elas direção ao longo da linha que une as cargas e sentido da carga negativa para a positiva veja a figura Pode ser mostrado que quando um dipolo elétrico é colocado numa região onde existe um campo elétrico externo uniforme isto é que tem o mesmo valor em todos os pontos do espaço E representado pelas setas cor de rosa na figura abaixo ele fica submetido a um torque dado por t p X E Por outro lado a energia potencial elétrica U desse sistema é dada por U p E Na figura seguinte embora tenham sido desenhadas apenas três setas para simplificar a figura o campo elétrico está presente em todos os pontos inclusive nos pontos onde se localizam as cargas A existência do torque mencionado é o princípio de funcionamento dos modernos fornos de microondas Nesse caso o campo é oscilante isto é fica constantemente mudando de sentido Essa informação contudo não é relevante para a solução da presente questão A 1 ponto Reproduza a figura e desenhe as forças elétricas que atuam nas duas cargas Justifique B 1 ponto Determine o torque sobre o dipolo da figura supondo que E 50 X 105 NC q 16 X 1019 C φ π6 rad d 0125 nm 1 nm 1 nanometro 109 m C 1 ponto Calcule de quanto varia a energia potencial elétrica do sistema ΔU quando o ângulo φ variar desde o valor 180 até o valor 0 Lembre que variação é o valor final menos o valor inicial a F é uma força de atracão entre as particulas por terem cargas contrárias b Neste esquema Ei logo E α i com α R como EE temos que α E Entao E E00 Seja p xy0 onde i 10 logo x p i picosφ qd cos π6 32 qd x2 y2 qd 34 q2 d2 y2 q2 d2 y2 q2 d2 4 y qd 2 t p x E é o torque t deti j k x y 0 0 0 E Ey i x j Ey i Ex j t Ey Ex 0 E q d 2 3 E q d 2 t 5105 16 1019 1251010 2 3 5105 16 1019 1251010 2 t 10 1024 3 10 1024 t 1 1023 3 1023 c U0 p E p E cos 0 q d E 32 qd E Ut p t p t cos π qd E qd E ΔU Ut U0 qd E qd E 2 qd E 2 16 1019 125 1010 ΔU 4 1029