Exercícios

40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Caderno de Questões Primeira Fase Nível Beta Página 1 de 14 40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Instruções de Prova Normas para a realização das provas 1 As equipes tem 7 dias para realizar a prova Estimulamos que os membros das equipes interajam o máximo possível entre si 2 Pedimos que até o final da prova as provas não sejam disponibilizadas em mídias sociais e tampouco compartilhadas com pessoas não participantes da 40ª OMU 3 As provas devem ser entregues manuscritas Provas escritas em editor de texto LaTeX Word e semelhantes não serão corrigidas Provas manuscritas com mesas digitalizadoras eou tablet serão aceitas Desenhos do geogebra anexados à solução desde que não ultrapasse o limite de páginas serão considerados 4 É permitido consultar sites livros e utilizar softwares mas todos os materiais consultados que tenham tido alguma valia devem ser citados explicitamente nas provas Utilizar fontes sem fazer referência pode ser considerado plágio 5 É proibido consultar outras pessoas colegas pais parentes amigos professores inclusive o responsável pela equipe que não sejam os próprios alunos membros da equipe 6 A consulta em sites e fóruns de discussão tais como Brainly Stackexchange Mathoverflow e similares é estritamente proibida Respostas copiadas destes sites serão consideradas inválidas e postagem solicitada no site caso identificada levará à desclassificação da equipe A organização da OMU já manteve contato com responsáveis legais de diversos destes sites para coibir e punir este tipo de prática Página 2 de 14 40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Sobre o envio das provas Cada equipe deverá preparar 5 cinco cadernos de respostas um para cada uma das questões Os cadernos serão feitos do seguinte modo 1 Cada caderno de resposta terá até 5 cinco folhas apenas frente onde a equipe deverá escrever a redação final da resposta Caso sejam enviados arquivos com mais de cinco páginas serão corrigidas apenas as cinco primeiras 2 A versão final da prova deve ser escrita com caneta preta ou azul não lápis para garantir melhor legibilidade 3 As provas deverão ser digitalizadas para serem enviadas à OMU Sugerimos que utilize algum aplicativo gratuito para digitalizar as páginas com o celular Veja uma lista de aplicativos disponíveis aqui ou aqui 4 Os arquivos devem ser escaneados exclusivamente em formato PDF Para cada ques tão deverá ser enviado um único arquivo PDF 5 Digitalize as páginas na ordem correta Como medida extra de segurança sugerimos que no canto superior direito de cada pagina numereas indicando quantas foram enviadas 15 25 35 45 e 55 Assim caso a equipe envie páginas fora de ordem existe a possibilidade de corrigirmos o erro Em nenhum lugar deve ser escrito o nome dos participantes da equipe 6 No site da OMU mediante login e senha será possível enviar os arquivos com as respostas a Há uma página para cada questão onde é possível fazer o envio Esta página é acessada através da Sala da Equipe b Qualquer membro da equipe pode enviar as respostas podendo ser membros dife rentes para cada pergunta c Você pode carregar suas respostas e salválas como rascunho Assim vocês evitam a tensão de ter de digitalizar e enviar todas as perguntas no último momento Página 3 de 14 40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas d Se alguma pergunta ficar salva como rascunho ao término do prazo de envio a última versão salva na área de sua equipe será enviada para correção e Apesar dos rascunhos serem corrigidos recomendamos entregar definitivamente as questões Somente assim você ganhará um recibo que comprova sua entrega Ele será essencial caso haja algum questionamento sobre o recebimento da questão 7 Ao anexar as questões verifique se está fazendo no lugar correto Questões anexadas incorretamente não serão corrigidas 8 Soluções de provas enviadas fora do sistema da OMU por eemail ou qualquer outro meio serão ignoradas 9 O professor orientador pode acompanhar o andamento de cada uma de suas equipes através do ambiente Sala do Professor a Na coluna com o nome da equipe o ambiente permite que o professor visualize para cada questão se o envio já foi realizado se está salva como rascunho ou se ainda não foi colocada no sistema b Nesse ambiente o professor pode realizar o envio das provas de suas equipes A Comissão Organizadora recomenda que cada equipe seja responsável pelo envio de sua prova ficando o professor orientador com o papel de conferir caso deseje Sobre eventuais esclarecimentos 1 Eventuais esclarecimentos a respeito das questões serão publicados em httpswww olimpiadaimeunicampbrcomunicadoshtmlabc Verifique antes de solicitar es clarecimento se sua dúvida já está respondida no site 2 Pedidos de esclarecimentos serão aceitos no máximo até quintafeira 25 de abril via aba Contato em httpswwwolimpiadaimeunicampbrabc Assim a Comissão Organizadora terá tempo hábil para analisálos e comunicálos a todas as equipes Página 4 de 14 40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas 3 Qualquer problema técnico no envio da prova deve ser comunicado imediatamente pela aba Contato ou no link httpsomumojohelpdeskcomlogincreaterequest Datas referentes ao envio prova da primeira fase 1 As provas devem ser enviadas no sistema da OMU até às 23h59 de segundafeira 29 de abril Prevendo a possibilidade de ocorrência de problemas técnicos que afetem o conjunto de participantes da OMU o sistema poderá ser reaberto permitindo o carrega mento de documentos por mais duas horas até as 02h00 da madrugada do dia 30 de abril Após as 02h00 do dia 30 de abril não será possível tratar novos pedidos relativos ao envio de provas Página 5 de 14 40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Questão 1 Joaquim recebe um número inteiro e ele o altera em várias etapas seguindo algu mas regras Em cada etapa ele escolhe uma das seguintes operações para aplicar ao resultado da etapa anterior A Somar 1 ao resultado da etapa anterior e depois elevar a 4 B Multiplicar o resultado da etapa anterior por 3 e depois somar 8 Por exemplo vamos supor que o número recebido seja 2 e que Joaquim decidiu fazer nesta ordem as operações A B e depois A Então teremos 2 A 2 14 81 B 3 81 8 251 A 251 14 4032758016 Responda a Se o número inicial for 0 é possível obter o número 2912 usando apenas estas duas ope rações b Se o número inicial for 1 é possível obter o número 202499 usando apenas estas duas operações Página 6 de 14 40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Questão 2 Nesta questão é altamente recomendável que você utilize ferramentas como o Geogebra Estamos acostumados a representar o plano com duas coordenadas x y e a descrever curvas no plano como soluções de equações Na Figura 1 vemos três curvas no plano desenhadas com o Geogebra Repare que ao dizermos que a reta verde é definida ou determinada pela equação y 2x 1 estamos dizendo duas coisas i todos os pontos desta reta satisfazem esta equação ii todos os pontos que satisfazem esta equação estão na reta ou seja pontos que não estão na reta não satisfazem a equação y 2x 1 Figura 1 Curvas definidas pelas equações y 2x 1 verde x 32 y2 4 azul e y x 22 1 vermelho Assim como um ponto no plano é representado por um par de coordenadas x y um ponto no espaço é representado por uma tripla x y z Em geral o plano xy contém a superfície da sua mesa e atribuímos a coordenada z à altura Assim como no plano onde uma equação de primeiro ou segundo grau em x e y define em geral uma curva no espaço uma equação de primeiro ou segundo grau em x y e z define uma superfície Uma maneira de visualizar tais superfícies é intersectálas por planos simples como aqueles onde uma coordenada é constante por exemplo y 1 ou z 12 a Seja S a superfície no espaço definida pela equação z y2 Página 7 de 14 40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Considere a intersecção de S com o plano P1 definido pela equação y 1 Obtemos com isso uma curva C1 P1 S Descreva com palavras esta curva b Consideramos a mesma superfície S mas agora consideramos o plano P2 determinado pela equação x 1 e a curva C2 determinada pela intersecção C2 P2 S Descreva com palavras a curva C2 c Considere agora a intersecção da superfície S com os planos P3 P4 e P5 definidos res pectivamente pelas equações z 1 z 1 e z 0 Descreva com palavras cada uma destas três intersecções d Considere o cilindro ao redor do eixo y ilustrado na Figura 2 Figura 2 Cilindro ao redor do eixo y Encontre uma equação que determine este cilindro e Temos agora uma superfície misteriosa no espaço Sobre esta superfície conhecemos ape nas sua intersecção com quatro planos do espaço determinados respectivamente pelas equações z 1 z 2 x 1 e x 1 conforme ilustrado na Figura 3 Página 8 de 14 40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas x y 1 1 a Curva resultante com a intersecção com o plano z 1 x y 2 2 b Curva resultante com a intersecção com o plano z 2 y z 1 c Curva resultante com a intersecção com o plano x 1 y z 1 d Curva resultante com a intersecção com o plano x 1 Figura 3 Intersecção da superfície desconhecida com os planos dados Encontre uma equação que determine esta superfície misteriosa Ilustre esta superfície utilizando o Geogebra E indique algum objeto físico do mundo cotidiano real que se assemelhe a esta superfície Página 9 de 14 40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Questão 3 A equação 8x3 xy x 5y 13 0 tem soluções inteiras ou seja soluções da forma x y com x e y inteiros a Verifique que 1 1 é uma solução inteira da equação b Quantas soluções inteiras tem a equação c Encontre todas as soluções inteiras da equação nas quais x é um número primo d Encontre todas as soluções inteiras da equação nas quais x e y são inteiros negativos Página 10 de 14 Questão 4 O logotipo da OMU mostrado na imagem abaixo possui uma parábola de equação y x² Esta questão se trata de uma investigação do problema de calcular a área abaixo de uma parábola e acima do eixo x A parábola é uma linha curva e a princípio não temos uma fórmula exata para encontrar tais áreas Sendo assim estudaremos como aproximar a área desejada Inicialmente podemos somar as áreas de retângulos que cobrem uma área maior do que a parábola depois podemos somar as áreas dos retângulos que cobrem uma área menor do que a parábola obtendo assim uma estimativa superior e uma inferior para tal área Consideraremos a área abaixo da parábola y x² e acima do eixo x entre as abscissas x 0 e x b com b 0 Dividamos o intervalo 0b em n pedaços de mesma medida bn Temos assim os intervalos 0 bn bn 2bn 2bn 3bn n1bn b conforme ilustrado na Figura 4 Figura 4 Intervalo 0b dividido em 7 intervalos iguais Tomemos o retângulo com base no intervalo k1bn kbn para todo inteiro k de 1 até n e altura determinada de modo que o retângulo seja maximizado mantendose sempre abaixo do gráfico da parábola A soma das áreas de tais retângulos é denominada soma inferior para a área abaixo da parábola Esta soma denotada por sn proporciona um valor sempre inferior à área exata para qualquer valor de n De maneira análoga podemos tomar retângulos posicionados acima do gráfico da parábola sendo caracterizados pela menor altura possível resultando em uma estimativa superior para a área exata A soma das áreas desses retângulos é denominada soma superior para a área abaixo da parábola e é denotada por Sn A Figura 5 ilustra o procedimento utilizado para a obtenção de somas inferiores e superiores para a área abaixo da parábola a Considere b 2 Calcule a soma superior S8 e a soma inferior s8 b Encontre uma expressão explícita para a soma inferior sn e para a soma superior Sn em função da largura b e da quantidade n de partições retangulares Ambas as expressões devem ser cúbicas em n envolvendo n³ e possíveis potências menores de n Também determine a diferença Sn sn Dica Utilize a fórmula k1 to n k² 1² 2² n² 16nn 12n 1 c Considere b 1 Encontre um inteiro positivo N1 1 tal que SN1 sN1 001 Procedendo de mesma maneira encontre um inteiro positivo N2 1 tal que SN2 sN2 00001 d A partir dos resultados obtidos no item anterior o que você consegue concluir sobre a área exata abaixo da parábola e acima do eixo x entre as abscissas x 0 e x b De modo mais preciso expresse esta área como função de b e justifique sua resposta 40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas x y 12 1 1 1 1 a Soma inferior com n 2 x y 12 1 1 1 1 b Soma superior com n 2 x y 14 1 1 1 1 c Soma inferior com n 4 x y 14 1 1 1 1 d Soma superior com n 4 x y 18 1 1 1 1 e Soma inferior com n 8 x y 18 1 1 1 1 f Soma superior com n 8 Figura 5 Somas inferiores lado esquerdo e somas superiores lado direito para a área da parábola para b 1 Na primeira linha o intervalo 0 1 foi dividido em n 2 intervalos na segunda linha em n 4 intervalos e na terceira em n 8 intervalos Página 13 de 14 40ª Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Questão 5 O planeta Tchuplifo foi colonizado por portugueses Assim como em Portugal1 neste planeta há uma lista de nomes próprios permitidos e são permitidos apenas 344 nomes próprios Você tem disponíveis 100 moedas Considere as duas situações a seguir A Você pode comprar um número de bilhete por 100 moedas em uma rifa da qual participam também 9 habitantes do planeta Um dos números será sorteado e quem o comprou receberá então 1000 moedas B Você pode apostar as 100 moedas que neste grupo de 9 habitantes pelo menos 2 possuem o mesmo nome assumindo igualmente possíveis Vencendo a aposta você recebe 1000 moedas Em qual destas situações seria mais vantajoso você investir as suas moedas Justifique 1Veja a lista de nomes próprios permitidos em Portugal em httpsshorturlatcfqv9 Página 14 de 14