Limites e Topologia na Reta - Teoremas e Exercícios Resolvidos

Dem Supo nhamos que lim f x L xa Seja xm c X a tal que xm a Dados E 0 existe S0 tal que V x e X 0xaS sx L E Para S 0 existe no e N tal que V n no r xm a S sxm L E Portanto f xm l Supo nh que f xm L sempre que xm c X a e xo a vamos mostrar que lim f x L Supo nhamos que na ao ocora lim Sx x a L Dados E 0 I x e X 0 x a S V S 0 e 15x L 1 E Tomamos S 1 existe Xm c X tal que 0 x a 1 1n Xm e X a VneN 1 e 15xm L e 7o 15xn L E 0 Assum xn a xn c X a mas fxm 1 L Portanto lum sx L x a Exercício Para semana que vem Teorema Sejam f g X R a e X inteiro supomos que existam lim f x e lim g x x a x a 1 lim fx gx lim f x lim gx x a x a 2 lim fx gx lim gx lim gx x a xa 3 se lim gx 7 0 então Im fx gx lim go f x lim 1 n gx tilibra 24 10 23 Teorema 4 Sejam X c IR f g h X IR Se lim g x lim hx L x a x a e fx g x h x V x e X então lim gx L x a Dem Supo nhamos que lim sx lim hx L x a x a Dado E 0 existe m 0 tal que V x e X 0 xa S 5x L E hx L E ou L E S x L E e L E h x L e logo L E 5x gx 1 h x L E isto é gx L E Portanto lim gx L x a Teorema 5 Seja X c IR a e X f g X R Se lim f x L e lim gx M com L M então existe S 0 tal que xa Vx e X 0 xa S fx g x Dem Supo nhamos lim gx L M lim gx x a x a Tomamos E M L 0 exist 8 0 tal que Vx e X 0 xa S temse 5x L E ML2 gx M E ML 2 tilibra Càlculo IV Candidas Matemáticas II Topología na Retá O que é uma topologia É uma coleção de sub conjuntos de uma base espaço E que se denonima conjuntos abertos no espaço E Além disos tais coleções ácitam deterninado propiedades que recemos a seguur Vamos conteruir os conjuntos abertos em IR Definimos Seja A e IR ddamsa que x e A é ponto interior de A quando existe um intrervol aberto I a b tal que xeIcA O conjunto de todos os pontos interiores de A é chamada de interior do A e denotamos por intA É claro que int A c A se X c y ont X c int Y Uls De para X e IR Demis int X então x é não enumeural para exntêm inter valos abertos menos se X é finito ou enumeravel então int é 1mto por exemplo int W int Z int Ø Por outra lado a não enumeráveis não implica necessariamente em int f Ø por esemplo IRQ é än num ar vel e int IRQ Ø Dizemos que X e IR é um son juntos abertos quando X int X Nese sose basta contrar que X c intX Scanned with CamScanner Ex ℝ e são conjuntos abertos De fato qualquer que seja I a de C ℝ Ex Se X a de ou o de ou a o int X X X aberto 𝓍 X a de 𝓍 a de 𝓍 X o de essencialmente 𝓍 a de C X Ex X a de ou X a de ou X a de int X a de X a de U c d de c int X a de U c d Vamos mostrar que int a de a de 1º a de C int a de Se 𝓍 a de 𝓍 a de C a de logo 𝓍 int a de 2º int a de C a de 𝓍 int a de então existe um intervalo c d tal que 𝓍 c d C a de 𝓍 a de com a c 𝓍 d de logo a 𝓍 de com 𝓍 a de Teorema a Se A 1 C ℝ e A 2 C ℝ são abertos então A 1 A 2 é aberto b Seja A 𝓍 uma família de subconjuntos abertos de ℝ Então A𝓍 é aberto a Supoamos A 1 A 2 C ℝ abertos Seja 𝓍 A 1 A 2 então 𝓍 A 1 e 𝓍 A 2 Como A 1 e A 2 são abertos existem I 1 a 1 de 1 A 𝓍 a 2 de 2 tais que 𝓍 I 𝓍 C A 2 𝓍 𝓍 I 2 C A 2 Suamos a max a 1 a 2 de min de 1 de 2 𝓍 a de I 1 I 2 A 1 A 2 Esta é 𝓍 int A 1 A 2 ou A 1 A 2 é aberto 2908 23 X C ℝ ae int X I intervalo tal que a I C X X é aberto int X X int X C X 𝜀 0 m W tal que 0 12 𝜀 Teorema a Se A 1 A 2 C ℝ são abertos então A 1 A 2 é aberto b Se A 𝓍 é uma família de conjuntos abertos da reta então A𝓍 é um conjunto aberto Lema Diz I 𝓍 𝓍 L uma families de intervalos abertos tal que 𝓍 I 𝓍 𝓍 L seja I 𝓍 é um intervalo Dem Diz 𝓍 A 1 A 2 então 𝓍 A 1 e 𝓍 A 2 que são abertos Logo existem I 1 e I 2 intervalos abertos tais que 𝓍 I 1 C A 1 e 𝓍 I 2 C A 2 Logo temos I I 1 I 2 é um intervalo aberto com 𝓍 I I 1 I 2 C A 1 A 2 Logo 𝓍 int A 1 A 2 𝓍 A 1 A 2 então A 1 A 2 int A 1 A 2 é aberto b Se 𝓍 A𝓍 existe 𝜆 𝓍 tal que 𝓍 A 𝜆 𝓍 que é aberto Logo existe um intervalo aberto I tal que 𝓍 I C A 𝜆 𝓍 C A 𝓍 E 𝓍 int A𝓍 𝓍 L I A𝓍 ou A𝓍 é aberto 𝓍 L 𝓍 L Corolário Dados A A 1 A 2 𝓪 n velados A n C ℝ todos abertos 𝓍 A i é aberto Em geral 𝓃 𝓍 é verdade que A𝓍 seja 𝓍 L aberto mesmo que A𝓍 seja aberto 𝓍 L Ex A n 1n 1n é aberto n W Mas A n 0 n W não é aberto De forma geral A a 1n de 1n A n a de n W não é aberto a 1 a 1 12 a 12 1 1 Ex F 𝓍 1 𝓍 2 𝓍 n A ℝ F é aberto pois é união de abertos Cella Todo conjunto aberto é sempre uma união de abertos pois se A é aberto 𝓍 A existe um intervalo aberto I𝓍 tal que 𝓍 I𝓍 logo A I 𝓍 𝓍 A Teorema Todos subconjuntos abertos A C ℝ se representam como uma união enumerável de intervalos abertos disjuntos Para demonstrar procuramos de um lema Lema Seja I 𝓍 𝓍 L uma família de intervalos abertos tal que 𝓍 I 𝓍 𝓍 L entao I 𝓍 é um intervalo Demostração do Teorema Seja x A seja Ix a origem de todos os intervalos abertos que contém x e estão contidos em A Pelo lema anterior Ix é um intervalo aberto e além que Ix é o maior intervalo aberto tal que x Ix A Sejam dados x y A então sempre ocorre uma das duas afirmações seguintes 1º Ix Iy 2º Ix Iy De fato se Ix Iy existe z Ix Iy ou z Ix e z Iy Obtendo ao lema temos que Ix Iy é um intervalo com x Ix Iy y Ix Iy e além disso Ix Iy A Assim Ix Iy Ix Ix Iy Iy ou Iy Ix Iy Ix Ix Iy Assim Ix Iy Assim Ixx pertencem a dois a dois disjuntos E claro que A Ix x A L M Falta mostrar os enumerabilidade Já escrevemos A Ix Ix x e A λ L onde Iλ Iμ se λ μ Em casa Iλ escolhemos uma sucessão de Iλ Definimos uma aplicação Iλ rIλ Essa aplicação é injetora Pois se Iλ Iμ Iλ Iμ Como rIλ Iλ rIμ Iμ rIλ rIμ Então essa aplicação é uma injeção num mumeró parte de Q Como Q é num parte as partes também são portanto a família é enumerável 300823 Se S aos abertos da reta é uma reunião enumerável de intervalos abertos Teorema Dada a família IxλL de intervalos abertos tais que p Iλ λ L e Iλ I λ L é um intervalo aberto Dem Escrevemos Iλ aλ bλ como p Iλ então aλ p bλ λ L Logo aλ bμ λ μ L Definimos a inf aλ λ L e b sup bλ λ L a pode ser e b pode ser Afirmo que Iλ a b λ L Como Ix a b fiel então Ix a L x L Seja x a b então x a bμ em x Iλ Iλ λ L Se bλ x Como aμ bμ x bμ então x aμ bμ Iμ Iλ Portanto a b Ix λ L Na demonstração do Teorema intervalos Ix são abertos de outro Estágio de reversiblecionado I Cálculo IV a mostrar o intervalo que contém o ponto que o define Portanto a reunião enumerável é feita de forma única Dadas formas temos o seguinte resultado para os parálons Seja I um intervalo aberto da reta Se I A B com A e B sss abertos então um desses conjuntos é vazio e o outro é o próprio intervalo I Demon Com efeito A e B abertos A Iλ e λ L B Jμ onde Iλ e N M Jμ são intervalos e os reunhões são enumeráveis Assim I A Jμ M B Iλ Conjuntos Fechados Definições Seja X ℝ dizemos que x ℝ é aderente ao conjunto X quando existe uma sequência Xnn Xt o que tem xn x Nesse caso todos os elementos de X são aderentes ao X Definamos para X x ℝ x é aderente ao X que damos mas de fecha de X Um conjunto X é fechado quando X X Para provar que X é fechado basta verificar que X X Teorema O elemento x ℝ é aderente a X ℝ se e somente se ε 0 temse xε xε X Dem Supomos que xX Entrar xente xnn X tal que xn x Dado ε 0 existe n0 N tal que n n0 xn x ε ou ε xn x ε ou x ε xn x ε ou xn x ε x ε logo x ε x ε X Ø Reciprocamente seale x ε x ε X Ø ε 0 Tomamos ε 1n logo existe xn x 1n x 1n X A sequencia xnn X e xnx pois xn x 1n 0 Corolario Podemos enunciar o teorema substituindo os intevalos xε x ε para quaisquer intevalos I tais que x I Em outras palavras x X I aberto tal que x I então x X Corolario 2 Se X R é limitado superiormente e y R é limitado inferiormente entós sup X X e inf y y De fato se α sup X ε 0 α ε não é cota superior Então existe x X tal que α ε x α ε Isto é α ε α ε X Ø logo α X Teorema Um conjunto F R é fechado se e somente se Fc é aberto Dem Supons F fechado Se x Fc então x F Exista e cause um intervalo I aberto tal que x I mas I F Então I Fc Portanto Fc é aberto Resposta Fc aberto Se x F logo x Fc onde é aberto Assim existe um intervalo aberto I tal que x I I Fc isto é I F o que é o mesmo de x Fc Portanto F é fechado 120923 S Para quaisquer x y R têmse intx y intx inty e intx y intx inty Dê um exemplo em que a inclusão não se restringe a uma igualdade 1 intx y intx inty Sejam x intx y então existe um intervalo aberto I tal que x I x y logo x I x e x I y Então x intx Então I aberto tal que x I X I Y logo x intx y Se x intx y entós existe um intervalo aberto I2 tal que x I2 Y X Y Em quaisquer casas x intx y X 2 5 3 Y 3 X Y 2 5 intx y 2 5 intx inty e Se A R é aberto e a A então A a é aberto A B A Bc e A a A ac Como lavar é fechado entón Lac é aberto Sendo A aberto entón A Lac A La é aberto 11 Se X F e F é fechado então Xc F Se x X então existe uma sequência xn X F que xn x logo x F pois F é fechado 130923 30 Se X é limitada superiormente e sem fora X também é limitado superior sup X sup X Emase E parece um resultado muito parainf Como x é limitada superiormente sup x a d é esta superior de X seja x X x limxm com xm X entón qualquer esta superior de X crba mais em aparência a Listato a sup X 20 Para X Y ℝ quaisquer têmse X Ȳ X Ȳ e X Ȳ X Ȳ Dê um item falso no qual a inclusão não se reduce a uma igualdade 19 X Ȳ X Y x X Y x lim xn xn X Y Como existem infinitos termos da sequência xn juntos cobre uma parte infinita de termos de xn X e xn Y Essa parte forma uma sub de xn que convergem para x Logo x X ou x Ȳ isto é x X Ȳ 29 X Ȳ X Ȳ x X Ȳ x X ou x Ȳ De x X x lim xn onde xn X X Y logo x X Ȳ Se x Y x lim yn onde yn Y X Y logo x X Ȳ 3º X Ȳ X Ȳ Seja x X Ȳ x lim m nxn X Y logo xn Y assim x X e x Y Portanto x X Ȳ X 1 2 X 1 2 y 2 3 Ȳ 2 3 X Y Ø X Ȳ 2 Ø X Ȳ Ø 20 Se F é fechado e A é aberto então F A é fechado F A Fn A Se A é aberto o complemento de A é fechado e a interseção entre dois conjuntos fechados é fechado Logo F A é fechado para ser uma interseção de fechados 5 Para quaisquer X Y ℝ têmse intX Y intX intY e intX Y intX intY Dê um exemplo em que a inclusão não se reduza a uma igualdade 1º intX Y intX intY Seja x intX Y então existe um intervalo aberto I tal que x I X Y Logo x I X e x I Y Portanto x intX e x intY Este é x intX intY 2º intX intY intX Y Seja x intX intY então x intX e x intY Logo existem dois intervalos abertos I e J tal que x I X e x J Y Somamos H I J que é um intervalo aberto tal que H X Y e x H Portanto x intX Y De 1º e 2º têmse a igualdade 3º intX Y intX intY Seja x intX intY então x intX ou x intY De x intX então existe I intervalo aberto tal que x I X Y Logo x intX Y Se x intY então existe um intervalo aberto tal que x I₂ Y X Y Logo x intX Y Em quaisquer caso x intX Y 200923 Pontos Ide Levanduasça Estágios Superiores I Cálculo IV Desde X Ø X ℝ digamos que a ℝ é ponto de acumulação de X quando ε 0 têmse a ε a ε L a X Ø O conjunto de todos os pontos de acumulação de X é denotado por X que é chamado conjunto derivado de X Ex 1 X 1n n ℕ X 0 somente o 0 X X 0 O fecho é o conjunto unido aos conjunto derivado Ex 2 X a b X a b X X a b X X a b X a b X Cálculo IV Teorema Essa equivalência 1 a X 2 a lim xn com xn X sendo xn dada ao dados Pega 2 elementos e são distintos ou seja todos mudo é diferente 3 Esse intervalo aberto contém a possui uma infinito nulade de elementos de X 3 1 pelas definições Vamos provar que 1 2 3 Suponha a X tomando ɛ 0 existe xn a ɛ a ɛ x₁ X Somamos ɛ₂ min 12 Q x existe x₂ a ɛ₂ a ɛ₂ Seja que x0 a e x0 x1 Repetimos o processo n ℕ urate xn aƐn aƐn Ɛn min 1n a xn1 Formamos uma sequência xnn tal que xn a xn xm n m ℕ xn a n ℕ 2 3 Seja I um intervalo aberto contendo a Como a lim xn então urate m0 ℕ tal que n m0 xn I e todos são diferentes de a Portanto contém infinitos elementos de X dentro de I Corolário Se X então X é infinito Um ponto a X é donto ponto salvo de X quando não é de acumulação Ex Esses os elementos de X 1n n ℕ são isolados Teorema X ℝ temos X X X Corolário X é fechado X X Dem Se a X se a X então Ɛ 0 Q Ɛ a Ɛ X Como a X a Ɛ a Ɛ a então a X Logo X X X Como se a X ou a X logo se a X X Se a X a lim xn xn X toda u é aderente a X ou a X Portanto X X X Definição Dizemos que X ℝ é denso quando X ℝ Se A B ℝ dizemos que A é denso em B quando B A Ex ℚ é denso em ℝ Q ℝ ℝ ℚ é denso em ℝ Os algébricos são densos em ℝ Teorema Todos conjuntos X ℝ possuem uma parte enumerável e densa em X Corolário Se todos os pontos de X são salvos antes X é enumerável 26092023 7 f g h ℝ ℝ defined by fx ax b a 0 gx x² hx x³ A ℝ f¹A g¹A h¹A são abertos Dem X ℝ f ℝ ℝ f¹X x ℝ fx X f¹A são abertos quando A é aberto e fx ax b x¹A x ℝ fx A Seja x f¹A Então fx A que é aberto logo exite um intervalo I e f tal que fx I A f¹I f¹A e f¹I e f onde e e ba ou f f ba Se x f¹I e f f¹A x f¹A existe é f¹A é aberto fx x² A 2 1 f¹A Se x A x 0 A 1 1 f¹A 1 1 0 1 Como I A f¹I f¹A Como fx 0 temos duas possibilidades 1ª fx 0 fx I a l a 0 0 l f¹I f¹0 l l l Portanto x f¹I l l f¹A 2ª fx 0 podemos tomar fx I a l onde a 0 A I l l a l Logo x f¹I implica que x l a ou x a l Em qualquer caso existe um intervalo J tal que x J f¹I Logo x f¹A x intf¹A isto é f¹A é aberto 8 f g h ℝ ℝ fx ax b a 0 gx x² hx x³ A ℝ A é aberto fA idhA não altrapos Encontrar A aberto tal que gA não é aberto A1 1 é aberto fA0 1 não é aberto Como I A f1I f1A f1Ie 3I Lccessum x 3e 3I c f1A Lccessum x ant f1A x f1A visto é f1A é aberto 271092023 Conjuntos Compastos 1 seleturas e subselecutr turas Uma família A λ λ L é uma seletura para X R quando X A λ λ L Considerando L L formas mas uma subfamilia A λ λ L Dizemos que A λ λ L é uma subcobertura de A λ λ L para X quando X A λ λ L Ex Para X 2 3 A1 3 1 A2 2 0 A3 1 4 A4 2 5 X A1 A2 A3 A4 Lccessum L A1 A2 A3 A4 y forma uma seletura para X Mas A1 A2 A3 aner é uma seletura para X Lcesso L A1 A2 A3 y é uma subselecutra de A2 A2 A3 para X Quando Aλ λ L é ranshial da de abertos chamamos de seletura aberta Ex C n n2 n Z intervado É uma seletura aberta para R De fato R n n2 n Z L x R exuste in Z tal que n y n1 n2 Note que moxuste uma subselecutra de C que consega cobrir R Exsalutas 2 1 0 1 2 3 4 7 1 3 Lcessura 2 1 0 1 2 3 4 v 1 1 3 Lessuma Band Geleugu 1 Essa seletura por intervalos abertos para a de como a de e R possui uma subcobertura finata 2 Gorma Geral Se F é fechada e limitada por reta entas toda seletura para F formata de Oleutos possuir uma subcobertura fin Item 1 Sejam Iλ λ L uma cobertura formada por intervalos abertos para a de Vamos considerar o conjunto X x a de a x possui uma subcobertura finita de Iλ λ L Entre X Ø pois or 6 X existe que or a a X é denominado supremum de X pois β X β de x X 3227 sup X c É clara que c a de pois de c este supremun de X Também temos que c X De fato c a de cerate Iλ0 α β tal que c Iλ0 λ0 L logo de c não é este supreser de X Lcessum se de x X tal que de β Lzi c L Lci formata tal que a x C Iλ onde λ Lci a c C Iλ Iλ0 λ Lzi Igatta possuem que cc Sabemos que c de Se c le como c Iλ0 d β c β Somamos c R tal que c min de β Lccessum c Iλ0 Dessa forma c c Iλ0 a c C Iλ Iλ0 λ Lci correm c X mas c c sup X Pertanta c cle e or de possui uma sulo dentura finata Lema Essa sequência Ass 1 K é limitado e fechado 2 Essa estrutura aleatoria ante de K possui uma subesa leitura porta 3 Essa subconjunto infinito de K possui um ponto de acumulação 4 Essa sequência Xn C K possui uma subesquência que converge para x K Um conjunto K que satisfaça qualquer uma das 4 opções é chamada de um juntos compacto Condições BolzanoWeierstrass Essa conjunto infinito e danci todas possuir um ponto de acumulação 0 K1 K2 K3 Kn e uma cadeia decresc Ø n N então K Kn Ø e é compact n N 1 K0 é fechado K K é limitado Logo K e compacto 2 Fotta rnufacer que K Ø como Kn Ø tam mós Xm Kn Ki como K1 e compacta unta x K tal que Xn possui um SubesX com Xn X Vam mostrar que X Kn n N Como XnK X dadda n NW existe nk m e XmK0 Kn Kn u mK0 mK0 XmK KnK assim XnK X Kn m N Portanto X Kn K Ø 03402023 25 Um conjunto é dense un Re o sequência seu re seu complementar tem interior vazio X é densa um R quand X IR Xc tem interior na ŕ3te quando x Xc x é inte Xc 27 Suponhamos X densa em R justo é x lR x X logo dado x IR e ε 0 xε xε X Ø De x Xc logo ε 0 x ε x ε X Ø Logo y x ε x ε tal que y X ou y Xc pois tanto x ε x ε Xc x Xc ε 0 vista ε x int Xc x Xc com int Xc Ø Supomos que int Xc Ø onde X R Seja x R precisemos mostrar que x X Como int Xc Ø então x não é ponto interior de Xc De x X X então não há mais o que fazer Se x Xc como x não é ponto interior de Xc dado ε 0 x ε x ε Xc logo existe y x tal que y Xc y X y x ε x ε Isto é x ε x ε X Ø Loms x X Portanto X IR e X é dense R U X X X x IR x é ponto de acumulação de X x X quando dado ε 0 x ε x ε x X Ø Deixa x X U Y Se x X e x Y existem ε1 e ε2 positivos tais que x ε1 x ε1 x X Ø e x ε2 x ε2 x Y Ø tomamos ε min ε1 ε2 x ε xε x ε1 xε1 x ε2 x ε2 Logo x ε x ε X Ø x ε x ε x Y Ø Loms x ε x ε x X U Y Ø Logo x X U Y Reciprocamente se x X U Y então x X ou x Y ou seja x X U Y Se x X dado ε 0 x ε x ε x X Ø Como X X U Y então x ε x ε x X U Y Ø Loms x X U Y Analogamente se x Y x X U Y Logo X U Y X U Y Portanto X U Y X U Y Essa x é Ab abduta e tal a Se A é aberto A intA para x A existe ε 0 tal que x ε x ε A Dado δ 0 x δ x δ x ε x ε é um intervalo aberto I tal que I x x ε x ε x A Logo x δ x δ x tem infinitos elementos de A isto é x δ x δ x A em x A 04102023 45 a Se A é compacto e B é fechado então A B é fechado b Se A e B são compactos então A B e A B são compactos c Se A é fechado e B é compacto A B fechado mas não ser fechado a A B x y x A e y B Se A é compacto A é limitado e fechado ou ainda todas sequências em A possuem uma subsequência convergenteSeja z A B z limzn tal que zn A B logo zn xn yn onde xn A e yn B como A é compacto xn possui uma subsequência xn convergente para x A Em yn temos a subsequência yn correspondente a xn essa yn xn yn é uma subsequência de yn e converge para y B As subsequências xn de xn correspondente as yn e tal que xn x yn xn yn é uma subsequência de zn e zn x y z Como xn x yn zn xn logo z x BB forma z x y A B portanto A B é fechado b Pelo item a A B é fechado como A e B são limitados A B também é limitadoDe fato existam L M 0 tais que x L x A y M y B então x y x y L M x y A B Seja zn A B assim zn xn yn onde xn A e yn B z A B existe zn A B tal que zn z zn xn yn xn é uma sequência que é subsequência de 1n assim xn 0 a completar 47 f g h R R fx a x b gx x2 hx x3 K e L compactos fK gK hK f1L g1L h1L são compactos Seja yn fK yn fxn com xn K xn K possui uma subsequência xn tal que xn x K fxn axn le a x be fK Sejam yn é uma subsequência de yn tal que yn y a x b fK portanto fK é compacto Vamos mostrar que g1L é compacto Seja xn g1L e gxn L gxn L que é compacto Sejam vxn sequências de gxn y L Sejam xn y com xn 0 y 0 e xn sqrt y ou xn sqrt y Se xn sqrt y g1x g1L yxn é uma subsequência de xn 11012023 Limite De Funções Definições Seja f XR uma função e a X dizemos que Llim fx quando dado E0 existe 80 tal que VxX 0xa8 fxL E L L 3 O limite lim fx L xa esses tem sentidos opostos a X Pois casas continuam antes é a X existe 80 tal que V8 pa a8 a 5 n X a Então fV8a E L L L R a X1 f X R Se lim fx L1 e lim fx L2 então L1 L2 Dem Suponha lim fx L1 e lim fx L2 então dado E 0 existe 81 0 e 82 0 tal que x X 0 xa 81 fx L1 E2 x X 0 x a 82 fx L2 E2 Tomando 8 min 8 1 8 2 então x X 0 x a 8 0 x a 81 e 0 x a 82 fx L1 E2 e fx L2 E2 L1 L2 L1 fx fx L2 L1 fx fx L2 E2 E2 E L1 L2 4 E E 0 L1 L2 0 L1 L2 Teorema 2 Seja X R f X R a X Se existe lim fx então lim gx L Se Y xa I n X onde I é um intervalo aberto contendo a Seja g f Y restrição Se lim fx L então lim g x L Se Y x a I n X onde I é um intervalo aberto contendo a e x f Y g gx fx x Y g Y R lim gx L então lim fx L Dem Suponha que lim fx L e g f Y e com Y C X Dado E 0 existe 8 0 tal que x X 0 x a 8 fx L E Seja Y C X e a Y defina g f Y restrição Se lim fx L então lim g x L Sejam x Y C X 0 x a 8 fx L E gx L E logo lim gx L Suponhamos agora lim g x xa existe g f y com y x I onde I é um intervalo aberto contendo a Podemos conservar I a 81 a 81 com 81 0 Dado E 0 8 0 de que conservando V 8 a Y a a 81 a 82 gV 8 a C L L Tomamos 8 81 x X a a 8 a 8 x Y e x a 8 a 82 C a 81 a 81 x X e x I x X I Y x VgYa gx fgx L ε L ε Portanto fVgxXa L ε L ε lim fx L x a fx ε L m L l m L 2 m L m m L m εgx 2 Assim x X 0 x a δ temse fx m L 2 gx 2 1 lim fx 0 δ 0 al que x x 0 x a δ fx 0 2 Se fx gx x X lim fx L e lim gx m x a x a então L M Dem 1 Basta tomar gx 0 x X Assim lim fx L 0 x 0 L M δ 0 x X 0 x a δ gx fx fx 0 2 p q q p fx gx L M teorema 6 seja X R f X R a X então lim fx L sr e somente se Vxn X com xn a xa limse fxn L Dizemos que lim fx x a A 0 δ 0 tal que x X 0 x a δ fx A Dizemos que lim fx x a A 0 δ 0 tal que x X 0 x a δ fx A Dizemos que lim fx x a A 0 δ 0 tal que x X a x a δ fx A Dizemos que lim fx x a A 0 δ 0 tal que x X a δ x a fx A Dizemos que lim fx x Dado ε 0 δ 0 tal que x X x δ fx ε Ex1 y X U 0 g y IR g é contínua se e somente se lim gx g0 lim f1x x0 x0 4 Seja f X IR ycX fy Y IR sua restrição A f é contínua em todos os pontos de y B fy é uma função contínua A B Verdadeiro B A Falso Nem sempre a recíproca é verdadeira Teorema Toda restrição de uma função contínua é contínua Seja f X IR a e X I um intervalo aberto tal que a I Tomando y X I X a y Se fy é contínua em a então f é contínua em a Dum Se a é isolado em Y então a é isolado em X logo f é contínua em a Caso contrário lim fyx fya fa Sabemos que o limite lim fx lim fyx fa xa xa xa Portanto f é contínua em a Ex1 y X U 0 g y IR g é contínua se e somente se lim gx g0 lim f1x x0 x0 4 Seja f X IR ycX fy Y IR sua restrição A f é contínua em todos os pontos de y B fy é uma função contínua A B Verdadeiro B A Falso Nem sempre a recíproca é verdadeira Teorema Toda restrição de uma função contínua é contínua Seja f X IR a e X I um intervalo aberto tal que a I Tomando y X I X a y Se fy é contínua em a então f é contínua em a Dum Se a é isolado em Y então a é isolado em X logo f é contínua em a Caso contrário lim fyx fya fa Sabemos que o limite lim fx lim fyx fa xa xa xa Portanto f é contínua em a 08 011 13 FUNÇÕES MONÓTONAS As funções monótonas se classificam em 4 tipos 1 não crescentes x y fx fy 2 não decrescentes x y fx fy 3 Decrescentes x y fx fy 4 Crescentes x y fx fy Teorema Deixar X IR f X IR monótona e limitada a X e b X Existem L lim fx e M lim Sx xa xb Dem Supondo f nãodecrescente tomamos L inf fx x X x a e M sup fx x X x b Vamos mostrar que L lim fx e M lim fx De fato dado ε 0 L ε não é uma cota inferior de fx x X x a Existe δ 0 tal que a δ X e fa δ será 2 fa δ L ε Assim x X com a x a δ Sendo f não decrescente fx fa δ L ε fx L ε logo lim fx L o outro limite M lim fx segue por analogia Exercicio para entregar Funções Contínuas Def Sejam f X R e a X Dizemos que f é contínua em a quando dado ε 0 existe δ 0 tal que xX x a δ fx fa ε Obs 1 A continuidade em a exige que aX diferente da existência do lim fx aX xa 2 Se a é ponto isolado de X dom f então f é contínua em a 3 Se aX então f é contínua em a se e somente se lim fx fa xa 1 Dem 2 Seja a um ponto isolado de X aX existe δ 0 tal que aδ aδ X a Assim ε 0 x X x a δ x a fx fa fa fa 0 ε Dizemos que f é contínua em X quando f é contínua em a a X Ex f X R X 1 12 13 1n então f é contínua pois todos os seus pontos são isolados 2 Limites Infinitos lim fx xa lim fx xa lim fx xa lim fx xa lim fx xa lim fx x lim fx x lim fx x lim fx x Vamos as definiçoes Dizemos que lim fx L Dado ε 0 A 0 tal que x X x A fx L ε Para lim fx basta colocar A 0 o resto é igual Para cima Limites Laterais Denotamos por X o conjunto dos pontos de acumulação à direita e por X dos que são à esquerda a X quando dado ε 0 a a ε X a X quando dado ε 0 aε a X Seja f X R e a X L R é o limite à direita de fx quando x a e denotamos lim fx L quando ε 0 δ 0 tal que x X a x a δ fx L ε De forma análoga para que a X lim fx L quando ε 0 δ 0 tal que x X a δ x a fx L ε Teorema Seja X R f X R a X X Então existe lim xa fx L lim xa fx lim xa fx e lim xa fx lim xa fx Dem Exercício para entregar semana que vem Obs De acordo com a definição de limite desconsideramos o próprio a pode ou não pertencer ao conjunto De retiramos essa condição isto é x a δ e não 0 x a δ 1 Se a X não há diferença com ou sem a condição pois x X x a δ x X 0 x a δ 2 Se a X então lim Sx L quando dado ε0 δ0 tal que x X x a δ Sx L ε Nesse caso como a X e a a 0 δ Sa L ε ε 0 Portanto L fa Ex1 1 f ℝ0 ℝ fx x xx lim fx x x x 1 0 1 1 x 0 x como x positivo lim Sx x x x 1 0 1 1 x 0 x x 0 x 0 ℝ x 0 x 0 x 0 x 0 lim fX para lim fx lim sx x 0 x 0 Ex2 f ℝ0 ℝ fx 1x lim Sx x 0 lim Sx x 0 Ex3 fx e 1x lim Sx 0 lim x 0 e 1x lim fx vai tender a valores muito pequenos x 0 Limite no Infinito limites Infinitos e indeterminações 1 limites no infinito lim fx ou lim fx x x tilibra