Exercico de Integral

Lista de exercícios Calculo Integral UEMA Bacabal Matemática Professor Caio Renan Eu ouço eu esqueço Eu vejo eu lembro Eu faço eu aprendo Nome do Alunoa 1 Seja f ab R contínua em ab do teorema fundamental do calculo temos que ddx ax ftdt fx 1 dessa formula faça o que se pede abaixo aCalcule ddxgx onde gx 1x e5t sen212tdt b Use a igualdade ba ftdt ab ftdt a regra da cadeia ddxgu ddugu dudx e a igualdade 2 para calcular a ddx x21 t41t21 dt Dica nesse caso u x2 2Mostre que se f aa R é uma função impar então aa fxdx 0 dica para calcular a integral 0a fxdx use a mudança de variável g 0a a0 dada por gx x Frações parciais 3 Calcule as integrais usando método das frações parciais a 5x4x2x1 dx b 4x222x72x3x22 dx c 6x220x18x12x3 dx d 6x222x18x1x2x3 dx e 2x1x1x1 dx f 3x221x31x2x32 dx g x24x10x1x22x8 dx h 2x3x222x24x19 dx 4Ainda tratando sobre frações parciais como poderíamos realizar a seguinte integração indefinida AxBx2pxqk dx 2 onde AB constantes reais não nulas k é um número natural maior igual a 2 e as raízes do denominador são complexas p2 4q 0 Resolvendo cada item abaixo você obterá uma formula recursiva para essa integração indefinida dependendo de k aFaça uma manipulação algébrica para obter a igualdade AxBx2pxqk dx A2 2xpx2pxqk dx B A2 p dxx2pxqk b Use uma técnica de integração para mostrar que 2xpx2pxqk dx 11kx2pxqk1 C c Use complemento de quadrado perfeito e depois a substituição t x p2 e q p24 m2 para garantir que Ik dxx2pxqk dtt2 m2k d Justifique cada detalhe da seguinte passagem Ik dtt2 m2k 1m2 t2 m2 t2t2 m2k dt 1m2 dtt2 m2k1 1m2 t2t2 m2k dt Depois mostre que ddt 12k1t2 m2k1 tt2 m2k 2 e Use uma integração por partes e o item d para mostrar que t2t2 m2k dt 12k1 t 1t2 m2k1 dtt2 m2k1 f Usando o item d e e obtenha a expressão recursiva Ik t2m2 k1t2 m2k1 2k32m2 k1 Ik1 onde Ik1 dtt2 m2k1 gCalcule a integral indefinida I1 h Use Ik para calcular a integral 45xx2 x 12 dx Dica primeiro decomponha essa integral em uma soma de integrais uma que pode ser resolvida por substituição e a outra que pode ser calculada usando Ik Potências Trigonométricas 5 Calcule as integrais usando o método das potências trigonométricas e frações parciais a dx1cosx2 b dx5 3cosx c dx4 5senx d senx1senx dx e sen3x cos2x dx f cos3x dx g sen4x cos2x dx h cos7x dx i tan6x sec5x dx Substituição trigonométrica 6 Calcule as seguintes integrais 3 a a² x² dx b dx x x² 1 c x² 3 x² dx d dx 4 x² e x³ 9 x² dx f dx 25x² 4 7 Toda função RiemannIntegrável é contínua Se não dê um contraexemplo 1 A gx from 1 to x e5t sin²1 2t dt Queremos encontrar ddx gx Pelo Teorema fundamental do cálculo se temos uma função gx definida como gx from a to x ft dt Então a derivada de gx em relação a x é simplesmente fx ddx gx ddx from a to x ft dt fx Neste caso ft e5t sin²1 2t Portanto substituímos t por x em ft para encontrar a derivada de gx ddx gx e5x sin²1 2x Então a resposta é ddx gx e5x sin²1 2x B ddx from x² to 1 z⁴ 1 z² 1 dt Primeiro vamos inverter os limites de integração usando a propriedade from a to b ft dt from b to a ft dt Então temos ddx from 1 to x² z⁴ 1 z² 1 dt ddx from 1 to x² z⁴ 1 z² 1 dt Agora aplicamos a regra da cadeia Seja u x² Então precisamos encontrar ddu from 1 to u z⁴ 1 z² 1 dz dudx Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos ddu from 1 to u z⁴ 1 z² 1 dz u⁴ 1 u² 1 Substituímos u x² x²⁴ 1 x²² 1 x⁸ 1 x⁴ 1 Agora calculamos dudx onde u x2 dudx ddx x2 2x Finalmente multiplicamos os resultados e aplicamos o sinal negativo x8 1 x4 1 2x 2x x8 1 x4 1 Portanto a resposta é 2x x8 1 x4 1 2 Uma função f é ímpar se fx fx para todo x no domínio de f A integral de a a a pode ser dividida em duas integrais de a a 0 e de 0 a a Assim temos aa fx dx a0 fx dx 0a fx dx Agora vamos usar a substituição u x na primeira integral ou seja a0 fx dx Então x u e dx du Quando x a u a e quando x 0 u 0 Portanto a integral se torna a0 fx dx a0 fu du a0 fu du Como f é uma função ímpar fu fu Substituindo isso na integral temos a0 fu du a0 fu du a0 fu du Podemos inverter os limites de integração o que muda o sinal da integral a0 fu du 0a fu du Agora substituímos essa expressão de volta na integral original aa fx dx a0 fx dx 0a fx dx a0 fu du 0a fx dx Como 0a fu du 0a fx dx temos aa fx dx 0a fx dx 0a fx dx 0 Portanto aa fx dx 0 quando f é uma função ímpar