Fundamentos de Cálculo: Mudança de Variáveis e Integração por Partes

Exemplochapter Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 1 23 Fundamentos de Calculo Daiana Oliveira dos Santos UNIFESP Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 1 23 Mudanga de variavel Sejam f eg tais que Img C Dy Suponhamos que F seja uma primitiva de f Entao Fgx é uma primitiva de fgxgz de fato pela Regra da Cadeia F9x Fg29z fg29 2 Portanto J floeo de ga onde k é uma constante arbitrdria Assim se fizermos a mudanca de varidvel ou substituigao u gx temos Payo dx toon da Fgak 1 Plu k Pwau 2 ou escrevendo F f obtemos a Regra da Substituigao LF Fale92 de f Fu de fgxga dx f fu du 3 Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 223 Encontre f 2aV1 a dz Fazemos a substituicaéo u 1 x entdo sua diferencial é du 2xdz Pela Regra da Substituicao poviveas Viv erede vid 4 2 32 2 232 Calcule f 75a dz Se fazemos u 1 2 teremos du 4x3 dx Como 4x nao é constante r 1 42 1 4x dx d dz e lem t4a3 a Isto nos mostra que a mudanca u 1 x4 nao resolve o problema Entretanto se fizermos u x teremos du 2x dx assim x 11 1 1 5 Regra da substituicao em integrais definidas Se g for continua em ab e f for continua na variagao de u gx entao b o dr gb d 2 fG2gw dx 2 fu du Seja F uma primitiva de f Entaéo Fgx é uma primitiva de fgxgx logo pelo 2TFC temos b fgxgx dx Fgb Fga a Por outro lado aplicando uma segunda vez o 2TFC também temos gb 0 7 seoau Few Fa Fata ga ga Calcule Jie V2x 1 dz Fazendo u 2x 1 temos du 2dz ou 5 du dx Quando 1 r 3 u 0 quando x 1 u1 Assim 1 1 1 1 1 1 12 1 V2e1 dr vi au5 Vu du u3 12 0 2 2 Jo 23 5 3 Integragao por partes A Regra da Substituicéo para integracéo corresponde a Regra da Cadeia para diferenciacgéo A Regra do Produto para diferenciagao corresponde a uma regra chamada de integracao por partes Sejam fg ab diferencidveis em ab Entao para cada x ab vale fxga fx gx Fxg2 ou seja fxgx fz ga fxg2 Como fxgax é uma primitiva de fxg se existir uma primitiva de fxgx entéo também existird uma primitiva de fagx e valera a f6rmula de integragao por partes J fxga da fagx f faga da 6 Integragao por partes Notagao alternativa Tomando u fx e v gx temos dufxdx e dvgxdx e podemos reescrever 6 como fudvw fvdu Calcule f x sen x dz Suponha fz a e gx sen x Entao fr 1 e gx cosz Assim Je sen x dx xcos x 1cosa dz x cosxsen x k Calcule f arctg x dz tenldx du aretg 2 ax 7 arctg cldx wv v du arctg x x Ta de uU du 1 wxarctg x 5 In1 a k8 Combinando a férmula de integracéo por partes com o 2TFC podemos avaliar integrais definidas por partes Sejam f e g duas funcoes com derivadas continuas em a b entaéo b b Ja fa gx da Fedato Ja fx gx da a Integragao por partes Calcule fi clnade t 2 t t 2 2 t 1 t 1 x Ine dv Ine 5 eSint5 fede iw 2 Jo 2 2 2 g Of Ww wee f fi 9g Po 12 Pint ae Int lInt 2 22 2 4 4 Aplicagoes de integrais Consideremos uma particula que se desloca sobre 0 eixo x com equagao de posigéo x xt e com velocidade v vt continua em a Sabemos que a t vt ou seja xt é uma primitiva de vt Portanto pelo 12 2TFC temos b vt dt 2b 2a 8 a que é o deslocamento da particula entre os instantes a e b Para calcular a distancia percorrida durante o intervalo de tempo teremos que considerar os intervalos quando vt 0 e também quando vt 0 Portanto definimos por b J lelae 9 a o espaco percorrido pela particula entre os instantes a e b Aplicagoes de integrais Se ut 0 para todo t a b entao 8 e 9 implicam que o espaco percorrido pela particula e o seu deslocamento coincidem entre os instantes a e b e sao iguais a b vt dt a que determina a area do conjunto limitado pelas retas t a t b pelo eixo Ot e pelo grafico de v vt Veja a figura abaixo ut Zoo Go Daiana Oliveira dos Santos reper 1223 Aplicacoes de integrais Seja c a b e suponha que vt 0 em 0 c e vt 0 em c b conforme a figura 6 A1 A2 t b a v vt vt Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 13 23 Aplicagoes de integrais Entao o deslocamento da particula é dado acima ou seja b 2b 2a vt dt Ay Ay a mas 0 espaco percorrido entre os instantes a e b é dado por 9 ou seja b c b juniae oyat f vtdt A Ap a a c Logo neste caso deslocamento e espaco percorrido nao coincidem Aplicagoes de integrais Uma particula deslocase sobre 0 eixo x com velocidade ut 2 t a Calcule 0 deslocamento entre os instantes t1 e t3 b Calcule 0 espaco percorrido entre os instantes 1 e 3 c Interprete 0 movimento 3 2 3 Deslocamento 2tdt 2 5 0 1 1 3 2 3 Espaco percorrido 2 tdt 2 t dt 2tdt 1 1 1 2 Interpretagao em 12 a velocidade é positiva o que significa que neste intervalo a particula avanga no sentido positivo em 23 a velocidade é negativa o que significa que neste intervalo a particula recua de tal modo que em 3 ela volta a ocupar a mesma posicao por ela ocupava no instante t 1 Calculo de Areas Queremos determinar a area de diferentes regioes Comecaremos pelo problema de achar a area de uma regiao A que esta sob a curva de uma funcao Caso 1 Seja f contınua em a b com fx 0 para todo x a b Queremos calcular a area do conjunto A do plano limitado pelas retas x a x b y 0 e pelo grafico de y fx conforme a figura a seguir Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 16 23 Calculo de Areas Loo N a 1 Z Oo a b b A fv fada Calculo de Areas A area do conjunto do plano limitado pelas retas x 0 x 1 e pelo grafico de fx x2 e 1 3 Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 18 23 Calculo de Areas Caso 2 Seja A o conjunto hachurado conforme mostra a figura A A p ees OO a of Logo b b area A fxdx fxdz a a Observe que como fa 0 para todo x ab temos b b fadx 0 fxdx 0 a a Calculo de Areas Caso 3 Seja A o conjunto hachurado conforme a figura abaixo LD Loa a aad b Entao c d b b Area A fade fade Fade Fa de Calculo de Areas Caso 4 Considere A o conjunto hachurado da figura seguinte 6 B b g f A1 A2 a R 1 Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 21 23 Calculo de Areas Entao A é 0 conjunto dos pontos xy R limitado pelas retas x a x be pelos graficos das fungdes f e g onde fx gx para todo x ab Segue que b b b area A fx gx dx fadax gxdx a a a Observagao No Caso 4 acima temos fp fadx A B b J 9 B Ag Portanto f gwdx Ay Ap a Em geral a area entre as curvas y fz e y gx e entre rae xrbé b fx gx da Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 22 23 Calculo de Areas Calcule a drea do conjunto A zy R a y Jz Temos que r y Ve 02 1 Portanto 1 1 area A x xdx 3 0