Cálculo Diferencial e Integral - Questões Resolvidas sobre Integrais de Superfície e Multiplicadores de Lagrange

CORRETO o que se afirma em A I e III apenas B I e II et C I e III apenas D III apenas E II e III apenas CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL QUESTÃO 16 Considere S uma superfície paramétrica suave com equação vetorial definida por ruv x uv Tuv z uv com uv D Então sabese que a área da superfície de S pode ser calculada AS Jr ν x ν IdA onde τv x 1 2 Y Za τu u v u k x y z Xu León Y v k É possível calcular a integral de superfície xyzdS a partir da aproximação da área de uma parte de S pela área de um paralelogramo aproximador do plano tangente e mesmo quando D não for retangular temos xyzdS Jf u v ν x ν IdA Com base nessas informações podese afirmar que a integral de superfície dada por na superfície x y z é CR está 55 x² ds QUESTÃO 17 Estando sempre à procura de generalidade e elegância no tratamento de problemas Lagrange sugeriu o uso de multiplicadores de Lagrange para fornecer um algoritmo elegante e simétrico para determinação de máximos e mínimos de uma função como fxyz sujeita a um vínculo ou restrição gxyz k Para empregar este método introduzimos uma constante λ determinar k A e formamos a função VL Vg pois V é paralela a Vg supondo V g 0 Depois eliminamos o multiplicador de Lagrange A e resolvemos para obter os valores procurados de x y e z Por fim devese calcular o nos pontos xyz e o maior desses valores vai ser o máximo e o menor vai ser o mínimo BOYER C B MERZBACH U C História da matemática São Paulo Editora Blucher 2012 adaptado A respeito do método dos multiplicadores de Lagrange considere a seguinte situação Suponha que dois pontos genéricos Pr x1yz e x2y2z2 pertençam à superfície dada pela equação x 1 e que estão mais próximos da origem 000 Considere a distância destes pontos à origem dada pela função xyz x y z² e a restrição deste problema dada por qxyz xy xy Diante das informações apresentadas assinale a alternativa que corresponde às coordenadas destes pontos P1 e P2 A P101 e P 101 B P100 e P100 C P010 e P0 10 D P001 e P001 E P110 e P 1 10 QUESTÃO 18 Através da Geometria podese calcular áreas de polígonos e do círculo Esse conhecimento pode ser utilizado para a cálculo de áreas de regiões que possam ser divididas em um número finito de regiões não sobrepostas ou setores circulares Quando a região não pode ser decomposta dessa maneira por exemplo não consegue ser limitada para o cálculo de sua área Assim algumas situações exigem ferramentas auxiliares na obtenção de áreas como exemplo as regiões existentes sob uma curva ou as regiões entre duas curvas Para tais situações utilizamse os cálculos envolvendo a Integral Definida Considerando o texto analise a seguinte situação Lucas reformou a área de lazer de seu sítio Modificou o formato da piscina e a delineou em um formato parecido com uma folha A piscina é a região limitada pelas curvas x ex y x6 Marque a alternativa que apresenta o valor da área da piscina A 1256 ua B 1106 ua C 1056 ua D 953 ua E 773 ua QUESTÃO 19 O cálculo de uma integral dupla quando realizado pela definição ou considerando o em que x e y são pontos médios dos intervalos xi xi1 e y1 yl correspondente nem sempre é trivial No entanto ao expressar uma integral dupla como uma integral iterada é possível facilitar a resolução podendo fazêla unidimensionalmente Então se f for uma função contínua em um retângulo R xya s x b c y s d segundo o Teorema de Fubini a integral IR pode ser reescrita como fxy dydx A 45 B 65 C 5 D 55 E 6 QUESTÃO 20 Considere uma curva fechada C com orientação positiva e contínua por partes e D sendo uma regi