Fundamentos de Matemática: Módulo 1 - Conjuntos

MÓDULO 1 CONJUNTOS UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA O SABER QUE VOCÊ MERECE raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 2 Bemvindoa ao curso de Fundamentos da Matemática Conjuntos que visa aprimorar os conhecimentos sobre a parte introdutória de conjuntos e suas propriedades a igualdade de conjuntos e as definições que envolvem os subconjuntos conjunto das partes e complementar de um conjunto finalizando com as operações entre conjuntos e os conjuntos numéricos Nesta etapa de aprendizado você será estimulado partindo do conheci mento das noções de conjuntos a compreender todas as propriedades resolver problemas que envolvam igualdade de conjuntos e subconjuntos operar de forma prática com os conjuntos das partes e complementar de um conjunto além de se familiarizar e verificar as relações existentes en tre os conjuntos numéricos Bom estudo CAROA ALUNOA raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 3 Ao final deste percurso esperase que você seja capaz de 1 Compreender o conceito e as notações de conjuntos bem como identificar quais as propriedades que irá utilizar ao caso concreto com especial destaque para as propriedades da união e da intersecção 2 Compreender o conceito de igualdade de conjuntos e de subconjuntos destacando a propriedade da inclusão e encontrando os subconjuntos além de calcular a quantidade de subconjuntos de um conjunto 3 Compreender o conceito de conjunto das partes e complementar de um conjunto verificando todos os elementos que correspondem ao conjunto das partes e saber a definição de diferença entre conjuntos aplicada ao conceito de complementar de um conjunto resolvendo assim todos os problemas que envolvam a sua utilização 4 Compreender as definições de todos os conjuntos numéricos bem como a relação entre eles verificando em exercícios o conjunto universo a ser utilizado e suas limitações OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 4 A utilização dos conjuntos surgiu antes mesmo de termos os conceitos inseridos em livros isto porque não só o homem mas também várias espécies de animais como os insetos utilizamse na prática de vários tipos de conjuntos desde os tempos mais remotos para a própria sobrevivência e organização Exemplo disso são as formigas que armazenam de forma ordenada os ovos dentro de local específico do formigueiro bem como em outros locais onde reúnem os alimentos Desde o início da vida humana este que passou a viver em sociedade de forma agrupada acabava por se reunir para realizar a caça com as armas que eram semelhantes todos usavam lanças flechas ou armas do tipo para que juntos pudessem abater um animal e ter comida Com base nos apontamentos podemos dizer que um conjunto é uma reunião um grupo uma coleção de objetos etc Os elementos de um conjunto são tais que guardam características semelhantes características estas que originaram a criação deste conjunto Quando pensamos em conjunto dentro da Matemática pensamos em um grupo de elementos que seguem uma determinada regra que os aproxima que os assemelha 1 INTRODUÇÃO E NOÇÃO DE CONJUNTOS 1 NOÇÃO DEFINIÇÃO DE CONJUNTO raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 5 Ainda dentro da evolução humana com a criação de animais e do cultivo do solo iniciaram os escambos trocas bem como a compra e venda dos insumos e dessa forma foram criados os Conjuntos Numéricos que se originaram de forma simples com o conjunto dos números naturais em que somente números positivos eram necessários e o zero que representava a ausência de elementos Nesse primeiro momento as operações como a soma e a multiplicação eram facilmente aplicadas uma vez que a multiplicação poderia ser operacionalizada como a quantidade de vezes que um número iria se repetir Com a limitação existente por exemplo na impossibilidade da aplicação deste conjunto numérico quando o que se retirava de um conjunto era maior do que o que se recebia fazendo com que o resultado não fosse encontrado no conjunto dos números naturais foi criado o conjunto dos números inteiros abrangendo os números negativos e assim por diante todos os conjuntos numéricos foram criados como forma de ocupar uma lacuna existente nos conjuntos anteriores Sobre o assunto conjuntos numéricos as nomenclaturas propriedades e exercícios serão explorados no capítulo 7 deste ebook Importante destacar antes mesmo de iniciarmos nosso estudo de Conjuntos é o fato de que seu conceito é basilar dentro da Matemática tanto pura quanto aplicada uma vez que toda análise desde a mais simples até a mais específica e complexa leva em consideração um conjunto Universo definição a seguir dentro do qual é extraída uma amostra parte de interesse que será utilizada para as observações e raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 6 experimentos Os conceitos de conjuntos bem como as operações relações proprieda des e especificidades serão sempre utilizados por você caro aluno não só na vida acadêmica mas profissional As representaçõesnotações clássicas utilizadas para indicar um conjunto e seus elementos são a ENUMERAÇÃOCITAÇÃO a DESCRIÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS e o DIAGRAMA DE VENN Quando representamos um conjunto atribuímos uma letra maiúscula do nosso alfabeto como o nome desse conjunto por exemplo conjunto A conjunto B e assim por diante Conjunto dos números pares entre 2 e 20 P 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Conjunto dos números ímpares entre 1 e 9 I 1 3 5 7 9 Conjunto dos estados da região sudeste do país SUDESTE SP MG RJ ES 2 EXEMPLOS DE CONJUNTOS 3 NOTAÇÕESREPRESENTAÇÕES DE CONJUNTOS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 7 Os elementos do conjunto são representados entre chaves e separados por vírgulas A seguir veremos as representações mais usuais de conjuntos ENUMERAÇÃOCITAÇÃO A 3 8 12 20 23 DESCREVENDO AS CARACTERÍSTICAS B x x é par e x 2 A leitura que se faz é a seguinte o conjunto B é formado pelo elemento x de tal forma que x é um número par e x é maior do que 2 Portanto temos que B 4 6 8 10 12 DIAGRAMA DE VENN O diagrama de Venn consiste na representação gráfica dos conjuntos Geralmente representamos por uma figura geométrica qualquer o con junto e em seu interior colocamos os elementos de forma a facilitar a visualização destes e as relações existentes entre os conjuntos A 1 2 3 4 5 B 4 5 6 7 A B 1 2 3 4 5 6 7 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 8 Dado um determinado conjunto A 1 2 3 4 5 Podemos indicar se um determinado elemento pretence ou seja se um elemento encontrase no seu interior ou se o elemento não pertence ao conjunto Da definição temos que 2 A 1 A 7 A 4 ELEMENTOS DE UM CONJUNTO E RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA PERTENCE NÃO PERTENCE A 1 2 3 4 5 A relação de inclusão surge quando falamos de dois ou mais conjuntos Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem a outro conjunto B dizemos que o conjunto A está contido em B e que B contém A de forma análoga quando pelo menos um elemento de A não pertence ao 3 NOTAÇÕESREPRESENTAÇÕES DE CONJUNTOS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 9 conjunto B dizemos que A não está contido em B e que B não contém A Podemos concluir que A B B C C B É o conjunto que possui apenas um elemento Ex A 1 É o conjunto que não possui elementos O conjunto finito é um conjunto limitado em termos de elementos enquanto o conjunto infinito é ilimitado em termos de elementos 6 CONJUNTO UNITÁRIO 7 CONJUNTO VAZIO 8 CONJUNTO FINITO E CONJUNTO INFINITO Dados os conjuntos A 1 2 3 B 1 2 3 4 5 C 6 7 8 ESTÁ CONTIDO CONTÉM NÃO ESTÁ CONTIDO NÃO CONTÉM raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 10 É o conjunto formado por todos os elementos a serem considerados dentro de um problema Todos os elementos estão contidos no conjunto universo 9 CONJUNTO UNIVERSO QUER SABER MAIS SOBRE O ASSUNTO Para saber mais sobre a Teoria dos Conjuntos acesse FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR 1 Capítulo 3 I até V Disponível em httpswww2unifapbrcafisfiles202003FundamentosdeMatematicaElementarVolume 1ConjuntoseFuncoespdf Representamos a União ou a Reunião de dois ou mais conjuntos pelo símbolo Quando pensamos em União devemos pensar em formar um novo conjunto composto por todos os elementos de todos os conjuntos Exemplos Aa b c B b c d 2 PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS UNIÃO OU REUNIÃO raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 11 Importante lembrar que não devemos colocar duas vezes os elementos b e c quando representamos o conjunto União assim temos A B a b c d Aa b c d B e f g h Como os elementos de A são diferentes dos elementos de B a união entre A e B é representada por A B a b c d e f g h Para que x AB x A ou x B A leitura que se faz é a seguinte para que x pertença à União entre A e B condição necessária é a de que x pertença a A ou x pertença a B A intersecção entre dois ou mais conjuntos consiste na representação dos elementos que os conjuntos têm em comum e apenas estes diferente da união que é representada por todos os elementos dos conjuntos Dados os conjuntos A1 2 3 4 B 3 4 5 Temos que a intersecção A B 3 4 INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 12 Dados os conjuntos A1 2 3 B 4 5 6 Temos que A B A intersecção é o conjunto vazio uma vez que este por definição pertence a todos os conjuntos Para que x A B x A e x B A leitura que se faz é a seguinte para que x pertença à intersecção entre A e B necessário que x pertença a A e x pertença a B Quaisquer que sejam os conjuntos A e B a união de A e B e a intersecção de A e B ainda são conjuntos do mesmo universo em que se está trabalhando Qualquer que seja o conjunto A temse que A A A e A A A FECHAMENTO REFLEXIVA raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 13 Quaisquer que sejam os conjuntos A e B temse que A A B B A B A B A A B B A B A B B A B A B A Propriedade Idempotente A A A Propriedade Comutativa A B B A Propriedade Associativa A B C A B C Elemento Neutro A A INCLUSÃO INCLUSÃO RELACIONADA PROPRIEDADES DA UNIÃO raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 14 Propriedade Idempotente A A A Propriedade Comutativa A B B A Propriedade Associativa A B C A B C Elemento Neutro A U A A B C A B A C A B C A B U A C A A B A A A B A PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO PROPRIEDADES MISTAS DISTRIBUTIVA DA UNIÃO EM RELAÇÃO À INTERSECÇÃO DISTRIBUTIVA DA INTERSECÇÃO EM RELAÇÃO À UNIÃO raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 15 Para que não contemos mais do que uma vez os elementos comuns entre os conjuntos temos que a quantidade de elementos da União é igual à soma dos elementos dos conjuntos subtraída da quantidade de elementos da intersecção comuns entre eles nA B nA nB n A B A diferença entre um conjunto A e um conjunto B é igual aos elementos de A que não fazem parte de B e viceversa A1 2 3 4 B3 4 5 6 C A B 1 2 x A B x A e x B A B é diferente de B A 21 QUANTIDADE DE ELEMENTOS DA UNIÃO A B 22 DIFERENÇA DE CONJUNTOS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 16 Dados dois conjuntos A e B dizemos que estes são iguais se todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto B e todo elemento do conjunto B pertence ao conjunto A A1 2 3 4 B1 2 3 4 Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos de A são elementos de B A1 2 3 4 B1 2 B é subconjunto de A pois todo elemento de B é elemento de A 3 IGUALDADE DE CONJUNTOS 4 SUBCONJUNTOS QUER SABER MAIS SOBRE O ASSUNTO Para saber mais sobre propriedades dos conjuntos acesse FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR 1 Capítulo 3 I até V Disponível em httpswww2unifapbrcafisfiles202003FundamentosdeMatematicaElementarVolume 1ConjuntoseFuncoespdf raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 17 O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto Todo conjunto é subconjunto dele mesmo 1 MACK Seja o conjunto A 3 3 e as proposições 1 3 A 2 3 A 3 3 A Então a apenas as proposições 1 e 2 são verdadeiras b apenas as proposições 2 e 3 são verdadeiras c apenas as proposições 1 e 3 são verdadeiras d todas as proposições são verdadeiras e nenhuma proposição é verdadeira 41 PROPRIEDADE DA INCLUSÃO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO CONJUNTOS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 18 2 INSPER Dentro de um grupo de tradutores de livros todos os que falam alemão também falam inglês mas nenhum que fala inglês fala japonês Além disso os dois únicos que falam russo também falam coreano Sabendo que todo integrante desse grupo que fala coreano também fala japonês podese concluir que necessariamente a Todos os tradutores que falam japonês também falam russo b Todos os tradutores que falam alemão também falam coreano c Pelo menos um tradutor que fala inglês também fala coreano d Nenhum dos tradutores fala japonês e também russo e Nenhum dos tradutores fala russo e também alemão 3 PUCRIO Sejam x e y números tais que os conjuntos 0 7 1 e x y 1 são iguais Então podemos afirmar que a x 0 e y 5 b x y 7 c x 0 e y 1 d x 2 y 7 e x y 4 UDESC Considere em um conjunto universo com sete elementos os subconjuntos A B e C com 3 5 e 7 elementos respectivamente É correto afirmar que a A B C tem no máximo dois elementos b A B C tem no mínimo um elemento c B C tem três elementos d A C tem no mínimo dois elementos e A B pode ser vazio raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 19 5 UFES Se A23 m815 e B35n1013 são subconjuntos de Z números inteiros e A B3810 então a n m A b n m B c m n A B d mn B e m n mn A 6 EFOMM Seja A 1 2 12 Considere as afirmações I 1 A II 2 A III A IV 12 A Estão corretas as afirmações A I e II B I e III C III e IV D III E I raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 20 7 UERN Num grupo de 87 pessoas 51 possuem automóvel 42 possuem moto e 5 pessoas não possuem nenhum dos dois veículos O número de pessoas desse grupo que possuem automóvel e moto é a 4 b 11 c 17 d 19 8 VUNESP Suponhamos que A B a b c d e f g h A B d e e A B a b c então a B f g h b B d e f g h c B d B d e e B a b c d e 9 INSTITUTO AOCP De acordo com os seus conhecimentos envolvendo conjuntos assinale a alternativa que com certeza é possível afirmar a Se o conjunto A tem 2 elementos e o conjunto B tem 5 elementos então A B tem 7 elementos b Se o conjunto A tem 5 elementos e o conjunto B tem 4 elementos então A B tem 4 elementos c Se A 1 2 3 e B 0 1 4 5 então A B 0 4 5 d Se A B A tem 3 elementos e B tem 4 elementos então A B tem 7 elementos e Se A 1 e B 1 3 4 então B A 1 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 21 10 IBADE Quantos subconjuntos possui o conjunto das vogais a 10 b 25 c 32 d 50 e 56 11 ITA Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A B e C quaisquer I A negação de x A B é x A ou x B II A B C A B A C III A B B A A B A B Destas é são falsas a apenas I b apenas II c apenas III d apenas I e III e nenhuma 12 CESGRANRIO Se A e B são conjuntos A A B é igual a a A b B c A B d A B e A B raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 22 13 UDESC Seja A o conjunto dos naturais menores que 10 e seja B outro conjunto tal que A B A A B é o conjunto dos pares menores que 10 Então o conjunto B é a vazio b A B c x N x3 10 d x N x é par e qualquer conjunto de números pares que contenha A B 14 PUCPR Sejam A B e C 3 conjuntos finitos Sabendose que A B tem 20 elementos B C tem 15 elementos e A B C tem 8 elementos então o número de elementos de A C B é a 27 b 13 c 28 d 35 e 23 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 23 Sendo A um conjunto qualquer temos que o conjunto das partes representado por PA é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A EXEMPLOS A a b Subconjuntos a b a b Então PA a b a b B1 2 3 Subconjuntos 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 Então PB 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 NÚMERO DE SUBCONJUNTOS A quantidade de subconjuntos de um conjunto A que possui n elementos é igual a 2n 5 CONJUNTO DAS PARTES QUER SABER MAIS SOBRE O ASSUNTO Para saber mais sobre subconjuntos e conjuntos das partes aces se FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR 1 Capítulo 3 VI até X até Disponível em httpswww2unifapbrcafisfiles202003FundamentosdeMatematicaElementarVolume 1ConjuntoseFuncoespdf raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 24 Dados dois conjuntos A e B dáse o nome de diferença entre A e B ao conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem ao conjunto B A B x x A e x B A B é diferente de B A EXEMPLOS A a b c d e f e B b c g A B a d e f B A g A 1 2 3 e B 1 2 3 4 A B B A 4 A a b c e B d e f A B A B A B 6 COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO 61 DIFERENÇA DE CONJUNTOS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 25 O complemento do conjunto B contido no conjunto A denotado por C A B é a diferença entre os conjuntos A e B ou seja é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B Sejam A e B dois conjuntos e seja U o conjunto universo existem duas propriedades que são dadas pelas Leis de De Morgan sendo elas A B c Ac B c A B c Ac B c EXEMPLOS A1 2 3 4 5 B 2 3 Para achar o complementar basta fazer A B 1 4 5 62 COMPLEMENTAR OU COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO 64 LEIS DE DE MORGAN 63 OUTRAS NOTAÇÕES raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 26 1 Sabendo que B é o conjunto dos números pares entre 1 e 19 qual é a quantidade total de subconjuntos que podemos construir a partir dos elementos desse conjunto 1 Dado um conjunto A representase por PA o conjunto formado por todos os subconjuntos de A o chamado conjunto das partes que também costuma ser representado por 2A Se A ΦΦ11 qual das alternativas seguintes NÃO é elemento de PA a Φ b Φ1 c 1 Φ1 d ΦΦ e 11 2 Sabendo que A é um conjunto composto por dois elementos e B é um conjunto composto por três elementos ainda que A e B são subconjuntos de um mesmo conjunto universo calcule a o número de subconjuntos de A b o número de subconjuntos de B c o número máximo de subconjuntos de A B EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO CONJUNTO DAS PARTES EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO CONJUNTOS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 27 2 Conhecendo o conjunto A 0 1 8 5 7 9 defina o conjunto B de modo que 3 MACKENZIE Sendo A 1 2 3 5 7 8 e B 2 3 7 então o complementar de B em A é a b 8 c 8 9 10 d 9 10 11 e 1 5 8 4 Se A1 B01 e E012 então é o conjunto a b 0 c 1 d 0 2 e 1 2 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 28 5 UFSC Sejam A e B dois conjuntos onde A B possui 134 elementos e A B possui 49 elementos Se A possui 15 elementos a mais do que B então o números de elementos de A é 6 UECE Se X e Y são conjuntos tais que X possui exatamente 20 elementos e Y possui exatamente sete elementos então podese afirmar corretamente que a a união do conjunto X com o conjunto Y tem no mínimo sete elementos e no máximo vinte elementos b a interseção do conjunto X com o conjunto Y tem no máximo sete elementos c se X Y a diferença X Y terá seis elementos d se X Y a diferença X Y será o conjunto vazio 7 ITA Denotaremos por nx o número de elementos de um conjunto finito x Sejam A B C conjuntos tais que nAUB 8 nAUC 9 e nBUC 10 nAUBUC 11 e nABC 2 Então nA nB nC é igual a a 11 b 14 c 15 d 18 e 25 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 29 8 UFC Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento em comum Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N o número de elementos do conjunto M N união é a o triplo do número de elementos de M b o triplo do número de elementos de N c o quádruplo do número de elementos de M d o dobro do número de elementos de M e o dobro do número de elementos de N Vimos no início do nosso material que os conjuntos numéricos surgiram da necessidade do homem de representar as operações matemáticas que eram feitas em seu cotidiano assim de forma representativa temos os seguintes conjuntos numéricos Formado pelo número zero e todos os números positivos N 0 1 2 3 4 5 6 7 Conjunto dos números naturais não negativos em que se exclui o zero N 1 2 3 4 5 6 7 7 CONJUNTOS NUMÉRICOS 1CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 30 Formado por todos os números naturais e por todos os números negativos Z 2 1 0 1 2 Formado pelos números inteiros positivos e negativos com exceção do zero Z 2 1 1 2 É exatamente igual ao conjunto dos números naturais Z 0 1 2 3 4 É exatamente igual ao conjunto dos números naturais não nulos Z 1 2 3 4 5 Os inteiros não positivos são formados apenas pelos números negativos e o zero Z 3 2 1 0 2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS INTEIROS NÃO NULOS INTEIROS NÃO NEGATIVOS INTEIROS POSITIVOS INTEIROS NÃO POSITIVOS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 31 Pode ser definido como o conjunto dos quocientes formado pela divisão entre dois números inteiros Quando podemos dividir dois números inteiros lembrando que o numerador número de cima pode ser qualquer número inteiro inclusive o zero mas o denominador número de baixo não pode ser o zero então temos Os números racionais podem ser decimais exatos como por exemplo 25 que resulta em 04 Os números racionais podem ser dízimas periódicas como por exemplo 13 que resulta em 03333 Ambos os casos decimais exatos ou dízimas periódicas podem ser representados na forma de fração portanto são números racionais Os inteiros negativos são formados pelos números negativos sem contar os positivos e o zero Z 3 2 1 3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS INTEIROS NEGATIVOS Q Q raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 32 Pergunta comum a se fazer é porque números como o 2 5 7 e semelhantes ou seja números inteiros são considerados números racionais e a resposta é a mesma da definição eles podem ser escritos na forma de fração a saber 21 51 e 71 Composto por números que não podem ser representados na forma de fração Não há como representar tais números como frações Exemplos 2 14142 5 223606 π 314159 É formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o dos números irracionais O símbolo é a letra R 4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRACIONAIS 5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 33 6 REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS 1 IFAL Assinale a alternativa verdadeira a A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre um intervalo numérico b Se C 13 então 1 C mas 3 C c Se D 26 então 2 D e 6 D d A união de dois conjuntos numéricos pode ser um conjunto vazio e 12467 1 7 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO CONJUNTOS NUMÉRICOS R raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 34 2 UFF2000 Com relação aos conjuntos afirmase I P Q P II Q P 0 III P C Q IV P Q Q Somente são verdadeiras as afirmativas a I e III b I e IV c II e III d II e IV e IIII e IV 3 UFF Segundo o matemático Leopold Kronecker 18231891 Deus fez os números inteiros o resto é trabalho do homem Os conjuntos numéricos são como afirma o matemático uma das grandes invenções humanas Assim em relação aos elementos desses conjuntos é correto afirmar que a o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional b a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional c entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional d entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional e a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 35 4 CETAPDados os conjuntos A x N x é par e x 8 B x N x 3 C x Z x é impar e 1 x 9 Determine o conjunto C AB a b O c 357 d 579 5 Mackenzie Se A xN x é divisor de 60 e B xN 1 x 5 então o número de elementos do conjunto das partes de AB é um número a múltiplo de 4 menor que 48 b primo entre 27 e 33 c divisor de 16 d par múltiplo de 6 e pertencente ao conjunto xR 32x 40 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 36 6 PUCMG Considere os seguintes subconjuntos de números naturais N 01234 P x N 6 x 20 A x P x é par B x P x é divisor de 48 C x P x é múltiplo de 5 O número de elementos do conjunto A B C é a 2 b 3 c 4 d 5 e 6 7 UFSM Dados os conjuntos A x IN x é impar B x Z 2 x 9 e C x IRx 5 o produto dos elementos que formam o conjunto A B C é igual a a 1 b 3 c 15 d 35 e 105 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 37 8 Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos visando a públicos distintos Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão Os catálogos C1 C2 e C3 terão respectivamente 50 45 e 40 páginas Comparando os projetos de cada catálogo ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum C1 e C3 terão 6 páginas em comum C2 e C3 terão 5 páginas em comum das quais 4 também estarão em C1 Efetuando os cálculos correspondentes o fabricante concluiu que para a montagem dos três catálogos necessitará de um total de originais de impressão igual a a 135 b 126 c 118 d 114 e 110 9 UFBA Trinta e cinco estudantes estrangeiros vieram ao Brasil 16 visitaram Manaus 16 São Paulo e 11 Salvador Desses estudantes 5 visitaram Manaus e Salvador e desses 5 3 visitaram também São Paulo O número de estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo foi a29 b 24 c 11 d 8 e 5 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 38 10 VUNESP Uma pesquisa realizada com 80 pessoas sobre os carros A B ou C que elas já tiveram identificou que nenhuma delas teve somente o carro A ou somente o C e apenas 2 delas tiveram os três carros Identificou também que apenas 30 dessas pessoas tiveram somente o carro B e o A e apenas 2 pessoas tiveram somente o B e o C Sabendose que o número de pessoas que tiveram somente A e C é igual ao número de pessoas que tiveram somente B então é correto concluir que o número total de pessoas que tiveram C é igual a a 21 b 23 c 25 d 27 e 28 11 FCC O número de matriculados nas disciplinas de Cálculo Estatística e Microeconomia é 150 Sabese que 12 deles cursam simultaneamente Microeconomia e Estatística e que 80 deles cursam somente Cálculo Os alunos matriculados em Microeconomia não cursam Cálculo Se a turma de Cálculo tem 96 alunos e a de Estatística 35 o número de alunos na turma de Microeconomia é a 12 b 47 c 7 d 28 e 23 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 39 Livro aprofunde seu conhecimento sobre a teoria dos conjuntos bem como os cálculos envolvidos dentro dos conjuntos numéricos lendo o capítulo 1 páginas 09 à 16 do livro Matemática comercial e financeira e fundamentos de estatística 1ª edição 2014 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbooks9788536531038 pageid16 Neste ebook você foi apresentado aos assuntos Introdução e noção de conjuntos e propriedades dos conjuntos em que foram abordados além dos conceitos introdutórios e a definição de conjuntos as notações possíveis as representações as relações de pertinência e os elementos de um conjunto e as principais propriedades que envolvem o assunto Ainda dentro das propriedades especial destaque se deu às propriedades da união da intersecção e às propriedades mistas Igualdade de conjuntos e subconjuntos em que foram elencados além dos conceitos de igualdade e conjuntos e subconjuntos a propriedade da inclusão tópicos estes que foram amplamente explorados em exercícios e exemplos 8 ESTUDO COMPLEMENTAR 9 CONSIDERAÇÕES FINAIS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 40 Conjunto das partes e complementar de um conjunto em que foram apresentadas além das definições de conjunto das partes e complementar de um conjunto a fórmula para calcular a quantidade de subconjuntos as leis de De Morgan e vários exemplos que envolviam a diferença de conjuntos e os demais tópicos supracitados Operações entre conjuntos e conjuntos numéricos tópico em que foram mostrados todos os conjuntos numéricos bem como os subconjuntos dentro destes somado com vários exemplos de aplicações em operações com conjuntos numéricos e exemplos de uso do Diagrama de Venn Toda a parte conceitual foi aprofundada com diversos exercícios de fixação e indicação de material complementar Até lá Bons estudos raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 41 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AVILA GS S Análise Matemática para Licenciatura Brasil Blucher 2006 IEZZI G Murakami C Fundamentos de Matemática Elementar 1 Conjun tos e Funções Brasil Atual 1977 HORIGUTI Augusto M DONADEL Juliane Matemática comercial e finan ceira e fundamentos de estatística 1ª edição 2014 Editora Saraiva 2014 9788536531038 Ebook Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacom brbooks9788536531038 Acesso em 03 mai 2022 MORALES A G Chacón L C Matematica Preuniversitaria Chile Universi dad Nac Del Litoral1981 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 42 1 D 2 E 3 B 4 B 5 A 6 E 7 B 8 B 9 D 10 C 11 E 12 E 13 B 14 A Basta aplicar a definição e chegará na igualdade Assista a videoaula RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO CONJUNTOS PROPRIEDA DES EXERCÍCIODE FIXAÇÃO LEIS DE DE MORGAN 1 512 2 4 1 C 2 a 8 9 7 b 8 7 3 E 4 D 5 99 6 B 7 D 8 E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO CONJUNTO DAS PARTES EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO CONJUNTOS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 43 1 B 2 B 3 D 4 D 5 A 6 A 7 B 8 C 9 A 10 D 11 B EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO CONJUNTOS NUMÉRICOS raphael coelho brum braggio 34034403896