Calculo de Integral

e y 7x exy f xy2 y2 x 1 dx x2 y 2xy x2 2y 2x 2 dy 0 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Questão 1 Seja a equação diferencial dydx 7x exy Reescrevendo a equação diferencial acima temos dydx 7x exy dydx 7x ex ey ey dydx 7x ex ey dy 7x ex dx Integrando ambos os lados da equação temos ey dy ey 7x ex dx 7 xex dx Pelo Método de Integração por Partes temos u dv uv v du Seja u x e dv ex dx então dudx 1 du dx v dv ex dx ex Aplicando o Método de Integração por Partes temos 7 xex dx 7 xex ex dx 7 xex ex dx 7 xex ex 7xex 7ex 7xex 7ex 7x 7 ex Logo seguese que ey 7x 7 ex C ln ey ln 7x 7 ex C y ln 7x 7 ex C ln 7x 7 Cex ex ln 7x 7 Cex ln ex ln 7x 7 Cex x Portanto a solução geral da equação diferencial é y ln 7x 7 Cex x Questão 2 Seja a equação diferencial xy2 y2 x 1 dx x2 y 2xy x2 2y 2x 2 dy 0 Reescrevendo a equação diferencial acima temos xy2 y2 x 1 dx x2 y 2xy x2 2y 2x 2 dy 0 y2 x 1 x 1 dx y x2 2x 2 x2 2x 2 dy 0 y2 1 x 1 dx y 1 x2 2x 2 dy 0 y 1 x2 2x 2 dy y2 1 x 1 dx y 1 y2 1 dy x 1 x2 2x 2 dx Integrando o lado esquerdo da equação temos y 1 y2 1 dy y y2 1 dy 1 y2 1 dy Seja u y2 1 então dudy 2y du 2y dy dy 12y du Logo seguese que y y2 1 dy 12u dy 12 ln u 12 ln y2 1 1 y2 1 dy arctg y Integrando o lado direito da equação temos x 1 x2 2x 2 dx x 1 x 12 1 dx Seja u x 12 1 então dudx 2x 1 du 2x 1 dx dx 12 x 1 du Logo seguese que x 1 x 12 1 dx 1 2u du 12 ln u 12 ln x2 2x 2 Desse modo temos que 12 ln y2 1 arctg y 12 ln x2 2x 2 C Portanto a solução geral da equação diferencial é 12 ln y2 1 arctg y 12 ln x2 2x 2 C