Geometria Analítica - Equação do Plano e Funções Vetoriais - Cálculo II

Aula 2 231024 O PLANO Todo do plano e obida se conhecemos Po Xo Yo Zo perturbante ao pleno n vetor ortoganal normal a ele n abc 000 um vetor ortogonal um pleno Pi que passa por Po Deja p x y z Ek n Pop 0 abc p p0 0 a b c x1 43 Xo Yo Zo 0 axx0 b yy0 c zzo 0 ax by cz d em que d a xo b yo c abc eo vetor normao co pleno OBSERVAÇÃO A equação ax by c3 d represe ta um pleno cujo vetor normae e n a b c A equaçao PPo n representa um pleno cujo vetor normae n e que passa por Po EXEMPLO Encontre a equação do plano que passa para um ponto Po 1 3 2 9 3 b 6 e R 5 2 0 PASSO 1 representor solução Os vectores PQ e PE pertencem co pleno com base nas propriedades do produto vectoria ag PR e PR e o vetor normal ao plano Propriedade PQ n PR Pr 0 1 PR n PLR PR 0 PQPRO PQ n RE 0 CÁLCULO VETOR Po Q Pa 214 4 PE R P 43 2 PASSO 2 PRODUTO VETORIAL PQ n PE u 3 x 8i 16j 2k 2u 4 z n 2 1 6 k 4i 4j partendo um vector Agrupando 3i 20j 14k 000 Pela propriede PR não e paarelo a PB Portanto PR e PA são linearmente indepen dente L I Então formam a base Como pertacem a pleno segue que o plano e geraco por eles dois Qualquer outro vetor do pleno se escreve como combinação linear dos dos Portanto PR n PR é orthogonal ao pleno que queremos encontrar portanto o produto vectar é o vetor normal n 12 20 14 PASSO 3 NORMAL PASSO 4 NORMAL E PO EQAIINA Pit x y z E t n1 X1 3 1 3 2 0 12 20 14 x1 y3 z2 0 12 x1 20 y3 14 z2 0 12x 20y 14z 12 60 28 100 12x 20y 14z 100 6x 10y 7z 50 FunÇÕES Vetcrais m 2 n 3 Rm F IR2 F dominio de f e o conjuntoo de pontos onde a rege faz sentido IMF Ft t E I funções do f imagem le escrevemos Ft F1t F2t Fn t então Fi I R EXEMPLO Seja F t 3 ln 3t Ve Enon tre seu dominio Solução F1 t t3 F2 t ln 3t Dominio F3 t t 0 DF3 R3 DF2 3 t 0 3 t F3 0 Assim DS 03 F F cálculo 2 aula 2 2110 0 Cálculo 2 aula 1 1910 Escalar u x1 xn e v y1 yn em Rn definanos o produto escalar de u ev pelo número u v x1y3 x2y2 x2yn Exemplo un 1 2 4 e v 2 3 5 u v 1 2 73 45 2 21 20 39 Propriedades Se Ul u v w Rn e Xe enton ao seguintes pop são validas i u u ul2 ii u v v uly iii u v w u v u w iv ull aXull Ca1v uv v 0 v 0 em que 0 0 0 Teorema Se 0 A é o ângulo entre os vetores ul e v de Rn então u v ul v cos LEI DOS COSSENOS ul vI u v 2 ul 11 v cos C2 a2 b2 2 ab cos pela lei dos cossenos uv uv ul p v 2 2 ull v 11 cos U v u uly u ul uiv 2 U V 2 Va cos 0 U v Ul v cos 0 não cobra isso só mostrando propriedade OBSERVAÇÃO Se 0 0 ou u produco escalar 1 os vetores são 0 0 π U O D Corolário Se 0 g é o ângulo entre os vetores não nulos u e y então cos 0 u v u v EXEMPLO Determine o ângulo entre os vetores u 72 1 e V 5 3 2 normal 0 Ângulo ul 722 12 9 3 u 57322 38 ul vi produto escalar u v 25 2 3 12 10 6 2 função inversível cos 0 u v 2 0 0 2 calaculadora Dizemos que dois vetores não nulos u e v são perpendiculares ortogonais denotamos u v se o ângulo entre eles e 712 90 Produto escalar 0 Note que se entre u v e X2 então u v ul v cos 27 0 Se u e v são vetores não nulos e u v 0 então 0 u v ul v cos 0 cos 0 0 0 nãos nulos 012 Portanto Dois vetores u e v são ortogonais se e somente se u v 0 vale ida e volta obs Por convenção o vetor nulo v 0 0 v 0 v E Rn o vetor nulo e ortogonal a qualquer vetor do Rn Exemplo Mostre quer vetores 22 1 e ortogonal á 5 4 2 solução 2 2 1 5 4 2 2 5 2 4 1 2 10 8 2 30 10 0 e ortogonal 1 l 1 cálculo 2 aula 2 2110 1 Produto Vetorial Definição Sejam u x1 x2 x3 V y1 y2 y3 vetores em R3 O produto vetorial de u e v eo vetor u x v X2 Y3 i X1 X3 j X1 Y2 k Forma para DECORAR PRODUTO VETORMAL u x v y Z Z X Y i j k i E C Resolve igual DETERMNANTE DE MATRIZ X2Y3i x3Y1j X1y2k Y1X2 k y2x3i y3x j Y3 X1 j x2 y3 y X3 x3 ly y3 X1 i X1YZ y1XZ k EXEMPLO Se u 1 3 4 e V 2 7 5 Ento uxv solução v x v ortogonal u x v u 0 u x v u u x v v u v 43 13 1 134 43 39 4 0 u x v v 43 13 1 2 7 5 0 PROPRIEDADES Sejam u x1 x2 x3 e v y1 y2 y3 em R3 Ento a u x v u 0 e u x V v 0 seja u x v u e na vol b Se 0 0 é o ângulo entre u e v então u x v u v sen 0 u é paralco à v múltiplos 4 se u x v 0 Demonstrando de c u e v são paralolos tamén són paralelos sóo estao em sentidos e Portanto por b temos u u u v u x u 0 sem comprimento vetor nulo E CUSÃO DA RETA p0 Xo Yo Zo P x y z v a b c e vi 7 Soja Ps x1 y 2 1 c fixe po xo yo zo com e seja v a b c e L Podemos representa o ponto x y z como ote OPo Po P OP 0 origem 000 xo yo 70 x y z xo 4o 20 x yo z Como Po 1 V existe t E R Po Po t v Portanto o Po t v x y z xo yo 70 t a b c t e IR æequação vetorica da reta que passa por Po xo262 qumi direção v a b c e x y 2 xo yo 30 t a b c t e IR Os equações paramétricas da reta são x Xo ta y yo 14 z Jo te te IR EXEMPLO Determine as eq vetorial e paramétricas de ma reta que passa pelo ponto P 513 que é paralela ao vetor 142 solução x y z 51 3 t 14 2 s 5 t 1 4 t 3 2t t e R Os eq paramétricas da reta são X 5 t y 1 4t z 3 2t t e IR Exemplo Seja f a função dada por ft t 2t Calcule o f0 e f1 b Desenhe a imagem Solução f0 0 2 0 0 0 substitui em f1 1 2 1 1 2 t b Imf x y ℝ² x t e y 2t Ft t ε I x t representa y 2t curva y 2x x y t 2t 00 t12 y 2 Imf 1 0 x 1 equação vetoria1 imagem função no gráfico Imf é uma reta passando por 00 e cujo vetor direcional e 1 2 aula 3010 Uma função vetoria1 e seu limite f J ℝ ℝ³ é uma f vetorial ft f₁t f₂t f₃t para cada t I Se ft é isso determinamos o limite como ℝℝ 1 Lim Ft lim f₁t lim f₂t lim f₃t ta ta ta ta desde que existam para todo i variando de 1 a 3 exemplo Determine lim f t em que ft 1 t³ t e sen tt t0 solução lim Ft t0 limite existe função contínua substitui pelo valor do limite e contínua e contínua lim Ft lim t0 1 t³ lim t0 t e lim t0 t 1 0 1 propriedades b Função contínua Uma função vetorial F I ℝ³ e dita contínua em α I se lim ft Fα ta Em termos de 1 f e contínua em ta se lim ft Fa ta 3 Uma função vetorial F e contínua exemplo 1 Esboce a imagem da f 1 t 2 5t 1 6t Solução e função adm contínua Imf x y z ℝ³ x 1 t y 2 5t z 1 6t x y z 1 t 2 5t 1 6t 1 2 1 t 1 5 6 domínio ℝ reais t ℝ imagem é uma reta passando por 1 2 1 cuja direção e a do vetor 1 5 6 exemplo 2 Seja Ft cos t sen t t 0 2π Esboce a imagem de F solução Imf x y ℝ² x cos t y sen t se x cos t e y sen t t 0 2π x² y² cos²t sen²t 1 thus x² y² 1 y sen t x cos t t 0 2π Exemplo 3 Esboce a imagem da curva F 0 2π ℝ² t 2 cos t sen t solução Imf x y ℝ² x 2 cos t y sen t p1 fazer a relação x²4 y² 1 eleva ao quadrado x²4 y² cos² t sen² t 1 x²4 y² 1 elipse Exemplo Esboce imagem de Ft cos t sen t 1 t 0 2π solução Imf x y z x cos t y sent z 1 x y z ℝ³ x cos t y sen t 1 x y z ℝ³ 3 1 qualquer n 1 x y 3 ℝ³ x cos t y sen t z ℝ x y 3 ℝ³ z 1 x y 3 Imf então x cos t y sen t e z 1 p sen t s A e cos t sen t 1 B ΔE2 A B Imf seja x y z A B x y 3 A e x y 3 B xcos t ysen t e zℝ e x y ℝ e z 1 x y 3 Imf a q 3 3 representa um plano paralelo ao plano XY a b c vetor normal 0 0 1 orthogonal entre 3 1 é paralelo co Plano do chão substituindo z 1 ep do plano ax by cz d a eq x² y² 1 em ℝ³ representa um cilindro com circular centro 001 e raio 1 1 z 1 x 1k² z k 2 retas x 1k ² ne k 1 P responder a pergunta esboça a imagem da curva Ft cos t sen t 1 Imf A B Portanto Imf é o círculo situado no plano z 1 cuja centro e 0 0 1 e o raio 1 no ℝ² x² y² 1 e cilíndro circular Se interceptar no plano dá um círculo Até agora depois a expressão da curva e pedirms o seu esboço Porém podemos ter a descrição geométrica da curva e pedir sua expressão algébrica obs 540 exemplo Determine uma função vetorial que representa a curva obtida interceptando o cilindro x² y² 1 em ℝ³ com o plano z y 2 solução C curva Xe o ponto x y z C satisfy que x² y² 1 7 3 2 y 2 Z x² 2 z² 1 por eq paramétrica t 0 2π tal que x cos t y 2 z sen t então x cos t y sen t z 2 sen t t 0 2π usar eq x² y² 1 Portanto Ft cos t sen t 2 sen t t 0 2π 4 0612 Aula 0612 Definição Sejam F I ℝ³ Fa lim h 0 Fa h Fa h Se F e diferenciável em todos os pontos de I dissemos simplesmente que F e diferenciável Geometricamente Fa h Fa 0 h 1 As h 0 Fa h Fa h e paralelo a I a h Fa Se h 0 o vetor a h Fa tenderá p1 a porção do vetor tangente Fa a curva F em Fa Definição Seja F I ℝ³ diferenciável em a I com Fa 0 Neste caso dizemos que Fa e o vetor tangente a F em Fa A reta da eq vetorial x y z Fa t Fa t ℝ e chamada reta tangente a F em Fa Teorema Sol sen 3t sen F b em que 4t 3t Pelo regra da cadeia Derivada de sen 3tz sen3 tz 3tz cos 3 tz 3 3 cos 3 tz etz² etz² tz² etz² 2t 2t etz² t² 2 exemplo ft sen 3t etz² t Calcule sua derivada 1ª e 2ª a dft dt b df0 dt c d²ft dt pelo teorema onteus df dt t 3 cos 3 tz 2t etz² 2t etz² 0 b em zero cos 0 1 3 0 1 c d²Ft dt d dt df dt F3 sen 3t 3 2 etz² 2t e tz² 0 exemplo Ft t 2 t Determine reta tng a imagem de F no ponto F1 1 1 Sol ft t 2 t t t ¹² ¹² t¹² 1 ¹² t ¹² 1 f1 12 1 00 Existe reta tangente pois f1 00 Portanto a eq da reta tangente à f no ponto f1 é xy f1 λ f1 11 λ 12 1 λ R DI esboço reta tangente Dmfxy R xt e y2t elevando o quadrado e substituindo um no outro xt y2x² sabendo que x0 x0 y2 x2 y0 Identificando ponto F1 mesma direção do vetor ex plano ax by cz d x y 0 vetor normal e ab c 110 z x² em R² é um parábola R³ é um cilindro parabólico no plano 3x² y k apanhada no plano z k OPERAÇÕES com funções Sejam f G I R³ e F I R funções Definimos a f G I R³ f gx Fx Gx xI b f f I R³ λfx λ fx λ R e λ I R c f G I R F Gx fx Gx F₁x G₁x F₂x G₂x F₃x G₃x em que F F₁ F₂ F₃ e G G₁ G₂ G₃ d ƒG I R³ i j k f₁x f₂x f₃x g₁x g₂x g₃x resolve como determinante Exemplo ft t t² 2 lista e Gt 3 t t produto escalar F Gt Fx Gx t t² 23 t t 3t t³ 2t Calcule F G FG tF 2Ft 3Gt Regras de Derivação Sejam f G I R³ e f I R funções diferenciáveis Então F G f F FG e f G são diferenciáveis e valemos seguintes regras a ddt f Gt dFtdt dGtdt b ddt f pt dftdt Ft ft dFtdt em R e R³ c ddt F Gt dftdt Gt ft dGtdt d ddt fGt dfdtt Gt Ft dGdt aula 1603 Definição Seja Fab R³ uma função vetorial Se cada uma das funções coordenadas é integrável F₁ F₂ F₃ ab R então dizemos que F é integrável e sua integral é ₐᵇFx dx ₐᵇF₁xdx ₐᵇF₂x dx ₐᵇF₃ x dx exemplo Seja Ft 2 cos t sen t 2 t t R Calcule ₀ᴨ2Ft dt Sol como F₁t 2 cos t F₂t sen t e F₃t 2 t são contínuas em 0 π2 então integráveis ₀ᴨ2 2 cos t dt 2 sen t primitiva 2 sen t₀π2 2 ₀ᴨ2 sen t dt cos t₀π2 cos π2 1 1 ₀ᴨ2 2 t dt t²₀π2 π2² 0² π²4 Portanto ₀ᴨ2 ft dt 2 1 π²4 Comprimento da Curva Obs calcula comprimento de curvas no R² ou R³ ex Ft t t² t 11 Dmf xy x t e y t² xy y x² Qual o comprimento da imagem de F Seja Definição seja Fab R³ uma curva derivável em ab com fab R contínua Definimos o comprimento de F por LF ₐᵇ ft dt vetor tangente Justificativa do porque disso está no exercício exemplo encontre curva que representa o círculo de equação x² y² r² r 0 e calcule o comprimento Sol xy r cos t r sen t parametrizando t 0 2π ft r cos t r sen t ft r sen t r cos t é contínua LF ₀²π r dt r ₀²π dt r t₀²π 2πr exemplo desenhe curva que representa segmento de reta ligando os pontos A a a₂ a₃ e B b₁ b₂ b₃ e calcule o seu comprimento sol AB B A AB tB A Ft A t BA A t BA a₁ a₂ a₃ t b₁ a₁ b₂ a₂ b₃ a₃ t 01 ft b₁ a₁ b₂ a₂ b₃ a₃ B A LF ₀¹ B A dt B A ₀¹ dt B A exemplo Calcule o comprimento da curva Ft cos t sen t t p1 t 0 2π sol Ft cos t sen t t p1 t ft sen t cos t 1 ft sen t² cos t² 1 sen² t cos² t 1 11 2 LF ₀²π ft dt ₀²π 2 dt 2 ₀²π dt 2 t ₀²π 22 π exempo Seja F 0 2π R² Pt cos t sen t e G 0 π R Gt cos 2t sen 2t ambas as funções representam o círculo x² y² 1 note que Dmf DmG LF 2π LG ₀ᴨ sen 2t 2 cos 2t 2 dt ₀ᴨ 2 dt 2 ₀ᴨ dt 2π OBS Uma mesma curva pode ser parametrizada ou representada por mais de 1 função vetorial O comprimento de uma curva não depende da sua parametrização só muda a velocidade Exercício Mostre que Ft t t² t³ t 32 2 e Gt eⁿ eⁿ² e³ⁿ u 0 ln 2 parametrizam a mesma curva em R² e LF LG 1 t 2 0 ln 3 u ln 2 Definição Seja F ab R³ F F₁ F₂ F₃ curva onde seja contínua tal que f a b R³ é contínua e ft 0 t ab Definimos a função comprimento de arco S de f por St ₐᵗ fu du ₐᵗ f₁u² f₂u² f₃u² du t varia Qual a relação do parâmetro t da curva F com a função comp de arco Se lê St t a St 1 TFC d St 1 Ft ₀ᵗ fu du Ft ft primitiva Me compara com o parâmetro t ft 1 Então o comp arco de a até t St ₐᵗ du t a parâmetro comp arco Definição Uma curva f ab R³ é dita parametrizada pelo comp de arco se ft 1 t ab círculo lun me não Gt cos 2t sen 2t Gt Gt 2