Integrais-Tecnicas-de-Integracao-Substituicao-Trigonometrica-e-Fracoes-Parciais

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Apucarana Curso de Engenharia Integrais Técnicas de Integração Integração por substituição A antiderivada da regra da cadeia fgx fgx gx fgx dx fgx gx dx fgx c fgx gx dx Integração por substituição Exemplos cosx² 2x dx 3x⁴ 5¹⁰⁰ 12x³ dx Integração por substituição Exemplos sec²x³5x² dx sen3x dx cosx3 dx sec²x dx tgx c Integração por substituição Exemplos x³x² 1 dx Integração por partes A antiderivada da regra do produto Exemplos xex dx xcos x dx xln x dx Às vezes é necessário repetir o processo Exemplos Às vezes é necessário unir termos semelhantes uma vez que voltamos à integral original Exemplos Integrações do tipo 1º CASO Se m e n forem pares neste caso usase as identidades trigonométricas Integração por substituição trigonométrica Exemplos cos²x dx sen²x cos²x dx 2º CASO Se m ou n for ímpar neste caso usase a identidade trigonométrica Exemplos Integrais da forma Neste caso usase a substituição a² x² dx a cosθ a cosθ dθ a² cos² θ dθ a² 12 12 cos 2θ dθ 12 a² θ 12 a 12 sen 2θ c 12 a² θ 12 sen 2θ c 12 a² arc sen xa 12 2x a² a² x² c OBSERVE QUE x a senθ sen θ xa θ arc sen xa sen 2θ 2 sen θ cos θ 2 xa a² x²a Exemplos 4 x² dx 1 4x² dx Integrais da forma Neste caso usase a substituição Exemplo Integração por frações parciais Integrais do tipo Observe as integrais Para resolver esse tipo de integral usamos a técnica de integração chamada frações parciais constantes A e B tais que Teorema Sejam c d m e n números reais Então existem fatores lineares sem raízes repetidas c d fatores lineares com raízes repetidas c d Observe que Cada fração que apareceno teorema tem o polinômio do numerador com grau estritamente menor que o grau do polinômio do denominador Caso isto não ocorra devese extrair os inteiros isto é dividir os polinômios Px x cx d dx A x c dx B x d dx Px x c2 dx A x c dx B x c2 dx Px x cx d2 dx A x c dx B x d dx C x d2 dx Exemplos x 3 x2 3x 2 dx x2 2 x2 3x 2 dx x3 2 x 12 dx Integrais da forma onde o denominador é irredutível isto é não apresentsa raízes reais não se aplica a técnica das frações parciais A solução é transformar o denominador em soma de quadrados Exemplos 2x 1 x2 2x 2 dx x2 2x 3 x2 4x 13 dx Integrais da forma onde é um fator irredutível Teorema Sejam m n p a b c e d números reais Então existem A B C tal que Exemplo x5 x 1 x3 8 dx