Limites de Funções - Teoremas e Exercícios Resolvidos

Assim xn a x e X a mas fxn L Portanto lim fx L x a Exercício Teorema Sejam fg X R a e X então supondo que existam lim fx lim gx x a x a 1 lim fx gx lim fx lim gx x a x a x a y do 2 lim fx go lim fx lim gx x a x a x a yz 3 Se lim gx então lim fx gx x a gx log x a log 7 Então com ambas desigualdades satisfeitas temos que x a δ 1gx 1M M gxMgx 1M 1gx M gx 1M 1gx gx M 1M 2M gx M 1M 2M gx M 2M² M² ε2 ε e logo segue que o resultado desejado é de fato x a δ 1gx 1M ε que em notação de limites é equivalente ao seguinte lim x a 1gx 1M 1 lim x a gx Decerto ter esse resultado em mãos permite demonstrarmos a propriedade desejada facilmente De fato veja que lim x a fx gx lim x a fx 1gx lim x a fx lim x a 1gx L 1M LM e o resultado fica demonstrado Note que pudemos nessa questão nos valer da propriedade do produto da multiplicação feita no item 2 Questão única Seja f g X R e a um elemento do derivado do conjunto X isto é a X e os seguintes limites existem limxa fx L limxa gx M 1 Então de posse disso os seguintes resultados são válidos 1 O limite da somasubtração é a somasubtração dos limites lim xa fx gx lim xa fx lim xa gx 2 O limite da multiplicação é a multiplicação dos limites lim xafx gx lim xa fx lim xa gx 3 Se limxa gx 0 Então o limite da divisão de fx por gx é igual a divisão dos limites isto é lim xa fx gx limxa fx limxa gx Aspecto geral da solução Agora provaremos cada um dos resultados utilizando a definição de limites de funções Desde já uma vez que sabemos que os limites das funções existem para quando x tornase suficientemente próximo de a segue que pela definição de limite de uma função temos que Seja a X então existe δ1 0 tal que para todo ϵ1 0 vale a seguinte implicação x a δ1 fx L ϵ1 2 que é equivalente a limxa fx L Seja a X então existe δ2 0 tal que para todo ϵ2 0 vale a seguinte implicação x a δ2 gx M ϵ2 2 que é equivalente a limxa gx M 1 Um resultado auxiliar Ademais vamos utilizar ainda outro resultado que demonstraremos ainda nessa seção para a prova do resul tado 2 que é o seguinte lim xa fx L lim xa fx L 0 que vale para qualquer função fx com limite L De fato esse resultado é imediato uma vez que da definição de limite da função para um ponto a X temos que existe δ 0 tal que para todo ϵ 0 vale que x a δ fx L fx L 0 ϵ que mostra que limxa fx L limxa fx L 0 Por outro lado veja que se limxa fx L 0 temos da definição de limite que x a δ fx L 0 fx L 0 fx L ϵ o que mostra que limxa fx L 0 limxa fx L Assim esse resultado auxiliar fica provado Então com isso em mãos vamos demonstrar os resultados Prova do resultado 1 Provaremos agora o resultado acerca do limite da somasubtração Então antes tudo faremos a seguinte ponderação importante Com efeito tomemos δ 0 de modo que δ minδ1 δ2 e tomemos um número positivo ϵ que é tal que ϵ1 ϵ e ϵ2 ϵ De fato com isso em mãos veja que temos os seguintes implicações satisfeitas simultaneamente para mesmo δ 0 Assim as implicações são satisfeitas simultaneamente x a δ fx L ϵ1 2 ϵ 2 x a δ gx M ϵ2 2 ϵ 2 para todos ϵ1 e ϵ2 positivos Usaremos esse resultado para ambas as demonstrações Com isso é possível acessarmos ambas as desigualdades acima Então veja que com isso temos o seguinte 2 desenvolvimento para o caso do limite da soma Com efeito x a δ fx gx L M fx gx L M fx L gx M fx L gx M ϵ1 2 ϵ2 2 ϵ 2 ϵ 2 ϵ Ou seja temos que existe δ 0 tal que para todo ϵ 0 vale que x a δ fx gx L M ϵ Então da definição de limites temos que o resultado acima é equivalente a seguinte expressão lim xa fx gx L M lim xa fx lim xa gx que é o resultado desejado para a operação de soma Agora verificaremos o caso da subtração que é análogo Com efeito temos para δ 0 que vale o seguinte desenvolvimento x a δ fx gx L M fx gx L M fx L gx M fx L gx M fx L 1gx M fx L gx M ϵ1 2 ϵ2 2 ϵ 2 ϵ 2 ϵ Então da definição de limites temos que o resultado acima é equivalente a seguinte expressão lim xa fx gx L M lim xa fx lim xa gx Com isso ambos os resultados ficam demonstrados e temos o desejado do item 1 Consideração Note que nos desenvolvimentos acima conseguimos estabelecer uma desigualdade com o símbolo de fato essa desigualdade em ambos os desenvolvimentos decorre da desigualdade triangular para números reais isto é a b a b para todos os reais a e b Ademais as desigualdade estritas isto 3 é seguiram da definição de limites Prova do resultado 2 Agora provaremos o resultado da multiplicação de limites Com efeito Então antes tudo faremos a seguinte ponderação importante Com efeito tomemos δ 0 de modo que δ minδ1 δ2 e tomemos um número positivo ϵ que é tal que ϵ1 2 ϵ e ϵ2 2 ϵ De fato com isso em mãos veja que temos os seguintes implicações satisfeitas simultaneamente para mesmo δ 0 Assim as implicações são satisfeitas simultaneamente x a δ fx L ϵ1 2 ϵ x a δ gx M ϵ2 2 ϵ para todos ϵ1 e ϵ2 positivos Usaremos esse resultado para a demonstração Agora usaremos o resultado auxiliar de modo que mostraremos que limxa fxgx LM 0 o que implicará que limxa fxgx LM que é o desejado pelo enunciado dado Com efeito veja que temos então o seguinte desenvolvimento x a δ fx Lgx M 0 fx Lgx M fx Lgx M ϵϵ ϵ Ou seja mostramos que em notação de limite lim xafx Lgx M 0 4 Agora vamos provar de fato o limite desejado Com efeito teremos então o seguinte x a δ fxgx LM fxgx LM LM LM fxM fxM gxL gxL fxgx M Mfx L Lgx M Lgx M fxgx M Mfx L Lgx M Lgx M fx Lgx M Mfx L Lgx M fx Lgx M Mfx L Lgx M fx Lgx M Mfx L Lgx M fx Lgx M Mfx L Lgx M ϵ Mϵ Lϵ ϵ M Lϵ ϵ onde a últime adesigualdade segue do fato de que uma vez que ϵ 0 e L M idem então o termo M Lϵ 0 e logo justificase assim o seguinte resultado x a δ fxgx LM ϵ O qual em notação de limite é equivalente ao seguinte lim xa fxgx LM lim xa fx lim xa gx que é o desejado Porém note que podemos prosseguir nessa parte final sem usarmos a epsilons e deltas apenas com a propri edade da somasubtração de limites e da multiplicação por escalar a qual não provamos aqui De fato com isso teríamos o seguinte 0 lim xafx Lgx M lim xa fxgx fxM Lgx LM lim xa fxgx lim xa fxM lim xa Lgx lim xa LM lim xa fxgx lim xa fxM Llim xa gx lim xa LM lim xa fxgx LM LM LM lim xa fxgx LM lim xa fxgx LM lim xa fx lim xa gx que é o resultado desejado de igual forma ao desenvolvimento rigoroso que fizemos acima Prova do resultado 3 Agora provaremos o resultado da multiplicação de limites 5 NO entanto nessa questão ajustaremos a definição da função gx de modo que ela seja dada de modo que existe δ1 0 e ϵ 0 de modo que para a X valha o seguinte x a δ1 gx M ϵ Agora provaremos então a seguinte implicação lim xa gx M lim xa 1 gx 1 M para quando M limxa gx 0 Decerto veja que x a δ M M gx gx gx M gx gx M gx gx M gx ϵ gx ou seja temos que M ϵ gx M ϵ gx Então note que uma vez que ϵ 0 é arbitrário então escolhamos ϵ M2 de modo a termos que M ϵ gx M M 2 gx M 2 gx 1 gx 2 M Com efeito esse resultado garante a limitação de 1gx e será importante para a prova efetiva do resultado Com efeito vamos então demonstrar a seguinte implicação lim xa gx M lim xa 1 gx 1 M Para tanto tomemos um δ2 0 tal que para todo M2 2 ϵ 0 tenhamos x a δ2 gx M M2 2 ϵ Então tomemos δ 0 tal que δ minδ1 δ2 Desse modo as seguintes implicações valem simultaneamente x a δ gx M M 2 1 gx 2 M x a δ gx M M2 2 ϵ 6