Linguagem Artística

Exercıcios de PreCalculo Grupo do PreCalculoUFBA Fevereiro 2015 Sumario 1 Intervalos e Plano Cartesiano 3 2 Relacoes 10 3 Introducao a Funcoes 17 4 Notacao de Funcao 23 5 Aritmetica das Funcoes 36 6 Graficos de Equacoes 45 7 Transformacoes de Funcoes 52 8 Funcoes Lineares 62 9 Funcao Modular 72 10 Funcoes Quadraticas 77 11 Equacoes e Inequacoes Lineares Quadraticas e Modulares 85 12 Funcoes Polinomiais 90 13 Divisao de Polinˆomios 98 14 Zeros de Polinˆomios 102 15 Funcoes Racionais 106 Exercıcios traduzidos e adaptados do livro Precalculus 3rd Edition disponibilizado de acordo com a licenca Creative Commons CC BYNCSA 30 pelos professores Carl Stitz e Jeff Zeager 1 16 Equacoes e Inequacoes Racionais 112 17 Composicao de Funcoes 117 18 Funcao Inversa 126 19 Funcoes Algebricas 129 20 Introducao as Funcoes Exponencial e Logaritmo 138 21 Propriedades do Logaritmo 146 22 Equacoes e Inequacoes Exponenciais 149 23 Equacoes e Inequacoes Logarıtmicas 152 24 Aplicacoes das Funcoes Exponencial e Logaritmo 155 2 1 Intervalos e Plano Cartesiano 1 Preencha o quadro abaixo Conjunto de numeros reais Notacao de intervalo Regiao na reta real x 1 x 5 0 3 2 7 x 5 x 0 3 3 5 7 x x 3 9 4 x x 3 Nos exercıcios 2 7 encontre a intersecao ou uniao indicada e simplifique se possıvel Expresse suas respostas em notacao de intervalo 2 1 5 0 8 3 1 1 0 6 4 4 0 5 0 1 5 6 0 1 5 7 5 5 8 Nos exercıcios 8 19 escreva o conjunto usando notacao de intervalo 8 x x 5 9 x x 1 10 x x 3 4 3 11 x x 0 2 12 x x 2 2 13 x x 0 4 14 x x 1 ou x 1 15 x x 3 ou x 2 16 x x 3 ou x 0 17 x x 5 ou x 6 18 x x 2 ou x 1 19 x 3 x 3 ou x 4 20 Marque e rotule os pontos A3 7 B13 2 Cπ 10 D0 8 E55 0 F8 4 G92 78 e H7 5 no plano cartesiano dado abaixo x y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 Para cada ponto dado no exercıcio 20 acima Identifique o quadrante ou eixo em que o ponto esta Encontre o ponto simetrico ao ponto dado em torno do eixo x Encontre o ponto simetrico ao ponto dado em torno do eixo y Encontre o ponto simetrico ao ponto dado em torno da origem 4 Nos exercícios 22 29 encontre a distância d entre os pontos e o ponto médio M do segmento de reta que os conecta 22 1 2 3 5 23 3 10 1 2 24 124 321 25 23 32 73 2 26 245 65 115 195 27 2 3 8 12 28 245 12 20 27 29 00 xy 30 Encontre todos os pontos da forma x1 que estão a 4 unidades do ponto 3 2 31 Encontre todos os pontos do eixo y que estão a 5 unidades do ponto 5 3 32 Encontre todos os pontos do eixo x que estão a 2 unidades do ponto 1 1 33 Encontre todos os pontos da forma xx que estão a 1 unidade da origem 34 Vamos assumir por um momento que nós estamos de pé sobre a origem com o eixo y positivo apontando para o Norte e o eixo x positivo para o Leste Nosso detector de mapiguaris nos diz que o mapiguari está a 3 milhas a oeste e 4 milhas ao sul da nossa posição atual Quais são as coordenadas de sua posição Quão longe ele está de nós Se ele correr 7 milhas para leste qual será sua nova posição 35 Verifique a formula da distância nos casos em que a Os pontos estão alinhados verticalmente Dica Use Pay0 e Q a y1 b Os pontos estão alinhados horizontalmente Dica Use Px0 b e Q x1 b c Os pontos são de fato o mesmo ponto Sem dicas 36 Verifique a fórmula do ponto médio mostrando que a distância entre Px1 y1 e M e a distância entre M e Qx2 y2 são ambas iguais a metade da distância entre P e Q 37 Mostre que os pontos A B e C abaixo são vértices de um triângulo retângulo a A3 2 B6 4 e C1 8 b A3 1 B4 0 e C 0 3 38 Encontre o ponto Dxy tal que os pontos A31 B40 C 0 3 e D são os cantos de um quadrado Justifique sua resposta 39 Discuta com seus colegas quantos números existem no intervalo 01 40 O mundo não é plano Assim o plano cartesiano não pode ser o fim da estória Discuta com seus colegas como vocês estenderiam as coordenadas cartesianas para representar o mundo tridimensional Como ficariam as fórmulas da distância e do ponto médio assumindo que esses conceitos façam sentido Respostas 1 Conjunto de numeros reais Notacao de intervalo Regiao na reta real x 1 x 5 1 5 1 5 x 0 x 3 0 3 0 3 x 2 x 7 2 7 2 7 x 5 x 0 5 0 5 0 x 3 x 3 3 3 3 3 x 5 x 7 5 7 5 7 x x 3 3 3 x x 9 9 9 x x 4 4 4 x x 3 3 3 2 1 5 0 8 0 5 3 1 1 0 6 1 6 4 4 0 0 4 5 0 1 5 6 0 1 5 0 1 5 7 5 5 8 5 8 5 5 9 1 1 10 3 3 4 4 11 0 0 2 2 12 2 2 2 2 13 4 4 0 0 4 4 6 14 1 1 15 3 2 16 3 0 17 5 6 18 1 1 2 19 3 3 4 20 Os pontos requeridos A3 7 B13 2 Cπ 10 D0 8 E55 0 F8 4 G92 78 e H7 5 estao marcados no plano cartesiano abaixo x y A3 7 B13 2 Cπ 10 D0 8 E55 0 F8 4 G92 78 H7 5 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 21 a O ponto A37 está no Quadrante III é simétrico em torno do eixo x com 3 7 é simétrico em torno do eixo y com 3 7 é simétrico em torno da origem com 37 b O ponto B13 2 está no Quadrante IV é simétrico em torno do eixo x com 13 2 é simétrico em torno do eixo y com 13 2 é simétrico em torno da origem com 13 2 c O ponto Cπ 10 está no Quadrante I é simétrico em torno do eixo x com π 10 é simétrico em torno do eixo y com π 10 é simétrico em torno da origem com π 10 d O ponto D08 está sobre o eixo ypositivo é simétrico em torno do eixo x com 0 8 é simétrico em torno do eixo y com 0 8 é simétrico em torno da origem com 0 8 e O ponto E55 0 está sobre o eixo x negativo é simétrico em torno do eixo x com 55 0 é simétrico em torno do eixo y com 55 0 é simétrico em torno da origem com 55 0 f O ponto F8 4 está no Quadrante II é simétrico em torno do eixo x com 8 4 é simétrico em torno do eixo y com 8 4 é simétrico em torno da origem com 8 4 g O ponto G92 78 está no Quadrante IV é simétrico em torno do eixo x com 92 78 é simétrico em torno do eixo y com 92 78 é simétrico em torno da origem com 92 78 h O ponto H7 5 está no Quadrante I é simétrico em torno do eixo x com 7 5 é simétrico em torno do eixo y com 7 5 é simétrico em torno da origem com 7 5 22 d 5 M 1 72 23 d 410 M 1 4 24 d 26 M 1 32 25 d 372 M 56 74 26 d 74 M 1310 1310 27 d 35 M 22 32 28 d 83 M 45 532 29 d x2 y2 M x2 y2 30 3 7 1 3 7 1 31 0 3 32 1 3 0 1 3 0 33 22 22 22 22 34 3 4 5 milhas 4 4 37 a A distância de A a B é AB 13 a distância de A a C é AC 52 e a distância de B a C is BC 65 Uma vez que 132 522 652 podemos garantir pelo recíproco do Teorema de Pitágoras que o triângulo é um triângulo retângulo b Mostre que AC2 BC2 AB2 2 Relações Nos exercícios 1 20 esboce o gráfico da relação dada 1 3 9 2 4 1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 2 2 0 1 1 1 1 0 2 0 2 1 3 1 3 3 m 2m n 0 1 2 4 6k k k 1 2 3 4 5 6 5 n 4 n2 n 0 1 2 6 j j j 0 1 4 9 7 x 2 x 4 8 x 3 x 4 9 1 y y 1 10 2 y y 5 11 2 y 3 y 4 12 3 y 4 y 3 13 x 2 2 x 3 14 x 3 4 x 4 15 x y x 2 16 x y x 3 17 x y y 4 18 x y x 3 y 2 19 x y x 0 y 4 20 x y 2 x 23 π y 92 Nos exercícios 21 30 descreva a relação dada por enumeração ou por compreensão 21 Relação A 22 Relação B 23 x y 1 2 3 3 2 1 1 2 3 4 5 Relacao C 24 x y 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 Relacao D 25 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 Relacao E 26 x y 3 2 1 1 2 3 1 2 3 4 Relacao F 27 x y 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 Relacao G 28 x y 4 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 Relacao H 11 29 x y 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 Relacao I 30 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 3 2 1 1 2 Relacao J Nos exercıcios 31 36 esboce o grafico da reta dada 31 x 2 32 x 3 33 y 3 34 y 2 35 x 0 36 y 0 Algumas relacoes sao bem faceis de descrever em palavras ou por enumeracao mas bastante difıceis se nao impossıveis de se representar graficamente Discuta com seus colegas como esbocar o grafico das relacoes dadas nos exercıcios 37 40 Note que na notacao abaixo estamos usando as reticˆencias para denotar que a lista nao termina mas continua seguindo o padrao estabelecido indefinidamente Para as relacoes nos exercıcios 37 e 38 dˆe dois exemplos de pontos que pertencem a relacao e dois pontos que nao pertencem 37 x y x e um inteiro ımpar e y e um inteiro par 38 x 1 x e um numero irracional 39 1 0 2 1 4 2 8 3 16 4 32 5 40 3 9 2 4 1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 12 Respostas 1 x y 3 2 1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 x y 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 3 x y 2 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 4 x y 654321 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 5 x y 2 1 1 2 1 2 3 4 6 x y 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 7 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 3 1 8 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 9 x y 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 10 x y 1 2 3 3 2 1 1 2 3 4 5 11 x y 3 2 1 3 2 1 1 2 3 4 12 x y 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 14 13 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 14 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 15 x y 1 2 1 3 2 1 1 2 3 16 x y 1 2 3 3 2 1 1 2 3 17 x y 3 2 1 1 2 3 1 2 3 4 18 x y 1 2 3 3 2 1 1 2 3 19 x y 1 1 2 3 1 2 3 4 20 x y 2 1 1 1 2 3 4 5 15 21 A 4 1 2 1 0 3 1 4 22 B x 3 x 3 23 C 2 y y 3 24 D 2 y 4 y 3 25 E x 2 4 x 3 26 F x y y 0 27 G x y x 2 28 H x y 3 x 2 29 I x y x 0y 0 30 J x y 4 x 5 3 y 2 31 x y 3 2 1 1 2 3 1 2 3 A reta x 2 32 x y 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A reta x 3 33 x y 3 2 1 1 2 3 1 2 3 A reta y 3 34 x y 3 2 1 1 2 3 1 2 3 A reta y 2 35 x y 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A reta x 0 e o eixo y 36 x y 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A reta y 0 e o eixo x 16 3 Introdução à Funções Nos exercícios 1 12 determine se a relação representa y como uma função de x Encontre o domínio e a imagem daquelas relações que são funções 1 3 9 2 4 1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 2 3 0 1 6 2 3 4 2 5 6 4 9 6 2 3 3 0 7 6 5 5 6 4 4 9 3 0 4 1 2 4 4 9 6 16 8 25 10 36 12 5 x y x é um inteiro ímpar e y é um inteiro par 6 x 1 x é um número irracional 7 1 0 2 1 4 2 8 3 16 4 32 5 8 3 9 2 4 1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 9 2 y 3 y 4 10 x 3 2 x 4 11 x x2 x é um número real 12 x2 x x é um número real Nos exercícios 13 32 determine se a relação representa y como uma função de x Encontre o domínio e a imagem daquelas relações que são funções 13 14 15 x y 2 1 1 2 1 2 3 4 5 16 x y 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 17 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 18 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 19 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 3 2 1 1 2 20 x y 5 4 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 21 x y 321 1 2 3 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 x y 54321 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 18 23 x y 54321 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 24 x y 1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 25 x y 2 1 1 2 1 2 3 4 26 x y 2 1 1 2 1 2 3 4 27 x y 2 1 1 2 1 2 3 4 28 x y 2 1 1 2 1 2 3 4 29 x y 2 1 1 2 1 2 2 1 30 x y 3 2 1 1 2 3 1 2 2 1 19 31 x y 2 1 1 2 1 2 2 1 32 x y 2 1 1 2 1 2 2 1 Nos exercıcios 33 47 determine se a equacao representa y como uma funcao de x 33 y x3 x 34 y x 2 35 x3y 4 36 x2 y2 1 37 y x x2 9 38 x 6 39 x y2 4 40 y x2 4 41 x2 y2 4 42 y 4 x2 43 x2 y2 4 44 x3 y3 4 45 2x 3y 4 46 2xy 4 47 x2 y2 48 Explique porque a populacao P de mapiguaris em uma dada area e uma funcao do tempo t Qual a imagem dessa funcao 49 Explique porque a relacao entre seus colegas e seus enderecos de email pode nao ser uma funcao E se trocarmos email por CPF Nem sempre e possıvel isolar o y em uma equacao mas isso nao quer dizer que y nao e uma funcao de x O que e necessario e dois pontos com a mesma coordenada x e coordenadas y diferentes que satisfacam a equacao de modo que o grafico falha no Teste da Reta Vertical TRV Discuta com seus colegas como encontrar tais pontos para as relacoes dadas nos exercıcios 50 53 50 x3 y3 3xy 0 51 x4 x2 y2 52 y2 x3 3x2 53 x2 y22 x3 y3 20 Respostas 1 Funcao domınio 3 2 1 0 1 2 3 imagem 0 1 4 9 2 Nao e funcao 3 Funcao domınio 7 3 3 4 5 6 imagem 0 4 5 6 9 4 Funcao domınio 1 4 9 16 25 36 x x e um quadrado perfeito imagem 2 4 6 8 10 12 y y e um inteiro positivo par 5 Nao e funcao 6 Funcao domınio x x e irracional imagem 1 7 Funcao domınio x x 2n para algum numero inteiro n imagem y y e um numero inteiro qualquer 8 Funcao domınio x x e um inteiro qual quer imagem y y n2 para algum in teiro n 9 Nao e funcao 10 Funcao domınio 2 4 imagem 3 11 Funcao domınio imagem 0 12 Nao e funcao 13 Funcao domınio 4 3 2 1 0 1 imagem 1 0 1 2 3 4 14 Nao e funcao 15 Funcao domınio imagem 1 16 Nao e funcao 17 Funcao domınio 2 imagem 0 18 Funcao domınio imagem 0 4 21 19 Nao e funcao 20 Funcao domınio 5 3 3 3 imagem 2 1 0 4 21 Funcao domınio 2 imagem 3 22 Nao e funcao 23 Funcao domınio 5 4 imagem 4 4 24 Funcao domınio 0 3 3 6 imagem 4 1 0 4 25 Funcao domınio imagem 4 26 Funcao domınio imagem 4 27 Funcao domınio 2 imagem 3 28 Funcao domınio imagem 29 Funcao domınio 0 1 imagem 1 2 30 Funcao domınio 3 3 imagem 2 2 31 Nao e funcao 32 Funcao domınio imagem 2 33 Funcao 34 Funcao 35 Funcao 36 Nao e funcao 37 Funcao 38 Nao e funcao 39 Nao e funcao 40 Funcao 41 Nao e funcao 42 Funcao 43 Nao e funcao 44 Funcao 45 Funcao 46 Funcao 47 Nao e funcao 22 4 Notação de Função Nos exercícios 1 10 encontre uma expressão para fx e determine seu domínio 1 f é uma função que toma um número real x e efetua os três passos seguintes na ordem dada 1 multiplica por 2 2 soma 3 3 divide por 4 2 f é uma função que toma um número real x e efetua os três passos seguintes na ordem dada 1 soma 3 2 multiplica por 2 3 divide por 4 3 f é uma função que toma um número real x e efetua os três passos seguintes na ordem dada 1 divide por 4 2 soma 3 3 multiplica por 2 4 f é uma função que toma um número real x e efetua os três passos seguintes na ordem dada 1 multiply 2 2 soma 3 3 toma a raiz quadrada 5 f é uma função que toma um número real x e efetua os três passos seguintes na ordem dada 1 soma 3 2 multiply 2 3 toma a raiz quadrada 6 f é uma função que toma um número real x e efetua os três passos seguintes na ordem dada 1 soma 3 2 toma a raiz quadrada 3 multiplica por 2 7 f é uma função que toma um número real x e efetua os três passos seguintes na ordem dada 1 toma a raiz quadrada 2 subtrai 13 3 faz a quantidade o denominador de uma fração com numerador 4 8 f é uma função que toma um número real x e efetua os três passos seguintes na ordem dada 1 subtrai 13 2 toma a raiz quadrada 3 faz a quantidade o denominador de uma fração com numerador 4 9 f é uma função que toma um número real x e efetua os três passos seguintes na ordem dada 1 toma a raiz quadrada 2 faz a quantidade o denominador de uma fração com numerador 4 3 subtrai 13 10 f é uma função que toma um número real x e efetua os três passos seguintes na ordem dada 1 faz a quantidade o denominador de uma fração com numerador 4 2 toma a raiz quadrada 3 subtrai 13 Nos exercícios 11 18 avalie a função f simplificando o resultado f3 f1 f32 f4x 4fx fx fx 4 fx 4 fx² 11 fx 2x1 12 fx 3 4x 13 fx 2 x² 14 fx x² 3x 2 15 fx xx 1 16 fx 2x³ 17 fx 6 18 fx 0 Nos exercícios 19 26 avalie a função f simplificando o resultado f2 f2 f2a 2fa fa 2 fa f2 f2a fa2 fa h 19 fx 2x 5 20 fx 5 2x 21 fx 2x² 1 22 fx 3x² 3x 2 23 fx 2x 1 24 fx 117 25 fx x2 26 fx 2x Nos exercícios 27 34 avalie f0 e resolva a equação fx 0 27 fx 2x 1 28 fx 3 25x 29 fx 2x² 6 30 fx x² x 12 31 fx x 4 32 fx 1 2x 33 fx 34 x 34 fx 3x² 12x4 x² 35 Seja fx x 5 x 3 9 x² 3 x 3 x 5 x 3 Calcule o valor da função a f4 b f3 c f3 d f3001 e f3001 f f2 36 Seja fx x² se x 1 1 x² se 1 x 1 x se x 1 Calcule o valor da função a f4 b f3 c f1 d f0 e f1 f f0999 Nos exercícios 37 62 encontre o domínio implícito da função 37 fx x⁴ 13x³ 56x² 19 38 fx x² 4 39 fx x 2x 1 40 fx 3xx² x 2 41 fx 2xx² 3 42 fx 2xx² 3 43 fx x 4x² 36 44 fx x 2x 2 45 fx 3 x 46 fx 2x 5 47 fx 9xx 3 48 fx 7 xx² 1 49 fx 6x 2 50 fx 66x 2 51 fx ³6x 2 52 fx 64 6x 2 53 fx 6x 2x² 36 54 fx ³6x 2x² 36 55 st tt 8 56 Qr rr 8 57 bθ θθ 8 58 Ax x 7 9 x 59 αy ³yy 8 60 gv 14 1v² 61 Tt t 8 5 t 62 uw w 8 5 w 63 A area A delimitada por um quadrado em polegadas quadradas e uma funcao do com primento de um seus lados x quando medidos em polegadas Essa relacao e expressa pela formula Ax x2 para x 0 Encontre A3 e resolva Ax 36 Interprete suas respostas Por que x esra restrito a x 0 64 A area A delimitada por cırculo em metros quadrados e uma funcao de seu raio r quando medido em metros Essa relacao e expressa pela formula Ar πr2 para r 0 Encontre A2 e resolva Ar 16π Interprete suas respostas Por que r esta restrito a r 0 65 O volume V delimitado por um cube em centımetros cubicos e uma funcao do comprimento x de um de seus lados quando medidod em centımetros Essa relacao e expressa pela formula V x x3 para x 0 Encontre V 5 e resolva V x 27 Interprete suas respostas Por que x esta restrito a x 0 66 O volume V delimitado por uma esfera em pes cubicos e uma funcao do raio r da espera quando medido em pes Essa relacao e expressa pela formula V r 4π 3 r3 para r 0 Encontre V 3 e resolva V r 32π 3 Interprete suas respostas Por que r esta restrito a r 0 67 A altura de um objeto solto do teto de predio de oito andares e modelado por ht 16t2 64 0 t 2 Aqui h e a altura do objeto com relacao ao solo em pes t segundos apos o objeto ser solto Encontre h0 e resolva ht 0 Interprete suas respostas Por que t esta restrito a 0 t 2 68 A temperatura T em graus Fahrenheit t horas apos as 6 da manha e dado por Tt 1 2t2 8t 3 para 0 t 12 Encontre e interprete T0 T6 e T12 69 A funcao Cx x2 10x 27 modela o custo em centenas de dolares para produzir x milhares de canetas Encontre e interprete C0 C2 e C5 70 Usando dados do Agˆencia de Estatısticas de Transporte a economia media de combustıvel F em milhas por galao por passageiro nos EUA pode ser modelada por Ft 00076t2 045t 16 0 t 28 onde t e o numero de anos desde 1980 Use sua calculadora para en contrar F0 F14 e F28 Arredonde suas respostas para duas casas decimais e interprete suas respostas 71 A populacao de mapiguaris do Amazonas pode ser modelada pela funcao Pt 150t t15 onde t representa o numero de anos desde 1803 Encontre e interprete P0 e P205 Discuta com seus colegas quais devem ser o domınio e a imagem de P 26 72 Para imprimir n cópias do livro Eu e Meu Mapiguari uma gráfica cobra Cn dólares onde Cn é determinada pela fórmula Cn 15n se 1 n 25 1350n se 25 n 50 12n se n 50 a Encontre e interprete C20 b Quanto custa encomendar 50 cópias do livro E 51 cópias c Sua resposta para 72b deve ter deixado você pensando Suponha que uma livraria estima vender 50 cópias do livro Quantos livros podem de fato ser encomendados pelo mesmo preço daquelas 50 cópias Arredonde sua resposta para um número inteiro de livros 73 Uma distribuidora de de revistas em quadrinhos cobra seus custos de envio de acordo com a seguinte fórmula Sn 15n 25 se 1 n 14 0 se n 15 onde n é o número de revistas compradas e Sn é o custo de envio em dólares a Qual o custo de se enviar 10 revistas b Qual o significado da fórmula Sn 0 para n 15 74 O custo C em dólares para falar m minutos ao mês em um plano de celular é modelado por Cm 25 se 0 m 1000 25 01m 1000 se m 1000 a Quanto custa falar 750 minutos por mês b Quanto custa falar 20 horas por mês c Explique os termos do plano verbalmente 75 Seja ℤ 3 2 1 0 1 2 3 o conjunto dos números inteiros¹ A função piso inteiro de x denotada por x é definida como o maior inteiro k com k x a Encontre 0785 117 2001 e π 6 b Discuta com seus colegas como x pode ser descrito como uma função definida por várias sentenças Dica Existem infinitas sentenças ¹O uso da letra ℤ para inteiros vem da palavra zahlen que significa contar em alemão c Sempre e verdade que a b a b O que acontece se a ou b sao inteiros Teste alguns valores faca uma conjectura e explique seu resultado 76 Tentamos convenˆelos atraves de exemplos que fa b fa fb em geral Nossa experiˆencia e que os alunos se recusam a acreditar nisso portanto vamos tentar outra vez usando uma abordagem diferente Com ajuda de seus colegas encontre uma funcao f que satisfaz as seguintes propriedades a f0 f1 1 f1 f1 b f5 f2 3 f2 f3 c f6 f0 6 f0 f6 d fa b fa fb sem importar os valores de a e b Quantas funcoes vocˆe encontra que nao satisfazem as condicoes acima fx x2 funciona E fx x ou fx 3x 7 ou fx 1 x O que as funcoes que satisfazem a condicao tˆem em comum Deve haver algo pois apenas uma famılia especial de funcoes realmente funciona Voltamos assim ao fato anterior fa b fa fb em geral 28 RESPOSTAS 1 fx 2x34 domínio 2 fx 2x34 x32 domínio 3 fx 2 x4 3 12x 6 domínio 4 fx 2x 3 domínio 32 5 fx 2x3 2x6 domínio 3 6 fx 2x3 domínio 3 7 fx 4x13 domínio 0 169 169 8 fx 4x13 domínio 13 9 fx 4x 13 domínio 0 10 fx 4x 13 2x 13 domínio 0 11 Para fx 2x 1 f3 7 f4x 8x 1 fx 4 2x 7 f1 1 4fx 8x 4 fx 4 2x 3 f32 4 fx 2x 1 fx2 2x2 1 12 Para fx 3 4x f3 9 f4x 3 16x fx 4 19 4x f1 7 4fx 12 16x fx 4 4x 1 f32 3 fx 4x 3 fx2 3 4x2 13 Para fx 2 x2 f3 7 f4x 2 16x2 fx 4 x2 8x 14 f1 1 4fx 8 4x2 fx 4 x2 2 f32 14 fx 2 x2 fx2 2 x4 14 Para fx x2 3x 2 f3 2 f4x 16x2 12x 2 fx 4 x2 11x 30 f1 6 4fx 4x2 12x 8 fx 4 x2 3x 2 f32 14 fx x2 3x 2 fx2 x4 3x2 2 15 Para fx xx1 f3 32 f4x 4x4x1 fx 4 x4x5 f1 12 4fx 4xx1 fx 4 xx1 4 4 3xx1 f32 3 fx xx1 fx2 x2x2 1 16 Para fx 2x3 f3 227 f4x 132x3 fx 4 2x43 2x3 12x2 48x 64 f1 2 4fx 8x3 fx 4 2x3 4 2 4x3x3 f32 1627 fx 2x3 fx2 2x6 17 Para fx 6 f3 6 f4x 6 fx 4 6 f1 6 4fx 24 fx 4 2 f32 6 fx 6 fx2 6 18 Para fx 0 f3 0 f4x 0 fx 4 0 f1 0 4fx 0 fx 4 4 f32 0 fx 0 fx2 0 19 Para fx 2x 5 f2 1 2fa 4a 10 f2a 4a 5 4 5aa f2 9 fa 2 2a 1 fa2 2a 52 f2a 4a 5 fa f2 2a 6 fa h 2a 2h 5 20 Para fx 5 2x f2 1 2fa 10 4a f2a 5 45a 4a f2 9 fa 2 1 2a fa2 5 2a2 f2a 5 4a fa f2 6 2a fa h 5 2a 2h 21 Para fx 2x2 1 f2 7 2fa 4a2 2 f2a 8a2 1 8 a2a2 f2 7 fa 2 2a2 8a 7 fa2 2a2 12 f2a 8a2 1 fa f2 2a2 6 fa h 2a2 4ah 2h2 1 22 Para fx 3x2 3x 2 f2 16 f2 4 f2a 12a2 6a 2 2fa 6a2 6a 4 fa 2 3a2 15a 16 fa f2 3a2 3a 14 f2a 12a2 6a 2 12 6a 2a2a2 fa2 3a2 3a 22 fah 3a2 6ah 3h2 3a 3h 2 23 Para fx sqrt2x 1 f2 sqrt5 f2 não é real f2a sqrt4a 1 2fa 2sqrt2a 1 fa 2 sqrt2a 5 fa f2 sqrt2a 1 sqrt5 f2a sqrt4a 1 sqrta 4a fa2 sqrt2a 12 fa h sqrt2a 2h 1 24 Para fx 117 f2 117 f2 117 f2a 117 2fa 234 fa 2 117 fa f2 234 f2a 117 fa2 1172 fa h 117 25 Para fx x2 f2 1 f2 1 f2a a 2fa a fa 2 a 22 fa f2 a2 1 a 22 f2a 1a fa2 a4 fa h a h2 26 Para fx 2x f2 1 f2 1 f2a 1a 2fa 4a fa 2 2a 2 fa f2 2a 2 1 2 a 2a 2 f2a a fa2 1a fa h 2a h 27 Para fx 2x 1 f0 1 e fx 0 quando x 12 28 Para fx 3 25x f0 3 e fx 0 quando x 152 29 Para fx 2x2 6 f0 6 e fx 0 quando x sqrt3 30 Para fx x2 x 12 f0 12 e fx 0 quando x 3 ou x 4 31 Para fx sqrtx 4 f0 2 e fx 0 quando x 4 32 Para fx sqrt1 2x f0 1 e fx 0 quando x 12 33 Para fx 34 x f0 34 e fx nunca é igual a 0 34 Para fx 3x2 12x4 x2 f0 0 e fx 0 quando x 0 ou x 4 35 a f4 1 b f3 2 c f3 0 d f3001 1999 e f3001 1999 f f2 sqrt5 36 a f4 4 b f3 9 c f1 0 d f0 1 e f1 1 f f0999 00447 37 38 39 1 1 40 2 2 1 1 41 42 sqrt3 sqrt3 sqrt3 sqrt3 43 6 6 6 6 44 2 2 45 3 46 52 47 3 48 7 49 13 50 13 51 52 13 3 3 53 13 6 6 54 55 8 8 56 0 8 8 57 8 58 7 9 59 8 8 60 12 12 0 0 12 12 61 0 5 5 62 0 25 25 63 A3 9 assim a área delimitada pelo quadrado com um lado de comprimento 3 polegadas é 9 polegadas quadradas As soluções de Ax 36 são x 6 Uma vez que x é restrito a x 0 só mantemos x 6 Isso significa que para a área delimitada pelo quadrado ser 36 polegadas quadradas o comprimento do lado precisa ser de 6 polegadas Uma vez que x representa um comprimento x 0 64 A2 4π assim a área delimitado por um círculo de raio 2 metros é 4π metros quadrados As soluções de Ar 16π são r 4 Uma vez que r é restrito a r 0 só mantemos r 4 Isso significa que para a área delimitada pelo círculo ser 16π metros quadrados o raio precisa ter 4 metros Uma vez que r representa um raio um comprimento r 0 65 V5 125 assim o volume delimitado por um cubo com um lado de comprimento 5 centímetros é 125 centímetros cúbicos A solução de Vx 27 é x 3 Isso significa que para o volume delimitado pelo cubo ser 27 centímetros cúbicos o comprimento do lado precisa ser 3 centímetros Uma vez que x representa um comprimento x 0 66 V3 36π assim a volume delimitado por uma esfera com radius 3 pés é 36π pés cúbicos A solução de Vr 32π3 é r 2 Isso significa que para o volume delimitado pela esfera ser 32π3 pés cúbicos o raio precisa ser 2 pés Uma vez que r representa um raio um comprimento r 0 67 h0 64 portanto no momento da soltura o objeto está a 64 pés do solo As soluções de ht 0 são t 2 Uma vez que restringimos 0 t 2 só mantemos t 2 Isso significa que 2 segundos após a soltura do objeto ele está a 0 pés do solo De outra forma o objeto toca o solo após 2 segundos A condição 0 t 2 restringe o tempo para entre o momento da soltura do objeto e o momento que ele atinge o solo 68 T0 3 portanto às 6 da manhã 0 horas após as 6 está fazendo 3 Fahrenheit T6 33 portanto ao meiodia 6 horas após as 6 a temperatura é de 33 Fahrenheit T12 27 portanto às 6 da tarde 12 horas após as 6 está fazendo 27 Fahrenheit 69 C0 27 portanto custa 2700 para fazer 0 canetas2 C2 11 portanto para fazer 2000 canetas custa 1100 C5 2 portanto para fazer 5000 canetas custa 2000 70 F0 1600 portanto em 1980 0 anos apos 1980 a economia media de combustıvel por passageiro nos EUA foi de 1600 millhas por galao F14 2081 portanto em 1994 14 anos apos 1980 a economia media foi de 2081 milhas por galao F28 2264 portanto em 2008 28 anos apos 1980 a economia media foi de 2264 milhas por galao 71 P0 0 o que significa que nao havia mapiguaris no Amazonas em 1803 0 anos apos1803 P205 3075 22 13977 portanto em 2008 205 anos apos 1803 havia entre 139 e 140 mapiguaris no Amazonas 72 a C20 300 Custa 300 para 20 copias do livro b C50 675 portanto custa 675 para 50 copias do livro C51 612 portanto custa 612 para 51 copias do livro c 56 livros 73 a S10 175 portanto custa 1750 para enviar 10 revistas b Existe envio gratis em pedidos acima de 15 livros 74 a C750 25 portanto custa 25 para falar 750 minutos por mˆes nesse plano b Uma vez que 20 hours 1200 minutes fazemos m 1200 e temos que C1200 45 Portanto custa 45 para falar 20 horas por mˆes com esse plano c Custa 25 ate 1000 minutos e 10 centavos por minuto para cada minuto acima de 1000 minutos 75 a 0785 0 117 117 2001 3 e π 6 9 2Esse e o custo fixo 35 25 fx x2 2x 1 26 fx 4x2 27 fx x x2 28 fx x3 1 29 fx mx b onde m 0 30 fx ax2 bx c onde a 0 31 fx 2x 32 fx 31x 33 fx 1x2 34 fx 2x 5 5 Aritmética das Funções Nos exercícios 1 10 use o par de funções f e g para encontrar os seguintes valores caso existam fg2 fg1 gf1 fg12 fg0 gf2 1 fx 3x1 e gx 4x 2 fx x2 e gx 2x1 3 fx x2x e gx 12x2 4 fx 2x3 e gx x22x3 5 fx raizx3 e gx 2x1 6 fx raiz4x e gx raizx2 7 fx 2x e gx 12x1 8 fx x2 e gx 32x3 9 fx x2 e gx 1x2 10 fx x2 1 e gx 1x2 1 Nos exercícios 11 20 use o par de f e g para encontrar o domínio da função indicada em seguida encontre e simplifique a expressão para ela fgx fgx fgx fgx 11 fx 2x1 e gx x2 12 fx 14x e gx 2x1 13 fx x2 e gx 3x1 14 fx x2x e gx 7x 15 fx x24 e gx 3x6 16 fx x2 x6 e gx x2 9 17 fx x2 e gx 2x 18 fx x1 e gx 1x1 19 fx x e gx raizx1 20 fx raizx5 e gx fx raizx5 Nos exercícios 21 45 encontre e simplifique o quociente da diferença fxhfxh para a função dada 21 fx 2x5 22 fx 3x 5 23 fx 6 24 fx 3x2 x 25 fx x2 2x 1 26 fx 4x2 27 fx x x2 28 fx x3 1 29 fx mx b onde m 0 30 fx ax2 bx c onde a 0 31 fx 2x 32 fx 31x 33 fx 1x2 34 fx 2x5 35 fx 14x3 36 fx 3xx1 37 fx xx9 38 fx x22x1 39 fx raizx9 40 fx raiz2x1 41 fx raiz4x5 42 fx raiz4x 43 fx raizaxb onde a 0 44 fx xraizx 45 fx cubo raiz x Dica aba2 ab b2 a3 b3 Nos exercícios 46 50 Cx denota o custo para produzir x itens Cxx é o custo médio px denota a função preçodemanda por item Rx xpx denota a receita bruta e Px RCx denota o lucro Em cada exercício faça o seguinte encontre e interprete C0 encontre e interprete C10 encontre e interprete p5 encontre e simplifique Rx encontre e simplifique Px resolva Px 0 e interprete 46 O custo em dólares para produzir x camisetas Prefiro ser um Mapiguari é Cx 2x 26 x 0 e a função preçodemanda é px 30 2x 0 x 15 47 O custo em dólares para produzir x garrafas de Guaraná Mapiguari é Cx 10x 100 x 0 e the a função preçodemanda é px 35 x 0 x 35 48 O custo em centavos de dólar para produzir x copos de Limonada Mapiguari é Cx 18x 240 x 0 e a função preçodemanda é px 90 3x 0 x 30 49 O custo diário em dólares para produzir x Tortas de Banana Mapiguari é Cx 3x 36 x 0 e a função preçodemanda é px 12 05x 0 x 24 50 O custo mensal em centenas de dólares para produzir x motocicletas elétricas é Cx 20x 1000 x 0 e a função preçodemanda é px 140 2x 0 x 70 Nos exercícios 51 62 sejam f a função definida por f 3 4 2 2 1 0 0 1 1 3 2 4 3 1 e g a função definida por g 3 2 2 0 1 4 0 0 1 3 2 1 3 2 Calcule o valor indicado caso exista 51 f g3 52 f g2 53 fg1 54 g f1 55 g f3 56 gf3 57 fg2 58 fg1 59 fg2 60 gf1 61 gf3 62 gf3 Respostas 1 Para fx 3x 1 e gx 4 x f g2 9 f g1 7 g f1 1 fg12 354 fg0 14 gf2 65 2 Para fx x2 e gx 2x 1 f g2 1 f g1 2 g f1 2 fg12 0 fg0 0 gf2 54 3 Para fx x2 x e gx 12 x2 f g2 10 f g1 9 g f1 11 fg12 4716 fg0 0 gf2 43 4 Para fx 2x3 e gx x2 2x 3 f g2 5 f g1 0 g f1 8 fg12 1716 fg0 0 gf2 316 5 Para fx x 3 e gx 2x 1 f g2 3 5 f g1 3 2 g f1 1 fg12 0 fg0 3 gf2 5 6 Para fx 4 x e gx x 2 f g2 2 2 f g1 1 5 g f1 0 fg12 352 fg0 2 gf2 0 39 7 Para fx 2x e gx 12x 1 f g2 215 f g1 1 g f1 53 fg12 12 fg0 0 gf2 112 8 Para fx x2 e gx 32x 3 f g2 7 f g1 85 g f1 4 fg12 38 fg0 0 gf2 328 9 Para fx x2 e gx 1x2 f g2 174 f g1 0 g f1 0 fg12 1 fg0 é indefinida gf2 116 10 Para fx x2 1 e gx 1x2 1 f g2 265 f g1 32 g f1 32 fg12 1 fg0 1 gf2 125 11 Para fx 2x 1 e gx x 2 f gx 3x 1 domínio f gx x 3 domínio fgx 2x2 3x 2 domínio fgx 2x 1x 2 domínio 2 2 12 Para fx 1 4x e gx 2x 1 f gx 2x domínio f gx 2 6x domínio fgx 8x2 6x 1 domínio fgx 1 4x2x 1 domínio 12 12 40 13 Para fx x2 e gx 3x 1 f gx x2 3x 1 domínio f gx x2 3x 1 domínio fgx 3x3 x2 domínio fgx x23x 1 domínio 13 13 14 Para fx x2 x e gx 7x f gx x2 6x domínio f gx x2 8x domínio fgx 7x3 7x2 domínio fgx x 17 domínio 0 0 15 Para fx x2 4 e gx 3x 6 f gx x2 3x 2 domínio f gx x2 3x 10 domínio fgx 3x3 6x2 12x 24 domínio fgx x 23 domínio 2 2 16 Para fx x2 x 6 e gx x2 9 f gx x 3 domínio f gx 2x2 x 15 domínio fgx x4 x3 15x2 9x 54 domínio fgx x 2x 3 domínio 3 33 3 17 Para fx x2 e gx 2x f gx x2 42x domínio 0 0 f gx x2 42x domínio 0 0 fgx 1 domínio 0 0 fgx x24 domínio 0 0 18 Para fx x 1 e gx 1x1 f gx x2 2x 2x 1 domínio 1 1 f gx x2 2xx 1 domínio 1 1 fgx 1 domínio 1 1 fgx x2 2x 1 domínio 1 1 19 Para fx x e gx x 1 f gx x x 1 domínio 1 f gx x x 1 domínio 1 fgx xx 1 domínio 1 fgx xx 1 domínio 1 20 Para fx x 5 e gx fx x 5 f gx 2x 5 domínio 5 f gx 0 domínio 5 fgx x 5 domínio 5 fgx 1 domínio 5 21 2 22 3 23 0 24 6x 3h 1 25 2x h 2 26 8x 4h 27 2x h 1 28 3x2 3xh h2 29 m 30 2ax ah b 31 2xx h 32 31 x h1 x 33 2x h x2 x h2 34 2x 5x h 5 35 4 4x 34x 4h 3 36 3x 1x h 1 37 9 x 9x h 9 38 2x2 2xh 2x h 2x 12x 2h 1 39 1 x h 9 x 9 40 2 2x 2h 1 2x 1 41 4 4x 4h 5 4x 5 42 1 4 x h 4 x 43 a ax ah b ax b 44 3x2 3xh h2 x h32 x32 45 1 x h23 x h13x13 x23 46 C0 26 portanto os custos fixos sao 26 C10 46 assim quando 10 camisetas sao produzidas o custo por camiseta e 460 p5 20 portanto para vender 5 camisetas coloque o preco a 20 por camiseta Rx 2x2 30x 0 x 15 Px 2x2 28x 26 0 x 15 Px 0 quando x 1 e x 13 Esses sao os pontos do zeroazero portanto vender 1 camiseta ou 13 camisetas garante que receita cobre exatamente o custo de producao 47 C0 100 portanto os custos fixos sao 100 C10 20 assim quando 10 garrafas de guarana sao produzidas o custo por garrafa e 20 p5 30 portanto para vender 5 garrafas coloque o preco a 30 por garrafa Rx x2 35x 0 x 35 Px x2 25x 100 0 x 35 Px 0 quando x 5 e x 20 Esses sao os pontos do zeroazero portanto vender 5 ou 20garrafas de guarana garante que receita cobre exatamente o custo de producao 48 C0 240 portanto os custos fixos sao 240 ou 240 C10 42 assim quando 10 copos de limonada sao feitos o custo por copo e 42 p5 75 portanto para vender 5 copos de limonada coloque o preco a 75 por copo Rx 3x2 90x 0 x 30 Px 3x2 72x 240 0 x 30 Px 0 quando x 4 e x 20 Esses sao os pontos do zeroazero portanto vender 4 ou 20 copos de limonada garante que receita cobre exatamente o custo de producao 43 49 C0 36 portanto os custos fixos diários são 36 C10 66 assim quando 10 tortas são feitas o custo por torta é 660 p5 95 portanto para vender 5 tortas por dia coloque o preço a 950 por torta Rx 05x2 12x 0 x 24 Px 05x2 9x 36 0 x 24 Px 0 quando x 6 e x 12 Esses são os pontos do zeroazero portanto vender 6 ou 12 tortas por dia garante que receita cobre exatamente o custo de produção 50 C0 1000 portanto os custos fixos mensais são 1000 centenas de dólares ou 100000 C10 120 assim quando 10 motocicletas são feitas o custo por motocicleta é 120 centenas de dólares ou 12000 p5 130 portanto para vender 5 motocicletas por mês coloque o preço a 130 centenas de dólares ou 13000 por motocicleta Rx 2x2 140x 0 x 70 Px 2x2 120x 1000 0 x 70 Px 0 quando x 10 e x 50 Esses são os pontos do zeroazero portanto vender 10 ou 50 motocicletas por mês garante que receita cobre exatamente o custo de produção 51 f g3 2 52 f g2 3 53 fg1 0 54 g f1 0 55 g f3 3 56 gf3 8 57 fg2 não existe 58 fg1 0 59 fg2 4 60 gf1 não existe 61 gf3 2 62 gf3 12 6 Graficos de Equacoes 1 Para cada equacao dada abaixo Encontre as intersecoes do grafico com os eixos x e y caso existam Isole a variavel y e atribua valores a variavel x para criar uma tabela de pontos sobre o grafico da equacao Marque os pontos amostrais e crie uma esboco aproximado do grafico da equacao Teste por simetria Se a equacao falha em qualquer dos teste de simetria encontre um ponto do grafico que viola a simetria a y x2 1 b y x2 2x 8 c y x3 x d y x3 4 3x e y x 2 f y 2x 4 2 g 3x y 7 h 3x 2y 10 i x 22 y2 16 j x2 y2 1 k 4y2 9x2 36 l x3y 4 2 O procedimento resumido no exercıcio acima so funciona porque as equacoes sao bem comportadas Nem tudo na Matematica e tao simples assim como as equacoes seguintes demonstram Discuta com sua colegas como tracar o grafico das equacoes dadas nos exercıcios abaixo Que dificuldades surgem quando se tenta aplicar o procedimento dado nesta secao a x3 y3 3xy 0 Folio de Descartes b x4 x2 y2 Kampyle de Eudoxo c y2 x3 3x2 Cubica de Tschirnhausen d x2 y22 x3 y3 Curva do Ovo Curvado 45 Respostas 1 a y x2 1 O grafico nao tem intersecoes com o eixo x intersecao com eixo y 0 1 x y x y 2 5 2 5 1 2 1 2 0 1 0 1 1 2 1 2 2 5 2 5 x y 21 1 2 1 2 3 4 5 O grafico nao e simetrico com relacao ao eixo x eg 2 5 esta sobre o grafico mas 2 5 nao esta O grafico e simetrico com relacao ao eixo y O grafico nao e simetrico com relacao a origem eg 2 5 esta sobre o grafico mas 2 5 nao esta b y x2 2x 8 intersecao com o eixo x 4 0 2 0 intersecao com o eixo y 0 8 x y x y 3 7 3 7 2 0 2 0 1 5 1 5 0 8 0 8 1 9 1 9 2 8 2 8 3 5 3 5 4 0 4 0 5 7 5 7 x y 321 1 2 3 4 5 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 O grafico nao e simetrico com relacao ao eixo x eg 3 7 esta sobre o grafico mas 3 7 nao esta O grafico nao e simetrico com relacao ao eixo y eg 3 7 esta sobre o grafico mas 3 7 nao esta O grafico nao e simetrico com relacao a origem eg 3 7 esta sobre o grafico mas 3 7 nao esta 46 a y x3 x interseção com o eixo x 1 0 0 0 1 0 interseção com o eixo y 0 0 x y x y 2 6 2 6 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2 6 2 6 O gráfico não é simétrico com relação ao eixo x eg 2 6 está sobre o gráfico mas 2 6 não está O gráfico não é simétrico com relação ao eixo y eg 2 6 está sobre o gráfico mas 2 6 não está O gráfico é simétrico com relação à origem b y x34 3x interseção com o eixo x 23 0 0 0 interseção com o eixo y 0 0 x y x y 4 4 4 4 3 94 3 94 2 4 2 4 1 114 1 114 0 0 0 0 1 114 1 114 2 4 2 4 3 94 3 94 4 4 4 4 O gráfico não é simétrico com relação ao eixo x eg 4 4 está sobre o gráfico mas 4 4 não está O gráfico não é simétrico com relação ao eixo y eg 4 4 está sobre o gráfico mas 4 4 não está O gráfico é simétrico com relação à origem a y x 2 interseção com o eixo x 2 0 O gráfico não tem interseção com o eixo y x y x y 2 0 2 0 3 1 3 1 6 2 6 2 11 3 11 3 O gráfico não é simétrico com relação ao eixo x eg 3 1 está sobre o gráfico mas 3 1 não está O gráfico não é simétrico com relação ao eixo y eg 3 1 está sobre o gráfico mas 3 1 não está O gráfico não é simétrico com relação à origem eg 3 1 está sobre o gráfico mas 3 1 não está b y 2x 4 2 interseção com o eixo x 3 0 interseção com o eixo y 0 2 x y x y 4 2 4 2 3 0 3 0 2 22 2 2 2 2 1 23 2 2 3 2 0 2 0 2 1 25 2 2 5 2 O gráfico não é simétrico com relação ao eixo x eg 4 2 está sobre o gráfico mas 4 2 não está O gráfico não é simétrico com relação ao eixo y eg 4 2 está sobre o gráfico mas 4 2 não está O gráfico não é simétrico com relação à origem eg 4 2 está sobre o gráfico mas 4 2 não está a 3x y 7 Reescreva como y 3x 7 interseção com o eixo x 73 0 interseção com o eixo y 0 7 x y x y 2 13 2 13 1 10 1 10 0 7 0 7 1 4 1 4 2 1 2 1 3 2 3 2 O gráfico não é simétrico com relação ao eixo x eg 3 2 está sobre o gráfico mas 3 2 não está O gráfico não é simétrico com relação ao eixo y eg 3 2 está sobre o gráfico mas 3 2 não está O gráfico não é simétrico com relação à origem eg 3 2 está sobre o gráfico mas 3 2 não está b 3x 2y 10 Reescreva como y 3x 10 2 interseção com o eixo x 103 0 interseção com o eixo y 0 5 x y x y 2 8 2 8 1 132 1 132 0 5 0 5 1 72 1 72 2 2 2 2 O gráfico não é simétrico com relação ao eixo x eg 2 2 está sobre o gráfico mas 2 2 não está O gráfico não é simétrico com relação ao eixo y eg 2 2 está sobre o gráfico mas 2 2 não está O gráfico não é simétrico com relação à origem eg 2 2 está sobre o gráfico mas 2 2 não está a x 22 y2 16 Reescreva como y 16 x 22 interseção com o eixo x 6 0 2 0 interseção com o eixo y 0 23 x y x y 6 0 6 0 4 23 4 23 2 4 2 4 0 23 0 23 2 0 2 0 O gráfico é simétrico com relação ao eixo x O gráfico não é simétrico com relação ao eixo y eg 6 0 está sobre o gráfico mas 6 0 não está O gráfico não é simétrico com relação à origem eg 6 0 está sobre o gráfico mas 6 0 não está b x2 y2 1 Reescreva como y x2 1 interseção com o eixo x 1 0 1 0 O gráfico não tem interseção com o eixo y x y x y 3 8 3 8 2 3 2 3 1 0 1 0 1 0 1 0 2 3 2 3 3 8 3 8 O gráfico é simétrico com relação ao eixo x O gráfico é simétrico com relação ao eixo y O gráfico é simétrico com relação à origem a 4y² 9x² 36 Reescreva como y 9x²362 O gráfico não tem interseção com o eixo x interseção com o eixo y 0 3 x y x y 4 35 4 35 2 32 2 32 0 3 0 3 2 32 2 32 4 35 4 35 O gráfico é simétrico com relação ao eixo x O gráfico é simétrico com relação ao eixo y O gráfico é simétrico com relação à origem b x³y 4 Reescreva como y 4x³ O gráfico não tem interseção com o eixo x O gráfico não tem interseção com o eixo y x y x y 2 12 2 12 1 4 1 4 12 32 12 32 12 32 12 32 1 4 1 4 2 12 2 12 O gráfico não é simétrico com relação ao eixo x eg 1 4 está sobre o gráfico mas 1 4 não está O gráfico não é simétrico com relação ao eixo y eg 1 4 está sobre o gráfico mas 1 4 não está O gráfico é simétrico com relação à origem 7 TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES Suponha que 2 3 está sobre o gráfico de y fx Nos exercícios 1 18 encontre o correspondente do ponto no gráfico da função transformada 1 y fx 3 2 y fx 3 3 y fx 1 4 y fx 1 5 y 3fx 6 y f3x 7 y fx 8 y fx 9 y fx 3 1 10 y 2fx 1 11 y 10 fx 12 y 3f2x 1 13 y 12 f4 x 14 y 5f2x 1 3 15 y 2f1 x 1 16 y f7 2x4 17 y f3x 12 18 y 4 f3x 17 O gráfico de y fx é dado abaixo Nos exercícios 19 27 esboce o gráfico da função transformada O gráfico dos exs 19 27 19 y fx 1 20 y fx 2 21 y fx 1 22 y fx 2 23 y 2fx 24 y f2x 25 y 2 fx 26 y f2 x 27 y 2 f2 x 28 Algumas das respostas aos exercícios 19 27 acima devem ter sido as mesmas Quais foram iguais Que propriedades do gráfico de y fx contribuíram para a duplicação O gráfico de y fx é dado abaixo Nos exercícios 29 37 esboce o gráfico da função transformada O gráfico dos exs 29 37 29 y fx 1 30 y fx 1 31 y 12 fx 32 y f2x 33 y fx 34 y fx 35 y fx 1 1 36 y 1 fx 37 y 12 fx 1 1 O gráfico de y fx é dado abaixo Nos exercícios 38 49 esboce o gráfico da função transformada O gráfico dos exs 38 49 38 gx fx 3 39 hx fx 12 40 jx fx 23 41 ax fx 4 42 bx fx 1 1 43 cx 35 fx 44 dx 2fx 45 kx f23 x 46 mx 14 f3x 47 nx 4fx 3 6 48 px 4 f1 2x 49 qx 12 fx 42 3 O grafico de y Sx e dado abaixo x y 2 0 1 3 0 0 1 3 2 0 2 1 1 3 2 1 1 2 3 O grafico de y Sx O proposito dos exercıcios 50 53 e esbocar o grafico de y 1 2Sx 1 1 esbocando cada etapa da transformacao 50 y S1x Sx 1 51 y S2x S1x Sx 1 52 y S3x 1 2S2x 1 2Sx 1 53 y S4x S3x 1 1 2Sx 1 1 Seja fx x Encontre a formula para a funcao g cujo grafico e obtido de f atraves da sequˆencia de transformacoes dadas 54 1 deslocamento para direita 2 unidades 2 deslocamento para baixo 3 unidades 55 1 deslocamento para baixo 3 unidades 2 deslocamento para a direita 2 unidades 56 1 reflexao em torno do eixo x 2 deslocamento para cima 1 unidade 57 1 deslocamento para cima 1 unidade 2 reflexao em torno do eixo x 58 1 deslocamento para esquerda 1 unidade 2 reflexao em torno do eixo y 3 deslocamento para a cima 2 unidades 59 1 reflexao em torno do eixo y 2 deslocamento para esquerda 1 unidade 3 deslocamento para cima 2 unidades 60 1 deslocamento para esquerda 3 unidades 2 esticamento vertical por um fator de 2 3 deslocamento para baixo 4 unidades 61 1 deslocamento para esquerda 3 unidades 2 deslocamento para a baixo 4 unidades 3 esticamento vertical por um fator de 2 54 Respostas 1 20 2 13 3 24 4 33 5 29 6 ⅔ 3 7 23 8 23 9 5 2 10 16 11 213 12 y 1 10 13 2⅗ 14 ½ 12 15 1 7 16 ½ 3 17 ⅔ 2 18 1 1 19 y fx 1 20 y fx 2 21 y fx 1 22 y fx 2 23 y 2fx 24 y f2x 38 gx fx 3 39 hx fx ½ y² 40 jx fx ⅔ 41 ax fx 4 42 bx fx 1 1 43 cx ³₅ fx 44 dx 2fx 45 kx f⅔ x 25 y 2 fx x y 2 0 0 2 2 0 4 3 3 4 1 2 26 y f2 x x y 0 2 2 0 4 2 2 1 3 4 5 6 1 2 4 27 y 2 f2 x x y 0 0 2 2 4 0 2 1 2 5 6 1 2 3 4 29 y fx 1 x y 2 1 0 3 2 1 4 3 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 30 y fx 1 x y 3 0 1 4 1 0 3 2 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 31 y 1 2fx x y 2 0 0 2 2 0 4 1 4 3 1 1 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 57 32 y f2x x y 1 0 0 4 1 0 2 2 4 3 2 2 3 4 4 3 2 1 2 3 4 33 y fx x y 2 0 0 4 2 0 4 2 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 34 y fx x y 2 0 0 4 2 0 4 2 4 3 1 1 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 35 y fx 1 1 x y 3 1 1 3 1 1 3 3 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 36 y 1 fx x y 2 1 0 3 2 1 4 3 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 37 y 1 2fx 1 1 x y 3 1 1 1 1 1 3 2 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 58 62 1 deslocamento para direita 3 unidades 2 encolhimento horizontal por um fator de 2 3 deslocamento para a cima 1 unidade 63 1 encolhimento horizontal por um fator de 2 2 deslocamento para direita 3 unidades 3 deslocamento para cima 1 unidade 64 O gráfico de y fx x é dado abaixo à esquerda e o gráfico de y gx é dado á direita Encontre a formula para g baseado nas transformações do gráfico de f Verifique sua resposta testando se os pontos mostrados no gráfico de g satisfazem a equação y gx 65 Para muitas funções as propriedades da Álgebra tornam a mudança de escala horizontal igual a uma mudança de escala vertical por um fator possivelmente diferente Por exemplo 9x 3x Com a ajuda de seus colegas encontre a mudança de escala vertical equivalente produzido pelas mudanças de escala horizontais y 2x³ y 5x y 27x e y ½ x² O que se pode dizer de y 2x³ y 5x y 27x e y ½ x² 66 Em geral a ordem das transformações importa mas há situações onde a ordem não importa por exemplo um deslocamento para a esquerda seguida de um deslocamento para baixo ou um deslocamento para baixo seguido de um para a esquerda produzem o mesmo resultado Com a ajuda de seus colegas determine situações em que a ordem importa e situações onde a ordem não importa 67 O que acontece quando se reflete uma função par em torno do eixo y 68 O que acontece quando se reflete uma função ímpar em torno do eixo y 69 O que acontece quando se reflete uma função par em torno do eixo x 70 O que acontece quando se reflete uma função ímpar em torno do eixo x 71 Como se pode descrever a simetria com relação à origem em termos de reflexões 46 mx 14 f3x marked points 10 0 34 10 47 nx 4 fx 3 6 marked points 06 36 66 48 px 4 f1 2x f2x 1 4 marked points 14 127 24 49 qx 12 fx42 3 12 f12 x 2 3 marked points 10 3 4 92 23 50 y S1x Sx 1 marked points 30 23 10 03 10 51 y S2x S1x Sx 1 marked points 10 03 10 23 30 52 y S3x 12 S2x 12 Sx 1 marked points 10 0 32 10 2 32 30 53 y S4x S3x 1 12 Sx 1 1 marked points 11 0 52 11 2 12 31 54 gx sqrtx 2 3 55 gx sqrtx 2 3 56 gx sqrtx 1 57 gx sqrtx 1 sqrtx 1 58 gx sqrtx 1 2 59 gx sqrtx1 2 sqrtx 1 2 60 gx 2 sqrtx 3 4 61 gx 2 sqrtx 3 4 2 sqrtx 3 8 62 gx sqrt2x 3 1 63 gx sqrt2x 3 1 sqrt2x 6 1 64 gx 2 cuberootx 3 1 ou gx 2 cuberootx 3 1 8 FUNÇÕES LINEARES Nos exercícios 1 10 encontre a equação da reta que passa pelo ponto dado e com a inclinação dada 1 m 3 P3 1 2 m 2 P5 8 3 m 1 P7 1 4 m 23 P2 1 5 m 15 P10 4 6 m 17 P1 4 7 m 0 P3 117 8 m sqrt2 P0 3 9 m 5 Psqrt3 2 sqrt3 10 m 678 P1 12 Nos exercícios 11 20 encontre a equação da reta que passa pelos dois pontos dados 11 P0 0 Q3 5 12 P1 2 Q3 2 13 P5 0 Q0 8 14 P3 5 Q7 4 15 P1 5 Q7 5 16 P4 8 Q5 8 17 P12 34 Q52 74 18 P23 72 Q13 32 19 Psqrt2 sqrt2 Q sqrt2 sqrt2 20 P sqrt3 1 Qsqrt3 1 Nos exercícios 21 26 esboce o gráfico da função Encontre a inclinação a interseção com o eixo y e a interseção com o eixo x caso exitam 21 fx 2x 1 22 fx 3 x 23 fx 3 24 fx 0 25 fx 23 x 13 26 fx 1 x 2 27 Encontre todos os pontos da reta y 2x 1 que estão a 4 unidades do ponto 1 3 28 João pode caminhar confortavelmente a 3 milhas por hora Encontre a função linear d que representa a distância total que João pode caminhar em t horas assumindo que ele não fez nenhuma parada 29 Carlos pode selar 6 envelopes por minuto Encontre a função linear E que representa o número total de envelopes que Carlos pode selar após t horas assumindo que ele não fez nenhuma parada 30 Uma companhia de paisagismo cobra 45 por jarda cubica de adubo mais um taxa de entrega de 20 Encontre a funcao linear que calcula o custo total C em dolares para entregar x jardas cubicas de adubo 31 Um encanador cobra 50 por servico mais 80 por hora Se ele nao fica mais que 8 horas por dia em um mesmo lugar encontre a funcao linear que representa o total C que ele cobra em dolares como uma funcao do tempo t em horas gasto em cada lugar 32 Um vendedor recebe 200 por semana mais 5 de comissao nas vendas semanais de x dolares Encontre a funcao linear que representa seu ganho semanal W em dolares em termos de x Qual deve ser sua venda para que ele receba 47500 por semana 33 Uma grafica cobra 2250 para imprimir um livro de 600 paginas e 1550 para imprimir um livro de 400 paginas Encontre a funcao linear que modela o custo C de um livro como uma funcao do numero de paginas p Interprete a inclinacao da funcao linear e o valor de C0 34 A Cia de Taxi Topologica cobra 250 pelas primeiras quinto de milhas e 045 por cada adicional quinto de milha Encontre a funcao linear que modela a tarifa F do taxi como uma funcao do numbero de milhas dirigidas m Interprete a inclinacao da funcao linear e o valor de F0 35 A agua congela a 0 Celsius e 32 Fahrenheit e ferve a 100C e 212F a Encontre a funcao linear F que expressa a temperatura na escala Fahrenheit em termos de graus Celsius Use essa funcao para converter 20C em Fahrenheit b Encontre a funcao linear C que expressa a temperatura na escala Celsius em termos de graus Fahrenheit Use essa funcao para converter 110F em Celsius c Existet uma temperatura n tal que Fn Cn 36 Dizem que um lobisomem uiva aproximadamente 9 vezes por hora quando faz 40F e somente 5 vezes por hora quando faz 70F Assumindo que o numero de uivos por hora N pode ser representado por uma funcao linear da temperatura T em Fahrenheit encontre o numero de uivos por hora que ele emite quando faz 20F Qual o domınio dessa funcao Por quˆe 37 38 39 Uma pizzaria oferece pizzas medias a um custo de 600 por pizza mais 150 de taxa de envio Nos fins de semana a pizzaria faz uma promocao se seis ou mais pizzas sao encomendadas elas custam 550 cada sem taxa de envio Escreva uma funcao definida por varias sentencas que calcula o custo C em dolares de p pizzas enviadas durante um fim de semana 40 Um restaurante oferece um buffet que custa 15 por pessoa Para festas de 10 ou mais pessoas existe um desconto e o custo baixa para 1250 por pessoa Escreva uma funcao definida por varias sentencas que calcula a conta total T de uma festa com n pessoas 63 41 Um plano de celular cobra uma taxa basica mensal de 10 para os primeiros 500 minutos de ligacao mais 15 para cada minuto adicional Escreva uma funcao definida por varias sentencas que calcula o custo mensal C em dolares pelo uso de m minutos de ligacao 42 Um pet shop cobra 12 por grilo ate 100 grilos e 10 por grilo acima disso Escreva uma funcao definida por varias sentencas que calcula o preco P em dolares de c grilos 43 A secao reta de uma piscina e exibida abaixo Escreva uma funcao definida por varias sentencas que descreve a profundidade D da piscina em pes como uma funcao a da distˆancia em pes d do lado raso da piscina b the distˆancia em pes s do lado fundo da piscina c Esboce o grafico das funcoes em a e b Discuta com seus colegas como os graficos estao relacionados entre si e com o formato da piscina d ft s ft 37 ft 15 ft 10 ft 8 ft 2 ft Nos exercıcios 44 49 calcule a taxa de variacao media da funcao dada no inervalo especificado 44 fx x3 1 2 45 fx 1 x 1 5 46 fx x 0 16 47 fx x2 3 3 48 fx x 4 x 3 5 7 49 fx 3x2 2x 7 4 2 64 Nos exercıcios 50 53 calcule a taxa de variacao media da funcao dada no intervalo x x h Assuma que x x h esta no domınio da funcao 50 fx x3 51 fx 1 x 52 fx x 4 x 3 53 fx 3x2 2x 7 54 A altura de um objeto solto do teto de um edifıcio de oito andares e modelada por ht 16t2 64 0 t 2 Aqui h e a altura do objeto com relacao ao solo em pes t segundos apos o objeto ter sido solto Encontre e interprete a taxa de variacao media de h no intervalo 0 2 55 Usando dados da Agˆencia de Estatısticas de Transporte a economia media de combustıvel F em milhas por galao por passageiro nos EUA pode ser modelado por Ft 00076t2 045t 16 0 t 28 onde t e o numero de anos desde 1980 Encontre e interprete a taxa de variacao media de F no intervalo 0 28 56 A temperatura T em graus Fahrenheit t horas apos as 6 da manha e dada por Tt 1 2t2 8t 32 0 t 12 a Encontre e interprete T4 T8 e T12 b Encontre e interprete a taxa de variacao media de T no intervalo 4 8 c Encontre e interprete a taxa de variacao media de T de t 8 ate t 12 d Encontre e interprete a taxa de variacao media da temperatura entre 10 da manha e 6 da tarde 57 Suponha que Cx x2 10x27 representa o custo em centenas de dolares para produzir x milhares de canetas Encontre e interprete a taxa de variacao media quando a producao passa de 3000 para 5000 canetas 58 Com a ajuda de seus colegas encontre outros exemplos do mundo real de taxas de variacao que sao usadas para descrever fenˆomenos naolineares Retas Paralelas Retas paralelas possuem a mesma inclinacao note que retas verticais tambem sao paralelas mesmo que possuam inclinacao indefinida Nos exercıcios 59 64 sao dados uma reta e um ponto que nao esta sobre a reta Encontre a reta paralela a reta dada que passa pelo ponto dado 59 y 3x 2 P0 0 60 y 6x 5 P3 2 65 61 y 2 3x 7 P6 0 62 y 4 x 3 P1 1 63 y 6 P3 2 64 x 1 P5 0 Retas Perpendiculares Se duas retas com inclinacoes m1 e m2 sao tais que m1m2 1 entao elas sao perpendiculares veremos a demonstracao disso no exercıcio 71 Note que uma reta horizontal e perpendicular a uma reta vertical vice versa assim podemos assumir que m1 0 e m2 0 Nos exercıcios 65 70 sao dados uma reta e um ponto que nao esta sobre a reta Encontre a reta perpendicular a reta dada que passa pelo ponto dado 65 y 1 3x 2 P0 0 66 y 6x 5 P3 2 67 y 2 3x 7 P6 0 68 y 4 x 3 P1 1 69 y 6 P3 2 70 x 1 P5 0 71 Vamos mostrar agora que y m1x b1 e perpendicular q y m2x b2 se e somente se m1 m2 1 Para tornar nossa vida mais facil vamos assumir que m1 0 e m2 0 Podemos tambem mover as retas de modo que seu ponto de intersecao esta na origem sem atrapahar as coisas portanto podemos assumir que b1 b2 0 pense um pouco com seus colegas porque isso e possıvel Tracando as retas e marcando os pontos O0 0 P1 m1 e Q1 m2 chegamos a seguinte situacao P O Q x y A reta y m1x e perpendicular a reta y m2x se e somente se OPQ e um triˆangulo reto Seja d1 a distˆancia de O a P seja d2 a distˆancia de O a Q e seja d3 a distˆancia de P a Q Use o Teorema de Pitagoras para mostrar que OPQ e um triˆangulo reto se e somente se m1 m2 1 mostrando que d2 1 d2 2 d2 3 se e somente se m1 m2 1 66 72 Mostre que se a b a reta contendo os pontos a b e b a e perpendicular a reta y x assim e facil ver que a reta y x e a mediatriz do segmento que liga a b e b a Isso significa que a b e b a sao simetricos com relacao a reta y x 73 A funcao definida por Ix x e chamada Funcao Identidade a Discuta com seus colegas por que esse nome faz sentido b Como a forma y mx b da equacao da reta pode ser obtida a partir da funcao identidade atraves de uma sequˆencia de transformacoes 67 RESPOSTAS 1 y 1 3x 3 y 3x 10 2 y 8 2x 5 y 2x 2 3 y 1 x 7 y x 8 4 y 1 23x 2 y 23 x 73 5 y 4 15x 10 y 15 x 6 6 y 4 17x 1 y 17 x 297 7 y 117 0 y 117 8 y 3 sqrt2x 0 y sqrt2x 3 9 y 2sqrt3 5x sqrt3 y 5x 7sqrt3 10 y 12 678x 1 y 678x 666 11 y 53 x 12 y 2 13 y 85 x 8 14 y 94 x 474 15 y 5 16 y 8 17 y 54 x 118 18 y 2x 136 19 y x 20 y sqrt33 x 21 fx 2x 1 inclinação m 2 interseção com o eixo y 0 1 interseção com o eixo x 12 0 22 fx 3 x inclinação m 1 interseção com o eixo y 0 3 interseção com o eixo x 3 0 23 fx 3 inclinação m 0 interseção com o eixo y 0 3 interseção com o eixo x nenhuma 24 fx 0 inclinação m 0 interseção com o eixo y 0 0 interseção com o eixo x x0 x é um número real 25 fx 23 x 13 inclinação m 23 interseção com o eixo y 0 13 interseção com o eixo x 12 0 26 fx 1 x2 inclinação m 12 interseção com o eixo y 0 12 interseção com o eixo x 1 0 27 1 1 e 115 275 28 dt 3t t 0 29 Et 360t t 0 30 Cx 45x 20 x 0 31 Ct 80t 50 0 t 8 32 Wx 200 05x x 0 Ela deve ganhar 5500 em vendas semanaais 33 Cp 0035p 15 A inclinação 0035 significa que custa 35 por página C0 15 significa que existe um custo fixo de 150 para fazer cada livro 34 Fm 225m 205 A inclinação 225 significa que custa 225 adicionais por cada milha além das primeira 02 milha F0 205 portanto de acordo com o modelo uma viagem de 0 milhas custa 205 35 a FC 95 C 32 b CF 59F 32 59 F 1609 c F40 40 C40 36 NT 215 T 433 Um número negativo de uivos não faz sentido portanto podemos fazer o limite superior do domínio ser igual a 1075F uma vez que N1075 0 O limite inferior é mais delicado porque não temos nada além do bom senso para determinálo Quando fica mais frio o lobisomem uiva mais até o ponto em que ele morre congelado Assim podemos fazer o limite inferior igual a 60F de modo que o domínio é o intervalo 60 1075 39 Cp 6p 15 se 1 p 5 55p se p 6 40 Tn 15n se 1 n 9 125n se n 10 41 Cm 10 se 0 m 500 10 015m 500 se m 500 42 Pc 012c se 1 c 100 12 01c 100 se c 100 43 a Dd 8 se 0 d 15 12 d 312 se 15 d 27 2 se 27 d 37 b Ds 2 se 0 s 10 12 s 3 se 10 s 22 8 se 22 s 37 c showing two graphs left graph labeled y Dd with values from 8 down to 2 and points at 15 27 37 right graph labeled y Ds with values from 2 up to 8 and points at 10 22 37 44 23 13 2 1 3 45 1 5 1 1 5 1 1 5 46 16 0 16 0 1 4 47 32 32 3 3 0 48 74 73 54 53 7 5 7 8 49 322 22 7 342 24 7 2 4 4 50 3x2 3xh h2 51 1 xx h 52 7 x 3x h 3 53 6x 3h 2 54 A taxa de variacao media e h2h0 20 32 Durante os primeiros dois segundos apos ser solto o objeto caiu a uma taxa media de 32 pes por segundo Essa e a velocidade media do objeto 55 A taxa de variacao media e F28F0 280 02372 Entre os anos de 1980 e 2008 a economia media de combustıvel subiu a uma taxa de 02372 millhas por galao por ano 56 a T4 56 assim as 10 da manha 4 horas depois das 6 faz 56F T8 64 assim as 2 da tarde 8 horas depois das 6 faz 64F T12 56 assim as 6 da tarde 12 horas depois das 6 faz 56F b A taxa de variacao media e T8T4 84 2 Entre 10 da manha e 2 da tarde a temperatura sobe na media a uma taxa de 2F por hora c A taxa de variacao media e T12T8 128 2 Entre 2 da tarde e 6 da tarde a temperatura decresce em media a uma taxa de 2F por hora d A taxa de variacao media e T12T4 124 0 Entre 10 da manha e 6 da tarde a tempe ratura em media permanece constante 57 A taxa de variacao media e C5C3 53 2 Quando a producao aumenta de 3000 para 5000 canetas o custo decresce a uma taxa media de200 por 1000 canetas produzidas 20 por pen 59 y 3x 60 y 6x 20 61 y 2 3x 4 62 y 1 3x 2 3 63 y 2 64 x 5 65 y 3x 66 y 1 6x 3 2 67 y 3 2x 9 68 y 3x 4 69 x 3 70 y 0 71 9 Funcao Modular Nos exercıcios 1 15 resolva a equacao 1 x 6 2 3x 1 10 3 4 x 7 4 4 x 3 5 25x 1 3 0 6 7x 1 2 0 7 5 x 2 1 8 2 35 2x 1 2 5 9 x x 3 10 2x 1 x 1 11 4 x 2x 1 12 x 4 x 5 13 x x2 14 x 12 x2 15 x2 1 3 Prove que se fx gx entao ou fx gx ou fx gx Use esse resultado para resolver as equacoes dos exercıcios 16 21 16 3x 2 2x 7 17 3x 1 4x 18 1 2x x 1 19 4 x x 2 0 20 2 5x 5x 1 21 3x 1 2x 1 Nos exercıcios 22 33 esboce o grafico das funcoes Encontre os zeros de cada funcao e as intersecoes com os eixos x e y caso existam Determine o domınio e a imagem de cada funcao os intervalos onde a funcao e crescente decrescente ou constante e encontre os extremos relativos e absolutos caso existam 22 fx x 4 23 fx x 4 24 fx 4x 25 fx 3x 26 fx 3x 4 4 27 fx 1 32x 1 28 fx x 4 x 4 29 fx 2 x 2 x 30 fx x x 3 31 fx x 2 x 32 fx x 2 x 33 fx x 4 x 2 34 Com a ajuda de seus colegas encontre a expressao da funcao que possui o grafico dado abaixo x y 87654321 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 35 36 Prove a Desigualdade Triangular Para todos os numeros reais a e b a b a b 72 Respostas 1 x 6 ou x 6 2 x 3 ou x 11 3 3 x 3 ou x 11 4 x 1 ou x 1 5 x 1 2 ou x 1 10 6 nenhuma solucao 7 x 3 ou x 3 8 x 13 8 ou x 53 8 9 x 3 2 10 x 0 ou x 2 11 x 1 12 nenhuma solucao 13 x 1 x 0 ou x 1 14 x 3 ou x 3 15 x 2 ou x 2 16 x 1 ou x 9 17 x 1 7 ou x 1 18 x 0 ou x 2 19 x 1 20 x 3 10 21 x 1 5 ou x 5 22 fx x 4 f4 0 intersecao com o eixo x 4 0 intersecao com o eixo y 0 4 Domınio Imagem 0 Decrescente em 4 Crescente em 4 Mınimo relativo e absoluto em 4 0 Nenhum maximo relativo ou absoluto x y 8 7 6 5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 23 fx x 4 Nenhum zero Nenhuma intersecao com o eixo x intersecao com o eixo y 0 4 Domınio Imagem 4 Decrescente em 0 Crescente em 0 Mınimo relativo e absoluto em 0 4 Nenhum maximo relativo ou absoluto x y 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 73 24 fx 4x f0 0 interseção com o eixo x 00 interseção com o eixo y 00 Domínio Imagem 0 Decrescente em 0 Crescente em 0 Mínimo relativo e absoluto em 00 Nenhum máximo relativo ou absoluto 25 fx 3x f0 0 interseção com o eixo x 00 interseção com o eixo y 00 Domínio Imagem 0 Crescente em 0 Decrescente em 0 Máximo relativo e absoluto em 00 Nenhum mínimo relativo ou absoluto 26 fx 3x 4 4 f163 0 f83 0 interseções com o eixo x 1630 830 interseção com o eixo y 08 Domínio Imagem 4 Decrescente em 4 Crescente em 4 Mínimo relativo e absoluto em 44 Nenhum máximo relativo ou absoluto 27 fx 132x1 f12 0 interseções com o eixo x 120 interseção com o eixo y 013 Domínio Imagem 0 Decrescente em 12 Crescente em 12 Mínimo relativo e absoluto em 120 Nenhum máximo relativo ou absoluto 28 fx x4x4 Nenhum zero Nenhuma interseção com o eixo x interseção com o eixo y 01 Domínio 4 U 4 Imagem 11 Constante em 4 Constante em 4 Todo ponto x1 com x 4 é mínimo absoluto Todo ponto x1 com x 4 é máximo absoluto Todo ponto é máximo e mínimo relativo 29 fx 2x2x Nenhum zero Nenhuma interseção com o eixo x interseção com o eixo y 01 Domínio 2 U 2 Imagem 11 Constante em 2 Constant em 2 Todo ponto x1 com x 2 é mínimo absoluto Todo ponto x1 com x 2 é máximo absoluto Todo ponto do gráfico é máximo e mínimo relativo 30 Reescreva fx x x 3 como fx 3 se x 0 2x 3 se x 0 f32 0 interseção com o eixo x 320 interseção com o eixo y 03 Domínio Imagem 3 Crescente em 0 Constante em 0 Todo ponto x3 com x 0 é mínimo absoluto Nenhum máximo absoluto Todo ponto x3 com x 0 é mínimo relativo Todo ponto x3 com x 0 é máximo relativo 31 Reescreva fx x 2 x como fx 2x2 se x 2 2 se x 2 Nenhum zero Nenhuma interseções com o eixo x interseção com o eixo y 02 Domínio Imagem 2 Decrescente em 2 Constante em 2 Todo ponto x2 com x 2 é mínimo absoluto Nenhum máximo absoluto Todo ponto x2 com x 2 é mínimo relativo Todo ponto x2 com x 2 é máximo relativo 32 Reescreva fx x2 x como fx 2 se x 2 2x2 se 2 x 0 2 se x 0 f1 0 interseção com o eixo x 10 interseção com o eixo y 02 Domínio Imagem 22 Crescente em 20 Constante em 2 Constante em 0 Todo ponto x2 com x 2 é mínimo absoluto Todo ponto x2 com x 0 é máximo absoluto Todo ponto x2 com x 2 e todo ponto x2 com x 0 é mínimo relativo 33 Reescreva fx x 4 x 2 como fx 2x 2 se x 4 6 se 4 x 2 2x 2 se x 2 Nenhum zero Nenhuma interseção com o eixo x interseção com o eixo y 06 Domínio Imagem 6 Decrescente em 4 Constante em 42 Crescente em 2 Todo ponto x6 com 4 x 2 é mínimo absoluto Nenhum máximo absoluto Todo ponto x6 com 4 x 2 é mínimo relativo Todo ponto x6 com 4 x 2 é máximo relativo 34 fx x 4 10 Funcoes Quadraticas Nos exercıcios 1 9 esboce o grafico da funcao quadratica Encontre as intersecoes com os eixos x e y caso existam Converta da forma fx ax2 bx c para a forma fx ax d2 e e viceversa Encontre o domınio e a imagem da funcao e liste os intervalos onde a funcao e crescente ou decrescente Identifique o vertice e os eixos de simetria e determine se o vertice e um maximo ou mınimo absoluto e relativo 1 fx x2 2 2 fx x 22 3 fx x2 2x 8 4 fx 2x 12 4 5 fx 2x2 4x 1 6 fx 3x2 4x 7 7 fx x2 x 1 8 fx 3x2 5x 4 9 fx x2 1 100x 1 Nos exercıcios 10 14 as funcoes custo e precodemanda sao dadas para cenarios econˆomicos diferentes Para cada cenario Encontre a funcao lucro Px Rx Cx xpx Cx Encontre o numero de itens que deve ser vendido a fim de maximizar o lucro Encontre o lucro maximo Encontre o preco a ser cobrado por item a fim de maximizar o lucro Encontre e interprete pontos de zeroazero 10 O custo em dolares para produzir x camisetas Prefiro ser um Mapiguari e Cx 2x 26 x 0 e a funcao precodemanda e px 30 2x 0 x 15 11 O custo em dolares para produzir x garrafas de Guarana Mapiguari e Cx 10x 100 x 0 e the a funcao precodemanda e px 35 x 0 x 35 12 O custo em centavos de dolar para produzir x copos de Limonada Mapiguari e Cx 18x 240 x 0 e a funcao precodemanda e px 90 3x 0 x 30 13 O custo diario em dolares para produzir x Tortas de Banana Mapiguari e Cx 3x 36 x 0 e a funcao precodemanda e px 12 05x 0 x 24 14 O custo mensal em centenas de dolares para produzir x motocicletas eletricas e Cx 20x 1000 x 0 e a funcao precodemanda e px 140 2x 0 x 70 15 A banda Cordas Submarinas angaria fundos para participar da Convencao Nacional de Ma piguaris vendendo biscoitos O custo em dolares para cozinhar x biscoitos e Cx 01x25 e a funcao precodemanda e px 10 01x Quantos biscoitos eles devem cozinhar a fim de maximizar o lucro 77 16 Usando dados do Agˆencia de Estatısticas de Transporte a economia media de combustıvel F em milhas por galao por passageiro nos EUA pode ser modelada por Ft 00076t2 045t 16 0 t 28 onde t e o numero de anos desde 1980 Encontre e interprete as coordenadas do vertice do grafico de y Ft 17 A temperatura T em graus Fahrenheit t horas apos as 6 da manha e dada por Tt 1 2t2 8t 32 0 t 12 Qual a temperatura mais quente do dia Quando ela ocorre 18 Suponha que Cx x2 10x27 representa o custos em centenas de dolares para produzir x milhares de canetas Quantas canetas devem ser produzidas para minimizar o custo Qual e o custo mınimo 19 Joaozinho quer plantar um jardim retangular ao lado de sua casa Ele encontrou na garagem 32 pes lineares de arame Uma vez que o jardim vai ficar colado a casa um dos lados nao precisa ser cercado Quais as dimensoes do jardim que maximizam sua area Qual e a area maxima do jardim 20 Jose quer cercar um pasto retangular para criar alpacas Se o total de arame disponıvel e de 200 pes lineares quais as dimensoes que do pasto que maximizam sua area Assumindo que uma alpaca necessita de 25 pes quadrados de pasto quantas alpacas ele pode criar 21 Qual e a maior area retangular que pode ser delimitada com 14 polegadas de fio 22 A altura de um objeto solto do teto de um predio de oito andares e modelada por ht 16t2 64 0 t 2 Quanto tempo leva para o objeto tocar o solo 23 A altura acima do solo h em pes de um foguete t seconds apos o lancamento e dada por ht 5t2 100t for 0 t 20 Quando o foguete atinge a altidude maxima Qual e essa altitude maxima 24 Numa prova de lancamento de martelo a altura h do martelo t segundos apos o lancamento e dada por ht 16t2 2208t 6 Qual a altitude maxima do martelo Qual o tempo total do martelo no ar Aproxime suas respostas para duas casas decimais 25 Assumindo que nao ha resistˆencia do ar ou outras forcas alem da gravidade da Terra a altura acima do solo no tempo t de um objeto em queda livre e dada por st 49t2 v0t s0 onde s esta em metros t em segundos v0 e a velocidade inicial do objeto em metros por segundo e s0 e a posicao inicial em metros a Qual o domınio implıcito dessa funcao b Discusta com seus colegas o que significam v0 0 v0 0 e v0 0 c Imagine um cenario em que s0 0 78 d Digamos que um estilingue e usado para atirar uma pedra diretamente para cima a partir do solos0 0 com uma velocidade inicial de 15 metros por segundo Qual e a altitude maxima da pedra acima do solo Em quanto tempo ela atinge o solo e Agora atire um pedra do topo de uma torre de 25 metros de altura Em quanto tempo ela atinge o solo f Qual seria a funcao altura se ao inves de atirar a pedra para cima atirassemos para baixo do alto da torre 26 Duas torres de uma ponte estao a 400 pes de distˆancia O cabo parabolico The parabolic cable que liga o topo das duas torres esta 10 pes acima do ponto medio da ponte Se as torres tˆem 100 pes de altura encontre a altura do cabo a 50 pes a direita da torre do lado esquerdo 27 Esboce o grafico de fx 1 x2 28 Encontre todos os pontos da reta y 1 x que estao a 2 unidades de distˆancia do ponto 1 1 29 Seja L a reta y 2x 1 Encontre a funcao Dx que mede a distˆancia ao quadrado de um ponto em L ao ponto 0 0 Use isso para encontrar o ponto em L mais proximo de 0 0 30 Com a ajuda de seus colegas mostre que se uma funcao quadratica fx ax2 bxc possui dois zeros reais entao a coordenada x do vertice e o ponto medio dos zeros Nos exercıcios 31 36 resolva a equacao quadratica para a variavel indicada 31 x2 10y2 0 para x 32 y2 4y x2 4 para x 33 x2 mx 1 para x 34 y2 3y 4x para y 35 y2 4y x2 4 para y 36 gt2 v0t s0 0 para t Assuma que g 0 79 Respostas 1 fx x2 2 esta nas duas formas Nenhuma intersecao com o eixo x intersecao com o eixo y 0 2 Domınio Imagem 2 Decrescente em 0 Crescente em 0 Vertice 0 2 e um mınimo Eixo de simetria x 0 x y 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 fx x 22 x2 4x 4 intersecao com o eixo x 2 0 intersecao com o eixo y 0 4 Domınio Imagem 0 Crescente em 2 Decrescente em 2 Vertice 2 0 e um maximo Eixo de simetria x 2 x y 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 3 fx x2 2x 8 x 12 9 intersecoes com o eixo x 2 0 e 4 0 intersecao com o eixo y 0 8 Domınio Imagem 9 Decrescente em 1 Crescente em 1 Vertice 1 9 e um mınimo Eixo de simetria x 1 x y 2 1 1 2 3 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 4 fx 2x 12 4 2x2 4x 2 intersecoes com o eixo x 1 2 0 e 1 2 0 intersecao com o eixo y 0 2 Domınio Imagem 4 Crescente em 1 Decrescente em 1 Vertice 1 4 e um maximo Eixo de simetria x 1 x y 3 2 1 1 4 3 2 1 1 2 3 4 80 5 fx 2x2 4x 1 2x 12 3 interseções com o eixo x 2 6 2 0 e 2 6 2 0 interseção com o eixo y 0 1 Domínio Imagem 3 Crescente em 1 Decrescente em 1 Vértice 1 3 é um mínimo Eixo de simetria x 1 6 fx 3x2 4x 7 3 x 232 173 Nenhuma interseção com o eixo x interseção com o eixo y 0 7 Domínio Imagem 173 Crescente em 23 Decrescente em 23 Vértice 23 173 é um máximo Eixo de simetria x 23 7 fx x2 x 1 x 122 34 Nenhuma interseção com o eixo x interseção com o eixo y 01 Domínio Imagem 34 Crescente em 12 Decrescente em 12 Vértice 12 34 é um mínimo Eixo de simetria x 12 8 fx 3x2 5x 4 3 x 562 7312 interseções com o eixo x 5 73 6 0 e 5 73 6 0 interseção com o eixo y 0 4 Domínio Imagem 7312 Crescente em 56 Decrescente em 56 Vértice 56 7312 é um máximo Eixo de simetria x 56 9 fx x2 1100 x 1 x 12002 4000140000 interseções com o eixo x 1 40001 200 0 e 1 40001 200 0 interseção com o eixo y 0 1 Domínio Imagem 4000140000 Decrescente em 1200 Crescente em 1200 Vértice 1200 4000140000 é um mínimo Eixo de simetria x 1200 10 Px 2x2 28x 26 para 0 x 15 7 camisetas devem ser vendidas para maximizar lucro O lucro máximo é 72 O preço por camiseta deve ser 16 para maximizar lucro Os pontos de empate são x 1 e x 13 portanto para se ter lucro devem ser vendidas entre 1 e 13 camisetas 11 Px x2 25x 100 para 0 x 35 Uma vez que o vértice ocorre em x 125 e é impossível vender 125 garrafas de guaraná o lucro máximo ocorre quando 12 or 13 garrafas são vendidas O lucro máximo é 56 O preço por garrafa está entre 23 para vender 12 garrafas ou 22 para vender 13 garrafas Ambas resultaram no lucro máximo Os pontos de empate são x 5 e x 20 portanto para se ter lucro devem ser vendidas entre 5 e 20 garrafas 12 Px 3x2 72x 240 para 0 x 30 12 copos de limonada devem ser vendidos para maximizar o lucro O lucro maximo e 192 ou 192 O preco por copo deve ser 54 para maximizar o lucro Os pontos de empate sao x 4 e x 20 portanto para se ter lucro devem ser vendidos entre 4 e 20 copos de limonada 13 Px 05x2 9x 36 para 0 x 24 9 tortas devem ser vendidas para maximizar o lucro diario O lucro diario maximo e 450 O preco por torta deve ser 750 para maximizar o lucro Os pontos de empate sao x 6 e x 12 portanto para se ter lucro devem ser vendidas entre 6 e 12 tortas 14 Px 2x2 120x 1000 para 0 x 70 30 motocicletas devem ser vendidas para maximizar o lucro O lucro maximo mensal e de 800 centenas de dolares ou 80000 O preco por motocicleta deve ser 80 centenas de dolares ou 8000 Os pontos de empate sao x 10 e x 50 portanto para se ter lucro devem ser vendidas entre 10 e 50 motocicletas mensalmente 15 495 biscoitos 16 O vertice esta aproximadamente em 2960 2266 que corresponde a uma economia maxima de combustıvel de 2266 milhas por galao atingida entre 2009 e 2010 29 30 apos 1980 Infelizmente o modelo so e valido ate 2008 28 anos apos 1980 17 64 as 2 da tarde 8 horas apos as 6 da manha 18 5000 canetas devem ser produzidas a um custo de 200 19 8 por 16 pes area maxima e 128 pes quadrados 20 50 por 50 pes area maxima e 2500 pes quadrados 100 alpacas 21 O maior retˆangulo tem area de 1225 polegadas quadradas 22 2 segundos 23 O foguete atinge sua altura maxima a 500 pes em 10 segundos apos o lancamento 24 O martelo atinge sua altura maxima a 1362 pes aproximadamente O martelo fica no ar aproximadamente 161 segundos 83 25 a O domínio implícito é 0 d A função altura neste caso é st 49t2 15t O vértice da parábola está aproximadamente em 153 1148 portanto a altura máxima alcançada pela pedra é 1148 metros Ela atinge o solo de novo quando t 306 segundos e A função altura é st 49t2 15t 25 que possui zeros em t 120 e t 426 Ignorando o valor negativo temos que a pedra atige o solo em 426 seconds f Atirar para baixo significa que a velocidade inicial é negativa portanto a função altura é st 49t2 15t 25 26 Faça o vértice da parábola o ponto 0 10 de modo que o ponto no topo da torre esquerda está em 200 100 e o ponto no topo da torre direita está em 200 100 Então a parábola é dada por px 94000 x2 10 Ficar 50 pés à direita da torre esquerda significa que estamos em x 150 e p150 60625 Portanto o cabo está a 60625 pés acima da ponte 27 y 1 x2 28 3 7 2 1 7 2 3 7 2 1 7 2 29 Dx x2 2x 12 5x2 4x 1 D é minimizado quando x 25 portanto o ponto em y 2x 1 mais próximo de 0 0 é 25 15 31 x y 10 32 x y 2 33 x m m2 4 2 34 y 3 16x 9 2 35 y 2 x 36 t v0 v02 4g s0 2g 11 Equacoes e Inequacoes Lineares Quadraticas e Modulares Nos exercıcios 1 32 resolva a desigualdade Escreva suas respostas usando notacao de intervalos 1 3x 5 4 2 7x 2 10 3 2x 1 5 0 4 2 x 4 3 5 3x 5 2 1 6 27 x 4 1 7 2 4 x 7 8 1 2x 9 3 9 x 3 6x 9 10 x 3 2x 1 0 11 1 2x x 5 12 x 5 x 5 13 x x 1 14 2x 1 6 x 15 x 2x 3 2 16 3 x x 5 17 x2 2x 3 0 18 16x2 8x 1 0 19 x2 9 6x 20 9x2 16 24x 21 x2 4 4x 22 x2 1 0 23 3x2 11x 4 24 x x2 25 2x2 4x 1 0 26 5x 4 3x2 27 2 x2 9 9 28 x2 4x 3 29 x2 x 1 0 30 x2 x 31 xx 5 6 32 xx 3 2 33 O lucro em dolares feito ao se vender x garrafas de Guarana Mapiguari e dado por Px x2 25x 100 para 0 x 35 Quantas garrafas de guarana devem ser vendidas para se ter ao menos 50 de lucro 34 Suponha que Cx x2 10x 27 x 0 representa o custo em centenas de dolares para produzir x milhares de canetas Encontre o numero de canetas que podem ser produzidas para nao mais que 1100 35 A temperatura T em graus Fahrenheit t horas apos as 6 da manha e dada por Tt 1 2t2 8t 32 para 0 t 12 Quando e mais quente que 42 Fahrenheit 85 36 A altura acima do solo h em pés de um foguete t segundos após o lançamento é dada por ht 5t2 100t para 0 t 20 Quando o foguete está a ao menos 250 pés do solo Aproxime sua resposta para duas casas decimais 37 Se um estilingue é usado para atirar uma pedra diretamente para cima de uma altura inicial de 2 metros e com velocidade inicial de 30 metros por segundo para que valores de tempo t a pedra estará acima de 35 metros Aproxime sua resposta para duas casas decimais 38 Que valores de temperatura values em graus Celsius são equivalentes a faixa de temperatura entre 50F e 95F Nos exercícios 39 42 escreva e resolva a desigualdade envolvendo valores absolutos 39 Encontre todos os números reais x tais que x está dentro de 4 unidades de 2 40 Encontre todos os números reais x tais que 3x está dentro de 2 unidades de 1 41 Encontre todos os números reais x tais que x2 está dentro de 1 unidade de 3 42 Encontre todos os números reais x tais que x2 está ao menos 7 unidades distante de 4 43 A área da superfície S de um cubo de aresta x é dada por Sx 6x2 para x 0 Suponha que uma indústria deseja fazer cubos de exatamente 42 centímetros quadrados mas as máquinas disponíveis são velhas e não possuem precisão suficiente Escreva uma desigualdade usando valor absoluto que diga que um dado cubo não está mais que 3 centímetros quadrados além ou aquém do valor desejado de 42 centímetros quadrados Resolva a desigualdade e escreva sua resposta usando notação de intervalo 44 Suponha que f é uma função L é um número real e ε é um número positivo Discuta com seus colegas o que a desigualdade fx L ε significa algebricamente e graficamente Nos exercícios 45 50 esboce o gráfico da relação 45 R xy y x 1 46 R xy y x2 1 47 R xy 1 y 2x 1 48 R xy x2 y x 2 49 R xy x 4 y 2 x 50 R xy x2 y 4x 3 Respostas 1 13 3 2 127 87 3 3 2 4 1 3 5 Nenhuma solução 6 7 3 2 6 11 8 3 4 5 6 9 127 65 10 4 23 11 43 6 12 5 13 Nenhuma solução 14 7 53 15 1 53 16 17 3 1 18 14 14 19 Nenhuma solução 20 21 2 22 Nenhuma solução 23 13 4 24 0 1 25 1 62 1 62 26 5736 5736 27 32 11 7 0 0 7 11 32 28 2 7 2 7 1 3 29 30 1 0 1 31 6 3 2 32 1 2 3172 33 Px 50 em 10 15 Isso significa que entre 10 e 15 garrafas de guaraná precisam ser vendidas para receber ao menos 50 de lucro 34 Cx 11 on 2 8 Isso significa que entre 2000 e 8000 podem ser produzidas sem que o custo exceda 1100 35 Tt 42 em 8 211 8 211 137 1463 que corresponde a entre 722 da manhã 137 horas após as 6 e 838 da noite 1463 horas após as 6 da manhã Entretanto como o modelo é válido somente para t 0 t 12 restringimos nossa resposta e encontramos que é mais quente que 42 Fahrenheit das 722 da manhã ás 6 da tarde 36 ht 250 em 10 52 10 52 293 1707 Isso significa que o foguete está a ao menos 250 pés do solo entre 293 e 1707 segundos após o lançamento 37 st 49t2 30t 2 st 35 em aproximadamente 144 468 Isso significa que entre 144 e 468 seconds após ser lançada a pedra está acima de 35 pés do solo 38 De exercícios anteriores CF 59F 32 portanto 50 F 95 se torna 10 C 35 39 x 2 4 2 6 40 3x 1 2 1 13 41 x2 3 1 2 2 2 2 42 x2 4 7 11 11 43 Resolvendo Sx 42 3 e desprezando as soluções negativas resulta que 132 152 2550 2739 A aresta deve ter comprimento entre 2550 e 2739 centímetros 45 46 47 48 49 x y 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4 50 x y 4 3 2 1 1 2 3 5 10 15 20 89 12 Funções Polinomiais Nos exercícios 1 10 encontre o grau o termo principal o coeficiente principal o termo constante e o comportamento no infinito do polinômio 1 fx 4 x 3x² 2 gx 3x⁵ 2x² x 1 3 qr 1 16r⁴ 4 Zb 42b b³ 5 fx 3x¹⁷ 225x¹⁰ πx⁷ ⅓ 6 st 49t² v₀t s₀ 7 Px x 1x 2x 3x 4 8 pt t²3 5tt² t 4 9 fx 2x³x 1x 2² 10 Gt 4t 2² t ½ Nos exercícios 11 20 encontre os zeros reais do polinômio dado e suas correspondentes multiplicidades Use essa informação juntamente com o estudo dos sinais para esboçar o gráfico do polinômio Compare sua resposta com o resultado do GeoGebra 11 ax xx 2² 12 gx xx 2³ 13 fx 2x 2²x 1 14 gx 2x 1²x 3 15 Fx x³x 2² 16 Px x 1x 2x 3x 4 17 Qx x 5²x 3⁴ 18 hx x²x 2²x 2² 19 Ht 3 tt² 1 20 Zb b42 b² Nos exercícios 21 26 dado o par de funções f e g esboce o gráfico de y gx começando com o gráfico de y fx e aplicando transformações Acompanhe o efeito das transformações sobre três pontos de sua escolha Indique o domínio e a imagem de g 21 fx x³ gx x 2³ 1 22 fx x⁴ gx x 2⁴ 1 23 fx x⁴ gx 2 3x 1⁴ 24 fx x⁵ gx x⁵ 3 25 fx x⁵ gx x 1⁵ 10 26 fx x⁶ gx 8 x⁶ 27 Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que fx x³ 9x 5 tem um zero real em cada um dos seguintes intervalos 4 3 0 1 e 2 3 28 Queremos fazer uma caixa sem tampa removendo quadrados de lado x dos cantos de uma folha de papel de 85 por 11 polegadas Expresse o volume V em função de x Use o GeoGebra para encontrar o valor de x onde o volume é máximo e as dimensões e o volume da caixa de volume máximo Nos exercıcios 29 31 suponha que a receita R em milhares de dolares da producao e venda de x centenas de TCs de LCD e dada por Rx 5x3 35x2 155x para 0 x 1007 29 Use o GeoGebra para tracar o grafico de y Rx e determine o numero de TVs que devem ser vendidas para maximizar a receita Qual e a receita maxima 30 Assuma que o custo em milhares de dolares para produzir x centenas de TVs de LCD e dado Cx 200x 25 por x 0 Encontre e simplifique a expressao para a funcao lucro Px Lembrese Lucro Receita Custo 31 Use o GeoGebra para tracar o grafico de y Px e determine o numero de TVs que devem ser vendidas para maximizar o lucro Qual e o lucro maximo 32 O custo para se fabricar x unidades de um console de jogos e dado por Cx 03x3 45x2 225x 250 para x 0 Pesquisas de mercado indicam que a funcao precodemanda e dada por px 15x250 Use o GeoGebra para encontrar o nıvel de producao x que maximiza o lucro 33 De acordo com um servico postal uma caixa retangular para encomendas deve satisfazer a desigualdade Comprimento Perımetro 130 polegadas para servico expresso e Compri mento Perımetro 108 polegadas para outros servicos Vamos assumir que temos uma caixa de fundo quadrado de lado x como desenhado abaixo O comprimento e o maior lado e o perımetro e a distˆancia em torno da caixa nas outras duas dimensoes de modo que no caso o perımetro e 4x a Assumindo que vamos usar o servico expresso onde Comprimento Perımetro 130 polegadas expresse o comprimento da caixa em termos de x e entao expresse o volume V da caixa em termos de x b Encontre as dimensoes da caixa de maior volume que pode ser enviada pelo servico expresso c Repita oi itens 33a e 33b para o caso de se usar outros servicos comprimento x x 91 Respostas 1 fx 4 x 3x2 Grau 2 Termo principal 3x2 Coeficiente principal 3 Termo constante 4 Quando x fx Quando x fx 2 gx 3x5 2x2 x 1 Grau 5 Termo principal 3x5 Coeficiente principal 3 Termo constante 1 Quando x gx Quando x gx 3 qr 1 16r4 Grau 4 Termo principal 16r4 Coeficiente principal 16 Termo constante 1 Quando r qr Quando r qr 4 Zb 42b b3 Grau 3 Termo principal b3 Coeficiente principal 1 Termo constante 0 Quando b Zb Quando b Zb 5 fx 3x17 225x10 πx7 1 3 Grau 17 Termo principal 3x17 Coeficiente principal 3 Termo constante 1 3 Quando x fx Quando x fx 6 st 49t2 v0t s0 Grau 2 Termo principal 49t2 Coeficiente principal 49 Termo constante s0 Quando t st Quando t st 7 Px x 1x 2x 3x 4 Grau 4 Termo principal x4 Coeficiente principal 1 Termo constante 24 Quando x Px Quando x Px 8 pt t23 5tt2 t 4 Grau 5 Termo principal 5t5 Coeficiente principal 5 Termo constante 0 Quando t pt Quando t pt 92 9 fx 2x³x 1x 2² Grau 6 Termo principal 2x⁶ Coeficiente principal 2 Termo constante 0 Quando x fx Quando x fx 10 Gt 4t 2² t ½ Grau 3 Termo principal 4t³ Coeficiente principal 4 Termo constante 8 Quando t Gt Quando t Gt 11 ax xx 2² x 0 multiplicidade 1 x 2 multiplicidade 2 12 gx xx 2³ x 0 multiplicidade 1 x 2 multiplicidade 3 Graph Image Graph Image 13 fx 2x 2²x 1 x 2 multiplicidade 2 x 1 multiplicidade 1 14 gx 2x 1²x 3 x ½ multiplicidade 2 x 3 multiplicidade 1 Graph Image Graph Image 15 Fx x³x 2² x 0 multiplicidade 3 x 2 multiplicidade 2 16 Px x 1x 2x 3x 4 x 1 multiplicidade 1 x 2 multiplicidade 1 x 3 multiplicidade 1 x 4 multiplicidade 1 Graph Image Graph Image 17 Qx x 5²x 3⁴ x 5 multiplicidade 2 x 3 multiplicidade 4 18 fx x²x 2²x 2² x 2 multiplicidade 2 x 0 multiplicidade 2 x 2 multiplicidade 2 Graph Image Graph Image 19 Ht 3 tt² 1 x 3 multiplicidade 1 20 Zb b42 b² b 42 multiplicidade 1 b 0 multiplicidade 1 b 42 multiplicidade 1 Graph Image 21 gx x 23 1 domınio imagem x y 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 22 gx x 24 1 domınio imagem 1 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 gx 2 3x 14 domınio imagem 2 x y 1 2 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 24 gx x5 3 domınio imagem x y 1 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 95 25 gx x 15 10 domınio imagem x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 26 gx 8 x6 domınio imagem 8 x y 1 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 Temos que f4 23 f3 5 f0 5 f1 3 f2 5 e f3 5 portanto o Teorema do Valor Intermediario diz que fx x3 9x 5 tem zeros reais nos intervalos 4 3 0 1 e 2 3 28 V x x85 2x11 2x 4x3 39x2 935x 0 x 425 O volume e maximizado quando x 158 portanto as dimensoes da caixa com volume maximo sao altura 158 polegadas largura 534 polegadas e profundidade 784 polegadas O volume maximo e 6615 polegadas cubicas 29 O maximo ocorre quando x 6305 e y 1115417 Uma vez que x representa o numero de TVs vendidas em centenas x 6305 corresponde a 6305 TVs Como nao se pode vender meia TV comparamos R630 1115415 e R631 1115416 portanto 631 TVs resulta em uma receita ligeiramente maior Como y representa a receita em milhares de dolares a receita maxima e 1115416 30 Px Rx Cx 5x3 35x2 45x 25 0 x 1007 31 O maximo ocorre quando x 3897 e y 35255 Uma vez que x representa o numero de TVs vendidas em centenas x 3897 corresponde a 3897 TVs Como nao se pode vender 07 de uma TV comparamos P389 35254 e P390 35255 portanto 390 TVs resulta em um lucro ligeiramente maior Como y representa o lucro em milhares de dolares o lucro maximo e 35255 32 Vender 71 consoles resulta em um lucro maximizado de 591067 96 33 a V x x2130 4x 4x3 130x2 b O maximo de y V x em 0 33 0 21000 ocorre em 2167 2034259 portanto as dimensoes da caixa de volume maximo sao 2167in2167in4332in para um volume de 2034259in3 c V x 4x3108x2 O maximo ocorre em 1800 1166400 portanto as dimensoes da caixa de volume maximo sao 1800in1800in36in para um volume de 1166400in3 97 13 Divisão de Polinômios Nos exercícios 1 6 efetue a divisão polinomial Escreva o polinômio dado na forma px dxqx rx 1 4x2 3x 1 x3 2 2x3 x 1 x2 x 1 3 5x4 3x3 2x2 1 x2 4 4 x5 7x3 x x3 x2 1 5 9x3 5 2x3 6 4x2 x 23 x2 1 Nos exercícios 7 20 use o dispositivo de BriotRuffini para efetuar a divisão de polinômios Escreva o polinômio dado na forma px dxqx rx 7 3x2 2x 1 x 1 8 x2 5 x5 9 3 4x 2x2 x 1 10 4x2 5x 3 x 3 11 x3 8 x 2 12 4x3 2x 3 x3 13 18x2 15x 25 x 53 14 4x2 1 x 12 15 2x3 x2 2x 1 x 12 16 3x3 x 4 x 23 17 2x3 3x 1 x 12 18 4x4 12x3 13x2 12x 9 x 32 19 x4 6x2 9 x 3 20 x6 6x4 12x2 8 x 2 Nos exercícios 21 30 determine pc usando o Teorema do Resto para a função polinomial e para o valor de c dados Se pc 0 fatore px xcqx 21 px 2x2 x 1 c 4 22 px 4x2 33x 180 c 12 23 px 2x3 x 6 c 3 24 px x3 2x2 3x 4 c 1 25 px 3x3 6x2 4x 8 c 2 26 px 8x3 12x2 6x 1 c 12 27 px x4 2x2 4 c 32 28 px 6x4 x2 2 c 23 29 px x4 x3 6x2 7x 7 c 7 30 px x2 4x 1 c 2 3 Nos exercıcios 31 40 sao dados um polinˆomio e um de seus zeros Use os metodos conhecidos e tentativa e erro para encontrar os demais zeros e fatorar o polinˆomio 31 x3 6x2 11x 6 c 1 32 x3 24x2 192x 512 c 8 33 3x3 4x2 x 2 c 2 3 34 2x3 3x2 11x 6 c 1 2 35 x3 2x2 3x 6 c 2 36 2x3 x2 10x 5 c 1 2 37 4x4 28x3 61x2 42x 9 c 1 2 e um zero de multiplicidade 2 38 x5 2x4 12x3 38x2 37x 12 c 1 e um zero de multiplicidade 3 39 125x5 275x4 2265x3 3213x2 1728x 324 c 3 5 e um zero de multiplicidade 3 40 x2 2x 2 c 1 3 Nos exercıcios 41 45 crie um polinˆomio p que tem as caracterısticas desejadas Pode deixar o polinˆomio na forma fatorada 41 Os zeros de p sao c 2 e c 1 O termo principal de px e 117x4 42 Os zeros de p sao c 1 e c 3 c 3 e um zero de multiplicidade 2 O termo principal de px e 5x3 43 As solucoes de px 0 sao x 3 e x 6 O termo principal de px e 7x4 O ponto 3 0 e um mınimo local do grafico de y px 44 As solucoes de px 0 sao x 3 x 2 e x 4 O termo principal de px e x5 O ponto 2 0 e um maximo local do grafico de y px 45 p tem grau 4 quando x px p tem exatamente trˆes intersecoes com o eixo x 6 0 1 0 e 117 0 O grafico de y px cruza o eixo x em 1 0 46 Encontre um polinˆomio quadratico com coeficientes inteiros que tenha x 3 5 29 5 como seus zeros reais 99 Respostas 1 4x2 3x 1 x 34x 15 44 2 2x3 x 1 x2 x 12x 2 x 3 3 5x4 3x3 2x2 1 x2 45x2 3x 18 12x 71 4 x5 7x3 x x3 x2 1x2 x 6 7x2 6 5 9x3 5 2x 392 x2 274 x 818 2838 6 4x2 x 23 x2 14 x 19 7 3x2 2x 1 x 13x 1 2 8 x2 5 x 5x 5 20 9 3 4x 2x2 x 12x 2 5 10 4x2 5x 3 x 34x 17 54 11 x3 8 x 2x2 2x 4 0 12 4x3 2x 3 x 34x2 12x 38 111 13 18x2 15x 25 x 5318x 15 0 14 4x2 1 x 124x 2 0 15 2x3 x2 2x 1 x 122x2 2 0 16 3x3 x 4 x 233x2 2x 13 389 17 2x3 3x 1 x 122x2 x 52 14 18 4x4 12x3 13x2 12x 9 x 324x3 6x2 4x 6 0 19 x4 6x2 9 x 3x3 3 x2 3x 33 0 20 x6 6x4 12x2 8 x 2x5 2 x4 4x3 42 x2 4x 42 0 21 p4 29 22 p12 0 px x 124x 15 23 p3 45 24 p1 2 25 p2 0 px x 23x2 4 26 p12 0 px x 128x2 8x 2 27 p32 7316 28 p23 7427 29 p7 0 px x 7x3 1 7x2 1 7x 7 30 p2 3 0 px x 2 3x 2 3 31 x3 6x2 11x 6 x 1x 2x 3 32 x3 24x2 192x 512 x 83 33 3x3 4x2 x 2 3x 23x 12 34 2x3 3x2 11x 6 2x 12x 2x 3 35 x3 2x2 3x 6 x 2x 3x 3 36 2x3 x2 10x 5 2x 12x 5x 5 37 4x4 28x3 61x2 42x 9 4x 122x 32 38 x5 2x4 12x3 38x2 37x 12 x 13x 3x 4 39 125x5 275x4 2265x3 3213x2 1728x 324 125x 353x 2x 6 40 x2 2x 2 x 1 3x 1 3 41 px 117x 2x 2x 1x 1 42 px 5x 1x 32 43 px 7x 32x 3x 6 44 px x 22x 3x 3x 4 45 px ax 62x 1x 117 onde a pode ser um número negativo qualquer 46 px 5x2 6x 4 14 Zeros de Polinˆomios Nos exercıcios 1 20 encontre os zeros reais do polinˆomio usando tentativa e erro e reducao de grau Determine tambem a multiplicidade de cada zero 1 fx x3 2x2 5x 6 2 fx x4 2x3 12x2 40x 32 3 fx x4 9x2 4x 12 4 fx x3 4x2 11x 6 5 fx x3 7x2 x 7 6 fx 2x3 19x2 49x 20 7 fx 17x3 5x2 34x 10 8 fx 36x4 12x3 11x2 2x 1 9 fx 3x3 3x2 11x 10 10 fx 2x4 x3 7x2 3x 3 11 fx 9x3 5x2 x 12 fx 6x4 5x3 9x2 13 fx x4 2x2 15 14 fx x4 9x2 14 15 fx 3x4 14x2 5 16 fx 2x4 7x2 6 17 fx x6 3x3 10 18 fx 2x6 9x3 10 19 fx x5 2x4 4x 8 20 fx 2x5 3x4 18x 27 Nos exercıcios 21 23 use o GeoGebra para ajudalo a encontrar os zeros reais do polinˆomio dado Determine a multiplicidade de cada zero real 21 fx x5 60x3 80x2 960x 2304 22 fx 25x5 105x4 174x3 142x2 57x 9 23 fx 90x4 399x3 622x2 399x 90 24 Encontre os zeros reais de fx x3 1 12x2 7 72x 1 72 primeiramente determinando um polinˆomio qx com coeficientes inteiros tal que qx N fx para algum inteiro N Nos exercıcios 25 34 resolva a inequacao polinomial e expresse sua resposta usando notacao de intervalo 25 2x3 19x2 49x 20 0 26 x4 9x2 4x 12 27 x 12 4 28 4x3 3x 1 102 29 x4 16 4x x3 30 3x2 2x x4 31 x3 2x2 2 x 2 32 x3 20x 8 x2 2 33 2x4 5x2 3 34 x6 x3 6 35 No exercıcio 33 da Secao 12 determinamos o volume de uma caixa como sendo igual a V x 4x3 44x2 120x onde x denota o comprimento do lado do quadrado que e removido dos cantos com 0 x 5 Resolva a inequacao V x 80 analiticamente e interprete sua resposta no contexo do exemplo 36 No exercıcio 32 da Secao 12 Cx 03x3 45x2 225x250 para x 0 modela o custo de se produzir consoles de jogos Se o orcamento para producao e de 5000 encontre o numero de consoles que podem ser produzidos dentro do orcamento 37 Seja fx 5x7 33x6 3x5 71x4 597x3 2097x2 1971x 567 Com a ajuda de seus colegas encontre as intersecoes do grafico de f com os eixos x e y Encontre os intervalos em que a funcao e crescente ou decrescente e os extremos locais 103 Respostas 1 fx x3 2x2 5x 6 x 2 x 1 x 3 cada um com mult 1 2 fx x4 2x3 12x2 40x 32 x 2 mult 3 x 4 mult 1 3 fx x4 9x2 4x 12 x 2 mult 2 x 1 mult 1 x 3 mult 1 4 fx x3 4x2 11x 6 x 6 mult 1 x 1 mult 2 5 fx x3 7x2 x 7 x 7 mult 1 6 fx 2x3 19x2 49x 20 x 1 2 x 4 x 5 cada um com mult 1 7 fx 17x3 5x2 34x 10 x 5 17 x 2 cada um com mult 1 8 fx 36x4 12x3 11x2 2x 1 x 1 2 mult 2 x 1 3 mult 2 9 fx 3x3 3x2 11x 10 x 2 x 3 69 6 cada um com mult 1 10 fx 2x4 x3 7x2 3x 3 x 1 x 1 2 x 3 each mult 1 11 fx 9x3 5x2 x x 0 x 5 61 18 cada um com mult 1 12 fx 6x4 5x3 9x2 x 0 mult 2 x 5 241 12 cada um com mult 1 13 fx x4 2x2 15 x 3 cada um com mult 1 14 fx x4 9x2 14 x 2 x 7 cada um com mult 1 15 fx 3x4 14x2 5 x 5 cada um com mult 1 104 16 fx 2x4 7x2 6 x 62 x 2 cada um com mult 1 17 fx x6 3x3 10 x ³2 ³2 x ³5 cada um com mult 1 18 fx 2x6 9x3 10 x ³202 x ³2 cada um com mult 1 19 fx x5 2x4 4x 8 x 2 x 2 cada um com mult 1 20 fx 2x5 3x4 18x 27 x 32 x 3 cada um com mult 1 21 fx x5 60x3 80x2 960x 2304 x 4 mult 3 x 6 mult 2 22 fx 25x5 105x4 174x3 142x2 57x 9 x 35 mult 2 x 1 mult 3 23 fx 90x4 399x3 622x2 399x 90 x 23 x 32 x 53 x 35 cada um com mult 1 24 Escolhemos qx 72x3 6x2 7x 1 72fx Os zeros reais de f e g são x 13 x 16 e x 14 25 12 45 26 2 13 27 1 3 28 12 1 29 2 2 30 1 1 0 2 31 2 2 2 32 2 4 33 3 3 34 ³3 ³2 35 Vx 80 em 1 5 5 5 5 Apenas o intervalo 1 5 5 está no domínio entretanto No contexto do problema isso significa que para o volume da caixa ser ao menos 80 polegadas cúbicas o quadrado removido deve ter lado de ao menos uma polegada mas não maior que 5 5 276 polegadas 36 Cx 5000 em 8218 aproximadamente O intervalo contido no domínio é 0 8218 Uma vez que x representa o número de consoles verificamos C82 498304 e C83 507811 portanto para permanecer dentro do orçamento entre 1 e 82 consoles podem ser produzidos 15 Funcoes Racionais Nos exercıcios 1 18 para a funcao racional f dada Encontre o domınio de f Identifique quaisquer assıntotas verticais ao grafico de y fx Identifique quaisquer lacunas no grafico Encontre as assıntotas horizontais caso existam Encontre as assıntotas oblıquas caso existam Trace o grafico da funcao usando o GeoGebra e descreva o comportamento proximo as assıntotas 1 fx x 3x 6 2 fx 3 7x 5 2x 3 fx x x2 x 12 4 fx x x2 1 5 fx x 7 x 32 6 fx x3 1 x2 1 7 fx 4x x2 4 8 fx 4x x2 4 9 fx x2 x 12 x2 x 6 10 fx 3x2 5x 2 x2 9 11 fx x3 2x2 x x2 x 2 12 fx x3 3x 1 x2 1 13 fx 2x2 5x 3 3x 2 14 fx x3 4x x2 9 15 fx 5x4 3x3 x2 10 x3 3x2 3x 1 16 fx x3 1 x 17 fx 18 2x2 x2 9 18 fx x3 4x2 4x 5 x2 x 1 19 O custo C em dolares para remover p das especies de peixe invasoras de uma lagoa e dada por Cp 1770p 100 p 0 p 100 a Encontre e interprete C25 e C95 b O que a assıntota vertical em x 100 significa no contexto do problema c Que porcentagem de peixes invasores podese remover com 40000 20 No exercıcio 71 da Secao 4 a populacao de Mapiguaris do Amazonas foi modelada pela funcao Pt 150t t 15 onde t 0 representa o ano de 1803 Encontre a assıntota horizontal ao grafico de y Pt e explique o que ela significa 106 21 O custo C em dolares para fazer x tocadores de mp3 e Cx 100x 2000 x 0 a Encontre a formula para o custo medio Cx onde Cx Cx x b Encontre e interprete C1 e C100 c Quantos tocadores precisam ser produzidos para que o custo medio seja 200 d Interprete o comportamento de Cx quando x 0 Dica encontre o custo fixo C0 primeiro para ajudar sua interpretacao e Interprete o comportamento de Cx quando x 22 Usando as leis de analise de circuito eletrico e possıvel mostrar que a potˆencia P em um determinado circuito esta relacionada a resistˆencia x pela formula Px 25x x 392 com x 0 a Trace o grafico da funcao y Px no GeoGebra b Use o GeoGebra para encontrar o valor aproximado da potˆencia maxima Qual o valor da resistˆencia correspondente c Encontre e interprete o comportamentod Px quando x 107 Respostas 1 fx x 3x 6 domınio 2 2 Assıntota vertical x 2 Quando x 2 fx Quando x 2 fx Nenhuma lacuna no grafico Assıntota horizontal y 1 3 Quando x fx 1 3 Quando x fx 1 3 2 fx 3 7x 5 2x domınio 5 2 5 2 Assıntota vertical x 5 2 Quando x 5 2 fx Quando x 5 2 fx Nenhuma lacuna no grafico Assıntota horizontal y 7 2 Quando x fx 7 2 Quando x fx 7 2 3 fx x x2 x 12 x x 4x 3 domınio 4 4 3 3 Assıntotas verticais x 4 x 3 Quando x 4 fx Quando x 4 fx Quando x 3 fx Quando x 3 fx Nenhuma lacuna no grafico Assıntota horizontal y 0 Quando x fx 0 Quando x fx 0 4 fx x x2 1 domınio Nenhuma assıntota vertical Nenhuma lacuna no grafico Assıntota horizontal y 0 Quando x fx 0 Quando x fx 0 5 fx x 7 x 32 domınio 3 3 Assıntota vertical x 3 Quando x 3 fx Quando x 3 fx Nenhuma lacuna no grafico Assıntota horizontal y 0 Quando x fx 0 Quando x fx 0 6 fx x3 1 x2 1 x2 x 1 x 1 domınio 1 1 1 1 Assıntota vertical x 1 Quando x 1 fx Quando x 1 fx Lacuna em 1 3 2 Assıntota oblıqua y x Quando x o grafico esta abaixo de y x Quando x o grafico esta acima de y x 108 7 fx 4xx2 4 domínio Nenhuma assíntota vertical Nenhuma lacuna no gráfico Assíntota horizontal y 0 Quando x fx 0 Quando x fx 0 8 fx 4xx2 4 4x x 2x 2 domínio 2 2 2 2 Assíntotas verticais x 2 x 2 Quando x 2 fx Quando x 2 fx Quando x 2 fx Quando x 2 fx Nenhuma lacuna no gráfico Assíntota horizontal y 0 Quando x fx 0 Quando x fx 0 9 fx x2 x 12x2 x 6 x 4x 2 domínio 3 3 2 2 Assíntota vertical x 2 Quando x 2 fx Quando x 2 fx Lacuna em 3 75 Assíntota horizontal y 1 Quando x fx 1 Quando x fx 1 10 fx 3x2 5x 2x2 9 3x 1x 2 x 3x 3 domínio 3 3 3 3 Assíntotas verticais x 3 x 3 Quando x 3 fx Quando x 3 fx Quando x 3 fx Quando x 3 fx Nenhuma lacuna no gráfico Assíntota horizontal y 3 Quando x fx 3 Quando x fx 3 11 fx x3 2x2 xx2 x 2 xx 1 x 2 domínio 1 1 2 2 Assíntota vertical x 2 Quando x 2 fx Quando x 2 fx Lacuna 1 0 Assíntota oblíqua y x 3 Quando x o gráfico está abaixo de y x 3 Quando x o gráfico está acima de y x 3 12 fx x3 3x 1x2 1 domínio Nenhuma assíntota vertical Nenhuma lacuna no gráfico Assíntota oblíqua y x Quando x o gráfico está acima de y x Quando x o gráfico está abaixo de y x 13 fx 2x2 5x 33x 2 domínio 23 23 Assíntota vertical x 23 Quando x 23 fx Quando x 23 fx Nenhuma lacuna no gráfico Assíntota oblíqua y 23x 119 Quando x o gráfico está acima de y 23x 119 Quando x o gráfico está abaixo de y 23x 119 14 fx x3 4xx2 9 x3 4xx 3x 3 domínio 3 3 3 3 Assíntotas verticais x 3 x 3 Quando x 3 fx Quando x 3 fx Quando x 3 fx Quando x 3 fx Nenhuma lacuna no gráfico Assíntota oblíqua y x Quando x o gráfico está acima de y x Quando x o gráfico está abaixo de y x 15 fx 5x4 3x3 x2 10x3 3x2 3x 1 5x4 3x3 x2 10x 13 domínio 1 1 Assíntotas verticais x 1 Quando x 1 fx Quando x 1 fx Nenhuma lacuna no gráfico Assíntota oblíqua y 5x 18 Quando x o gráfico está acima de y 5x 18 Quando x o gráfico está abaixo de y 5x 18 16 fx x31 x domínio 1 1 Assíntota vertical x 1 Quando x 1 fx Quando x 1 fx Nenhuma lacuna no gráfico Nenhuma assíntota horizontal ou oblíqua Quando x fx Quando x fx 17 fx 18 2x2x2 9 2 domínio 3 3 3 3 Nenhuma assíntota vertical Lacunas no gráfico em 3 2 e 3 2 Assíntota horizontal y 2 Quando x fx 2 18 fx x3 4x2 4x 5x2 x 1 x 5 domínio Nenhuma assíntota vertical Nenhuma lacuna no gráfico Assíntota oblíqua y x 5 fx x 5 em todo ponto 19 a C25 590 significa que custa 590 para remover 25 dos peixes e C95 33630 significa que custaria 33630 para remover 95 dos peixes da lagoa b A assıntota vertical em x 100 significa que a medida que tentamos remover 100 dos peixes da lagoa o custo aumenta sem limite ie e impossıvel remover todos os peixes c Por 40000 e possıvel remover cerca de 9576 dos peixes 20 A assıntota horizontal do grafico de Pt 150t t15 e y 150 e isso significa que o modelo prevˆe que a populacao de mapiguaris no Amazonas nunca excedera 150 21 a Cx 100x2000 x x 0 b C1 2100 e C100 120 Quando apenas 1 tocador e produzido o custo por tocador e 2100 mas quando 100 sao produzidos o custo por tocador e de 120 c Cx 200 quando x 20 Portanto para se chegar ao custo de 200 por tocador 20 precisam ser produzidos d Quando x 0 Cx Isso significa que quando menos e menos tocadores sao produzidos o custo por tocador se torna ilimitado Nesta situacao existe um custo fixo de 2000 C0 2000 que tentamos dividir entre cada vez menos tocadores e Quando x Cx 100 Isso significa que quando mais e mais tocadores sao produzidos o custo medio por tocador se aproxima de 100 mas e sempre um pouco maior que 100 Uma vez que 100 e o custo por tocador Cx 100x 2000 isso significa que o custo medio e sempre um pouco maior que o custo unitario pois estamos distribuindo o custo fixo para cada tocador 22 a b A potˆencia maxima e aproximadamente 1603 mW o que corresponde a 39 kΩ c Quando x Px 0 o que significa que quando a resistˆencia cresce sem limite a potˆencia diminui para zero 111 16 Equacoes e Inequacoes Racionais Nos exercıcios 1 6 resolva a equacao racional Verifique as solucoes encontradas 1 x 5x 4 3 2 3x 1 x2 1 1 3 1 x 3 1 x 3 x2 3 x2 9 4 2x 17 x 1 x 5 5 x2 2x 1 x3 x2 2x 1 6 x3 4x x2 9 4x Nos exercıcios 7 20 resolva a inequacao racional Expresse sua resposta usando a notacao de intervalo 7 1 x 2 0 8 x 3 x 2 0 9 x x2 1 0 10 4x x2 4 0 11 x2 x 12 x2 x 6 0 12 3x2 5x 2 x2 9 0 13 x3 2x2 x x2 x 2 0 14 x2 5x 6 x2 1 0 15 3x 1 x2 1 1 16 2x 17 x 1 x 5 17 x3 4x x2 9 4x 18 1 x2 1 0 19 x4 4x3 x2 2x 15 x3 4x2 x 20 5x3 12x2 9x 10 x2 1 3x 1 21 Carlos e Miguel iniciam uma corrida de trˆes milhas ao mesmo tempo Se Miguel corre a 6 milhas por hora e termina 10 minutos antes de Carlos qual a velocidade de Carlos 22 Uma andorinha voa trˆes quartos de milha a favor do vento que sopra a seis milhas por hora faz a volta e retorna exatamente 4 minutos depois Qual a velocidade da andorinha descontandose a velocidade do vento 23 A fim de se remover a agua de um porao duas bombas que bombeiam a uma taxa de 40 galoes por minuto sao usadas Apos meia hora uma bomba quebra e a outra continua funcionando por mais meia hora Quantos galoes de agua foram removidos do porao 24 Uma torneira pode encher um tanque em 5 minutos enquanto um ralo esvazia o mesmo tanque em 8 minutos Se a torneira e o ralo sao abertos ao mesmo tempo com o tanque vazio em quanto tempo o tanque enchera 25 Trabalhando juntos Daniel e Paulo podem limpar um estabulo em 45 minutos Sozinho Daniel pode limpar em uma hora Em quanto tempo Paulo limparia o estabulo sozinho 112 26 O custo para se fabricar consoles de jogos e dado pela funcao Cx 03x345x2225x250 para x 0 Use o GeoGebra para determinar o numero de consoles que devem ser produzidos para se minimizar o custo medio C 27 Queremos fazer uma caixa de base quadrada e sem tampa com 500 centımetros cubicos de volume Modele a superfıcie lateral S em funcao do lado x da base e use o GeoGebra para estimar qual a superfıcie mınima possıvel 28 Uma caixa de cereal deve ter 140 polegadas cubicas Por razoes esteticas a altura da caixa precisa ser 162 vezes maior que a base Use o GeoGebra para estimar as dimensoes da caixa que minimizam a area da superfıcie Qual e a superfıcie mınima 29 Sara e a vizinha de is Joaozinho do exercıcio 19 da Secao 10 Sara tambem quer plantar um jardim retangular ao lado de casa mas ela nao comprou o arame para cercar o jardim ainda Como ela quer que o jardim tenha 100 pes quadrados qual a menor quantidade de arame que ela precisa comprar Lembre que um dos lados do jardim fica colado a casa 30 Outro problema classico queremos fazer uma lata de formato cilındrico para conter 336 polegadas cubicas a Encontre uma expressao para o volume V da lata em termos da altura h e do raio da baser b Encontre uma expressao para a area da superfıcie S da lata em termos da altura h e do raio da baser c Usando o fato que V 336 escreva S como uma funcao de r e indique o domınio implıcito d Use o GeoGebra para estimar as dimensoes da lata que minimizam a superfıcie lateral 31 Um balde cilındrico deve conter 735 pes cubicos de lıquido Use o GeoGebra para estimar as dimensoes da lata que minimizam a area da superfıcie da lata Qual a area mınima 32 No exercıcio 71 da Secao 4 a populacao de mapiguaris do Amazonas foi modelada pela funcao Pt 150t t15 onde t 0 representa o ano de 1803 Quando existiram menos de 100 no Amazonas Nos exercıcios 33 38 traduza o que segue em equacoes matematicas 33 Sob pressao constante a temperatura T de um gas ideal e diretamente proporcional a seu volume V This is Lei de Charles 34 A frequˆencia f de uma onda e inversamente proporcional ao comprimento de onda λ 35 A densidade d de um material e diretamente proporcional a massa do objeto m e inversamente proporcional a seu volume V 113 36 O quadrado do período orbital P de um planeta é diretamente proporcional ao cubo do semieixo maior a de sua órbita Essa é a Terceira Lei de Kepler do Movimento Planetário 37 O arrasto D de um objeto movendose através de um fluido varia juntamente com a densidade ρ do fluido e com o quadrado da velocidade v do objeto 38 Suponha que duas cargas elétricas com cargas q e Q são posicionadas a r unidades de distância A força eletroestática a F exercida entre as cargas varia diretamente com o produto das cargas e inversamente com o quadrado da distância entre elas Essa é a Lei de Coulomb 39 De acordo com esta página da internet a frequência f de uma corda vibrante é dada por f 12L sqrtTμ onde T é a tensão μ é densidade de massa por unidade de comprimento e L é o comprimento da corda Expresse essa relação usando a linguagem de variação 40 O Índice de Massa Corporal B é diretamente proporcional ao peso W e inversamente proporcional ao quadrado da altura h a Expresse essa relação como uma equação matemática b Se uma pessoa que tem 5 pés e 10 polegadas de altura e pesa 235 libras tem Índice de Massa Corporal 337 qual é a o valor da constante de proporcionalidade c Rescreva a equação matemática encontrada na parte 40a incluindo o valor da constante encontrada em 40b e então encontre o seu Índice de Massa Corporal 41 Sabemos que a circunferência de um círculo varia diretamente com seu raio com 2π como constante de proporcionalidade isto é C 2πr Com a ajuda de seus colegas liste outras relações geométricas que podem ser expressas na linguagem de variação RESPOSTAS 1 x 67 2 x1 x2 3 x1 4 x6 x2 5 Nenhuma solução 6 x0 x 2 sqrt2 7 2 8 2 3 9 1 0 1 10 0 11 3 3 2 4 12 3 13 2 3 13 1 0 2 14 3 2 1 1 15 1 2 16 6 1 2 17 3 2 sqrt2 0 2 sqrt2 3 18 Nenhuma solução 19 3 0 0 4 5 20 1 12 1 21 45 milhas por hora 22 24 milhas por hora 23 3600 galões 24 403 1333 minutos 25 3 horas 26 O mínimo absoluto de y Cx ocorre em 7573 5957 Como x representa o número de consoles testamos C75 5958 e C76 5957 Logo para minimizar o custo médio 76 consoles devem ser produzidos a um custo de 5957 por console 27 A largura e a profundidade devem ser de 1000 centímetros e a altura 500 centímetros A área da superfície mínima é de 30000 centímetros quadrados 28 A largura deve ser de 412 polegadas a altura 667 polegadas e a profundidade 509 polegadas a área da superfície mínima é de 16491 polegadas quadradas 29 As dimensões são 7 por 14 pés o mínimo de arame necessário é de 28 pés 30 a V πr2h b S 2πr2 2πrh c Sr 2πr2 672r Domínio r0 d r 1749 in e h 3498 in 31 O raio do balde deve ser de 105 pés e a altura 212 pés A área da superfície mínima é de 2093 pés cúbicos 32 Pt 100 em 1530 e a parte contida no domínio implícito é 030 Como t0 corresponde ao ano de 1803 de 1803 até o fim de 1832 existiam menos que 100 mapiguaris no Amazonas 33 T kV 34 f kλ 35 d kmV 36 P² ka³ 37 D kρv² 38 F kqQr² 39 Reescrevendo f 12L sqrtTμ como f 12 sqrtTμL vemos que a frequência f varia diretamente com a raiz quadrada da tensão e inversamente com o comprimento e com a raiz quadrada da densidade de massa 40 a B kWh² b k 70268 c B 70268Wh² 3 O símbolo λ é a letra grega minúscula lâmbda 4 Os símbolos ρ e v são as letras gregas minúsculas ró e ni respectivamente 56 g f1 3 57 f g3 4 58 g f2 0 59 f g0 4 60 f f1 3 61 g g1 0 62 V x x3 so V xt t 13 63 a Rx 2x b R x t 8t2 40t 184 0 t 4 Isso e a receita por hora como funcao do tempo c Meiodia corresponde a t 2 portanto R x 2 232 A receita horaria ao meiodia e 232 por hora 125 26 Mostre que a funcao de conversao de Fahrenheit para Celsius encontrada no exercıcio 35 da Secao 8 e inversıvel e que sua inversa e a funcao de conversao de Celsius para Fahrenheit 27 Mostre analiticamente que a funcao fx x3 3x 1 e injetiva Como encontrar a inversa dessa funcao e difıcil use o fato que y fx se e somente se x f1y para calcular f11 f15 e f13 28 Com a ajuda de seus colegas explique porque uma funcao que e estritamente crescente ou estritamente decrescente em seu domınio deve ser injetiva logo inversıvel 29 Se f e ımpar e inversıvel prove que f1 e tambem ımpar 30 Sejam f e g funcoes inversıveis Com a ajuda de seus colegas mostre que f g e injetiva logo inversıvel e que f g1x g1 f1x 31 Que caracterıstica o grafico de uma funcao f deve possuir para f seja sua propria inversa 32 Que condicoes devemos impor aos valores de a b c e d no exercıcio 24 a fim de garantir que a funcao seja inversıvel 127 27 10 x 2 11 28 3x x 29 2x 2 1 3 2 3xx 2 4 3 0 30 4 3x 2 4 3 8 9xx 2 7 3 0 31 2x 1 3 x 3 1 3 x 2 3 x 3 2 3 0 32 3 x3 3x2 6x 8 x 1 33 1 3x 3 4 x 3 2 3 3 4x 1 4 x 3 1 3 0 34 x 1 3 x 3 2 3 x 4 3 x 3 5 3 x2 3x 2 0 35 2 3x 4 3 5 x 2 1 3 3 5x 4 2 5 x 2 2 3 0 36 Rework Example so that the outpost is 10 miles from Route 117 and the nearest junction box is 30 miles down the road for the post 37 The volume V of a right cylindrical cone depends on the radius of its base r and its height h and is given by the formula V 1 3πr2h The surface area S of a right cylindrical cone also depends on r and h according to the formula S πr r2 h2 Suppose a cone is to have a volume of 100 cubic centimeters a Use the formula for volume to find the height h as a function of r b Use the formula for surface area and your answer to 37a to find the surface area S as a function of r c Use your calculator to find the values of r and h which minimize the surface area What is the minimum surface area Round your answers to two decimal places 38 The National Weather Service uses the following formula to calculate the wind chill W 3574 06215 Ta 3575 V 016 04275 Ta V 016 where W is the wind chill temperature in F Ta is the air temperature in F and V is the wind speed in miles per hour Note that W is defined only for air temperatures at or lower than 50F and wind speeds above 3 miles per hour a Suppose the air temperature is 42 and the wind speed is 7 miles per hour Find the wind chill temperature Round your answer to two decimal places b Suppose the air temperature is 37F and the wind chill temperature is 30F Find the wind speed Round your answer to two decimal places 39 As a followup to Exercise 38 suppose the air temperature is 28F a Use the formula from Exercise 38 to find an expression for the wind chill temperature as a function of the wind speed WV b Solve WV 0 round your answer to two decimal places and interpret 130 Respostas 1 fx 1 x2 Domain 1 1 1 0 0 1 No asymptotes Unusual steepness at x 1 and x 1 No cusps x y 1 1 1 2 fx x2 1 Domain 1 1 1 0 0 1 No asymptotes Unusual steepness at x 1 and x 1 No cusps x y 3 2 1 1 2 3 1 2 3 3 fx x 1 x2 Domain 1 1 1 0 0 0 1 0 No asymptotes Unusual steepness at x 1 and x 1 No cusps x y 1 1 1 1 4 fx x x2 1 Domain 1 1 1 0 0 1 No asymptotes Unusual steepness at x 1 and x 1 No cusps x y 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 133 b Damage to your hearing can start with short term exposure to sound levels around 115 decibels What intensity I is needed to produce this level c Compute L1 How does this compare with the threshold of pain which is around 140 decibels 77 The pH of a solution is a measure of its acidity or alkalinity Specifically pH logH where H is the hydrogen ion concentration in moles per liter A solution with a pH less than 7 is an acid one with a pH greater than 7 is a base alkaline and a pH of 7 is regarded as neutral a The hydrogen ion concentration of pure water is H 107 Find its pH b Find the pH of a solution with H 63 1013 c The pH of gastric acid the acid in your stomach is about 07 What is the corresponding hydrogen ion concentration 78 Show that logb 1 0 and logb b 1 for every b 0 b 1 79 Crazy bonus question Without using your calculator determine which is larger eπ or πe 141 24 Aplicacoes das Funcoes Exponencial e Logaritmo For each of the scenarios given in Exercises 1 6 Find the amount A in the account as a function of the term of the investment t in years Determine how much is in the account after 5 years 10 years 30 years and 35 years Round your answers to the nearest cent Determine how long will it take for the initial investment to double Round your answer to the nearest year Find and interpret the average rate of change of the amount in the account from the end of the fourth year to the end of the fifth year and from the end of the thirtyfourth year to the end of the thirtyfifth year Round your answer to two decimal places 1 500 is invested in an account which offers 075 compounded monthly 2 500 is invested in an account which offers 075 compounded continuously 3 1000 is invested in an account which offers 125 compounded monthly 4 1000 is invested in an account which offers 125 compounded continuously 5 5000 is invested in an account which offers 2125 compounded monthly 6 5000 is invested in an account which offers 2125 compounded continuously 7 Look back at your answers to Exercises 1 6 What can be said about the difference between monthly compounding and continuously compounding the interest in those situations With the help of your classmates discuss scenarios where the difference between monthly and continuously compounded interest would be more dramatic Try varying the interest rate the term of the investment and the principal Use computations to support your answer 8 How much money needs to be invested now to obtain 2000 in 3 years if the interest rate in a savings account is 025 compounded continuously Round your answer to the nearest cent 9 How much money needs to be invested now to obtain 5000 in 10 years if the interest rate in a CD is 225 compounded monthly Round your answer to the nearest cent 10 On May 31 2009 the Annual Percentage Rate listed at Jeffs bank for regular savings accounts was 025 compounded monthly Use Equation to answer the following a If P 2000 what is A8 b Solve the equation At 4000 for t c What principal P should be invested so that the account balance is 2000 is three years 155 11 Jeffs bank also offers a 36month Certificate of Deposit CD with an APR of 225 a If P 2000 what is A8 b Solve the equation At 4000 for t c What principal P should be invested so that the account balance is 2000 is three years d The Annual Percentage Yield is the simple interest rate that returns the same amount of interest after one year as the compound interest does With the help of your classmates compute the APY for this investment 12 A finance company offers a promotion on 5000 loans The borrower does not have to make any payments for the first three years however interest will continue to be charged to the loan at 299 compounded continuously What amount will be due at the end of the three year period assuming no payments are made If the promotion is extended an additional three years and no payments are made what amount would be due 13 Use Equation to show that the time it takes for an investment to double in value does not depend on the principal P but rather depends only on the APR and the number of compoundings per year Let n 12 and with the help of your classmates compute the doubling time for a variety of rates r Then look up the Rule of 72 and compare your answers to what that rule says If youre really interested10 in Financial Mathematics you could also compare and contrast the Rule of 72 with the Rule of 70 and the Rule of 69 In Exercises 14 18 we list some radioactive isotopes and their associated halflives Assume that each decays according to the formula At A0ekt where A0 is the initial amount of the material and k is the decay constant For each isotope Find the decay constant k Round your answer to four decimal places Find a function which gives the amount of isotope A which remains after time t Keep the units of A and t the same as the given data Determine how long it takes for 90 of the material to decay Round your answer to two decimal places HINT If 90 of the material decays how much is left 14 Cobalt 60 used in food irradiation initial amount 50 grams halflife of 527 years 15 Phosphorus 32 used in agriculture initial amount 2 milligrams halflife 14 days 16 Chromium 51 used to track red blood cells initial amount 75 milligrams halflife 277 days 17 Americium 241 used in smoke detectors initial amount 029 micrograms halflife 4327 years 18 Uranium 235 used for nuclear power initial amount 1 kg grams halflife 704 million years 10Awesome pun 156 25 The Law of Uninhibited Growth also applies to situations where an animal is reintroduced into a suitable environment Such a case is the reintroduction of wolves to Yellowstone National Park According to the National Park Service the wolf population in Yellowstone National Park was 52 in 1996 and 118 in 1999 Using these data find a function of the form Nt N0ekt which models the number of wolves t years after 1996 Use t 0 to represent the year 1996 Also round your value of k to four decimal places According to the model how many wolves were in Yellowstone in 2002 The recorded number is 272 26 During the early years of a community it is not uncommon for the population to grow according to the Law of Uninhibited Growth According to the Painesville Wikipedia entry in 1860 the Village of Painesville had a population of 2649 In 1920 the population was 7272 Use these two data points to fit a model of the form Nt N0ekt were Nt is the number of Painesville Residents t years after 1860 Use t 0 to represent the year 1860 Also round the value of k to four decimal places According to this model what was the population of Painesville in 2010 The 2010 census gave the population as 19563 What could be some causes for such a vast discrepancy For more on this see Exercise 37 27 The population of Sasquatch in Bigfoot county is modeled by Pt 120 1 3167e005t where Pt is the population of Sasquatch t years after 2010 a Find and interpret P0 b Find the population of Sasquatch in Bigfoot county in 2013 Round your answer to the nearest Sasquatch c When will the population of Sasquatch in Bigfoot county reach 60 Round your answer to the nearest year d Find and interpret the end behavior of the graph of y Pt Check your answer using a graphing utility 28 The halflife of the radioactive isotope Carbon14 is about 5730 years a Use Equation to express the amount of Carbon14 left from an initial N milligrams as a function of time t in years b What percentage of the original amount of Carbon14 is left after 20000 years c If an old wooden tool is found in a cave and the amount of Carbon14 present in it is estimated to be only 42 of the original amount approximately how old is the tool d Radiocarbon dating is not as easy as these exercises might lead you to believe With the help of your classmates research radiocarbon dating and discuss why our model is somewhat oversimplified 158 38 According to OhioBiz the census data for Lake County Ohio is as follows Year t 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 Population 15576 15935 16326 18235 21680 22927 28667 41674 50020 75979 Year t 1960 1970 1980 1990 2000 Population 148700 197200 212801 215499 227511 a Use your calculator to fit a logistic model to these data using x 0 to represent the year 1860 b Graph these data and your logistic function on your calculator to judge the reasonable ness of the fit c Use this model to estimate the population of Lake County in 2010 The 2010 census gave the population to be 230041 d According to your model what is the population limit of Lake County Ohio 39 According to facebook the number of active users of facebook has grown significantly since its initial launch from a Harvard dorm room in February 2004 The chart below has the approximate number Ux of active users in millions x months after February 2004 For example the first entry 10 1 means that there were 1 million active users in December 2004 and the last entry 77 500 means that there were 500 million active users in July 2010 Month x 10 22 34 38 44 54 59 60 62 65 67 70 72 77 Active Users in Millions Ux 1 55 12 20 50 100 150 175 200 250 300 350 400 500 With the help of your classmates find a model for this data 40 Each Monday during the registration period before the Fall Semester at LCCC the Enrollment Planning Council gets a report prepared by the data analysts in Institutional Effectiveness and Planning12 While the ongoing enrollment data is analyzed in many different ways we shall focus only on the overall headcount Below is a chart of the enrollment data for Fall Semester 2008 It starts 21 weeks before Opening Day and ends on Day 15 of the semester but we have relabeled the top row to be x 1 through x 24 so that the math is easier Thus x 22 is Opening Day Week x 1 2 3 4 5 6 7 8 Total Headcount 1194 1564 2001 2475 2802 3141 3527 3790 Week x 9 10 11 12 13 14 15 16 Total Headcount 4065 4371 4611 4945 5300 5657 6056 6478 12The authors thank Dr Wendy Marley and her staff for this data and Dr Marcia Ballinger for the permission to use it in this problem 161 Week x 17 18 19 20 21 22 23 24 Total Headcount 7161 7772 8505 9256 10201 10743 11102 11181 With the help of your classmates find a model for this data Unlike most of the phenomena we have studied in this section there is no single differential equation which governs the enrollment growth Thus there is no scientific reason to rely on a logistic function even though the data plot may lead us to that model What are some factors which influence enrollment at a community college and how can you take those into account mathematically 41 When we wrote this exercise the Enrollment Planning Report for Fall Semester 2009 had only 10 data points for the first 10 weeks of the registration period Those numbers are given below Week x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Headcount 1380 2000 2639 3153 3499 3831 4283 4742 5123 5398 With the help of your classmates find a model for this data and make a prediction for the Opening Day enrollment as well as the Day 15 enrollment WARNING The registration period for 2009 was one week shorter than it was in 2008 so Opening Day would be x 21 and Day 15 is x 23 162 31 a Tt 75 105e0005005t b The roast would have cooled to 140F in about 95 minutes 32 From the graph it appears that as x 0 y This is due to the presence of the lnx term in the function This means that Fritzy will never catch Chewbacca which makes sense since Chewbacca has a head start and Fritzy only runs as fast as he does yx 1 4x2 1 4 lnx 1 4 33 The steady state current is 2 amps 36 The linear regression on the data below is y 174899x 070739 with r2 0999995 This is an excellent fit x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lnNx 24849 41897 59454 76967 94478 111988 129497 147006 164523 182025 Nx 202869574879x 202869e174899x with r2 0999995 This is also an excellent fit and corresponds to our linearized model because ln202869 070739 37 a The calculator gives y 28950610147x Graphing this along with our answer from Exercise 26 over the interval 0 60 shows that they are pretty close From this model y150 25840 which once again overshoots the actual data value b P150 18717 so this model predicts 17914 people in Painesville in 2010 a more conservative number than was recorded in the 2010 census As t Pt 18691 So the limiting population of Painesville based on this model is 18691 people 38 a y 242526 1 87462e007113x where x is the number of years since 1860 b The plot of the data and the curve is below c y140 232889 so this model predicts 232889 people in Lake County in 2010 166 d As x y 242526 so the limiting population of Lake County based on this model is 242526 people 167