Lista 04 - Fisica 2

4ª Lista de Exercícios de Física II Prof. Nilson E. Souza Filho Fluidos: Hidrostática e Hidrodinâmica. Densidade e Pressão. Problema 01. Encontre o aumento de pressão de um fluido em uma seringa quando uma enfermeira aplica uma força de 42N ao êmbolo da seringa, de raio 1,1cm. Δp = \( \frac{F}{A} \) = \( \frac{42}{\pi (1,1 \times 10^{-2})^2} \) Δp = 1,1 \times 10^5Pa Problema 02. A janela de um escritório tem dimensões de 3,4m por 2,1m. Como resultado de uma tempestade, a pressão do ar do lado de fora cai para 0,96atm, mas a pressão de dentro permanece de 1,0atm. Qual o valor da força que puxa a janela para fora? F = ΔpA = \((p_{pe} - p_i) A\) 1atm = 1,013 \times 10^5Pa. F = (1 - 0,96) \times 1,013 \times 10^5 (3,4) (2,1) F = 2,9 \times 10^4N Problema 03. Uma caixa vedada com uma tampa de 12p0^2 de área é parcialmente evacuada. Se uma força de 108libras é necessária para tirar a tampa da caixa e a pressão atmosférica do exterior é de 15 lb/in^2, qual é a pressão do ar na caixa? A magnitude da força necessária para tirar a tampa é: F = \((p_{pa} - p_{pi}) A\), sendo pi -> pressão interna; pa -> pressão fora. Portanto pi = pa - \frac{F}{A} = 15 - \frac{108}{12} pi = 6psi/p0^2 ou [lb/in^2] 1psi = 6,894,76 Pa. Problema 04. Membros da tripulação tentam escapar de um submarino danificado, 100m abaixo da superfície. Que força eles têm de aplicar no alçapão, de 1,2m por 0,60m, para empurrá-lo para fora? Considere a densidade da água do oceano 1,025 Kg/m^3. F = \((p_f - p_\circ) A\) A pressão a uma profundidade d é: (p_\circ + p gd) = p_f em que p_\circ -> pressão atmosférica. (p_\circ + p gd) A -> força p/ baixo (F_B) p_\circ A -> força p/ cima (F_C) p = 1,025 Kg/m^3 F = (p_\circ + p gd) A - p_\circ A = p gd A = 7,2 \times 10^5N. Problema 05. As saídas dos canos de esgotos de uma casa construída em uma ladeira está 8,2m abaixo do nível da rua. Se o cano de esgoto se encontra a 2,1m abaixo do nível da rua, encontre a diferença de pressão mínima que deve ser criada pela bomba de recalque para puxar esgoto de densidade média 900Kg/m^3. Primeiro, temos que considerar o bombamento do cano num instante qualquer. A força mínima da bomba é aquela que pode equilibrar a força gravitacional no esgoto. Sob tal força mínima o esgoto será empurrado sem mudar sua energia cinética. * Força gravitacional no esgoto -> P = pgl A. * Força que empurra o esgoto p/ baixo no cano -> F = p_a A. * Força da bomba no esgoto -> F_B = p_a A. Portanto, a diferença de pressão que deve ser mantida pela bomba é: F_B - F = P (p_\circ - p) A = pgl A. Δp = 900 . 9,8 . 6,1 Δp = 5,4 \times 10^4Pa. Problema 06. Dois vasos cilíndricos idênticos, com suas bases ao mesmo nível, contêm um líquido de densidade p. A área da base é A para ambos, mas em um dos vasos a altura do líquido é h1 e no outro é h2. Encontre o trabalho realizado pela força gravitacional ao igualar os níveis, quando os dois vasos são conectados. Quando os níveis são os mesmos a altura do líquido é: \( h_{\ell} = \frac{(h_1 + h_2)}{2}\) Supondo h_1 > h_2, a situação final pode ser atingida somando-se uma porção de líquido com volume \( A(h_1-h_2)\) e massa \( pA(h_1 - h_2)\), No primeiro vaso, é baixando-a por uma distância (h_1 - h_2) . Portanto, o trabalho realizado pela força gravitacional é: W = \( pA (h_1-h_2) g (h_1-h_2)= (pA)\left( \frac{(h_1 - h_2)}{2}\right)(h_1-h_2 - h_2)\) W = \( \frac{1}{4}p g A (h_1 - h_2)^2 \) Problema 12. A figura 3 representa um tubo de corrente (ou mesmo um cano), atraves do qual um fluido ideal escoa a uma taxa constante. Durante um intervalo de tempo Δt, a quantidade de fluido indicada pela area escura na figura 3a e transferida da entrada para a extremidade de saida (como indica a figura 3b). Use o principio da conservacao da energia mecanica e determine a equacao de Bernoulli. E_M = K + U\nΔE_M = W\nE_M^f - E_M^i = F. Δx\n(K_2 + U_2) - (K_1 + U_1) = (p_1 A_1 L - p_2 A_2 L) 1/2 m v_2^2 V_2 - 1/2 m v_1^2 v_1 + ρ g y_2 v_2 - ρ g y_1 v_1 = ρ(p_1 - p_2)ΔV\n p_1 + 1/2 ρ v_1^2 + ρ g y_1 = p_2 + 1/2 ρ v_2^2 + ρ g y_2\nou entao p + 1/2 ρ v^2 + ρ g y = cte. {se tivermos um fluido em repouso -> p_2 = p_1 + ρ g (y_1 - y_2).\n{se y = cte = 0 -> p_1 + 1/2 ρ v_1^2 = p_2 + 1/2 ρ v_2^2. Aplicacoes da Equacao de Bernoulli. Problema 13. A agua se move com uma velocidade de 5,0 m/s atraves de um cano com uma area de seccao transversal de 4,0 cm^2. A agua desce 10 m gradualmente, enquanto a area do cano aumenta para 8,0 cm^2. (a) Qual e a velocidade do escoamento no nivel mais baixo? (b) Se a pressao no nivel mais alto for 1,5 x 10^5 Pa, qual sera a pressao no nivel mais baixo? (a) Pela equacao de continuidade : A_1 v_1 = A_2 v_2 Portanto, v_2 = A_1 v_1 / A_2 = 4/8 (5) = 2,5 m/s. (b) Dada a equacao de Bernoulli : p_1 + 1/2 ρ v_1^2 + ρ g h_1 = p_2 + 1/2 ρ v_2^2 + ρ g h_2 p_2 = p_1 + 1/2 ρ (v_1^2 - v_2^2) + ρ g (h_1 - h_2) p_2 = 1,5 x 10^5 + 1/2 (0,99 x 10^3) [5^2 - (2,5)^2] = 2,6 x 10^5 Pa. Problema 14. Se a velocidade de escoamento, passando por debaixo de uma asa, e 110 m/s, que velocidade de escoamento na parte de cima criara uma diferenca de pressao de 900 Pa, entre as superficies de cima e de baixo? Considere a densidade do ar ρ = 1,30 x 10^-3. Se os tubos estao na mesma altitude : p_c + 1/2 ρ v_c^2 = p_u + 1/2 ρ v_u^2 desejamos encontrar v_u de modo que (p_c - p_u) = 900 Pa, ou seja : v_u^2 = 2(p_c - p_u)/ρ + v_c^2 = [2(900)/1,3] + (110)^2]^{1/2} v_u = 116 m/s. Problema 15. Aplicando a equacao de Bernoulli e a equacao da continuidade aos pontos 1 e 2 da figura 4, mostre que a velocidade do escoamento na entrada (ponto 1) e\nv = (2 a^2 Δp / ρ (A^2 - a^2))^{1/2} Antes os pontos (1 e 2) estao na mesma altitude, de modo que : p_1 + 1/2 ρ v_1^2 = p_2 + 1/2 ρ v_2^2 (eq. de Bernoulli)\nsendo : A v_1 = a v_2 => v_2 = (A/a) v_1 (eq. da continuidade)\nLogo : (p_1 - p_2) = 1/2 ρ [(A/a)^2 -1] v_1^2\nv_1^2 = (2 (p_1 - p_2) / ρ (A^2 - a^2)) => v_1 = [2 (p_1 - p_2) / ρ (A^2 - a^2)]^{1/2} Problemas Adicionais. Problema 16. No sistema da figura 5, a porção AC contém mercúrio, BC contém óleo e o tanque aberto contém água. As alturas indicadas são h0 = 10 cm, h1 = 5 cm, h2 = 20 cm; as densidades relativas à da água são: 13,6 (mercúrio) e 0,8 (óleo). Determine a pressão pA no ponto A (em atm). p0 = 1 atm p0 = 1,01 x 10^5 Pa. p = 1 x 1 0^3 kg/m^3 ( à 15 C ) p1 = 0,8 x 1 0^3 kg/m^3 p2 = 13,6 x 1 0^3 kg/m^3 g = 10 m/s^2 Figura 5: Problema 16. A Lei de Stevin: A pressão no interior do fluido aumenta linearmene com a profundidade. p = p0 + p g h pB = p0 + p g h0 (pressão no ponto B) pC = (p0 + p0gh0) + p1gh1 Mas a pressão no ponto C também pode ser escrita em termos da contribuição devido à pressão no ponto A: pC = pA + p2gh2 => pA = pC - p2gh2 p A = [( p 0 + p 0 g h 0) + p 1 g h 1] - p 2 g h 2 p A = 1,0 x 105 + 1 x 103. 10 (10 x 10-2) + 0,8 x 10-3. 10 (5 x 10 -2) - 13,6 x 10. 10 (20 x 10-2) p A = 7,5.690 Pa p A = 0,75 atm Problema 17. No manômetro de reservatório (figura 6), calcule a diferença de pressão (p1 - p2) entre os dois ramos em função da densidade p do fluido, dos diâmetros d e D, e da altura h de elevação do fluido no tubo, relativamente ao nível de equilíbrio N0 que o fluido ocupa quando p1 = p2. p = p2 + pg(h + H) Figura 6: Problema 17. p1 = p0 (p1 - p2) = pg(h + H) Av1 = Av2 => p g (h + H) Vol. Cilíndrico HT D^2 / 4 = hT d^2 / 4 H = h. (D^2 / d^2) Ao substituir, temos: (p1 - p2) = pg h (1 + d^2 / D^2) Problema 18. É comum dizer que alguma coisa representa apenas a porção visível de um iceberg. Sabendo-se que a densidade do gelo é 0,92 g/cm^3 e a da água do mar a 1 atm e 0°C é 1,025 g/cm^3, que fração de um iceberg fica submersa? (em %) O empuxo sobre o iceberg é : E = PaVg Em que Vs => Volume do iceberg que está submerso. Como o sistema está em equilíbrio, temos: E = P PaVs g = mg = pv g Logo: f = Vs / V = p / pa = 0,92 / 1,025 ≈ 90% Problema 19. O manômetro de plano inclinado (figura 7), utilizado para medir pequenas diferenças de pressão, (p1 - p2), difere do descrito no problema 22 pela inclinação θ do tubo de diâmetro d. Se o fluido empregado é um óleo de densidade p = 0,8 g/cm^3, com d = 0,5 cm, e D = 2,5 cm, escolha θ para que o deslocamento l seja 5 cm quando (p1 - p2) = 0,001 atm. Figura 7: Problema 19. O sistema é similar ao problema 17, entretanto com uma inclinação. Portanto, (p1 - p2) = pg (1+ d^2 / D) l sen θ sen θ = CO / H cos θ = CA / H θ = sen^-1 [(p2-p1) / pg l (1+ d^2 / D^2)] h = l sen θ θ = sen^-1 [(0,001 x 101 x 10^3 ) / 800 x 10 x 0,05^3 [(1 + (0,5 / 2,5 )^2)] θ ≈ 0,251 RAD ≈ 14,40 Problema 20 Um reservatório de paredes verticais, colocado sobre um terreno horizontal, contém água até a altura h. Se abrirmos um pequeno orifício num parede lateral: (a) A que distância máxima d da parede o jato de água que sai pelo orifício poderá atingir o chão? (b) Em que altura deve estar o orifício para que essa distância máxima seja atingida? A eq. de Bernoulli: p + 1/2 p v^2 + pgy = Cte, por Ler Reescrita como: y + v^2/2g + p0/pg = y0 + v^2_0/2g + p0/pg Ux = |J 2gh (Fórmula de Torricelli) (y-x y0) = g t^2/2 t = sqrt(2/g) (h-z) Distância entre o orifício e o chão. Problema 20 x = 2(hz-z^2)^1/2 (a) Para encontrar o valor em que a distância d seja máxima, temos que fazer: dx/dz = 0 => 1/2 (h – 2z)/(hz – z^2)^1/2 = 0 Então z = h/2 para que x seja máximo! x_max = h Portanto a altura na qual o orifício deve estar para que esta distância máxima seja atingida é na metade da altura da coluna de água. A distância máxima atingida pelo jato de água é igual a altura total h. Problema 24. Um pistão é constituído por um disco ao qual se ajusta um tubo como cilíndrico de diâ­metro d, e está adaptado a um recipiente cilíndrico de diâmetro D. A massa do pistão com o tubo é M e ele está inicialmente no fundo do recipiente. Despeja-se então pelo tubo uma massa m de líquido de densidade p; em consequência, o pistão se eleva de uma altura H, como indica a figura 8. Calcule H. A = π/4 (D^2 - d^2) p = mg/A Pressão na coluna pg = pgh. Sistema em equilíbrio Mg/π/4 (D^2 - d^2) = pgh h = 4M/πp (D^2 - d^2) A massa do líquido é: m = ρV = (ρ [π/4 h D^2 + π/4 H d^2]) Então, H = 4m/πρD^2 - d^2h/d^2 = 1/d^2 (4m/πρ - hd^2) H = 1/d^2 [4m/πρ - 4M/πρ(D^2 - d^2)] H = 4/πρD^2 (m - d^2M/D^2 - d^2) Problema 22. Um reservatório contém água até 0,5m de altura e, sobre a água, uma camada de óleo de densidade 0,698/cm^3, também com 0,5m de altura. Abre-se um pequeno orifício na base do reser­vatório. Qual é a velocidade de escoamento da água? p0 = 10 atm óleo h0 0,5m p1 + ro gh0 0,5m água h1 p2 = p1 + ro gh0 h2 = v2^2/2g v^2 = ? Eq. de Torricelli. Mas a pressão na base também pode ser escrita como p2 = p0 + p2 gh2 em termos do jato da água. p0 + p2 gh2 v^2/2g = p0 + gh (p1 + p2) v^2 = 2gh (p1 + p2)/p2 v = [2.10 1/2 (690 + 1000/1000)]^1/2 p1 = õleo = 690 kg/m^3 p2 = água = 1000 kg/m^3 v ≈ sqrt(46,90) ≈ 4,11 m/s Problema 23. Uma ampulheta é formada, de cada lado, por um tronco de cone circular de altura h = 10cm, raio da base maior R = 10cm e raio da base menor r = 0,1cm. Após enchê-la de água até a metade, ela é invertida (figura 9). (a) Calcule a velocidade inicial de descida do nível da água; (b) Calcule a velocidade de descida do nível depois de ele ter baixado 5cm: Figura 9: Problema 23. Sendo v_0 -> Velocidade inicial na base superior (velocidade de descida do nível da água) v_1 -> Velocidade de escoamento (no orifício) Pela eq. da continuidade, temos que: A_0 v_0 = A_1 v_1 v_0 = A_1 / A_0 v_1 ou v_1 = A_0 / A_1 v_0 Ao aplicar Bernoulli em ambos os pontos, temos: v_0^2 / 2 + g*h = (A_0 / A_1)^2 v_0^2 / 2 v_0^2 (A_0^2 / A_1^2 - 1) = 2gh => v_0 = [2gh / (R^4 - r^4)]^(1/2) v_0 = √(2gh [r^4 / (R^4 - r^4)]) = 0,14mm/s (b) 10cm r'^1 = 5cm h'^1 = 5cm vo = √(2gh' [r^4 / (R^1^4 - r^4)]) ≈ 0,4mm/s. Problema 24. Um sifão é estabelecido, aspirando o líquido do reservatório (de densidade ρ) através do tubo recurvado ABC e fazendo-o jorrar em C, com velocidade de escoamento v. (a) Calcule v em função dos parâmetros da figura 10. (b) Calcule a pressão nos pontos A e B. (c) Qual é o valor máximo de h_0 para o qual o sifão funciona? Figura 10: Problema 24. (a) Ao aplicar Bernoulli entre a superfície do líquido e a saída do tubo, no pto C. E considerar que a velocidade de escoamento no reservatório seja praticamente nula, temos: p_0/ρg + v^2/2g + h_1 = v_0/ρg + v^2/2g v = √(2gh) (b) Ao aplicar Bernoulli entre o ponto A e a superfície do líquido no reservatório e lembrando que a velocidade ao longo do sifão é cte., portanto a velocidade de escoamento no ponto A é a mesma na saída do sifão (ponto C): Ponto A: p_0/ρg + h_1 = p_0/ρg + v^2/2g + h_1 => p_A = p_0 - ρgh_1 Ponto B: p_0/ρg + h_1 = p_0/ρg + v^2/2g + h_1 + h_0 => p_B = p_0 - ρg(h_1 + h_0) (c) Ao aplicar Bernoulli entre o ponto B e a superfície do líquido no reservatório, temos: p_B + h_0 + h_1 = p_0/ρg Para uma pressão nula no ponto B, encontramos: h_0 máx = p_0/ρg - h_1 Problema 25. Para o escoamento com circulação constante, definido pela equação v = C_r / 2πr, demonstre que, num plano horizontal, a pressão p varia com a distância r ao eixo com uma taxa de variação dada por dp/dr = ρv^2/r onde ρ é a densidade do fluido. Interprete esse resultado. Obtenha p como função de r a partir dessa equação e explique o resultado obtido. FIgura 11 - Escoamento Circular A circulação em questão é definida a partir de: v = C_r / 2πr Esse tipo de escoamento assume a forma representada na figura 11. Uma força o fluído de massa infinitesimal dm = ρdV A uma distância r do centro sobre a ação de uma força df. Sendo a_cp -> Aceleração centrípeta a qual a força de fluído está submetida, para ela força centrípeta: df = a_cp dm = a_cp ρdV -> Força infinitesimal. => dF / dv = f = ρa_cp = ρu^2/r -> Densidade de força f = ∇p = dp/dr = ρv^2/r Escrevendo v em termos do raio e da circulação: dp/dr = ρC_r^2 / 4π^2r^3 => ∫dp = ρC_r^2 / 4π^2 ∫r^-3 dr Então p = p_∞ - ρC_r^2 / 8π^2r^2 p∞ = p (r = ∞) p = p_∞ - 1/2 ρv^2 em função do raio e da velocidade. quin - Regular Fit T-shirt med print - white €9.59 Page 2 / 2