Lista de Cálculo

1 TECNOLOGIA EM ENERGIAS RENOVAVEIS Disciplina Calculo de Multiplas Variaveis Professor Luciano Cipriano da Silva Alunoa Matrıcula Lista de exercıcios Extremos de funcoes 1 Encontre todos os extremos locais e pontos de sela das funcoes no itens abaixo a fx y x2 xy y2 3x 3y 4 b fx y x2 3xy 3y2 6x 3y 6 c fx y 5x2 2xy 2y2 4x 4y 4 d fx y 5x2 2xy 2y2 4x 4 e fx y x2 xy 3x 2y 5 f fx y x2 y2 2x 4y 6 h fx y 1 x2 y2 1 i fx y 1 x xy 1 y j fx y y senx k fx y e2x cosy 2 Determine os valores maximos e mınimos absolutos de f no conjunto D a fx y 1 4x 5y onde D e a regiao triangular fechada com vertices 0 0 2 0 e 0 3 b fx y 3 xy x 2y onde D e a regiao triangular fechada com vertices 1 0 5 0 e 1 4 c fx y x4 y4 4xy 2 onde D x y R2 0 x 3 0 y 2 d fx y x y2 onde D x y R2 x 0 y 0 x2 y2 3 3 Use o metodo dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores maximo e mınimo da funcao sujeito as condicoes dadas a fx y x2 y2 x y 1 b fx y x 2y x y z 1 y2 z2 4 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA RIO GRANDE DO NORTE Campus João Câmara LICENCIATURA EM FÍSICA Disciplina Cálculo II Professor Luciano Cipriano da Silva Alunoa Matrícula Lista de exercícios Integrais Múltiplas 1 Calcule a integral iterada a ₁³₀¹ 1 4xy dx dy b ₂⁴₁¹ x² y² dy dx c ₀²₀¹ 2x y⁸ dx dy d ₀¹₁² x ex y dy dx e ₀²₀ᵖʳ r sen²θ dθ dr f ₀¹₀¹ x yx² y² dy dx 2 Calcule a integral dupla a R 6x² y³ 5y⁴ dA R x y ℝ² 0 x 3 0 y 1 b R x² y x² 1 dA R x y ℝ² 0 x 1 3 y 3 c R 1 x² 1 y² dA R x y ℝ² 0 x 1 0 y 1 d R x senx y dA R 0 π6 0 π3 3 Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide elíptico x²4 y²9 z 1 e acima do retângulo R 1 1 2 2 4 Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z 1 ex seny e pelos planos x 1 y 0 y π 5 Calcule a integral iterada a ₀¹₀ˣ² x 4y dy dx b ₁²y² x y dx dy c ₀¹ₓˣ 1 2y dy dx d ₀²y² x y dx dy e ₀ʳᵖ²₀ᶜᵒˢᶿ esenθ dr dθ f ₀¹₀ᵛ 1 v² du dv 6 Calcule a integral dupla a D x³ y² dA D x y ℝ² 0 x 2 x y x b D 4y x³ 2 dA D x y ℝ² 1 x 2 0 y 2x c D x y² x² dA D x y ℝ² 0 y 1 0 x y d D x y dA D é limitada por y x y x² e D y³ dA D é a região triangular de vértices 0 2 1 1 e 3 2 f D y 2x² dA D é limitada pelo quadrado x y 1 7 Determine o volume do sólido abaixo da superfície z x y e acima da região triangular de vértices 1 1 4 1 e 1 2 8 Determine o volume do sólido abaixo do parabolóide z 3x² y² e acima da região delimitada por y x e x y² y 9 Calcule a integral dada usando coordenadas polares a D x y dA onde D é o disco com centro na origem e raio 3 b R x y dA onde R é a região que está à esquerda do eixo y e entre as circunferências x² y² 1 e x² y² 4 c R cosx² y² dA onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x² y² 9 d R ex² y² dA onde R é a região delimitada pelo semicírculo x 4 y² e o eixo y e R x dA onde R é a região do primeiro quadrante compreendida entre as circunferências x² y² 4 e x² y² 2x 10 Use integral dupla para determinar a área da região dada a A região delimitada pela curva r 4 3 cosθ b A região interior a ambos os círculos r cosθ e r senθ 11 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado a Abaixo do cone z x² y² e acima do disco x² y² 4 b Delimitado pelo hiperboloide x² y² z² 1 e pelo plano z 2 c Uma esfera de raio a d Acima do cone z x² y² e abaixo da esfera x² y² z² 1 9 Use a Regra da Cadeia para determinar zs e zt a z x2 x y y2 x s t y s t b z xy x s et y 1 s et c z exy tgy x s 2t y st d z er cosθ r s t θ s2 t2 10 Seja z e2024xy mostre que zx zy 0 11 Se z fx y mostre que zx zy 0 12 Mostre que qualquer função da forma z fx at gx at é solução da equação da onda ²zt² a² ²zx² 0 13 Seja z fx y onde x r cosθ e y r senθ Mostre que zx2 zy2 zr2 1r2z θ2 14 Calcule a derivada implícita dydx a x y 1 x2 y b y5 x2 y3 1 y ex² c cosx y x ey d senx cosy senx cosy 15 Calcule as derivadas implícitas zx e zy a x2 y2 z² 3x yz b y z lnx z 16 Calcule a derivada direcional da função na direção do vetor dado a fx y xy3 x2 u 1 2 b fx y x2 y2 u 1 1 c fx y z xy xz yz u 1 2 3 d fx y ex²y senxy u definido pelo ângulo θ π3 e fx y z 9 x² y² z² u 0 1 2 17 Determine a derivada direcional da função fx y 1 2xy no ponto P3 4 na direção do vetor u 4 3 18 Considere a função fx y y ln x Calcule a Determine o gradiente de f b Calcule o gradiente de f no ponto P1 3 c Encontre a taxa de variação de f em P1 3 na direção do vetor u 45 35 d Calcule a taxa de variação máxima de f no ponto P1 3 e a direção onde isso ocorre 19 Seja fx y x2 y2 4x Encontre o vetor gradiente f1 2 e useo para encontrar a reta tangente à curva de nível fx y 1 no ponto P1 2 Esboce a curva de nível a reta tangente e o vetor gradiente 20 Seja fx y z 9x2 4y2 9z2 Encontre o vetor gradiente f1 322 1 e useo para encontrar o plano tangente à superfície de nível fx y z 36 no ponto P1 322 1 21 Determine a equação da reta tangente à curva de nível da função dada no ponto indicado Faça o esboço da curva de nível da reta e do gradiente no ponto a fx y y2 x2 P2 1 b fx y x2 y P3 5 c fx y xy P3 2 d fx y 3x2 2y2 P1 1 22 Determine a equação do plano tangente à superfície de nível no ponto dado a x 12 y 22 z 22 4 P1 2 4 b z x4 y P0 0 0 c z x4 y2 P0 1 1 c yz lnx z P0 0 1 23 Mostre que a reta normal à superfície x 12 y 22 z 22 4 contem o ponto P1 2 2 24 Mostre que a reta normal à superfície x x02 y y02 z z02 r² contem o ponto Px0 y0 z0 5 Calcule as derivadas parciais de primeira ordem a fx y 3x 2y4 b fx y x5 3x3 y2 3x y4 c fx y xy ex2 y2 d fx y 1x2 y2 e fx y cos2 x2 3y f fx y 2xx lny g fx y z x y z2 3y z h fx y z t x y z2 tg yt 6 Determine as derivadas parciais de segunda ordem a fx y x4 3x2 y3 b fx y ln3x 5y c fx y xx y d fx y y tg2x 7 Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado a z 4x2 y2 2y P1 2 4 b z 9x2 y2 6x 3y 5 P1 2 18 c z y cosx y P2 2 2 d z ex2y2 P1 1 1 8 Use a Regra da Cadeia para determinar dzdt a z x2 y x y2 x 2 t4 y 1 t3 b z x2 y2 x e2t y e2t c z senx cosy x πt y t d z x lnx 2y x sent y cost e z ex2y2 x t 1 y t 1