Lista de Exercício - a Luz e a Oem

Atividades A luz e uma OEM Aplicação da lei de Ampère para um retângulo de altura a e base x paralelo ao plano xz x B B E E y z x e a h x O a g f O Os campos elétrico e magnético de uma OEM planar senoidal são dados por e A onda se propaga no espaço vazio livre de carga e corrente 1 Qual é a direção de propagação da onda e o sentido Exprime o vector de onda em foncão do comprimento de onda e os componentes da base cartesiana 2 Desenha a componente ao longo do eixo do campo életrico em fonção de para Colloqua no grafico e Perto da origem o campo életrico aumenta ou diminui com 3 Desenha a componente ao longo do eixo do campo életrico em fonção de para Colloqua no grafico e Perto da origem o campo magnetico aumenta ou diminui com 4 No plano definimos um circuito plano e orientado O circuito é um rectangulo de altura e base Usando a regra da mão direita desenhe o versor normal a superficie do circuito Exprime usando a base 5 Definir formalmente a circulação do campo magnetico ao longo de um circuito qualquer 6 Qual é o valor da circulação do campo electrico ao longo do circuito 7 Desenha o rectangulo no plano e desenha a vector no meio de cada lado do rectangulo cuidando da direção do sentido e amplitude A circulação é soma da contribução de cada lado Porque o lado e não contribuem na circulação Qual é a contribução do lado e do lado 8 Podemos escrever a circulação nessa forma Usando o resultado anterior qual é a expressão de Quando temos Usando a expressão de temos mathcalCB k Bmax coskxomega t Delta xcdot a 9 Definir formalmente o fluxo do campo eletrico a travez de uma superficie qualquer não fechada 10 Calcule o fluxo do campo electrico a travez da superficie usando a expressão de 11 Mostre que 12 Enuncia a lei de Ampère generalizada Usando as expressões da circulação de e fluxo de mostre que 13 Usando a lei de Faraday podemos mostrar que Mostre que Atividades A luz e uma OEM Aplicação da lei de Ampère para um retângulo de altura α e base Δx paralelo ao plano xz Os campos elétrico e magnético de uma OEM planar senoidal são dados por 𝐸 𝑥𝑡 𝐸𝑚𝑎𝑥 sin 𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑦 e 𝐵 𝑥𝑡 𝐵𝑚𝑎𝑥 sin 𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑧 A onda se propaga no espaço vazio livre de carga e corrente 1 Qual é a direção de propagação da onda e o sentido Exprime o vector de onda em função do comprimento de onda λ e os componentes da base cartesiana 𝑥 𝑦 𝑧 A forma funcional dos campos é 𝐸 𝑥𝑡 𝐸𝑚𝑎𝑥 sin𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑦 𝐵 𝑥𝑡 𝐵𝑚𝑎𝑥 sin𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑧 Para descobrir a direção de propagação fixase a fase ϕ 𝑥 𝑡 𝑘𝑥 𝜔𝑡 constante e resolvese 𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝐶 para 𝑥 em função de 𝑡 𝑥𝑡 𝜔𝑘 𝑡 𝐶𝑘 Como 𝑥𝑡 cresce quando 𝑡 aumenta concluise que a onda se propaga ao longo de 𝑥 sentido positivo do eixo 𝑥 A direção também se confirma pelo produto vetorial entre os campos pois em ondas planas no vácuo vale que é paralelo a 𝐸 𝐵 Como 𝑦 𝑧 𝑥 obtémse a direção 𝑥 O vetor de onda tem módulo 𝑘 2𝜋λ Logo escrito na base cartesiana 𝑘 𝑥 2𝜋λ 𝑥 Portanto concluise que a onda propagase ao longo de 𝑥 e que o vetor de onda é 2𝜋λ 𝑥 2 Desenha a componente 𝐸𝑦 ao longo do eixo 𝑦 do campo elétrico 𝐸 em função de 𝑥 para 𝑡 0 Colloqua no grafico λ e 𝐸𝑚𝑎𝑥 Perto da origem o campo elétrico aumenta ou diminui com 𝑥 A componente pedida é a do campo elétrico ao longo de 𝑦 no instante 𝑡 0 Partese de 𝐸𝑥 𝑡 𝐸𝑚𝑎𝑥 sin𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑦 e substituise 𝑡 0 obtendose a função escalar 𝐸𝑦𝑥 0 𝐸𝑚𝑎𝑥 sin𝑘𝑥 Lembrase que 𝑘 2𝜋λ Assim a periodicidade em 𝑥 é λ e o valor máximo é 𝐸𝑚𝑎𝑥 Para responder sobre o comportamento perto da origem calculase a derivada espacial no instante 𝑡 0 𝐸𝑦𝑥𝑥 0 𝐸𝑚𝑎𝑥 𝑘 cos𝑘𝑥 Avaliase em 𝑥 0 𝐸𝑦𝑥𝑥0 𝐸𝑚𝑎𝑥 𝑘 cos0 𝐸𝑚𝑎𝑥 2𝜋λ Como 𝐸𝑚𝑎𝑥 0 e 2𝜋λ 0 concluise que nas vizinhanças da origem o campo elétrico cresce com 𝑥 3 Desenha a componente 𝐵𝑧 ao longo do eixo 𝑧 do campo elétrico 𝐵 em função de 𝑥 para 𝑡 0 Colloqua no grafico λ e 𝐵𝑚𝑎𝑥 Perto da origem o campo magnetico aumenta ou diminui com 𝑥 A componente pedida é a Bz do campo magnético no instante t 0 Partese de B xt Bmax sinkx ωt ẑ Substituise t 0 e obtémse a função escalar Bzx0 Bmax sinkx Lembrase que k 2πλ Assim a periodicidade espacial é λ e o valor máximo é Bmax Para decidir se perto da origem o campo cresce ou diminui com x calculase a derivada espacial no instante t 0 Bzxx0 Bmax k coskx Avaliase em x 0 Bzxx0 Bmax k cos0 Bmax 2πλ Como Bmax 0 e 2πλ 0 concluise que nas vizinhanças da origem o campo magnético cresce com x 4 No plano x z definimos um circuito Γ plano e orientado O circuito é um rectangulo e f g h de altura a e base Δx Usando a regra da mão direita desenhe o versor normal n a superficie do circuito Exprime n usando a base xŷẑ O circuito Γ está contido no plano x z O versor normal à superfície deve ser perpendicular a esse plano Pelo produto vetorial dos eixos cartesianos sabese que x ẑ ŷ quando o contorno é percorrido no sentido antihorário visto de ŷ Pela regra da mão direita adotandose esse sentido de orientação para Γ obtémse n ŷ Assim escolhendose a orientação usual antihorária do contorno vista de ŷ escrevese na base cartesiana n 010 ŷ 5 Definir formalmente a circulação CB do campo magnetico ao longo de um circuito qualquer Considerase um circuito fechado e orientado Γ contido no espaço e um campo magnético B r definido na vizinhança de Γ Definese formalmente a circulação do campo magnético ao longo de Γ por meio da integral de linha fechada CBΓ Γ B dℓ Para escrever a definição de forma paramétrica parametrizase o circuito por ru com u ab tal que ra rb e dℓ drdu du Então CBΓ ab B ru drdu du O valor depende da orientação escolhida para Γ invertendose a orientação mudase o sinal da circulação CBΓ CBΓ A direção do percurso no contorno relacionase pela regra da mão direita com o versor normal n da superfície orientada que tem Γ como bordo 6 Qual é o valor da circulação do campo electrico ao longo do circuito Γ O circuito Γ está no plano x z O campo elétrico é E xt Emax sinkx ωt ŷ logo aponta na direção ŷ em todos os pontos O elemento de linha ao longo de Γ pertence ao plano xz e portanto é tangente a x ou a ẑ Usase o produto escalar para a circulação Γ E dℓ Γ Ey ŷ dℓ Como dℓ não possui componente em ŷ temse ŷ dℓ 0 em todo o contorno e resulta Γ E dℓ 0 𝒞ℬ 𝐵𝑧 𝑥 Δ𝑥 𝑎 𝑘 𝐵𝑚𝑎𝑥 cos𝑘𝑥 𝜔𝑡 Δ𝑥 𝑎 9 Definir formalmente o fluxo ϕE do campo eletrico a travez de uma superficie qualquer não fechada Considerase uma superficie orientada aberta S com versor normal escolhido nr Definese o fluxo do campo eletrico Er através de S por ϕES S Er nr dS Para uma definição paramétrica parametrizase S por ru v em um domínio D ℝ2 O elemento vetorial de área é dS n dS ru rv dudv onde o sentido do produto vetorial fixa a orientação de n Assim escrevese ϕES D Eru v ru rv dudv O valor de ϕE depende da orientação escolhida para S invertendose n mudase o sinal do fluxo 10 Calcule o fluxo do campo electrico a travez da superficie e f g h usando a expressão de E Usase a expressão do campo elétrico Ex t Emax sinkx ωt ȷ A superfície e f g h está no plano x z e o versor normal escolhido é n ȷ Pelo conceito de fluxo ϕE S E n dS xexeΔx z0z0a Emax sinkx ωt dz dx Como Ey não depende de z integrase em z e obtémse o fator a ϕE a xexeΔx Emax sinkx ωt dx Calculase a integral em x ϕE a Emax 1k coskx ωtxexeΔx a Emax k coskxe ωt coskxe Δx ωt Equivalente e frequentemente mais útil é a forma com identidades trigonométricas ϕE 2 a Emax k sink Δx2 sink xe ωt k Δx2 𝑑𝜙𝐸 𝑑𝑡 𝐸𝑦𝑥 𝑡 𝑡 Δ𝑥 𝑎 𝜔 𝐸𝑚𝑎𝑥 cos𝑘𝑥 𝜔𝑡 Δ𝑥 𝑎 Substituemse essas expressões na lei de Ampère generalizada e cancelamse os fatores comuns coskx ωt Δx a k Bmax μ0 ε0 ω Emax k Bmax μ0 ε0 ω Emax Isolase Bmax Bmax μ0 ε0 ω k Emax Para ondas no vácuo a razão ωk é a velocidade de fase c Logo Bmax c ε0 μ0 Emax Usando ainda ε0 μ0 1c² obtémse a forma equivalente Bmax Emax c 13 Usando a lei de Faraday podemos mostrar que Emax c Bmax Mostre que c 1ε0 μ0 Partese da lei de Faraday em forma diferencial no vácuo E Bt Para a OEM dada Ex t Emax sinkx ωt ȷ Bx t Bmax sinkx ωt ẑ Calculase o rotacional de E Como E só tem componente y e depende apenas de x E Ey x ẑ k Emax coskx ωt ẑ Calculase a derivada temporal de B Bt ω Bmax coskx ωt ẑ ω Bmax coskx ωt ẑ Igualamse os dois lados de Faraday e cancelamse os fatores comuns coskx ωt ẑ k Emax ω Bmax Emax ωk Bmax Reconhecese ωk c velocidade de fase no vácuo obtendose Emax c Bmax Para mostrar c 1ε0 μ0 combinase esse resultado com a relação obtida pela lei de Ampère com termo de Maxwell no vácuo B μ0 ε0 Et k Bmax μ0 ε0 ω Emax Substituise Emax c Bmax k Bmax μ0 ε0 ω c Bmax ωk 1ε0 μ0 c 1ε0 μ0