Lista de Exercicios - Matematica 2

Questão 1 Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou nãolineares Dê também a ordem de cada equação a 1xy 4xy 5y cos x linear e de 2ª ordem Como a variável dependente y e suas derivadas aparecem apenas na 1ª potência e seus coeficientes não funções que dependem apenas da variável independente x 1x e 4x ou são constantes 5 a EDO é linear Como a maior ordem da derivada presente na equação é 2 a EDO é de segunda ordem b yy 2y 1 x² Não linear e de 1ª ordem Como o coeficiente da derivada da variável dependente y é a função y ou seja temos um produto da variável dependente y pela sua derivada a EDO não é linear Como a maior derivada presente na equação é 1 a EDO é de primeira ordem c x³y4 x²y 4xy 3y 0 linear e de 4ª ordem Como a variável dependente y e suas derivadas aparecem apenas na 1ª potência e seus coeficientes não funções que dependem apenas da variável independente x x³ x² 4x ou são constantes 3 a EDO é linear Como a maior derivada presente na equação é 4 a EDO é de quarta ordem Questão 2 Resolva a equação diferencial de variáveis separáveis sujeita à condição inicial dada xcos x 2y e³ᵞ dydx y0 0 Solução Como a EDO é de variáveis separáveis temos que xcos x dx 2y e³ᵞ dy Integrando ambos os lados xcos x dx 2y e³ᵞ dy Para resolver a integral na variável x aplicamos o 4ª Trabalho de Matemática 2 Professora Ligia Laís Fémina Nome Nº de matrícula Data13092025 Curso Agronomia Questões Valor Notas 1ª 30 2ª 60 3ª 60 Total 150 1 Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou nãolineares Dê também a ordem de cada equação a 1xy 4xy 5y cos x b yy 2y 1 x² c x³y4 x²y 4xy 3y 0 2 Resolva a equação diferencial de variáveis separáveis sujeita à condição inicial dada x cos x 2y e³ᵞ dydx y0 0 3 Resolva a equação diferencial exata sujeita à condição inicial indicada 4y 2x 5 6y 4x 1 dydx 0 y1 2 método da integração por partes sejam u x e dv cosxdx Então du dx v cos x dx sen x e xcos x dx xsen x sen x dx xsen x cos x C₁ logo voltando in temos xcos x dx 2y e³ʸ dy xsen x cos x C₁ 2y dy e³ʸ dy xsen x cos x C₁ 2y²2 c₂ 13e³ʸ C₃ xsen x cos x y² e³ʸ3 c₂ C₃ C₁ xsen x cos x y² e³ʸ3 c c c₂ C₃ C₁ Aplicando a condição inicial y0 0 obtemos 01 0 13 C C 13 1 C 23 Portanto a solução da EDO é dada implicitamente por xsen x cos x y² e³ʸ3 23 Questão 3 Resolva a equação diferencial exata sujeita à condição inicial dada 4y 2x 5 6y 4x 1 dydx 0 y1 2 Solução A EDO é da forma Mxydx Nxydy 0 pois 4y 2x 5 6y 4x 1 dydx 0 4y 2x 5 6y 4x 1 dydx 0 4y 2x 5 dx 6y 4x 1 dy 0 4y 2x 5 dx 6y 4x 1 dy 0 onde Mxy 4y 2x 5 e Nxy 6y 4x 1 Como a EDO é exata My Nx deve existir uma função φ chamada de função potencial tal que φx Mxy e φy Nxy Integrando Mxy com respeito à x temos φx dx Mxy dx φxy Mxy dx φxy 4y 2x 5 dx φxy 4yx x²2 5x hy onde h é uma função de y Derivando φ com respeito à y temos φy y 4yx x²2 5x hy 4x hy Agora igualando φy à Nxy obtemos 4x hy 6y 4x 1 hy 6y 1 hy 6y 1 dy hy 3y² y c c cte Logo φxy 4yx x²2 5x 3y² y c e a solução geral da EDO é dada implicitamente pela equação 4yx x²2 5x 3y² y c Aplicando a condição inicial y1 2 obtemos 421 1²2 51 32² 2 c c 8 Portanto a solução da EDO sujeita à condição inicial y1 2 é 4yx x²2 5x 3y² y 8