Lista de Exercícios - Nivelamento de Matemática - Mestrado Profissional - Jun 2022

Lista de exercicios nivelamento de Matematica Mestrado Profissional June 2022 1 Basic set 1 Para as fungoes abaixo esboce as curvas de nivel a fz y Very b fxy xy c fty 3ay d fty a y 2 Encontre as derivadas parciais das fungoes com relagao a x e y e também z nos casos de fungoes de trés varidveis a fz yz 2err9 b fxy In V1 cosx sen c fxy 2 2 In y d fzyz 2e 2e7 xy In 27 c fy 3 Para os itens a até c do exercicio anterior calcule as derivadas parciais de segunda ordem 4 Encontre as derivadas utilizando a regra da cadeia quando necessaria a Encontre a derivada dzdt em que z xy x cost sin2t e y e b Encontre a derivada dzdt em que z In x y 1 et e y cos3t c Encontre f e fs sendo fr s gers em que gzy r7y e gr y ly Jar 5 Calcule o gradiente das fungoes nos pontos indicados a fxy 2 y no ponto 10 b fxy x y no ponto 11 1 c fvy 2 y no ponto 01 d fvy 2 no ponto 00 e Compare as respostas dos itens a a d Em qual ponto o gradiente tem o menor valor Qual a justificativa 6 Responda a Dada a equacao x y 6zy calcule dydzx isto é a derivada da funcao implicita yx b Considere a equagao 3xy 22y 3 Esta define implicitamente uma fungao y fx ao menos na vizinhanga de alguns pontos pertencentes a R Em que pontos essa fungao implicita nao esta definida Qual é 0 valor de dydx quando yl 7 Calcule as seguintes integrais indefinidas a fae b de c f 442 dx J aaa e f 24 27 edy f fav1t 3x2dx g fare dr h f cos a dx i f sinx cosxdx j e cosxdx k faedx 1 fesinadx m f v7ln x dx n 3 9 eae 0 f Pade 8 Calcule as seguintes integrais a fo sinxdx lg b So Ty3g7 dw lg c Jo Fae d fy 42 de Page 2 0 ff Pde f fr xln x dx 00 2 Jo aad h fre e2dx i pre Ze dex 2 Medium set 9 Seja fx 2 Calcule fzx 10 Suponha que para todo t temos que gt f xt yt ft 2t t8 3t a Mostre que 471 0 b Note que g1 f12 e demonstre que oF 1 2 412 11 Considere uma funcdo de producao CobbDouglas QA KL AK34L4 Onde A representa o nivel de tecnologia da firma K representa o capital investido e L representa o trabalho Supondo o estado inicial em A K L 182 16 Responda a Qual é a producao atual da firma b Use diferenciais para aproximar seu novo nivel de produgao quando kK aumenta para 85 DL cai para 157 e A permanece constante c Use uma calculadora para comparar sua resposta na parte b com a real producao 12 Calcule o gradiente de f e a derivada direcional em x 2 e y 3 da funcao f na diregao de u a fxy 4a7y a 1 V3 b fxy In cosy et u 0 vetor unitaério paralelo a v 21 13 Encontre os pontos criticos das fungoes e classifiqueos maximo local minimo local ponto de sela ou nao é possivel classificar Indique se ha fungoes estritamente cOncavas para baixo concavas ou para cima convexas a fzy 2e h b fxy 2 Try 2x 5y c fa y 2 a4 2x bry 3y 424 d fzy2z 2 4 Gryz y 42 Page 3 14 Um monopolista produz um tinico produto que é vendido em dois mercados diferentes A fungao de demanda em cada mercado é dada por Q 35 A e Qo 25 Pa em que Q é a quantidade vendida no mercado 1 e 2 a quantidade de produto vendida no mercado 2 O monopolista produz tudo na mesma fabrica e a funcao custo de producao é dada por CQ1 Q2 90 20 Qi Q2 a Quanto o monopolista deveria produzir para cada mercado para maximizar seu lucro b Verifique a condicaéo de segunda ordem 15 Responda V ou F e justifique d a Se hx y 6x 5y 0 entao v3 18 x b Se Zx y 12 2y 0 entao 4 44 60 16 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores maximo e minimo das fungoes abaixo sujeitas as restricdes dadas a fxy x 2y sujeito a x y 10 b fxy In xy sujeito a x 2y 6 c fxy z 2x 6y 10z sujeito a x y 2 35 17 Queremos cercar uma area de 100 km2 em um campo retangular dividindoo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados Quais devem ser os comprimentos dos lados para que o custo da cerca seja minimo 18 a Calcule a area do plano limitada pela reta y 0 e pelo grafico de y 5 2x 32 comla22 b Calcule a Area entre as curvas y x1e y 2 1 no intervalo 2 2 c Calcule a Area do conjunto de todos os pontos x y tais que0 re a y 22 d Calcule a area definida pelo grafico y x e y limitada pelas retas x 0 e x 12 19 Seja Fa 1cosx uma primitiva de fx ae determine J pe fxdx 3 Hard set 20 Suponha que a temperatura da Agua de uma certa piscina em um ponto de coordenadas xyz seja dada por Tz yz 30 e3 e3 e73 em que T é medida em c xy e z sao medidas em metros e a origem do sistema de coordenadas fica no fundo da piscina a Determine a taxa de variacéo da temperatura quando nos deslocamos do ponto 1 11 na diregao do ponto 0 0 1 Page 4 b Suponha que um objeto esta afundando na direcao vertical a uma velocidade de 1ms Calcule a taxa de variacao da temperatura com relacao ao tempo quando o objeto passa pelo ponto 1 1 1 c Partindo do ponto 1 1 1 em que direcao a temperatura aumenta mais rapida mente 21 Considere a funcao fx y y2 3x2 a partir do ponto inicial 1 2 responda a Qual o vetor que representa o sentido e a direcao de maior crescimento da funcao b Qual a taxa de variacao da funcao para a direcao encontrada c Seja u a b um vetor unitario Determine a relacao entre a e b que define a direcao em que a funcao nao varia d Estime variacao aproximada da funcao a partir do ponto inicial para uma trajetoria paralela ao vetor v 2 1 por uma distˆancia de 001 22 Determine 3 numeros positivos cuja soma e igual a 300 e cujo produto e maximo 23 Um consumidor habituado a comprar dois produtos x e y tem um comportamento tal que ele procura maximizar a chamada funcao utilidade dada por Ux y 4 ln x 6ln y em que x e y representam a quantidade de produto consumida de cada bem A quantidade de dinheiro que ele esta disposto a gastar com os dois produtos e de R 50000 O preco do bem x e R 500 enquanto o preco do bem y e R 1000 Calcule o quanto ele devera gastar com cada produto de modo a maximizar sua funcao utilidade mediante a restricao orcamentaria dada Mostre graficamente que essa solucao corresponde a um maximo 24 Seja V b o valor maximo da funcao fx y sobre o conjunto determinado pela restricao gx y b em que f g R2 R sao funcoes duas vezes continuamente diferenciaveis e b R e um parˆametro exogeno Se V b b2b determine o multiplicador de Lagrange quando b 50 25 Sejam f g R2 R funcoes diferenciaveis definidas por fx y x05y05 e gx y x2 y2 Quando sujeita a restricao dada pelo conjunto nao vazio Kc x y R2 gx y c a funcao f assume um valor maximo V c Seja λ λc o multiplicador de Lagrange introduzido para a determinacao do maximo de f sobre o conjunto Kc Classifique os itens abaixo como V verdadeiro ou F falso justificando suas respostas a V 2r2 r para todo r 0 b λc V c c λcV c 1 d Se c 8 entao fx y 2 para todo x y Kc 26 O problema de uma firma minimizadora de custos no longo prazo e min wL rK sujeito a L23K13 c Page 5 a Encontre a quantidade de L e kK quando w 80 r 40 ec 1200 b No problema de minimizagaéo condicionada do custo qual o significado do multipli cador de Lagrange X c Estime a variacao da solugdo do problema para c 1199 27 Dada a fungao fxy ry eo conjunto B zy RP ry120y O Represente graficamente o conjunto B no plano cartesiano e calcule a integral dupla Sp Fx ydydx 28 Seja B xy Ry V12x 0y O calcule ff 2 2 ydydx 29 Calcule a seguinte integral dupla D x ydydx sendo D a regiao entre as parabolas yrery 30 Julgue as afirmativas como Verdadeiras ou Falsas e justifique a Se fX XTAX onde A I 6a matriz identidade n x n e X a matrizcoluna de incégnitas de dimensao n x 1 Entao one X b Seja f R R definida por fX X7AX 0 BX onde X ae A 2 21 fo 1 fa fi ax 12 F 4 B 1 eb 5 entao para X teremos 55 3 c Seja f R R definida por fX b AX7b AX entao oe 0 para X ATAATD d Se ABXBA IA onde A e B sao matrizes I é matriz identidade Entao o valor de X BAAB 31 Considere os sistemas lineares abaixo e julgue as afirmativas rctytkz2 rytkz0 7 4 314y2zk U1 43r4y2z0 2x 3yz1 2x 3y 20 a Se k 3 entao o sistema I tem solugao tinica b Se k 0 o sistema homogéneo associado a II tem infinitas solucoes c Para k 1 a matriz dos coeficientes de I é uma matriz ortogonal Page 6