Lista Mat 2

3 Usando a transformação de rotação em 90 temos T 0 1 1 0 detT 0 1 1 1 0 e como o determinante é diferente de 0 a transformação é injetora Para o núcleo de T fazemos beginpmatrix 0 1 1 0 endpmatrix x y endpmatrix beginpmatrix 0 0 endpmatrix rightarrow begincases y0 rightarrow y0 x0 endcases quad exte Ker vec0Para o inverso fazemosleftbeginarraycccc 0 1 1 0 1 0 0 1 endarrayright xrightarrowL1 leftrightarrow L2 leftbeginarraycccc 1 0 0 1 0 1 1 0 endarrayright xrightarrowL2 cdot 1 leftbeginarraycccc 1 0 0 1 0 1 1 0 endarrayright e T1 0 1 1 0 então se Tv yx T1v yx 4 a 411213 0382 441011 42 42 102 112 253 1591 b u v 42 12 22 32 02 32 82 22 30 77 548 877 1425 c 2u 2u 2 u 2u 4u 430 219 d 3411213 50382 3122 1511251 152 112 22 512 225 121 4 2601 2951 5432 e 312232122222 312218 318 118 218 218 0707 0236 0471 0471 f Verificação da norma do vetor unitário de e 07072 02362 04712 04712 1 para o núcleo de T fazemos 0 1 1 0 x y 0 0 y0 y0 x0 e Ker0 para o inverso fazemos 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 L21L2 1 0 0 1 1 0 e T1 0 1 1 0 então se Tv yx T1v yx 12 Dadas as bases B 10 01 e B 21 34 a Escrevendo os elementos de B como combinações lineares de B Para 10 10 a21 b34 2a 3b 1 a 4b 0 a 411 b 111 Para 01 01 c21 d34 2c 3d 0 c 4d 1 c 311 d 211 A matriz de transição de B para B é MBB 411 311 111 211 b Escrevendo os elementos de B como combinações de B 21 210 101 34 310 401 A matriz de transição de B para B é MBB 2 3 1 4 c Sendo WB 3 5 WB MBB WB 411 311 111 2113 5 121511 31011 311 1311 1 Sabemos que Tk v k v Se Tv a b c dx y e Tk v k 1 0 0 1x y onde v x y então a b c d k 0 0 k ka bk ck dk e k 0 0 k a b c d ka kb kc kd As matrizes são idênticas logo T Tk Tk T o que significa que T Tkv Tk Tv 2 As matrizes de rotação são T1 cos θ1 sin θ1 sin θ1 cos θ1 e T2 cos θ2 sin θ2 sin θ2 cos θ2 de modo que T1 T2 cos θ1 cos θ2 sin θ1 sin θ2 cos θ1 sin θ2 sin θ1 cos θ2 sin θ1 cos θ2 cos θ1 sin θ2 sin θ1 sin θ2 cos θ1 cos θ2 cosθ1 θ2 sinθ1 θ2 sinθ1 θ2 cosθ1 θ2 Tθ1θ2 Logo T1 T2 Tθ1θ2 5 Se dois vetores são ortogonais v u 0 a 1 3 2 4 2 1 4 6 2 0 ortogonais b 2 2 2 1 1 1 2 2 2 6 não ortogonais c u1 u2 u3 0 0 0 0 0 0 0 ortogonais d 4 6 10 1 2 1 2 9 8 6 20 9 27 não ortogonais e 0 3 2 1 5 2 1 0 0 6 2 0 8 não ortogonais f a b b a ab b a 0 ortogonais 6 a Tx 1 2 3 43 2 3 4 9 8 1 1 ou 1 1 b Tx 1 2 0 3 1 51 1 3 1 2 0 3 1 15 3 13 ou 3 13 c Tx 2 1 4 3 5 7 6 0 1x1 x2 x3 2x1 x2 4x3 3x1 5x2 7x3 6x1 x3 d 1 1 2 4 7 8x1 x2 x1 x2 2x1 4x2 7x1 8x2 7 Dada a matriz A 12 12 12 12 det A 12 12 12 12 12 12 1 ok Para os vetores coluna o produto interno é 12 12 12 12 12 12 0 ok Se A é rotação de ângulo θ temos A cos θ sin θ sin θ cos θ Portanto cos θ 12 e sin θ 12 Deste modo θ 135 ou θ 3π4 13 Dada a base B 3 0 3 3 2 1 1 6 1 encontrar a matriz MBB a Para o vetor a b c Para 6 6 0 3a 3b c 6 2b 6c 6 3a b c 0 a 0 b 32 c 32 Para 2 6 4 3d 3e f 2 2e 6f 6 3d e f 4 d 89 e 12 f 56 Para 2 3 7 3g 3h i 2 2h 6i 3 3g h i 7 g 209 h 54 i 1112 A matriz de transição será MBB 0 89 209 32 12 54 32 56 1112 b Note que W u1 u2 u3 3 3 1 0 2 6 3 1 1 5 8 1 Seja um vetor VB 1 1 1 suas coordenadas em B são VB MBB VB 0 89 209 32 12 54 32 56 11121 1 1 289 14 1712 3 11 0 25 1 42 8 a 2 3 5 7 10 21 11 b 6 2 4 0 24 0 24 c 1 5 4 3 3 3 3 15 12 0 d 2 2 3 1 7 4 2 14 12 0 9 Sabemos que u v u v cos θ logo cos θ uv u v a cos θ 11 2²3² 5²7² 11 13 74 03547 e θ arccos03547 11077 b θ arccos24 6²2² 4²0² arccos24 404 16157 c Como u v 0 θ 90 d Como u v 0 θ 90 10 Se V é perpendicular a w₁ e w₂ então V w₁ 0 e V w₂ 0 Usando as propriedades do produto escalar obtemos V k₁w₁ k₂w₂ V k₁w₁ V k₂w₂ k₁V w₁ k₂V w₂ k₁0 k₂0 0 Logo V e k₁w₁ k₂w₂ são perpendiculares 11 a 0 1 1 2 1 0 02 11 10 1 não ortogonais b 12 12 12 12 12 12 0 ortogonais c 12 12 12 12 12 12 1 não ortogonais d 0 0 0 1 0 0 0 ortogonais