Mecanica Aplicada - Estudo do Equilibrio - Conceitos e Aplicacoes

UA3 Estudo do Equilíbrio Site Ambiente Virtual de Aprendizagem Curso Mecânica Aplicada Livro UA3 Estudo do Equilíbrio Impresso por Mauricio Sueiro Correa Data sexta 5 jul 2024 1219 Descrição Autora Jocemar de Souza Índice 1 UA3 Estudo do Equilíbrio 1 UA3 Estudo do Equilíbrio APRESENTAÇÃO Caros alunos e alunas tudo bem Sou o Professor Jocemar e estudaremos juntos a disciplina Mecânica Aplicada Quando falamos em Mecânica estamos referindonos a uma área da Física responsável pelo estudo de movimentos dos corpos bem como suas evoluções temporais e as equações matemáticas que os determinam É uma área de relevante importância para todos nós pois há inúmeras aplicações cotidianas como queda de corpos pela gravidade acidentes automobilísticos ou aeronáuticos aceleração de corpos pela aplicação de força movimentos dos planetas equilíbrio de corpos dentre tantos outros A Mecânica Aplicada dedicase ao estudo e entendimento da Física e da Aplicação prática da Mecânica Ao estudo de Mecânica Aplicada analisaremos as respostas dos corpos sólidos e fluídos ou sistema de corpos quando submetidos a forças externas Alguns exemplos de sistemas mecânicos incluem o fluxo de líquidos sob pressão a fratura de um sólido causada por uma força aplicada ou a vibração de um sistema auditivo em resposta ao som Estudaremos conceitos básicos de matemática que são fundamentais para bom andamento do curso equilíbrio dos sistemas mecânicos conceito de momento centro de massa e resistência dos materiais Ao longo de minha trajetória como aluno e professor percebi que grande parte da dificuldade apresentada pelos alunos no entendimento e resolução de problemas existe devido à falta de compreensão dos Conceitos Básicos Portanto não passe para outra unidade de aprendizagem caso haja alguma dúvida Excelente estudo a todos nós OBJETIVO DA UNIDADE Após o término desta Unidade de Aprendizagem você deverá ter aprendido o seguinte Estudo de Forças Equilíbrio de Pontos Materiais Lei dos Senos Torque Iniciaremos nossa Unidade de Aprendizagem 3 UA3 estudando as forças e o Equilíbrio de forças atuando sobre um Ponto Conforme veremos ao longo desta Unidade de Aprendizagem o estudo de Geometria e Vetores foi de suma importância Bons estudos a todos Vamos lá Simbora CONHEÇA O CONTEUDISTA Pois bem vocês devem estar se perguntando quem é o Professor da disciplina Mecânica Aplicada Eu sou o professor Jocemar e desde criança já brincava com eletricidade Ainda criança eu desmontava os rádios que havia em casa rearranjava as caixas de altofalantes da sonata que havia em minha casa Às vezes funcionava às vezes não mas a diversão era garantida O Professor Jocemar de Souza graduouse em Engenharia Elétrica é especialista em Segurança da Aviação e Aeronavegabilidade Continuada e Tecnólogo em Eletrônica desde 2002 Passou a compor a Coordenação do Curso de Engenharia Elétrica em junho de 2017 O Professor Jocemar possui 20 anos de experiência profissional Atuou como técnico de Manutenção em Laboratórios de Eletrônica e Aviônicos de 2003 a 2009 Atuou como Adjunto Técnico no Setor de Engenharia de Projetos Aeronáuticos bem como certificador de empresas Aeronáuticas de Aviônicos No magistério superior possui mais de onze anos de experiência Atua como professor do curso de Engenharia Elétrica desde 2012 UNIDADE 3 Estudo de Forças O estudo do equilíbrio de corpos de dimensões desprezíveis ou extensos é muito importante para dimensionamento de cabos vigas lajes e outras estruturas complexas Força Resultante no Plano e no Espaço Dada uma força podemos sempre escrever esta força como combinação linear dos vetores unitários e isto é As parcelas são as componentes de projetadas sobre os eixos x y e z respectivamente Se Fz 0 dizemos que a força é planar Figura força F representada pela decomposição em três forças F1 F2 e F3 Se FR FRX FRY FRZ é a força resultante de n forças F1 F2 Fn Então ou seja a componente da força resultante é a soma das componentes das forças parcelas Demonstração De fato Sendo FR FRX FRY FRZ segue o resultado Exercício Uma partícula A está sujeita a três forças colineares representadas na figura a seguir pelos vetores Sendo F1 10N e F2 7N e estando a partícula em equilíbrio a intensidade de deve ser em N igual a a 3 b 7 c 10 d 13 e 17 Resposta correta alternativa A O módulo ou intensidade de um vetor é o seu comprimento Usando o teorema de Pitágoras se F Fx Fy Fz então seu módulo representado por F ou simplesmente por F é dado por Sabendose que FR FRX FRY FRZ temse Se considerarmos que FR FRX FRY então Direção de uma Força no Plano A direção de uma força planar é dada por Considere o diagrama da força Resultante abaixo Observe que se duas forças possuem as duas componentes positivas ou negativas respectivamente então elas possuem a mesma direção apesar de possuírem sentidos opostos O mesmo ocorre com duas forças que estão no segundo e quarto quadrante respectivamente Exercício Determine o módulo e a direção da força resultante dada por FR F1 F2 F3 sendo F1 î 2 j F2 3 î j e F3 2 î 2 j Resolução FR F1 F2 F3 î 2 j 3 î j 2 î 2 j 4 î 3 j de modo que FR 3² 4² 5 e θ arctan 34 3687 Figura Diagrama para determinar o sinal das projeções de uma força planar Se as forças componentes são dadas através de seu módulo e do ângulo que forma com algum eixo coordenado devemos determinar suas componentes através de projeções sobre os eixos x e y É muito útil o diagrama da figura acima para determinar o sinal das projeções de uma força planar Exercício O elo na figura abaixo está submetido às forças F1 e F2 Determine a intensidade e a direção da força resultante sobre o elo Figura elo submetido às duas forças F1 e F2 Resolução sabendose que F1 F1 cos 30 î F1 sin 30 j 600 0866î 600 0 500 5196 î 300 j e que F2 F2 cos 45 î F2 sin 45 j 400 0707î 400 0 707 j 282 8î 282 8 j Assim FR F1 F2 519 6 282 8 î 300 282 8 j 236 8î 582 8 j de modo que FR FRx² FRy² 236 8² 582 8² 629 07 N e θ arctan FRyFRx arctan 582 8236 8 67 88 Dicas do Professor Anote as palavras chaves Anote as fórmulas Logo você se sentirá familiarizado com elas Refaça os exercícios resolvidos SEM olhar a resolução Tente fazer sozinho Equilíbrio de Pontos Materiais Caros alunos tudo bem até aqui Estudaremos agora Equilíbrio Para um corpo estar em movimento retilíneo com velocidade constante ou em repouso o somatório das forças que agem nele deve ser nulo A construção de um prédio deve ser planejada de tal forma que o conjunto de forças peso normal dentre outras que atuem sobre ele apresente Força Resultante Nula Caso isso não aconteça o prédio poderá cair Um ponto material sujeito à ação de várias forças estará em equilíbrio se o somatório dessas forças for zero Figura o equilibrista Phelippe Petit em 07081974 O equilíbrio de um sistema físico formado por pontos materiais que pode ser planar ou tridimensional Postulado 1 Um sistema físico formado por pontos materiais em equilíbrio contidos em um mesmo plano é dito um sistema físico planar que apresenta duas dimensões x e y Postulado 2 Dizemos que um sistema físico planar x e y está equilíbrio estático se a força resultante é nula isto é Σ F 0 Matematicamente temse que Σ Fx 0 e Σ Fy 0 Para calcularmos as tensões em um sistema desta natureza podemos projetar as forças no sistema de coordenadas cartesianas colocado estrategicamente no sistema em equilíbrio ou usar a lei dos senos Veremos inicialmente o método das projeções da forças em um sistemas de coordenadas cartesianas Exemplo Um corpo de Peso 80 N é mantido em equilíbrio por dois fios conforme indica a figura abaixo Determine a intensidade das trações suportadas pelos fios AB e AC Resolução Colocamos um sistema de coordenadas cartesianas com a origem no ponto A e o eixo Ox paralelo a BC conforme indicado abaixo Destacando as forças do sistema físico planar em plano cartesiano Em seguida projetando as forças nos eixos Ox e Oy temos que Assim 3 3TAC TAC 160 de modo que TAC 40 N e consequentemente TAB 403 N Conforme estudado em Unidades anteriores percebese com estes exercícios a importância do estudo de Geometria Plana Para melhor aproveitamento das teorias de Mecânica é fundamental compreender os conceitos matemáticos básicos Note que é interessante observar que alguns teoremas têm aplicações em áreas tanto da mecânica como em outras da Física Por exemplo a lei dos senos tem aplicações no equilíbrio de pontos materiais planares e este será o assunto estudado aqui Lei dos Senos A Lei dos Senos ou Teorema dos senos diz que a relação entre a medida do lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado será sempre constante Essa lei é representada pela seguinte fórmula Abaixo os triângulos 1 ABC 2 ABD e 3 BCD ajudam a compreender a Lei dos Senos A aplicação da Lei dos Senos em estudo de Estática é fundamentada no teorema a seguir Exemplo Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores conforme figura Sabendose que a força resultante é igual a 30kN encontre suas componentes nas direções AC e BC Resolução a partir da regra do paralelogramo construiremos um triângulo de vetores envolvendo as forças atuantes nos cabos CA e CB que queremos obter e a força resultante Neste caso devemos utilizar a Lei dos Senos Cálculo da Força FCA Cálculo da Força FCB Portanto as forças atuante nos cabos CA e CB são respectivamente iguais a 2042 kN e 1596 kN Considerações importantes Com o que foi visto acima podemos definir uma fórmula para determina o módulo do vetor resultante O vetor resultante dos vetores a e b da figura é dado por Portanto temse que Exemplo O sistema mecânico abaixo está em equilíbrio estático Desta forma calcule o valor do ângulo Resolução para encontrar o valor do ângulo aplicaremos a Lei dos Senos Veja Portanto o valor do ângulo é 150º Dicas do Professor Anote as palavras chaves Anote as fórmulas Logo você se sentirá familiarizado com elas Refaça os exercícios resolvidos SEM olhar a resolução Tente fazer sozinho Parabéns pelo seu Esforço até aqui Anote as palavras Chaves e faça um resumo com os principais tópicos Descanso e práticas esportivas otimizam o rendimento dos estudos Ângulos Diretores para Cálculo da Direção da Força Como estudamos na unidade de aprendizagem 2 UA2 o Espaço Vetorial é uma coleção de objetos chamada vetores Os vetores podem ser somados um a outro e multiplicados por números denominados escalares Vimos também que uma força pode ser informada através de representação vetorial tal como o vetor F Fx i Fy j Fz k e que seu módulo é representado conforme Os ângulos diretores são formados pelos ângulos que um vetor forma com os eixos coordenados sendo que para visualizar isso vamos supor que um vetor v representado em um plano cartesiano xyz juntamente com os vetores i j k e formam os ângulos α β e γ Cossenos Diretores para Cálculo da Direção da Força Já os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos diretores α β e γ ou seja cos α cos β e cos γ Para o cálculo desses cossenos diretores utilizaremos as seguintes fórmulas cos α vi vi xyz100 v1 x v cos β vj vj xyz010 v1 y v cos γ vk vk xyz001 v1 z v Exemplo Calcule os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor V abaixo V 3 4 12 Resolução inicialmente calcularemos o módulo do vetor V V 32 42 122 9 16 144 13 Em seguida calcularemos os cossenos diretores e os respectivos ângulos diretores cos α A v 3 13 0231 α cos10231 7664 cos β b v 4 13 0308 β cos10308 108º cos γ c v 12 13 0923 γ cos10923 23º Exemplo verifique se os ângulos 45º 60º e 150º são diretores Resolução considere a figura abaixo Dizse que três ângulos α β e γ são diretores se e somente se cos2 α cos2 β cos2 γ 1 Então fazendo a verificação cos2 45º cos2 150º cos2 60º 122 322 122 12 34 14 32 1 Concluise que os ângulos 45º 60º e 150º não são colineares Exemplo Escreva a força F na forma de um vetor cartesiano sabendo que seu módulo é F 50 N e os seus ângulos diretores são α 66 42º β 126 87º e γ 46 15º Resolução Analisando cada uma das componentes temse que Sendo Fx Fcos α logo Fx 50cos 66 42º 20N Sendo Fy Fcos β logo Fy 50cos 126 87º 30N Sendo Fz Fcos γ logo Fz 50cos 46 15º 34 63N Portanto F Fx i Fx j Fz k 20 i 30 j 34 63 k Parabéns pelo seu esforço Que tal fazer uma pausa para o merecido Descanso Equilíbrio Estáico de Pontos Materiais Chamamos de sistema tridimensional quando as forças de um sistema mecânico constituído por pontos materiais não estão contidas em um mesmo plano Para que um sistema esteja em Equilíbrio Estático é obrigatório que Σ F 0 F Fx i Fy j Fz k Assim a solução é obtida através da resolução de um sistema de três equações e três incógnitas Exemplo Determine a intensidade e os ângulos diretores da força F necessários para o equilíbrio do ponto O na figura abaixo Resolução Note que F₁ 400 j e F₂ 800 k Por outro lado F₃ F₃ uOB sendo uOB rOB rOB 2 i 3 j 6 k 22 32 62 2 i 3 j 6 k 7 ou seja uOB 0286 i 0429 j 0857 k Assim F₃ 700 uOB 200 i 300 j 600 k Da condição de equilíbrio temos Σ F 0 F F₁ F₂ F₃ 0 Fx i Fy j Fz k 400 j 800 k 200 i 300 j 600 k 0 Fx 200 i Fy 400 300 j Fz 800 600 k 0 Fx 200 0 Fx 200 Fy 100 0 Fy 100 Fz 200 0 Fz 200 Logo F 200 i 100 j 200 k e consequentemente F 2002 1002 2002 300 N Produto Interno de Vetores O produto interno escalar é a multiplicação entre dois vetores que tem como resultado uma grandeza escalar Ele associa a dois vetores um número real Assim sejam dois vetores vv₁v₂v₃ e ww₁w₂w₃ definimos o produto interno ou produto escalar entre v e w como o escalar real vw v₁w₁ v₂w₂ v₃w₃ Exemplo o Produto Escalar entre os vetores v 125 e w 2712 é vw 12 27 512 48 Exemplo o Produto Escalar entre os vetores v 2 5 8 e w 5 2 0 é vw 25 52 80 0 Exemplo Suponhamos um vetor que forma um ângulo θ 60º em relação a outro vetor O w possui módulo 3 e o vetor u apresenta módulo 4 Calcule o Produto Escalar entre os dois vetores Resolução Veremos que a projeção P do vetor u em w é dada por P ucosθ Calculando o Produto Escalar resulta uw wP 3412 6 Torque Torque ou Momento de Força é a grandeza física responsável pelo movimento rotacional que acontece sempre que aplicamos uma força em um braço de alavanca O Torque é o principal agente da rotação produzido sempre que aplicamos uma força sobre um braço de alavanca de modo que quanto mais distante for o braço de alavanca de um objeto maior é a facilidade em rotacionálo Se não há movimento rotacional o torque está equilibrado se tratando do equilíbrio de rotação O torque de uma força em relação a um ponto ou a um eixo fornece uma medida da tendência dessa força provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou eixo Essa tendência de rotação é chamada de torque momento de uma força ou simplesmente momento Além disso quanto maior a força ou a distância maior é o efeito de rotação Consideremos a força F e o ponto O O momento M₀ desta força em relação a um ponto O é definido por httpsavadigitalcsccombrmodbooktoolprintindexphpid161231 1521 Assim o Teorema de Varignon diz que o momento da força resultante de um sistema de forças é igual à soma dos momentos de suas componentes É aparentemente um conclusão óbvia mas que na época de seu enunciado foi muito importante pois as forças não eram associadas às teorias de vetores Considere as duas forças F1 F2 agindo no ponto O tal que F F1 F2 Então o momento produzido pela força F em relação ao ponto O é igual a soma dos momentos produzidos pelas forças componentes Matematicamente temse que Veja a ilustração Exemplo Para cada caso ilustração abaixo determine o momento da força das barras em relação ao ponto O Resolução Caso 1 força tendendo a gira no sentido antihorário com raio de 200 cm A Força de 200 N tende a girar a barra engastada no sentido antihorário portanto o momento em relação ao ponto O é positivo Sendo r 2 m segue que M0 200 2 400 Nm Caso 2 força tendendo a gira no sentido antihorário com raio de 60 cm Aqui a força de 80 N também tende a girar a barra engastada no sentido anti horário e sendo r 0 60 m então M0 80 0 6 48 Nm O vetor posição r é o vetor posição de um ponto qualquer da reta suporte da força F em relação ao ponto O Vejamos na figura abaixo Pela definição de produto vetorial este momento tem as seguintes propriedades O módulo do momento é M0 M0 Fr sinθ θ é o ângulo entre os vetores r e F A direção do vetor momento unitário uM0 é normal ao plano formado pelos vetores r e F seguindo a regra da mão direita Regra da Mão Direita para Torque Use a regra da mão direita para definir a direção e o sentido do vetor torque Posicione os dedos da mão direita na direção indicada pela força O polegar esticado indicará a direção procurada Quanto maior for o torque maior será a facilidade para abrir uma porta Por isso é tão difícil abrir uma porta empurrandoa nos pontos próximos às suas dobradiças como a distância é pequena o torque é pequeno A rotação provocada por um torque pode ter dois sentidos o sentido do ponteiro dos relógios e o sentido oposto isto é podemos abrir ou fechar uma porta aplicando torques em sentidos opostos Quando aplicamos dois torques iguais num corpo mas com sentidos opostos existe equilíbrio O corpo não entra em rotação Assim sendo rotações decorrem de torques aplicados ao corpo Uma vez colocado em rotação um corpo permanecerá sempre em rotação a menos que lhe apliquemos torques Teorema de Varigon O momento de um sistema de forças concorrentes em relação a um ponto O qualquer é igual ao momento em relação a O da resultante do sistema suposta aplicada no ponto de concurso das forças Exemplo Para o sistema de Forças abaixo determine os momentos da força de 800 N em relação aos pontos A B C e D Resolução vejamos caso a caso Em relação ao Ponto A MA 1 5 1 800 2000 Nm Portanto MA 2000 Nm Em relação ao ponto B MB 1 5 800 1200 Nm Portanto MB 1200 Nm Em relação ao ponto C MC Nulo pois a distância da força F é nula ao ponto Em relação ao ponto D MD 0 5 800 400 Nm Portanto MD 400 Nm Dicas do Professor Anote as palavras chaves Anote as fórmulas Logo você se sentirá familiarizado com elas Refaça os exercícios resolvidos SEM olhar a resolução Tente fazer sozinho Parabéns pelo seu Esforço até aqui Anote as palavras Chaves e faça um resumo com os principais tópicos Descanso e práticas esportivas otimizam o rendimento dos estudos DICA DO PROFESSOR No jargão aeronáutico também se costuma falar em quatro forças A menção obviamente restringese ao mundo particular de quem lida com o voo e seu conhecimento é fundamental para que os pilotos possam voar apropriadamente O vento fluindo em uma determinada direção em relação ao avião produz uma força sobre o aeroplano chamada de força aerodinâmica total Veja mais em httpswwwsbfisicaorgbrfneVol7Num2v13a07pdf EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Questão 1 As forças cujas intensidades são respectivamente 20N 60N e 30N têm direções coincidentes com as arestas de um bloco retangular conforme esquema a seguir A intensidade da resultante dessas três forças vale em newtons a 37 b 55 c 70 d 93 e 11 Questão 2 Duas forças de intensidades 9N e 12N respectivamente atuam sobre um ponto material A intensidade da resultante é certamente a igual a 15N b menor que 9N c maior que 12N e menor que 21N d compreendida entre 3N e 21N e igual a 3N Questão 3 Um ponto material P está em equilíbrio sob ação de três forças sendo F1 F2 8N A intensidade da força F3 é igual a I 8 se Θ 90º II 8 se Θ 60º III 8N se Θ 120º Temse a somente I é correta b somente I e II são corretas c somente I e III são corretas d somente II e III são corretas e I II e III são corretas Questão 4 Um corpo está sujeito a duas forças Dados senθ 060 e cosθ 080 uma terceira força é aplicada ao corpo e provoca o equilíbrio estático Essa nova força é a horizontal para a esquerda de intensidade 30N b horizontal para a direita de intensidade 30N c horizontal para a esquerda de intensidade 24N d horizontal para a direita de intensidade 18N e inclinada de para baixo de intensidade 30N Questão 5 Sobre um ponto material atuam cinco forças conforme a figura a seguir Para que a resultante dessas forças seja nula os valores de P e Q deverão ser respectivamente cos60 05 cos30 087 a 3800N e zero b 2172N e 1120N c 1509N e 883N d 790N e 1509N e 1580N e 821N SAIBA MAIS Como é a Força Gravitacional em outros Planetas Por que os objetos caem Ou então por que existe o peso A gravidade é o fenômeno responsável por estes eventos corriqueiros do mundo físico e está diretamente ligada à massa de um corpo A Terra por exemplo tem matéria o suficiente para manter uma atmosfera e até mesmo um satélite natural tão grande quanto a Lua mas como funciona a gravidade em outros planetas Gostou dessa veja mais em Link httpscanaltechcombrespacocomoeagravidadeemoutros planetasdosistemasolar180999 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS NORTON Robert L Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos Bookman 2010 Paulo Camargo Ivan Geometria Analítica um Tratamento Vetorial 2ed São Paulo McGrawlHill do Brasil 1987 BEER F JOHNSTON E Mecânica Vectorial para Engenheiros Dinâmica 7ª Edição Editora McGrawHill Ltda 2006 Callioli Carlos A Matrizes Vetores e Geometria Analítica 9 ed São Paulo Novel 2014 ECKHARDTt H D Kinematic Design of Machines and Machanisms McGrawHill New York 1998 Leithold G O Cálculo com Geometria Analítica 3 ed São Paulo Harbra 1994 v1 e v2 GABARITO Questão 1 Gabarito Alternativa C conforme teorema da força resultante entre F1 F2 e F3 Questão 2 Gabarito Alternativa D conforme teorema da força resultante entre F1 e F2 Questão 3 Gabarito Alternativa E todas as proposições estão corretas Aplicar teorema de decomposição de forças Questão 4 Gabarito Alternativa C aplicar a decomposição de forças Questão 5 Gabarito Alternativa E a decomposição de cada força sobre os eixos x e y justifica a solução do problema