Mecanica Cuantica

1. Los postulados de la mecánica cuántica\n\nEn mecánica cuántica, el espacio de estados es un espacio vectorial complejo. Es un espacio de Hilbert (1862-1943).\n\nHilbert introdujo la noción de espacio de dim infinita en 1909.\n\nEn 1915 invitó a Einstein para que imparta un seminario sobre su teoría de la gravedad. El intercambio de ideas llevó a la forma final de las ecuaciones de campo de gravedad acción de Einstein-Hilbert.\n\nEn mecánica cuántica, el estado físico es representado por un vector en el espacio de Hilbert.\n\nA tal vector de estado se le llama ket y se denota por |\\psi>. Se postula que el ket de estado contiene la información completa sobre el estado físico.\n\nEn lo que sigue:\n\nket <-> vector\nserán nombres inter cambiables. La suma de dos kets es otro ket\n|\\psi> + |\\phi> = |\\eta>\nsi c es un número complejo, c|\\psi> es otro ket. Note que\nc|\\psi> = |\\psi>c\nsi c=0, el ket correspondiente es el ket nulo.\n\nUno de los postulados físicos establece que\n|\\psi> y c|\\psi>, con c\\neq0, representan el mismo estado físico. Esto es, solo la dirección es importante. Se dice que uno trabaja más en vectores.\n\n{c|\\psi>} rayo\n\nUna observable A es un operador que actúa sobre el espacio de estados. Esta actúa sobre un ket como sigue:\nA(|\\psi>) = A|\\psi>, El eval es otro ket.\n\nEn general\nA|\\psi> \\neq c|\\psi>.\n\nSin embargo, existen kets particulares, conocidos como eigenkets de A, denotados por |a^{1}>, |a^{2}>,..., con la propiedad\nA|a^{1}> = a^{1}|a^{1}> \nA|a^{2}> = a^{2}|a^{2}>;\n\nDonde a^{1}, a^{2}, ... son números. El conjunto de números {a^{1}, a^{2}, a^{3}, ...} es llamado el conjunto de eigenvalores de A. ¿Y cómo deben ser estos números?\n\nEl estado físico correspondiente a un eigenket se le llama eigenestado.\n\nAsuma que el espacio de estados es de dim N y que es generado por los N eigenkets de la observable A. Entonces, un ket arbitrario |\\psi> se puede escribir como 1|α⟩ = ∑ ai|ai⟩, donde los ai son coeficientes complejos.\n\nPara definir el producto escalar, se requiere te del espacio dual, el cual recibe el nombre de espacio bra.\n\nSe postula que para cada ket |α⟩ existe un bra, denotado por ⟨α|, en el espacio bra, con la base { |αi⟩ }, generada por A, se asocia la base dual { |αi⟩ }, existe una correspondencia uno a uno entre espacios ket y bra:\n\n⟨α| ↔ |α⟩\n⟨i|α⟩ ↔ ⟨α|i⟩\n\n⟨α| + |β⟩ ↔ ⟨α| + ⟨β|\n\n⟨α|β⟩ + ⟨cα|β⟩ ↔ α*⟨α| + c*⟨β|\n\nEl producto interno se define entre kets y bras\n\n⟨β|α⟩ = ⟨β|⟩ (⟨α|) bra ket ⟨β|α⟩ es, en general, un número complejo.\n\nSe postula que ⟨α|β⟩ = ⟨β|α⟩*, de donde se deduce que ⟨α|α⟩ es un número real. Se postula, además, que\n\n⟨α|α⟩ ≥ 0, → Métrica definida positiva.\n\nLa igualdad se cumple solo en el caso que |α⟩ sea el ket nulo.\n\nSe dice que dos kets |α⟩ y |β⟩ son ortogonales si ⟨α|β⟩ = 0 → Condición de ortogonalidad.\n\n⟨α|β⟩ = 0.\n\nDado un ket |α⟩, se puede construir un ket normalizado |α̃⟩ como\n\n|α̃⟩ = 1/√⟨α|α⟩ |α⟩, ⟨α̃|α̃⟩ = 1/⟨α|α⟩ ⟨α|α⟩ = 1\n\n√⟨α|⟩ es la norma del ket |α⟩.\n\nDado que |α⟩ y |cα⟩ representan el mismo estado físico, siempre se trabajarán con estados normalizados.\n\n• Operadores\n\nUn operador X actúa por la izquierda:\nX • |α⟩ = X|α⟩\n\nY el producto o acción conduce a otro ket.\n\nLos operadores X y Y son iguales, X = Y,\n\nsi X |α⟩ = Y|α⟩ Se dice que X es el operador nulo si para todo ket |α⟩,\nX|α⟩ = 0\n→ vector nulo\nLos operadores se pueden sumar. La suma es conmutativa y asociativa:\nX + Y = Y + X\nX + (Y + Z) = (X + Y) + Z\nEl operador X es lineal si\nX(c|α⟩ + cβ|β⟩) = cX|α⟩ + cβX|β⟩\nUn operador siempre actúa sobre los bras por la derecha.\n⟨α|X = ⟨α|X\ny el resultado es otro bra.\nNote que, en general, ⟨α|X no es el dual de X|α⟩. se define el operador X† como\nX|α⟩ ↔ ⟨α|X†,\nX† es el adjunto de X, se dice que un operador X es hermitiano si\nX = X† → Importante.\n• Multiplicación de operadores\nEl producto de X y Y se denota por XY, el cual, en general, no es conmutativo.\nX Y ≠ Y X → Importante.\nLa multiplicación es, sin embargo, asociativa\nX(YZ) = (XY)Z = XY Z.\nTambién, note que\nX(Y|α⟩) = (XY)|α⟩ = XY |α⟩\n⟨β|X⟩Y = ⟨β|(XY) si X = |β><α|, entonces X† = |α><β|.\nDemostración Tarea\n\nNotar que\n(<β|).(X|α>) = <β|X|α>\nbra ket\n\nAhora\n<β|X|α> = <β| (X|α>)\n ket \n= {(<α|X|α>)|β>}\n* \n= <α|X|β>*\n\nsi X es hermítico, entonces\n<β|X|α> = <α|X|β>*.