os Números na Sociedade Atual

UnIdAdE 1 COnjUnTOS nUMéRICOS MATEMÁTICA TEMAS 1 números naturais e inteiros 2 números racionais irracionais e reais Introdução Nesta Unidade você vai estudar as principais características dos números agru pados em conjuntos numéricos In ZZ e IR e ampliar seu conhecimento sobre eles de maneira a poder utilizálos em situações práticas e aprender novos conteú dos matemáticos TEMA 1 números naturais e inteiros Neste tema você vai se aprofundar no estudo dos números naturais e dos intei ros e realizar operações com vários tipos de número Para comprar pães e frios em uma padaria você utiliza números Quais deles você utiliza Pense em outras situações nas quais você também usa números Agora tente imaginar como seria sua vida se eles não existissem Matemática Volume 1 Conjuntos numéricos no dia a dia Mediante situações do cotidiano esse vídeo apresenta os conjuntos dos números sua evolu ção propriedades e diferentes usos em todos os momentos de nossa vida Os números na sociedade atual Os números governam o mundo já diziam os matemáticos da Grécia Antiga Podese dizer que nos tempos atuais essa frase é ainda mais verdadeira dado o amplo uso da Matemática em atividades profissionais e científicas nos meios de comunicação e em situações do dia a dia 18 UnIdAdE 1 Só mesmo na imaginação e na fantasia seria possível conceber um mundo sem números uma vez que eles são empregados para contar medir expressar datas idades e endereços estão presentes em documentos no valor das coisas que são consumidas em informações de embalagens nos canais de TV nas faixas de rádio nas medidas de roupas Há vários significados para os números Na escola eles são estudados em situações de contagem medição cálculo localização e codificação Toda essa importância justifica a atenção que os matemáticos sempre deram ao estudo dos números desde as primeiras contagens há mais de 10 mil anos Mas se antes bastava conhecer os números como 1 2 3 100 200 etc para contar quantidades de objetos hoje o desenvolvimento científico com computadores e satélites de última geração exige o uso de números que expressam por exemplo a ideia de quantidades negativas e fracionárias Por causa de sua variedade os números foram organizados em conjuntos numéricos com base em suas características e propriedades ASSISTA Matemática Ensino Fundamental Anos Finais Volume 1 Números para contar Nesse vídeo são apresentadas inúmeras situações em que o ser humano utiliza os números e suas diferentes funções contagem ordenação medição entre outras Números não para contar Esse vídeo apresenta os números que não são usados para fazer contas pois têm a função de código CEP números de residências nas ruas senhas placas de veículos linhas de ônibus etc Os números em nosso cotidiano Esse vídeo apresenta duas diferentes formas de cálculo mental e feito com calculadora além das diferentes estratégias utilizadas para obter o resultado correto Ilustrações daniel Beneventi números usados em códigos números usados para localização em GPS 19 UnIdAdE 1 ATIvIdAdE 1 Os números na sociedade atual 1 Assinale as situações em que são utilizados números com vírgula a Para contar as cadeiras de uma sala b Para expressar a altura de uma pessoa c Para expressar o número do documento de identidade RG d Para expressar o preço de um produto e Para indicar a localização de um apartamento 2 No dia a dia usamse números como códigos É o caso do CEP de um ende reço ou do número de um telefone Um número que representa um código é uti lizado de maneira diferente em relação aos números empregados para contar e medir Por exemplo não faz sentido comparar ou fazer contas com os números que expressam CEPs ou telefones Descreva as principais características dos CEPs e dos números de telefones indicando a o número de dígitos b a existência e o significado de um prefixo ou de um sufixo c a existência ou não de vírgula 3 Considere que dois números de telefone têm o mesmo prefixo O que isso pode significar 20 UnIdAdE 1 4 Em geral como são representados os números que expressam medidas e preços 5 É possível comparar duas medidas dizendo que uma é maior menor ou igual à outra Explique sua resposta 6 Quais representações numéricas aparecem em um extrato de conta bancária Os números naturais na sociedade e na escola Os primeiros números que você aprendeu estavam associados a situações de contagem São os números utilizados naturalmente para contar a quantidade de objetos de uma coleção ou de um grupo de pessoas 1 2 3 4 5 A esse conjunto numérico os matemáticos acrescentaram o 0 zero e o denominaram conjunto dos números naturais identificado por In cuja representação pode ser feita pela enumeração de seus elementos In 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ou na reta numérica 0 1 2 3 4 5 8 9 10 6 7 É usual representar um conjunto numérico empregando marcadores de aber tura e de fechamento conhecidos como chaves Sidnei Moura Irene AraújoFotoarena 21 UnIdAdE 1 Por exemplo para expressar os números naturais maiores que 10 e menores que 15 nomeiase o conjunto usando um símbolo como a letra A maiúscula e colocamse seus elementos entre chaves A 11 12 13 14 Se o conjunto for infinito é impossível expressar todos os seus elementos Nesse caso usase o código reticências para indicar que o conjunto não acaba ali e que existem outros ele mentos Considere por exemplo o conjunto I dos números ímpares I 1 3 5 7 Empregase portanto a linguagem matemática para expressar conjuntos numéricos Veja alguns exemplos Conjunto dos números pares maiores que 10 e menores que 20 A 12 14 16 18 Conjunto dos números da tabuada do 3 maiores que 10 e menores que 20 C 12 15 18 Observação dizse que os números 12 15 e 18 são múltiplos de 3 Conjunto dos divisores de 12 D12 1 2 3 4 6 12 Atenção Um número é divisor de outro se a divisão é exata ou seja se não tem resto Nessa situação dizse que o resto é igual a zero Por exemplo dividendo 12 4 divisor resto 0 3 quociente Características do conjunto In O conjunto dos números naturais tem muitas características Leia as proposi ções a seguir interpreteas e se possível exemplifique o que entendeu criando outros exemplos além daqueles já fornecidos nas explicações 1 Todo número natural tem um sucessor a consequência disso é a de que o con junto dos números naturais é infinito IMPORTAnTE Geralmente os conjuntos são nomeados por uma letra maiúscula do alfabeto 22 UnIdAdE 1 Se n é um número natural então n 1 também é natural Exemplo 47 é natural seu sucessor 48 também o é Não existe um número natural que seja o maior de todos Mesmo que se escolha um número natural muito grande é sempre possível somar 1 a esse número e encontrar outro ainda maior 2 Há apenas um único número natural que não tem antecessor é o 0 zero 3 Entre dois números naturais consecutivos não existe outro número natural Exemplo entre 47 e 48 não existe outro número natural 4 Adicionando ou multiplicando dois números naturais quaisquer obtémse outro número natural Em linguagem simbólica dizse que Se n e m são números naturais então n m e n m também são números naturais Exemplo 13 e 47 são números naturais 13 47 e 13 47 também são números naturais Embora essas proposições pareçam óbvias elas são fundamentais para com preender outros conjuntos numéricos e servem para caracterizar o conjunto dos números naturais são as propriedades desse conjunto Algumas dessas propriedades contudo também valem para outros conjuntos numéricos De acordo com a proposição 1 se o número a é um número natural então a 1 também é um número natural Em linguagem simbólica expressase Se a In então a 1 In Isso significa que partindo do zero e somando unidades uma a uma é possível percorrer todo o conjunto In Subconjuntos de In Como você viu anteriormente o conjunto dos números naturais é infinito e podemse formar com seus elementos diversos subconjuntos de acordo com determinadas características Um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todos os elementos de A também forem elementos de B a In lêse a pertence a In ou a pertence ao conjunto dos números naturais 23 UnIdAdE 1 Um exemplo simples é o conjunto das letras do alfabeto latino que é formado por vogais e consoantes Se L é o conjunto das letras V o das vogais e C o das consoantes Em linguagem matemática usase o símbolo para dizer que um conjunto está contido em outro V L lêse V está contido em L o que significa que toda vogal é uma letra ou ainda que o conjunto das vogais é um subconjunto do conjunto das letras C L lêse C está contido em L o que significa que toda consoante é uma letra ou ainda que o conjunto das consoantes é um subconjunto do con junto das letras Mas observe que nenhuma vogal é uma consoante e viceversa Dizse que o conjunto das vogais e o das consoantes não apresentam elemento comum ou seja o conjunto intersecção das vogais e das consoantes é vazio Simbolicamente expressase assim V C Lêse a intersecção do conjunto das vogais com o conjunto das consoantes não tem elementos é um conjunto vazio Entre os subconjuntos dos números naturais há o conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares Se P 0 2 4 6 8 e I 1 3 5 7 9 dizse que P In e que I In Letras do alfabeto Consoantes Letras do alfabeto Vogais V L C L L C L V daniel Beneventi símbolo utilizado pelos matemáticos para expressar o conjunto vazio ou seja um conjunto que não tem elementos 24 UnIdAdE 1 Observe ainda que não pode existir um número que seja ao mesmo tempo par e ímpar ou seja se um número é natural ou ele é um número par ou é um número ímpar Podese dizer que P I não existe ele mento na intersecção entre os conjuntos dos números pares e ímpares ATIvIdAdE 2 Conjuntos e subconjuntos 1 Considere as seguintes afirmações sobre algumas figuras geométricas e com base nelas determine quais entre as proposições a seguir são verdadeiras V ou falsas F Um quadrilátero é qualquer polígono que tenha 4 lados Um retângulo é qualquer quadrilátero que tenha todos os ângulos retos Um losango é um quadrilátero que tem todos os lados de mesma medida Um paralelogramo é um quadrilátero que tem os lados paralelos dois a dois a O conjunto dos retângulos é um subconjunto do conjunto dos quadriláteros b O conjunto dos losangos é um subconjunto do conjunto dos quadrados c O conjunto dos quadrados é um subconjunto do conjunto dos retângulos d O conjunto dos paralelogramos é um subconjunto do conjunto dos retân gulos e O conjunto dos retângulos é um subconjunto do conjunto dos paralelo gramos 2 Quais dos conjuntos a seguir têm apenas quatro elementos Escrevaos e depois assinale as alternativas corretas a Naturais maiores que 40 e menores que 45 b Pares maiores que 0 e menores que 10 O conjunto dos números pares vale também para os ímpares está contido no conjunto dos números na turais ou seja qualquer nú mero par ou ímpar também é um número natural Sidnei Moura 25 UnIdAdE 1 c Ímpares menores que 10 d Múltiplos de 5 maiores que 20 e menores que 50 3 Cada item a seguir referese a subconjuntos do conjunto In dos números natu rais Indique seus elementos usando a linguagem de conjuntos a x é par e 63 x 74 b y é ímpar e 22 y 33 4 Associe cada subconjunto de In a pelo menos uma característica a Primos b Múltiplos de 3 c Divisores de 12 d Quadrados perfeitos maiores que 0 e Múltiplos de 12 A Infinito B Finito C Todos pares D 2 é o menor elemento E 1 é o menor elemento números inteiros relativos representação e propriedades Os números inteiros que serão chamados simplesmente de inteiros são os elementos do conjunto 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Usamse esses números em contextos e problemas sobre saldos positivos ou negativos operações de débito e crédito no cálculo de dívidas ou para indicar uma posição em relação ao zero como nos casos de temperaturas e altitudes 5 4 3 2 1 0 3 4 5 1 2 O símbolo utilizado para identificar o conjunto dos números inteiros é o ZZ originado da palavra em alemão Zahlen que em português significa números Escrevese então ZZ 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 dICA Um número é chamado de quadrado perfeito quando é resultado da multiplicação de um número por ele mesmo Exemplos 9 é um quadrado perfeito porque 9 3 3 16 é um quadrado perfeito porque 16 4 4 Sidnei Moura 26 UnIdAdE 1 Características do conjunto ZZ Uma das características que distingue o conjunto ZZ dos inteiros do conjunto In dos números naturais é a diferença entre dois números inteiros quaisquer ser sempre um número inteiro o que não acontece com os números naturais Veja os seguintes exemplos Os números 5 e 2 são números naturais isto é 5 In e 2 In 5 2 3 que também é um número natural Mas não existe número natural que seja o resultado da sub tração 2 5 Por outro lado 5 e 2 são números inteiros isto é 5 ZZ e 2 ZZ e as diferenças 5 2 3 e 2 5 3 são números inteiros também De acordo com o esquema todo número natural também é um número inteiro ou seja o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros In ZZ ou ainda o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais ASSISTA Matemática Ensino Fundamental Anos Finais Volume 3 Números inteiros Esse vídeo destaca em situações práticas do cotidiano os números negativos Eles surgiram da necessidade de o ser humano registrar a ideia de falta em atividades comerciais Atualmente são muito comuns sendo encontrados em índices de inflação saldos bancários e balanços financeiros Operações com números inteiros Esse vídeo mostra como fazer contas que envolvem números positivos e negativos e apresenta exemplos e dicas como a utilização da reta numérica para não se confundir os sinais daniel Beneventi 27 UnIdAdE 1 Veja a seguir mais propriedades do conjunto dos números inteiros ZZ 1 Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor consequentemente dizse que o conjunto dos números inteiros é infinito à direita e à esquerda Isso signifi ca que ao se escolher um número inteiro qualquer é sempre possível somar ou subtrair 1 a esse número e o resultado será também um número inteiro 2 Entre dois números inteiros consecutivos não existe outro número inteiro 3 Adicionando ou subtraindo dois números inteiros quaisquer obtémse um número inteiro 4 Multiplicando dois números inteiros quaisquer obtémse um número inteiro 5 2 e 4 3 não têm significado em ZZ POTEnCIAçãO EM ZZ A potenciação no conjunto dos números inteiros é uma operação que envolve a multiplicação de fatores iguais Por exemplo 2 2 2 2 2 32 que também pode ser escrito como 25 32 em que o expoente 5 é um número inteiro positivo que indica a quantidade de vezes que a base 2 será multiplicada por ela mesma para obter a potência 32 Veja outros exemplos 43 4 4 4 64 107 10 10 10 10 10 10 10 10000000 Relembre algumas regras de potenciação Em uma potenciação se a base é positiva e seu expoente for inteiro positivo seu resultado será positivo Por exemplo 32 3 3 9 33 3 3 3 27 Se a base da potência é negativa e o seu expoente inteiro positivo for par então seu resultado será positivo se o expoente inteiro positivo for ímpar então seu resultado será negativo Por exemplo 24 2 2 2 2 16 32 3 3 9 25 2 2 2 2 2 32 33 3 3 3 27 ATEnçãO Essa propriedade não vale para a divisão 28 UnIdAdE 1 ATIvIdAdE 3 Subconjuntos de ZZ 1 Analise cada uma das alternativas indicando se ela é verdadeira V ou falsa F a O conjunto dos números pares positivos é um subconjunto dos números inteiros b Todos os subconjuntos de In também são subconjuntos de ZZ c Qualquer subconjunto de ZZ também é um subconjunto de In d Todos os subconjuntos de ZZ têm infinitos elementos 2 Leia a frase a seguir e decida se ela é verdadeira ou falsa justificando sua resposta Existe um elemento em ZZ que é menor que qualquer outro número inteiro RAdICIAçãO EM ZZ A existência da radiciação em ZZ depende da potenciação isto é podese escrever que 4 2 porque 22 4 8 3 2 porque 23 8 9 3 porque 32 9 3 27 3 porque 33 27 16 4 porque 42 16 8 3 2 porque 23 8 E assim por diante Observe que por não existir potenciação de expoente par que resulte em número negativo tam bém não existe radiciação de número negativo quando o índice é par ASSISTA Matemática Ensino Fundamental Anos Finais Volume 3 Potenciação Esse vídeo aborda fatoração além de mostrar como a potenciação facilita vários tipos de cálculo no mundo do trabalho 29 UnIdAdE 1 3 Observe os exemplos a seguir antes de responder às questões O conjunto A 3 2 1 0 1 2 3 é um subconjunto finito de ZZ e seus elemen tos podem ser escritos como uma sequência de números consecutivos Os conjuntos B 37 e C 41 são subconjuntos de ZZ que têm apenas um elemento O conjunto D 3 0 3 6 9 é um subconjunto infinito de ZZ formado por múltiplos de 3 e com apenas um número negativo 3 que é o menor elemento do conjunto O conjunto E 8 6 4 2 0 é um subconjunto de ZZ formado pelos infini tos números pares negativos e pelo zero que nesse conjunto é o maior elemento Agora é com você Dê um subconjunto de ZZ que tenha a exatamente 11 elementos que sejam números consecutivos Para cada número negativo deve haver um número positivo b apenas um número negativo c todos os números inteiros ímpares que satisfaçam a condição 8 x 7 4 Descreva um subconjunto infinito de ZZ a em que 0 zero seja o menor elemento b em que 0 zero seja o maior elemento 5 O extrato bancário de João indica que seu saldo é de R 12350 negativos Quanto João tem que depositar na conta para a zerar o saldo negativo b ficar com um saldo positivo de R 10000 30 UnIdAdE 1 Elemento oposto Outra característica que diferencia o conjunto In do conjunto ZZ é a de que todo elemento do conjunto dos inteiros tem um elemento oposto isto é para cada a ZZ existe um elemento a ZZ O elemento oposto também é chamado de simétrico do número E a soma de um número com seu simétrico resulta sempre em zero ou seja a a 0 O oposto de 3 é 3 o oposto de 3 é 3 Observe na reta numérica que a distância de 3 ao zero origem e de 3 ao zero é a mesma 3 unidades Operações em ZZ Os números inteiros são amplamente utilizados no dia a dia e nas várias ciências para representar saldos bancários temperaturas altitudes e outras quantidades E tal como no conjunto dos números naturais é possível fazer cálculos com inteiros adições subtrações multiplicações e divisões Podemse somar ou subtrair dois números inteiros imaginandoos sobre uma reta numérica ou imaginando o saldo de uma conta bancária No contexto de saldo bancário o sinal associado ao número indica o estado da conta se o sinal agregado ao número é significa que a conta tem saldo positivo e se o sinal é significa que a conta tem saldo negativo os sinais após os parên teses indicam se o saldo aumentou ou diminuiu Considere as operações a seguir seus significados e como se pode obter o resultado Operação Significado como operação bancária Resultado ou saldo 3 5 Tinha 3 e depositei mais 5 fiquei com saldo positivo de 8 Tenho 8 3 5 8 3 5 Tinha 3 e gastei 5 fiquei com saldo negativo de 2 Devo 2 3 5 2 3 5 Devia 3 e depositei 5 fiquei com saldo positivo de 2 Tenho 2 3 5 2 3 5 Devia 3 e gastei mais 5 fiquei com saldo ainda mais negativo agora estou devendo 8 3 5 8 0 1 2 3 3 3 4 5 5 4 3 2 1 Sidnei Moura 31 UnIdAdE 1 Soma algébrica Imagine um ônibus que partiu do ponto com 15 passageiros e fez um trajeto passando por 5 paradas Na primeira desceram 5 passageiros e subiram 4 na segunda subiram 3 passageiros na terceira desceram 5 passageiros na quarta subiram 4 passageiros e desceram outros 4 passageiros na quinta e última parada desceram 7 passageiros Quantos passageiros permaneceram no ônibus após a última parada Esse sobe e desce pode ser representado por meio de uma expressão numérica do tipo 15 5 4 3 5 4 4 7 que se chama soma algébrica Não é difícil concluir que 5 passageiros permaneceram no ônibus Há várias estratégias para se chegar a esse resultado A primeira é partir do número inicial e calcular cada subida e descida ao fim de cada parada Outra estratégia é operar diretamente sobre a expressão 15 5 4 3 5 4 4 7 Somar todos os números que têm sinal positivo e em seguida somar todos os que têm sinal negativo por fim subtrair as duas operações Expressão original 15 5 4 3 5 4 4 7 Rearranjando as parcelas obtémse 15 4 3 4 5 5 4 7 Agrupamento 15 4 3 4 5 5 4 7 Cálculo final 26 21 5 Regra dos sinais Levou cerca de mil anos para que os matemáticos aceitassem a existência dos números negativos e formulassem algumas regras de cálculo para eles Uma delas tem como objetivo ajudar a definir o sinal que aparecerá no resultado da operação Considere dois números inteiros a e b A adição a b é equivalente à subtração a b 32 UnIdAdE 1 Na multiplicação e na divisão de números inteiros utilizase a seguinte regra Veja alguns exemplos resolvidos Multiplicação Divisão 2 2 4 6 3 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 15 5 3 2 2 4 4 2 2 5 2 2 5 10 15 3 5 2 5 5 2 10 15 5 3 5 2 2 5 10 5 1 5 2 5 5 2 10 5 5 1 Solução de equações em In e em ZZ A resolução de determinada equação como x 2 4 pode ter ou não solução dependendo do conjunto com o qual se está trabalhando Essa equação tem solução em In pois 2 2 4 e 2 é um número natural e ainda tem solução em ZZ pois 2 também é um número inteiro Afinal ZZ inclui todos os elementos de In No entanto não ocorre o mesmo com a equação x 2 1 Essa equação tem solução em ZZ x 1 que é um número inteiro mas não é um número natural pois não existe x In que somado com 2 dê 1 Números naturais 0 2 2 1 2 3 2 2 4 3 2 5 e assim por diante positivo positivo positivo positivo negativo negativo negativo positivo negativo negativo negativo positivo 33 UnIdAdE 1 ATIvIdAdE 4 Propriedades e operações 1 Qual é o oposto de a 17 b 6 c 0 2 Dê a distância até o zero dos pontos representados por a 2 d 99 b 12 e 777 c 0 f 123 3 Qual é o número maior a 3 ou 4 d 0 ou 100 b 3 ou 2 e 3 ou 6 c 2 ou 0 4 Dê a distância na reta numérica entre os pontos correspondentes aos números apresentados nos itens a seguir Antes porém veja alguns exemplos A distância entre 2 e 6 é 4 6 2 4 A distância entre 3 e 2 é 5 2 3 2 3 5 Lembrese de que o oposto de 3 é 3 ou seja 3 3 A distância entre 5 e 2 é 3 2 5 2 5 3 Lembrese de que o oposto de 5 é 5 ou seja 5 5 0 2 3 0 2 6 0 2 5 Sidnei Moura 34 UnIdAdE 1 Agora calcule as distâncias entre os pontos a 8 e 17 b 5 e 8 c 2 e 9 d 3 e 10 5 Calcule as adições a 2 6 e 1 3 b 5 4 f 5 5 c 5 3 g 5 5 d 7 2 h 7 5 6 Calcule as diferenças a 8 2 e 1 7 b 5 4 f 5 5 c 5 3 g 4 4 d 7 2 h 7 5 Nos exercícios 7 e 8 utilize a regra de sinais 7 Calcule as multiplicações a 3 4 d 3 4 b 3 4 e 4 3 c 3 4 f 4 3 8 Faça as divisões a 12 3 d 12 4 b 12 2 e 12 3 c 12 4 f 12 6 35 UnIdAdE 1 HORA dA CHECAGEM 9 Quais das equações a seguir têm solução considerando x In a 2x 4 0 b 3x 1 4 c 2x 1 5 10 Entre as equações do exercício 9 quais têm solução se x ZZ Atividade 1 Os números na sociedade atual 1 Alternativas corretas b e d Para realizar contagens utilizamse os números inteiros Em geral os números com vírgula são usados para expressar áreas volumes medidas lineares como com primento largura altura e espessura e também valores como preços descontos etc 2 a Os CEPs são formados por 8 dígitos 5 3 os 3 últimos formam seu sufixo Quanto aos telefones até há algum tempo o número de um celular começava por 9 8 ou 7 hoje a maioria dos celulares tem 9 dígitos e os telefones fixos 8 dígitos d 2x 1 1 e x 5 4 f 2x 1 0 36 UnIdAdE 1 b Tanto a parte inicial que compõe o CEP como seu sufixo são compostos de números inteiros e a posição de cada um deles traz uma informação Os CEPs do Estado de São Paulo começam por 0 ou 1 por 0 se o endereço for na capital ou Grande São Paulo por 1 se a localidade for no interior do Estado O sufixo do CEP destinase à identificação individual de localidades logradouros códigos especiais e unidades dos correios Já o prefixo dos telefones representa o código para discagem direta a distância DDD que é constituído por dois dígitos e identifica cidades ou conjunto de cidades do país c Não se usam vírgulas em CEPs nem em números de telefone 3 O fato de dois números de telefone apresentarem o mesmo prefixo significa que eles são da mesma região No Estado de São Paulo por exemplo um telefone com prefixo 12 pode ser do Vale do Paraíba ou do Litoral Norte 4 Uma medida pode ser expressa por meio de um número inteiro ou decimal Dessa forma um muro pode ter 2 m de altura e uma porta 190 m a altura de uma pessoa pode ser 168 m ou 168 cm Quanto aos preços é comum expressálos usando vírgula e duas casas decimais R 2350 ou R 12000 5 É possível comparar medidas desde que elas expressem o mesmo tipo de grandeza Exemplo 13 kg 25 kg 15 cm 15 cm 120 g 100 g 2 m 2 m 85 km 43 km 6 Em um extrato de conta bancária além dos números que indicam o banco a agência e o dígito que são números inteiros as quantias débitos e créditos em geral são representadas por núme ros com vírgula para expressar os centavos Se o saldo for negativo em alguns extratos aparecem números negativos com o sinal diante do número Atividade 2 Conjuntos e subconjuntos 1 a V Todos os retângulos possuem quatro lados b F Apesar de os quatros lados dos losangos terem a mesma medida os quatros ângulos internos nem sempre são retos c V Os quadrados possuem os quatro ângulos internos retos d F A afirmação só é válida para os paralelogramos que possuem quatro ângulos retos ou seja os próprios retângulos e V Os retângulos possuem quatro lados paralelos dois a dois 2 Alternativas corretas a e b Os conjuntos A e B a seguir são os que têm apenas quatro elementos a A 41 42 43 44 c C 1 3 5 7 9 b B 2 4 6 8 d D 25 30 35 40 45 3 a Os valores possíveis de x são 64 66 68 70 72 b Os valores possíveis de y são 23 25 27 29 31 HORA dA CHECAGEM 37 UnIdAdE 1 4 As associações possíveis são a Primos A e D b Múltiplos de 3 A c Divisores de 12 B e E d Quadrados perfeitos maiores que 0 A e E e Múltiplos de 12 A e C Atividade 3 Subconjuntos de ZZ 1 a V b V c F Por exemplo o conjunto 1 0 1 não é um subconjunto de In pois 1 não é um número natural d F Por exemplo o conjunto 1 0 1 é um subconjunto de ZZ mas é finito tem apenas três elementos 2 A frase é falsa O conjunto dos inteiros é infinito à esquerda é sempre possível encontrar um número negativo que seja ainda menor que outro número negativo Por exemplo se um indivíduo deve R 1 milhão para o banco 1000000 outro indivíduo que deve 1000001 está mais endivi dado que o primeiro pois 1000001 1000000 3 a A 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 b Há algumas possibilidades de resposta não é necessário que sua resposta esteja igual a ela ape nas que siga a mesma lógica B 1 0 1 ou 10 ou ainda 2 0 4 6 c C 7 5 3 1 1 3 5 4 Essa questão apresenta várias respostas dependendo de sua escolha As respostas a seguir são apenas algumas possíveis a A 0 2 4 6 8 Tratase de um conjunto de pares positivos b B 8 6 4 2 0 5 a Para zerar o saldo João tem de depositar a mesma quantia que está devendo ou seja R 12350 Adiante você verá que 12350 12350 0 b Para ficar com um saldo positivo de R 10000 João terá que zerar a conta e ainda acrescentar R 10000 portanto tem que depositar R 12350 R 10000 R 22350 Mais adiante você verá que 12350 22350 10000 HORA dA CHECAGEM 38 UnIdAdE 1 HORA dA CHECAGEM Atividade 4 Propriedades e operações 1 a 17 b 6 c 0 2 a 2 c 0 e 777 b 12 d 99 f 123 3 a 3 c 0 e 3 b 2 d 0 4 a A distância entre 8 e 17 é 9 17 8 9 b A distância entre 5 e 8 é 13 8 5 13 c A distância entre 2 e 9 é 7 2 9 7 d A distância entre 3 e 10 é 7 3 10 7 5 a 2 6 8 d 7 2 5 g 5 5 10 b 5 4 9 e 1 3 4 h 7 5 2 c 5 3 2 f 5 5 0 6 a 8 2 6 d 7 2 9 g 4 4 0 b 5 4 1 e 1 7 6 h 7 5 12 c 5 3 8 f 5 5 10 7 a 12 c 12 e 12 b 12 d 12 f 12 8 a 4 c 3 e 4 b 6 d 3 f 2 39 UnIdAdE 1 9 a Tem solução 2x 4 x 2 In b Não tem solução 3x 5 x 5 3 In c Tem solução 2x 4 x 2 In d Tem solução 2x 2 x 1 In e Não tem solução x 1 In f Não tem solução 2x 1 x 1 2 In 10 As equações dos itens a c d e e do exercício 9 têm solução se x ZZ a x 2 ZZ b x 5 3 ZZ c x 2 ZZ d x 1 ZZ e x 1 ZZ f x 1 2 ZZ HORA dA CHECAGEM Registro de dúvidas e comentários 40 Neste tema além de resolver problemas simples no universo dos números você conhecerá as características do conjunto dos números racionais do conjunto dos números irracionais e do conjunto dos números reais Você acha que em um dia comum utiliza o sistema de numeração decimal muitas vezes Toda vez que realiza uma contagem ou um agrupamento é esse sistema que você usa E então ele faz parte da sua vida ou não faz números racionais representação e características Com a invenção dos números e o desenvolvimento de vários sistemas de contagem e de numeração surgiram problemas envolvendo medidas que não podiam ser resolvidos com os números inteiros positivos os únicos conhecidos há milhares de anos Por exemplo como medir barras usando uma unidade de medida determinada como o comprimento de um palmo Se o comprimento da barra for exatamente 2 palmos barra AB não há problema mas e se o comprimento da barra estiver entre 2 e 3 palmos barra CD Como expressar essa medida Pela visualização da imagem anterior é possível afirmar que a barra mede mais que 2 palmos e menos que 3 palmos Mas quanto exatamente Problemas desse tipo levaram à invenção das frações e depois à ideia de número racional que gerou o conjunto dos números racionais representado pelo símbolo TEMA 2 números racionais irracionais e reais A 2p x B C D daniel Beneventi 41 UnIdAdE 1 Com base nessa definição podese concluir que o conjunto dos racionais inclui todos os números inteiros já que podem ser expressos pela razão entre dois números inteiros A razão mais simples é a de denominador 1 e há também representações equivalentes 3 3 1 6 2 9 3 7 7 1 14 2 1000 1000 1 5000 5 Uma importante propriedade do conjunto dos racionais é a de que todo número racional diferente de zero tem um inverso Dois números racionais são in versos quando o produto entre eles é igual a 1 Veja o exemplo O inverso de 2 3 é 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 6 6 1 Como a multiplicação é comutativa ou seja a ordem dos fatores não altera o pro duto podese concluir que o inverso de 3 2 é 2 3 Em linguagem matemática se a b é um número racional seu inverso é b a porque a b b a 1 para que isso seja possível a e b devem ser diferentes de zero Essa propriedade será muito útil na resolução de equações LEMBRE A regra da multiplicação de frações é simples multiplicamse os numeradores e os denomi nadores entre si Exemplos 3 5 4 7 3 4 5 7 12 35 2 5 3 4 2 3 5 4 6 20 3 10 ASSISTA Matemática Ensino Fundamental Anos Finais Volume 2 Números quebrados as frações Por meio de situações cotidianas esse vídeo apresenta a necessidade das frações e como elas são utilizadas A comparação e o conceito de frações equivalentes também são abordados Um número racional é um número que pode ser expresso como razão entre dois números inteiros por exemplo a b em que a e b são inteiros e b 0 Razão Numerador e denominador são números inteiros a b tal que a b ZZ e b 0 Denominador não pode ser zero Características dos números reais Daqui em diante IR será considerado o conjunto referência nos estudos desta disciplina salvo menção contrária Conheça algumas das principais características do conjunto dos números reais 1 Dados dois números reais quaisquer o resultado da adição da subtração e da multiplicação desses números é um número real Além disso é sempre possível dividir um número real por outro número real diferente de 0 zero Por exemplo sejam dois números reais 7 e 35 Então também são reais os números 7 35 35 7 7 35 35 7 7 35 35 7 2 Dados dois números reais a e b quaisquer com a b é sempre possível achar um número real x entre a e b ou seja a x b Por exemplo Entre 4 e 5 existem infinitos números reais como o número 45 4 45 5 Entre 1 e 0 existem infinitos números entre eles os números 05 e 210 Entre 13 e 12 também existem infinitos números reais como o número racional 512 13 512 12 Entre 2 e 3 existem infinitos números reais como o número 32 15 2 15 3 observe que 2 141 e 3 173 3 Em IR valem as propriedades comutativa e associativa para a adição e a multiplicação além da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição O número 0 zero é o elemento neutro da adição enquanto o 1 é o elemento neutro da multiplicação 4 Com exceção do 0 zero todo número real tem um inverso O inverso de um número a 0 é outro número que multiplicado por a resulta em 1 Por exemplo o inverso de 3 é 13 porque 3 13 1 43 UnIdAdE 1 2 Verifique qual dos números racionais a seguir é solução da equação 3x 5 0 a x 5 3 c x 3 5 b x 3 5 d x 5 3 Representação dos números racionais Os números racionais podem ser representados na forma fracionária ou decimal ou ainda como pontos da reta numérica Veja o caso do meio Forma fracionária Forma decimal Ponto sobre a reta 1 2 05 0 1 1 2 Calculadoras e computadores estão programados para passar um número racio nal da forma fracionária para a forma decimal mas nem sempre é possível mostrar todas as casas decimais uma vez que a tela do visor é limitada Sempre se pode passar um número da forma fracionária para a forma decimal Para isso basta efetuar a divisão correspondente 2 5 2 5 04 3 2 3 2 15 26 65 26 65 04 16 40 16 40 04 5 4 5 4 125 7 10 7 10 07 2 10 2 10 02 ATEnçãO Em muitas calculadoras a separação entre a parte inteira e a decimal é representada pela vírgula como ocorre no Brasil Em outras essa separação é feita pelo ponto decimal forma adotada em países de língua inglesa Exemplo 05 Brasil e 05 países de língua inglesa daniel Beneventi Sidnei Moura 44 UnIdAdE 1 Representação dos números racionais na reta É possível localizar racionais na reta numérica tendo como referência números inteiros Nos casos anteriores a representação decimal dos racionais tem um número finito de casas depois da vírgula Esses números são conhecidos como decimais finitos Mas há racionais cuja representação decimal tem infinitas casas depois da vírgula Um exemplo é 1 3 Quando há repetição periódica de um dígito ou de uma sequência de dígitos o número é chamado de dízima periódica 1 3 03333333333333 ASSISTA Matemática Ensino Fundamental Anos Finais Volume 2 Números quebrados os decimais Esse vídeo apresenta em situações do cotidiano a utilização de números decimais sua relação com as frações e ainda as regras de arredondamento Fazendo contas com decimais Esse vídeo mostra como são feitas operações matemáticas adição subtração multiplicação e divisão com números decimais daniel Beneventi 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 25 0 1 2 3 4 2 1 05 05 25 1 2 1 2 1 3 2 3 3 2 3 2 3 2 Sidnei Moura 45 UnIdAdE 1 A reta numérica ajuda a comparar e a ordenar números racionais Não há dificuldades para comparar dois números naturais ou mesmo dois números intei ros Em In a comparação de números é simples 0 1 2 3 99 100 101 999 1000 1001 mas em ZZ as aparências podem enganar Veja os exemplos 34 43 34 43 37 73 37 73 Por sua vez para comparar números em é preciso mais do que percepção numérica Nem sempre se consegue decidir só de olhar qual entre dois números racionais é o maior Para fazer essa comparação porém podese usar uma técnica Considere por exemplo dois números racionais a b e c d Como são números com denominadores diferentes podemse escrever frações equivalentes a cada racional com o mesmo denominador a b ad bd c d bc bd Portanto a b c d se e somente se ad bc Isso é válido para quaisquer a b c e d naturais diferentes de zero Assim 4 7 5 9 pois 4 9 7 5 Observe que até aqui todos os conjuntos numéricos estudados são conjuntos ordenados Isso quer dizer que dados dois elementos quaisquer é possível colo cálos em uma relação de ordem decidindo se são iguais maiores ou menores um em relação ao outro ATIvIdAdE 2 Representação e características dos números racionais 1 Escreva os números racionais a seguir na forma decimal finita ou infinita a 7 5 d 40 25 b 6 4 e 15 12 c 12 15 f 2 3 dICA A comparação de números racionais pode ser feita em uma calculadora usando a operação divisão 4 7 057 e 5 9 055 Portanto 5 9 4 7 46 UnIdAdE 1 2 Dê a forma fracionária dos racionais a seguir a 06 d 325 b 14 e 20128 c 413 f 72 3 Descubra que número multiplicado por 4 7 resulta em 1 4 Dê os inversos dos seguintes racionais a 5 d 8 3 b 1 4 e 7 5 c 3 8 5 Que número multiplicado por 08 resulta em 1 6 Escreva números que sejam maiores que os racionais dados e menores do que 1 a 2 3 d 0125 b 05 e 1 2 c 3 4 f 0001 47 UnIdAdE 1 7 Compare os números inteiros usando ou a 12 e 13 d 4 e 4 b 0 e 7 e 31 e 17 c 3 e 0 f 235 e 325 8 Compare os números racionais Use os sinais ou a 1 2 e 2 3 c 8 9 e 7 8 b 3 4 e 4 5 d 5 100 e 4 99 9 Coloque os números racionais de cada conjunto em ordem crescente a A 1 2 3 4 03 2 5 1 3 2 3 5 6 3 5 1 6 7 8 b B 9 8 8 9 7 8 9 10 7 9 8 10 10 8 1 7 10 10 9 números irracionais Existem números cuja representação é decimal infinita e não periódica O primeiro desses números foi descoberto pelos matemáticos gregos há mais de 2500 anos No século VI aC os matemáticos só conheciam e admitiam números inteiros positivos pois ainda não conheciam os negativos e as frações que eram tratadas como razões entre inteiros No entanto eles se depararam com um problema não sabiam qual número poderia expressar a medida da diagonal de um quadrado de lado 1 Isso pôde ser resolvido com uma das mais poderosas ferramentas matemáticas da época o teorema de Pitágoras Offscreen123RF 48 UnIdAdE 1 d2 12 12 d2 1 1 d2 2 d 2 1 1 d Pitágoras provou que se um triângulo é retângulo isto é tem um ângulo reto a soma dos quadrados das medidas dos lados menores é igual ao quadrado da medida do lado maior Aplicando o teorema de Pitágoras para calcular a medida da diagonal do quadrado de lado 1 temse A diagonal do quadrado de lado 1 mede 2 um número que não pode ser expresso como a razão entre dois números inteiros e portanto não é um número racional Esse fato gerou uma crise entre os sábios gregos pois apesar de a diagonal estar lá e poder ser medida não havia uma unidade de medida que coubesse um número exato de vezes no lado do quadrado e na diagonal O triângulo ABC é retângulo O ângulo  90 Os lados menores a e b são os catetos O lado maior c é a hipotenusa a2 b2 c2 c b a C B A Sidnei Moura Sidnei Moura 3 3 4 4 5 c b a 5 a² b² c² 25 9 16 Peter Hermes FurianAlamyGlow Images 49 UnIdAdE 1 Hoje sabese que 2 é um exemplo de número cuja representação decimal é infinita e não periódica Como esse número não pode ser representado por uma razão de números inteiros e não é um número racional dizse que ele é irracional 2 é um número irracional e pertence ao conjunto dos números irracionais repre sentado simbolicamente por Dos pitagóricos até os dias atuais muitas questões sobre números irracionais foram levantadas Hoje sabese que um número irracional tem uma expansão decimal infinita e não periódica o que torna impossível representálo por escrito Só é possível fazer aproximações racio nais como no caso de 2 que pode ser tomado como aproximadamente 1414 existem infinitos números irracionais é possível fazer uma correspondência entre os pontos de uma reta e os números irracionais a raiz quadrada de qualquer número primo é um número irracional São irracio nais por exemplo os números 2 3 5 7 11 13 ATIvIdAdE 3 Representação e aproximação de números irracionais 1 Use a tecla da calculadora para obter aproximações racionais dos núme ros com até duas casas decimais de a 3 d 11 b 5 e 13 c 7 f 47 ASSISTA Matemática Ensino Fundamental Anos Finais Volume 3 Radiciação e seus usos Esse vídeo aborda o uso das raízes quadradas e cúbicas na resolução de situações do tipo Como saber se o sofá cabe na área de uma sala Ilustrações daniel Beneventi 50 UnIdAdE 1 2 Encontre para x valores racionais que satisfaçam as condições a seguir No caso de frações para encontrar um número que esteja dentro do intervalo proposto podese transformálas em suas representações decimais com a ajuda da calculadora a 2 3 x 3 4 b 23 35 x 44 51 c 123 x 124 Reunião dos números racionais com os irracionais números reais Reunindo todos os números racionais e irracionais obtémse o conjunto dos números reais indicado por IR Uma característica muito importante dos números reais é a de que todos eles podem ter um correspondente na reta numérica e viceversa Observe O conjunto IR possui subconjuntos e é possível estabelecer uma relação de inclusão entre alguns deles Veja IR 2 1 0 1 2 3 24 25 05 2 3 2 3 2 2 Linguagem matemática Lêse In ZZ IR O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros que está contido no conjunto dos números racionais que está contido no conjunto dos números reais IR O conjunto dos números irracionais está contido no conjunto dos números reais A intersecção do conjunto dos números racionais com os irracionais é vazia ou seja não existe número que seja ao mesmo tempo racional e irracional daniel Beneventi daniel Beneventi Equações solúveis em Q Para os matemáticos a existência dos números racionais possibilita a resolução de determinadas equações que não têm solução em IN nem em Z Seja por exemplo a equação 2x 1 0 Usando o que se sabe sobre a resolução temse 2x 1 0 2x 1 x 12 Mas veja que 12 não é um número natural nem um número inteiro A solução da equação 2x 1 0 é um número racional pois 2 12 1 0 e 12 Q A solução de uma equação do tipo ax b 0 com a Z b Z e a 0 é o número racional ba ATIVIDADE 1 Exercitando a resolução de equações 1 Encontre o valor de x nas equações a seguir a 5x 10 e 4x 2 b 10x 20 f 2x 5 c 2x 4 0 g x 1 0 d 3x 12 0 h 4x 10 0 52 UnIdAdE 1 Por outro lado o inverso de 1 5 é o número 5 pois 1 5 5 1 O inverso de um número racional a b com a b 0 é o racional b a pois a b b a 1 ATIvIdAdE 4 Explorações com números reais 1 Encontre um número real entre 3 e 5 2 2 Encontre um número real x que satisfaça a seguinte desigualdade 2 3 x 1 3 Encontre um número real y que satisfaça a seguinte desigualdade 2 y 2 Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as desigualdades 2x 3 x 7 3x 1 a 4 d 2 b 1 e 5 c 3 Pontifícia Universidade Católica do Rio de janeiro PUCRj 2006 disponível em httpwwwpucriobrvestibularrepositorioprovas2006matematicaobjg2html Acesso em 5 set 2014 Você já observou que há vários tipos de número Será que todos eles podem ser encontrados facilmente no cotidiano No decorrer desta Unidade você teve contato com cinco conjuntos numéricos utilizados em Matemática Perceba que alguns casos de operações matemáticas podem ser aplicados com facilidade em certo tipo de conjunto numérico mas não em outro Você conseguiu notar essa diferença Foi possível entender as diversas aplicações dos números em nossa vida Se necessário anote suas dúvidas para solucionálas com o professor quando for ao CEEJA HORA DA CHECAGEM Atividade 1 Exercitando a resolução de equações 1 a 5x 10 5x 5 10 5 x 2 IN b 10x 20 10x 10 20 10 x 2 Z c 2x 4 0 2x 4 4 0 4 2x 0 4 2x 4 2x 2 4 2 x 2 Z d 3x 12 0 3x 12 12 0 12 3x 12 3x 3 12 3 x 4 IN e 4x 2 4x 4 2 4 x 12 Q f 2x 5 2x 2 5 2 x 52 Q g x 1 0 x 1 1 0 1 x 1 Z h 4x 10 0 4x 4 10 4 x 104 52 Q 2 Alternativa correta d O número racional 53 é solução da equação 3x 5 0 3x 5 x 53 Verifique substituindo x por 53 3 53 5 3 53 5 153 5 5 5 0 Atividade 2 Representação e características dos números racionais 1 Para obter a representação decimal dividese o numerador pelo denominador da fração A calculadora pode ajudar a 7 5 14 d 40 25 16 b 6 4 15 e 15 12 125 c 12 15 08 f 2 3 0666 2 Nesse caso é preciso escrever a fração decimal correspondente e depois simplificála sempre que possível a 610 35 d 325100 134 b 1410 75 e 201281000 2516125 c 41310 f 7210 365 54 UnIdAdE 1 3 Para a multiplicação resultar em 1 basta multiplicar o número pelo seu inverso Então o número procurado é 7 4 4 a 1 5 c 8 3 e 5 7 b 4 d 3 8 5 Primeiro escrevese 08 na forma de fração decimal 8 10 Sabendo que para o resultado da multiplicação de duas frações ser 1 é preciso multiplicar o primeiro fator fracionário pelo seu inverso então o número procurado é 10 8 5 4 125 6 A resposta não é única O que está expresso aqui são exemplos de números que satisfazem os itens a 067 3 4 c 08 38 50 e 06 51 100 b 07 5 9 d 013 1 7 f 00012 1 999 7 a 12 13 c 3 0 e 31 17 b 0 7 d 4 4 f 235 325 8 Conforme foi explicado no texto Representação dos números racionais na reta a b c d se e somente se ad bc a 1 3 2 2 então 1 2 2 3 c 8 8 9 7 então 8 9 7 8 b 3 5 4 4 então 3 4 4 5 d 5 99 100 4 então 5 100 4 99 9 No caso de frações podese dividir o numerador pelo denominador e assim encontrar a representação decimal Essa é uma maneira de comparar os números e ordenálos a 1 6 03 1 3 2 5 1 2 3 5 2 3 3 4 5 6 7 8 b 7 10 7 9 8 10 7 8 8 9 9 10 1 10 9 9 8 10 8 Atividade 3 Representação e aproximação de números irracionais 1 a 173 b 223 c 264 d 331 e 360 f 685 HORA dA CHECAGEM 55 UnIdAdE 1 2 a 2 3 066 e 3 4 075 portanto x pode ser qualquer número entre 066 e 075 por exemplo 07 ou 068 b 23 35 065 e 44 51 086 portanto x pode ser 067 076 080 ou qualquer outro número que esteja nesse intervalo c Existem infinitos números entre 123 e 124 como 1231 1237 ou 12391 Atividade 4 Explorações com números reais Para os exercícios de 1 a 3 há infinitas soluções algumas das quais você encontra a seguir 1 Nesse caso usando a representação decimal encontrase o valor de 5 2 25 então x pode ser qualquer número que esteja no intervalo entre 3 e 25 como 28 ou 26 2 Nesse caso encontrase o valor decimal de 2 3 066 então x pode ser qualquer número entre 066 e 1 como 07 ou 09 3 Como 2 14 o valor de y está entre 14 e 2 podendo ser 15 19 ou qualquer outro que você deseje nesse intervalo Desafio Alternativa correta d A dica aqui é desmembrar a inequação em duas partes 2x 3 x 7 2x x 7 3 x 4 x 7 3x 1 7 1 3x x 6 2x 3 x Assim x pode ser 4 ou 3 ou seja dois números inteiros Registro de dúvidas e comentários HORA dA CHECAGEM