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Questão 4 Em um processo de resfriamento de uma barra metálica a equação diferencial que descreve a relação entre o tempo e a razão entre temperatura e comprimento da barra é dada por dydx x yx Sabendo que a solução passa pelo ponto 10 determine a solução particular e interprete o comportamento térmico da barra ao longo do comprimento 1 Resolver a Equação Diferencial A equação diferencial dada é dydx x yx Podemos reescrevêla como dydx 1 yx Esta é uma equação diferencial homogênea Para resolvêla fazemos a substituição v yx então y vx Derivando em relação a x temos dydx v x dvdx Substituindo na equação original v x dvdx 1 v Simplificando x dvdx 1 Separando as variáveis dv dxx Integrando ambos os lados dv dxx v lnx C Substituindo v yx de volta yx lnx C y xlnx C 2 Determinar a Solução Particular Dado que a solução passa pelo ponto 10 substituímos x1 e y0 na solução geral 0 1ln1 C 0 10 C C 0 Portanto a solução particular é y x lnx 3 Interpretar o Comportamento Térmico da Barra A solução particular y x lnx descreve a relação entre a temperatura e o comprimento da barra durante o processo de resfriamento Comportamento Quando x comprimento aumenta lnx também aumenta embora mais lentamente Para x 1 y temperatura aumenta gradualmente com o aumento do comprimento Para 0 x 1 lnx é negativo então y é negativo e diminui à medida que x se aproxima de 0 Interpretação Física No ponto x 1 a temperatura y é 0 À medida que nos movemos ao longo da barra aumentando x a temperatura aumenta mas a taxa de aumento diminui devido à natureza logarítmica da função Próximo à extremidade inicial da barra x próximo de 0 a temperatura diminui e se torna negativa o que pode indicar uma referência de temperatura ou um modelo simplificado que não se aplica bem em comprimentos muito pequenos