Pesquisa Operacional - Universidade do Sul de Santa Catarina

Pesquisa Operacional Universidade do Sul de Santa Catarina UnisulVirtual Palhoça 2015 Universidade do Sul de Santa Catarina Pesquisa Operacional Créditos Universidade do Sul de Santa Catarina Unisul Reitor Sebastião Salésio Herdt ViceReitor Mauri Luiz Heerdt PróReitor de Ensino de Pesquisa e de Extensão Mauri Luiz Heerdt PróReitor de Desenvolvimento Institucional Luciano Rodrigues Marcelino PróReitor de Operações e Serviços Acadêmicos Valter Alves Schmitz Neto Diretor do Campus Universitário de Tubarão Heitor Wensing Júnior Diretor do Campus Universitário da Grande Florianópolis Hércules Nunes de Araújo Diretor do Campus Universitário UnisulVirtual Fabiano Ceretta Campus Universitário UnisulVirtual Diretor Fabiano Ceretta Unidade de Articulação Acadêmica UnA Ciências Sociais Direito Negócios e Serviços Amanda Pizzolo coordenadora Unidade de Articulação Acadêmica UnA Educação Humanidades e Artes Felipe Felisbino coordenador Unidade de Articulação Acadêmica UnA Produção Construção e Agroindústria Anelise Leal Vieira Cubas coordenadora Unidade de Articulação Acadêmica UnA Saúde e Bemestar Social Aureo dos Santos coordenador Gerente de Operações e Serviços Acadêmicos Moacir Heerdt Gerente de Ensino Pesquisa e Extensão Roberto Iunskovski Gerente de Desenho Desenvolvimento e Produção de Recursos Didáticos Márcia Loch Gerente de Prospecção Mercadológica Eliza Bianchini Dallanhol Livro didático UnisulVirtual Palhoça 2015 Designer instrucional Eliete de Oliveira Costa Pesquisa Operacional Ana Lúcia Miranda Lopes Ana Lúcia Meira da Veiga Galvão Moacir Fogaça Livro Didático Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul Copyright UnisulVirtual 2015 Professor conteudista Ana Lúcia Miranda Lopes Ana Lúcia Meira da Veiga Galvão Moacir Fogaça Designer instrucional Eliete de Oliveira Costa Projeto gráfico e capa Equipe UnisulVirtual Diagramadora Noemia Mesquita Revisora Diane Dal Mago Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição 6584034 L85 Lopes Ana Lúcia Miranda Pesquisa operacional livro didáticoAna Lúcia Miranda Lopes Ana Lúcia Meira da Veiga Galvão Moacir Fogaça design instrucional Eliete de Oliveira Costa Palhoça UnisulVirtual 2015 204 p il 28 cm Inclui bibliografia 1 Pesquisa operacional I Galvão Ana Lúcia Meira da Veiga II Fogaça Moacir III Costa Eliete de Oliveira IV Título Sumário Introdução 7 Capítulo 1 Pesquisa operacional o que é história e aplicações 9 Capítulo 2 Simulação de Monte Carlo 17 Capítulo 3 Programação Linear formulação 53 Capítulo 4 Programação linear problemas de transporte e designação 79 Capítulo 5 Programação linear solução gráfica e algébrica 99 Capítulo 6 Programação de Projetos por meio do estudo de redes PERTCPM 121 Considerações Finais 137 Referências 139 Sobre os Professores Conteudistas 141 Respostas e Comentários das Atividades de Autoavaliação 142 Introdução Prezadoa alunoa nesta unidade de aprendizagem você entrará em contato com o melhor dos mundos da matemática o mundo da aplicação Aqui você aprenderá e entenderá o porquê de estudarmos tanta matemática quando fazemos o primeiro e segundo graus Muitas vezes você se perguntava para que servia aquele monte de equações onde você iria utilizar na sua vida Pois é nesta unidade de aprendizagem você estudante estará aplicando os conteúdos adquiridos até hoje com o objetivo de resolver problemas empresariais Muitas vezes você como administrador terá que tomar decisões bastante complexas que envolvem alocação de recursos escassos identificação da quantidade de produto a manter em estoque quanto de produto encaminhar de cada origem para cada destino quanto investir em cada ativo entre outros É meu caro estudante é aqui que você verá o quanto a matemática ajuda a resolver problemas Com certeza a unidade de aprendizagem que você estudará a partir deste momento lhe dará as ferramentas necessárias para resolver uma série de problemas na área de administração Neste livro você estudará as técnicas de pesquisa operacional mais aplicadas no mundo todo Nenhuma delas é fácil pois envolve conhecimentos e habilidades em métodos quantitativos assim como na utilização de uma planilha eletrônica A partir de agora você caro aluno entrará neste mundo que por vezes não lhe parecerá fácil mas é muito desafiante Você gosta de desafios Então vamos lá 9 Habilidades Seções de estudo Capítulo 1 Pesquisa operacional o que é história e aplicações Seção 1 Como surgiu a pesquisa operacional Seção 2 O que é pesquisa operacional A partir do estudo deste capítulo esperase que o estudante possa compreender os sistemas de organização da empresa industrial ou de serviços estruturada numa visão top down do sistema produtivo Entender a pesquisa operacional como ciência bem como seu desenvolvimento compreendendo as diversas divisões da pesquisa operacional e suas aplicações nos diferentes campos do conhecimento humano 10 Capítulo 1 Seção 1 Como surgiu a pesquisa operacional A pesquisa operacional Operations Research ou Management Science teve seu surgimento durante a Segunda Guerra Mundial Guerras na maior parte das vezes trazem junto consigo a necessidade de conviverse com toda sorte de carência de recursos Foi por essa razão que os militares ingleses British Air Force formaram o primeiro grupo para o estudo das melhores condições de aproveitamento dos recursos disponíveis Esse grupo estudou a aplicação de métodos quantitativos com o objetivo de melhorar a eficiência das forças de guerra da armada inglesa Foi então denominado de grupo de Operations Research pesquisa operacional e vem daí o nome da ciência tão amplamente utilizada hoje em dia Naquele momento o grupo de PO começou a trabalhar com problemas relacionados ao abastecimento das tropas táticas de defesa e ataque aéreo e marítimo A principal aplicação daquela época que se tem notícia foi na área de detecção de aviões inimigos por meio de radar Dizem hoje que esta foi a grande arma dos britânicos que os levou a vencer a batalha aérea na GrãBretanha Logo após a criação do grupo de PO inglês e como não poderia deixar de ser os americanos formaram um grupo semelhante Depois da Segunda Guerra Mundial os cientistas e administradores de empresas vislumbraram a possibilidade de aplicação das técnicas de PO utilizadas na guerra para a resolução de problemas dentro das empresas Modelos foram pesquisados e desenvolvidos para a resolução de problemas nas áreas de planejamento da produção planejamento agrícola transporte de mercadorias programação e refinarias de petróleo entre outros Agora vamos às definições 11 Pesquisa Operacional Seção 2 O que é pesquisa operacional A pesquisa operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais e complexos Tendo como foco a tomada de decisões aplica conceitos e métodos de outras áreas científicas para concepção planejamento ou operação de sistemas para atingir seus objetivos Por meio de desenvolvimentos de base quantitativa a pesquisa operacional visa também a introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão sem descuidar no entanto dos elementos subjetivos e de enquadramento organizacional que caracterizam os problemas É portanto uma ciência aplicada formada por um conjunto de técnicas quantitativas que tem como objetivo a determinação da melhor maneira de aproveitamento de recursos por vezes escassos É particularmente pertinente em problemas complexos cujo alcance dos objetivos enfrenta restrições tais como técnica econômica temporal de mão de obra de demanda etc Visite o site SOBRAPO Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional e conheça um pouco mais as pesquisas sobre PO no Brasil Aliado ao uso dos métodos quantitativos há softwares eficientes para a resolução dos problemas decisórios Softwares tais como LINDO Whats Best Solver do Excel entre outros poderão ser utilizados na busca da solução dos problemas Com a disseminação dos computadores observada nas últimas décadas tornou se possível trabalhar com grandes volumes de dados sobre as atividades das empresas tornando a representação do problema decisório cada vez mais próxima da realidade e fazendo com que se observe o uso da PO em um grande número de empresas Com a globalização a utilização eficiente dos recursos disponíveis é vital para as empresas Utilizar tudo o que se tem disponível por meio da ciência experiência etc para a melhoria da eficiência das empresas é de extrema relevância para a sobrevivência delas Em um mercado cada vez mais competitivo isso pode significar ou não a sua manutenção no mercado 12 Capítulo 1 A utilização de métodos quantitativos para resolução de problemas decisórios envolve normalmente muitas pessoas dentro da organização Todos os aspectos relevantes do problema precisam ser identificados e mapeados O processo da aplicação das técnicas de pesquisa operacional envolve uma sequência de passos que pode ser ilustrada na figura que segue Figura 11 Sequência de desenvolvimento de um modelo de PO Levantamento dos dados necessários Desenvolvimento do modelo matemático Busca da solução do modelo Análise dos resultados e análise de sensibilidade Formulação modelagem Implementação do Resultado Identificação do Problema Validação do modelo Fonte MATHUR K SOLOW D 2004 13 Pesquisa Operacional A Figura 11 mostra que o desenvolvimento de um modelo de pesquisa operacional parte da identificação correta e precisa do problema O responsável pela modelagem deve extrair do decisor o problema que ele deseja resolver para que possa estabelecer os objetivos do modelo Após a declaração dos objetivos o modelador deve realizar um levantamento dos dados para posteriormente passar ao desenvolvimento do modelo Os dados podem ser determinísticos conhecidos com certeza ou probabilísticos se conhece a distribuição de probabilidade deles Após a modelagem resolvese o problema que deve ser validado tanto pelo responsável pela modelagem quanto pelo decisor A fase da validação passa por uma observação dos resultados apresentados pelo modelo para verificar se eles são factíveis de implementação Muitas vezes modelos construídos de forma errada ou utilizando dados errados conduzem a resultados absurdos Nesse momento o responsável pela modelagem deverá retornar a qualquer uma das fases anteriores para verificar onde está o erro Se os resultados estão corretos passase para a penúltima fase análise dos resultados e análise de sensibilidade Nessa fase realizase uma análise de sensibilidade com o objetivo de verificar até que ponto pequenas alterações nos dados do problema modificam o resultado Modelos muito sensíveis tornam muito arriscada sua implementação A última fase é a de implementação do resultado Neste ponto é importante lembrar que o decisor tomará sua decisão utilizando os resultados do modelo além de outras informações e variáveis muitas vezes subjetivas O responsável pela modelagem não deve esperar que o decisor aceite e implemente cegamente o que indica o modelo mas sim que ele utilize seus resultados para auxiliálo no processo de tomada de decisão As técnicas de PO são aplicadas a uma ampla variedade de problemas decisórios que vão desde a determinação de tempo em filas de um banco até filas de aviões em aeroportos Problemas de estoques planejamento da produção mistura de componentes formulação de ração a custo mínimo redes de transporte alocação de pessoas problemas de redes de comunicação alocação de investimentos e programação de tarefas são também exemplos de aplicações de PO 14 Capítulo 1 Organizações como IBM HP Microsoft Gessy Lever Nestlé etc São exemplos de multinacionais que vêm utilizando técnicas de PO em seus gerenciamentos Em nível nacional temse informação da aplicação de técnicas de pesquisa operacional em empresas tais como Petrobrás Sadia AçoMinas Unibanco Bradesco Brahma Cosipa Eletrobrás entre outras A pesquisa operacional compreende um conjunto relativamente grande de técnicas que podem ser utilizadas para resolução de problemas decisórios As principais são algoritmos genéticos análise multicritério de apoio à decisão cadeias de Markov Data Envelopment Analysis DEA grafos modelos de estoques modelos de previsão programação dinâmica programação linear programação não linear redes neurais simulação teoria da decisão teoria das filas teoria dos jogos Na área de negócios os casos de utilização da pesquisa operacional têm se concentrado nas técnicas de programação linear e simulação Pelo menos 70 das aplicações envolvem essas duas áreas 15 Pesquisa Operacional Você finalizou este capítulo Ao estudálo caracterizou a pesquisa operacional como ciência Conheceu a história da pesquisa operacional Como também estudou as diversas divisões da pesquisa operacional Aprendeu que pesquisa operacional é uma ciência aplicada voltada para a solução de problemas decisórios Viu também que ela envolve a matemática no processo de modelagem e a utilização de softwares para a solução dos modelos Acompanhou o surgimento da pesquisa operacional na Segunda Guerra Mundial bem como as fases de construção dos modelos O capítulo foi finalizado com uma relação extensa das técnicas mais utilizadas Atividades de autoavaliação 1 Para praticar os conhecimentos apropriados nesta unidade realize as atividades propostas a seguir O que é pesquisa operacional Pesquise na internet e busque outras definições além do que foi apresentado a você 17 Habilidades Seções de estudo Capítulo 2 Simulação de Monte Carlo Seção 1 Introdução à simulação Seção 2 Fases e funcionamento da simulação Seção 3 Simulação de Monte Carlo A partir do estudo deste capítulo o estudante conhecerá os conceitos básicos e o funcionamento de simulação Compreenderá como a simulação pode auxiliar na tomada de decisão e identificará quais as variáveis importantes na resolução de problemas reconhecendo a distribuição de probabilidades das variáveis probabilísticas 18 Capítulo 2 Seção 1 Introdução à simulação Simulação é o processo de construção de um modelo matemático ou lógico de um sistema ou problema decisório e de experimentação desse modelo usualmente utilizandose um computador com o objetivo de observáloanalisálo e solucionálo A simulação procura construir sistemas modelos de uma situação real para que com base nos resultados das modificações neste modelo o administrador possa tomar decisões A simulação é bastante utilizada para observar o impacto de mudanças desejadas pelos decisores É também particularmente adequada quando os problemas exibem alguma incerteza dificultando a utilização de modelos analíticos A principal vantagem da simulação é sua habilidade de modelar hipóteses sobre um problema ou sistema fazendo com que ela seja a ferramenta mais flexível da pesquisa operacional EVANS OLSON 2002 A simulação tem estado presente na nossa vida de várias maneiras Por exemplo Quem não vê em telejornais aquele mapa de previsão de tempo onde é simulada a passagem das nuvens sobre os vários estados E os simuladores de voo É por meio do uso de simuladores que os futuros pilotos e astronautas aprendem a voar podendo observar como o avião ou nave reagiria sob determinadas condições ou ações do piloto Até dentro de nossa casa temos programas de computador que procuram imitar cenas da vida real tais como SIMS jogos de videogames etc A simulação é encontrada nas grandes empresas e com ela podese construir modelos que imitam os processos atuais de maneira a observar o impacto de mudança nesses processos 19 Pesquisa Operacional Você pode construir um modelo que simula por exemplo o funcionamento diário de um banco ou hospital para entender o impacto de adicionar um ou mais bancários ou enfermeiras a operação de um porto ou aeroporto para entender o fluxo de tráfico e os congestionamentos associados o processo de produção em uma fábrica para identificar gargalos na linha de produção o fluxo de tráfico em uma freeway ou em um sistema de comunicação complicado para determinar se a expansão é necessária Mas onde mais a simulação pode ser utilizada Vamos conhecer 11 Simulação em sistemas de produção manufatura e montagem movimentação de peças e matériaprima alocação de mão de obra áreas de armazenagem layout etc 12 Sistemas de transporte e estocagem redes de distribuição armazéns e entrepostos frotas etc 13 Sistemas administrativos seguradoras operadores de crédito financeiras 20 Capítulo 2 14 Sistemas de prestação de serviços direto ao público hospitais bancos restaurantes industriais e tipo fast food serviços de emergência polícia bombeiros socorro médico serviços de assistência jurídica etc 15 Sistemas computacionais redes de computadores redes de comunicação servidores de rede arquitetura de computadores sistemas operacionais gerenciadores de base de dados etc Conheça mais sobre o histórico da simulação por meio da leitura do texto de Corrar e Theófilo 2003 que segue Breve histórico A história da simulação remonta aos jogos de guerra chineses há 5000 anos Os povos prússios utilizaram esses jogos no final do século XVIII como auxílio ao treinamento militar de suas tropas A partir de então as principais forças militares do mundo vêm usando jogos de guerra para testar estratégias militares frente a cenários simulados de combate Durante a Segunda Guerra Mundial o matemático húngaroamericano John Von Neumann em seu trabalho no Projeto Manhattan bomba atômica criou um novo conceito denominado Simulação de Monte Carlo O trabalho consistia na simulação direta de problemas probabilísticos relacionados com a difusão aleatória das partículas de nêutrons quando submetidas a um processo de fissão nuclear O nome Monte Carlo foi cunhado pelo cientista Metrópolis inspirado no interesse por pôquer de seu colega Ulam Baseouse na similaridade que a simulação estatística desenvolvida por eles tinha com os jogos de azar simbolizados nas roletas do cassino de Monte Carlo na capital do principado de Mônaco 21 Pesquisa Operacional Atualmente graças ao desenvolvimento dos recursos computacionais esse método é usado rotineiramente em diversas áreas desde a simulação de fenômenos físicos complexos como o transporte de radiação na atmosfera terrestre até em causas menos nobres como na simulação do resultado de loterias No Brasil empresas tais como a Belge Simulação e a Paragon realizam consultoria nesta área e estão preparadas para trabalhar com problemas bastante complexos Verifique A Belge por exemplo já construiu modelo para a Michelin com o objetivo de buscar o melhor layout produtivo para a planta de ResendeRJ modelo para a Petrobras que apontou o correto dimensionamento da frota de sondas de manutenção de poços Com esse modelo a Petrobras teve uma economia de mais de US 1000000 modelo para a Brahma que a levou a uma economia de US 350000 por meio da melhora nos procedimentos logísticos da reorganização dos estoques e da racionalização de empilhadeiras modelo para a Volkswagen de São Bernardo do Campo SP que trabalhou com dimensionamento de uma nova linha de teste de motores bem como na ampliação nas linhas de pintura e na obtenção de melhorias na logística operacional modelo para o Banco Itaú que utilizou um simulador para o desenvolvimento de um sistema para redução de filas nas suas quase 2000 agências espalhadas pelo Brasil A Belge utiliza o software ProModel líder mundial em sistemas para modelagem simulação e otimização de processos e é a representante no Brasil desse software Outro exemplo é a Paragon que utiliza o ARENA Essa empresa realizou grandes trabalhos para Petrobras CAIO Ford Scania entre outras 22 Capítulo 2 16 Os principais softwares existentes na área de simulação são ARENA PROMODEL Crystal Ball Risk DecisionPro Xcell SLAM Witness MAP1 A planilha eletrônica Excel também contém recursos para que simulações não muito complexas possam ser realizadas Os principais tipos de simulação existentes são simulação de Monte Carlo e simulação de sistemas Enquanto a simulação de Monte Carlo é um experimento de amostragem cujo principal propósito é estimar a distribuição de um resultado que depende de algumas variáveis probabilísticas a simulação de sistemas modela sequências de eventos que acontecem ao longo do tempo como estoques filas e produção Seção 2 Fases e funcionamento da simulação 21 Fases da simulação Para que um modelo de simulação seja construído é importante que as fases descritas pela Figura 21 sejam seguidas 23 Pesquisa Operacional Figura 21 Fases da simulação Modificação eou Redefinição do Modelo Identificação do Problema Estabelecimento dos Objetivos ColetaPreparação dos Dados Formulação do Modelo VerificaçãoValidação do Modelo Experimentação e Interpretação dos Resultados Conclusão e Implementação Fonte Lopes e Galvão 2010 Observe que um modelo de simulação deve iniciar com a correta identificação do problema que precisa ser resolvido Em seguida estabelecemse os objetivos e iniciase a fase de coleta e preparação dos dados Nesta fase normalmente coletamse muitos dados estatísticos a respeito das variáveis do sistema que se deseja simular O modelo é então formulado e posteriormente validado por meio da observação do seu comportamento com dados reais Se o modelo não está adequado seguese uma fase de modificação dele Se é considerado adequado isto é se ele reflete perfeitamente a situação real que se pretende analisar realizamse as análises experimentação e interpretação dos resultados para posterior implementação 24 Capítulo 2 22 Exemplo de simulação Um bom exemplo de simulação no mundo dos negócios foi publicado por Evans e Olson 2002 e está traduzido adaptado e reproduzido a seguir Doce Sabor é uma empresa familiar de pequeno porte que vende sorvetes de vários sabores Porém em datas comemorativas vende também chocolate caseiro Para o dia dos namorados a empresa sempre adquire de seu fornecedor um chocolate especial em forma de coração para revender O pedido desse tipo de chocolate deve ser feito com várias semanas de antecedência Esse produto é comprado do fornecedor por R 750 à caixa e revendido por R 12 Todas as caixas que não são vendidas até o dia 13 de junho são oferecidas com desconto de 50 e dessa maneira podem ser vendidas facilmente Historicamente a Doce Sabor tem vendido entre 40 e 90 caixas nesta época sem tendência de crescimento ou decréscimo das vendas O problema do gerente da loja é decidir quantas caixas de chocolate comprar para o dia dos namorados pois se a demanda exceder a quantidade comprada a empresa perde oportunidade de lucro De outro lado se muitas caixas são compradas isto é se a quantidade comprada excede a quantidade demandada até o dia 13 de junho a loja estará perdendo dinheiro pois estará vendendo as caixas que sobrarem a um preço abaixo do seu custo de compra Se a demanda é conhecida poderseia computar o lucro de comprar 40 50 60 70 80 ou 90 caixas facilmente Porém a demanda é probabilística e para efeitos de simplificação devese assumir que será de 40 50 60 70 80 ou 90 caixas com igual probabilidade 16 Ajude o gerente a decidir quantas caixas comprar Obviamente seu objetivo é o de maximizar o lucro da empresa Solução Para que o modelo de simulação seja construído fazse necessário primeiramente desenvolver duas expressões matemáticas que representem o Lucro1 e o Lucro 2 da Doce Sabor 25 Pesquisa Operacional Esses lucros deverão ser calculados utilizandose as expressões 1 se a demanda D exceder ou for igual à quantidade comprada Q e a expressão 2 se a demanda D ficar abaixo da quantidade Q Lucro1 12Q 75Q 45Q Expressão 1 se D Q Lucro2 12D 6QD 75Q 6D 15Q Expressão 2 se D Q Traduzido e adaptado de OSLON DL EVANS JR 2002 Observe que por meio da expressão 1 obtémse o lucro da empresa quando a demanda excede a quantidade comprada lembre que lucro receita custo Nesse caso a receita é encontrada multiplicando se o preço de venda 12 pela quantidade comprada Q menos o custo que é obtido multiplicandose o valor de custo de cada caixa 75 pela quantidade comprada Q Na expressão 2 vamos calcular a receita até o dia 13 de junho e depois calculamos a receita produzida pela sobra somando as duas parcelas da receita Veja a representação abaixo Observe que o valor R600 após 13 de junho foi encontrado considerando 50 de R12 conforme descrito no problema Com base nas expressões apresentadas acima podese realizar a simulação do movimento do dia dos namorados para auxiliar o administrador da loja a decidir quantas caixas comprar Os dados utilizados na simulação são os descritos abaixo 1 A quantidade do pedido Q aquilo que se quer decidir 2 As várias receitas e custo constantes e conhecidas 3 A demanda D incontrolável e probabilística 26 Capítulo 2 O resultado procurado pelo modelo é o lucro líquido pois a empresa irá decidir pela quantidade a ser comprada 40 50 60 70 80 ou 90 que maximizará este lucro Se sabemos a demanda facilmente calculamos o lucro utilizando a expressão 1 ou 2 Porém se a demanda tem uma distribuição probabilística nós precisaremos simular essa demanda Foi assumido que a demanda pode ser 40 50607080 ou 90 com igual probabilidade 16 Sendo as probabilidades iguais e de 16 é possível gerar amostras utilizando um dado Podese estabelecer a demanda conforme a tabela que segue Tabela 21 Simulação de demanda da Doce Sabor VALOR ESTABELECIDO NO DADO DEMANDA ESTABELECIDA 40 50 60 70 80 90 Fonte Fogaça 2014 A tabela acima estabelece que se rolarmos um dado e o valor alcançado for 1 então a demanda é tida como sendo de 40 caixas e podese calcular o lucro obtido Para realizar a simulação desse exemplo vamos estabelecer que o administrador da loja tenha encomendado 60 caixas de chocolates especiais para o dia dos namorados Os passos abaixo devem ser observados para a simulação de Monte Carlo 1 rolar o dado 2 determinar a demanda D utilizando a Tabela 21 3 usando Q 60 calcular o lucro com as expressões1 ou 2 4 anotar o lucro obtido Por exemplo suponha que rolamos o dado e o número obtido foi 4 Esse corresponde a uma demanda de 70 caixas de chocolates Como neste caso DQ usaremos a expressão 1 para computar o lucro obtido simulado Lucro 1 1260 7560 R 27000 27 Pesquisa Operacional Entretanto uma única simulação não nos fornece uma boa estimativa do que poderia acontecer se o administrador encomendasse 60 caixas Repetindo a simulação 10 vezes como exemplo nós podemos chegar aos resultados descritos na tabela que segue Tabela 22 Simulação de demanda e lucro obtido por caixas de chocolates usando Q 60 TENTATIVA VALOR DO DADO DEMANDA CONDIÇÃO EXPRESSÕES LUCRO 1 80 DQ 12 Q 75 Q EXP1 270 2 60 DQ 270 3 50 DQ 6 D 15 Q EXP2 210 4 70 DQ 12 Q 75 Q EXP1 270 5 40 DQ 6 D 15 Q EXP2 150 6 60 DQ 12 Q 75 Q EXP1 270 7 80 DQ 270 8 90 DQ 270 9 50 DQ 6 D 15 Q EXP2 210 10 60 DQ 12 Q 75 Q EXP1 270 Quantidade comprada 60 caixas Média 246 Fonte Fogaça 2014 Veja exercício 22 disponível na midiateca Conforme a tabela acima podese observar que o lucro médio obtido pela empresa com a encomenda de 60 caixas seria de R 246 Com base nesses dados construiuse a tabela abaixo que mostra a distribuição de probabilidade do lucro Ela nos diz que se o administrador da Doce Sabor encomendasse 60 caixas de chocolates para o próximo dia dos namorados ele teria 70 de probabilidade de obter um lucro de R 270 20 de probabilidade de obter um lucro de R 210 e somente 10 de chance de obter um lucro de R 150 28 Capítulo 2 Tabela 23 Distribuição de frequência dos lucros LUCRO FREQUÊNCIA OBSERVADA PROBABILIDADE 150 1 010 10 210 2 020 20 270 7 070 70 SOMAT 10 100 Fonte Fogaça 2014 Frequência observada é igual ao número de vezes que aquele evento ocorreu dentro da amostra analisada Exemplo nas 10 tentativas da Tabela 22 um lucro de R21000 ocorreu duas vezes Probabilidade obtida dividindose a frequência observada pelo total de observações 10 Os resultados dessa simulação nos mostram que a Doce Sabor tem 30 de chance de obter um lucro menor ou igual a R 210 Os 30 de chance são encontrados somandose as probabilidades 10 e 20 na tabela 23 Se a loja tem despesas fixas maiores do que este valor talvez fosse melhor seu administrador escolher uma outra quantidade de encomenda Q na tentativa de obter um lucro maior Faça o teste construindo tabelas de simulação para Q 4050607080 90 e 100 unidades Devese salientar que o acima exposto foi somente um exemplo de aplicação da simulação Para que a simulação forneça bons resultados ela deve ser realizada muitas vezes cem no mínimo Para que se possa realizar uma simulação de cem tentativas por exemplo uma planilha eletrônica será de grande valia Uma simulação com dez tentativas nos produz resultados muito limitados e foi aqui realizada para que você entenda mais facilmente o processo de simulação Na próxima seção você continuará este exemplo trabalhando com a simulação de Monte Carlo Esse tipo de simulação foi escolhido por ser considerado mais adequado a simulações realizadas no mundo dos negócios Seção 3 Simulação de Monte Carlo A simulação de Monte Carlo é basicamente um experimento de amostragem cujo principal propósito é estimar a distribuição de um resultado que depende de algumas variáveis probabilísticas 29 Pesquisa Operacional Ela é um tipo de simulação que gera números aleatórios dentro de certas características e utiliza estes valores para as variáveis incertas de um modelo O modelo é simulado repetidas vezes utilizando esses números aleatórios e os resultados são anotados e classificados Lembrese Método de Monte Carlo tipo de simulação que utiliza distribuições de probabilidades para determinar a ocorrência de eventos aleatórios A simulação de Monte Carlo é frequentemente utilizada para avaliar o impacto esperado de mudanças de políticas e o risco envolvido na tomada de decisão De acordo com Corrar e Theófilo 2003 a técnica de simulação de Monte Carlo compreende as seguintes etapas a identificação das distribuições de probabilidades das variáveis aleatórias relevantes para o estudo b construção das distribuições de probabilidades acumuladas para cada uma das variáveis definidas no item anterior a quando cabível c definição dos intervalos de números randômicos números aleatórios para cada variável d geração de números aleatórios e simulação dos experimentos Para exemplificar as etapas acima vamos definir primeiramente as variáveis aleatórias do exemplo 21 Variável é o objeto de estudo do problema que estamos resolvendo e aleatório é aquilo que não sabemos com exatidão que simulamos o resultado Portanto no exemplo da Doce Sabor temos três variáveis a demanda D a quantidade do pedido Q e o lucro L A quantidade comprada Q após determinada será sempre a mesma sendo assim ela é não aleatória A demanda D é uma variável aleatória pois é uma quantidade incerta muitos fatores podem interferir no seu valor 30 Capítulo 2 O lucro L depende de Q e D como percebemos nas equações presentes no exemplo da Doce Sabor Sendo assim também é aleatória Para a construção das distribuições de probabilidades e a realização da simulação de Monte Carlo devese primeiramente entender o que é um número aleatório ou randômico A simulação de Monte Carlo trabalha basicamente com número aleatório ou randômico que é assim definido Número aleatório ou randômico é aquele número que é uniformemente distribuído entre 0 ou 1 O que queremos dizer com uniformemente distribuído para um número aleatório Queremos dizer que todos os valores situados entre 0 e 1 têm a mesma probabilidade de ocorrer Para que possamos utilizar os números aleatórios na simulação de Monte Carlo precisamos primeiro construir as distribuições de frequência relativa probabilidade e acumulada probabilidade acumulada do problema que estamos analisando Voltando ao exemplo anterior Lembre que no exemplo da Doce Sabor tínhamos que as demandas de 40 50 60 70 80 e 90 caixas de chocolate apresentavam a mesma probabilidade 16 Agora suponha que as demandas têm as probabilidades dadas pela tabela que segue Tabela 24 Distribuição de probabilidade da demanda da Doce Sabor DEMANDA PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA 40 005 005 50 010 015 60 015 030 70 040 070 80 020 090 90 010 100 Total 100 Fonte Lopes e Galvão 2010 A probabilidade acumulada da 1a linha será sempre igual à probabilidade da mesma linha A probabilidade acumulada da 2a e demais linhas será sempre igual à probabilidade da linha de cima somada à probabilidade da própria linha Exemplo na 2a linha temos 005 linha de cima somado a 010 valor à esquerda resultando em 015 31 Pesquisa Operacional Com base nos dados acima podemos associar a cada intervalo de números aleatórios uma demanda de acordo com a tabela que segue Tabela 25 Distribuição dos números aleatórios LINHA DEMANDA PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 1 40 005 005 0005 2 50 010 015 005015 3 60 015 030 015 030 4 70 040 070 030070 5 80 020 090 070090 6 90 010 100 09010 7 Total 100 Fonte Lopes e Galvão 2010 esta coluna foi aqui incluída somente para auxiliar o entendimento do exemplo o parêntese significa que aquele número não esta incluindo no intervalo enquanto que o colchete significa que o número faz parte daquele intervalo A simulação de Monte Carlo trabalha com números aleatórios sorteados entre zero e um Existem tabelas prontas com esses números sorteados Anexo 1 mas eles podem também ser obtidos por meio da função aleatório quando realizamos a simulação com o Excel Anexo 2 A Tabela 25 nos diz que se sortearmos um número e este for menor do que 005 a demanda pode ser considerada como sendo de 40 caixas e o lucro obtido com esta venda pode ser quantificado ou seja R 150 da Tabela 22 Se o número 056 for sorteado por exemplo a demanda pode ser considerada como sendo de 70 caixas Mas como esse intervalo é definido O intervalo dos números aleatórios deve ser definido refletindo a probabilidade de cada variável Esses intervalos são assim definidos Limite inferior do intervalo Limite superior do intervalo Observe as setas da Tabela 25 que você compreenderá como os intervalos são construídos Por exemplo na linha 1 teremos o limite inferior do intervalo igual a zero Não estranhe o primeiro intervalo sempre começa com zero Já o limite superior será igual à probabilidade daquela linha linha 1 32 Capítulo 2 Na linha 2 o limite inferior será igual ao limite superior da linha 1 enquanto que o limite superior será igual à probabilidade desta linha linha 2 Você entendeu A tabela que segue mostra uma simulação de vinte linhas dos chocolates especiais da Doce Sabor para uma compra de 80 unidades Q 80 Tabela 26 Resultados da simulação para uma quantidade comprada de 80 unidades 45Q 45Q 45Q 45Q Fonte Fogaça 2014 Foram utilizadas as linhas 1 e 2 da tabela de números aleatórios que se encontra no Anexo 1 deste livro O valor D 50 da segunda linha foi gerado pelo número aleatório 009071 que pertence ao intervalo 005 015 na segunda linha da tabela 25 33 Pesquisa Operacional Segundo Downing 2005 uma relação de números como os dados na coluna Lucro é um conjunto de dados brutos Seria interessante calcular a média de todos esses números Para tanto basta somarmos todos os números e dividirmos a soma pela quantidade de números Portanto em média ao adquirir 80 unidades a Doce Sabor terá um lucro de R28500 Podemos definir uma fórmula geral para a média Sejam n números x1 x2 x3 xn Utilizaremos o símbolo de x barra para indicar a média Podemos então escrever Caso seja necessário calcular o desvio padrão dos lucros apresentados utilizase a seguinte fórmula Onde L Lucro LM Lucro Médio N Número de parcelas No anexo 4 ao final do livro didático está demonstrada uma tabela com o cálculo A FUNÇÃO DESVIO PADRÃO NO EXCEL É EXECUTADA POR DESVPAD A Tabela 26 apresenta o resultado de 20 linhas de simulação do lucro da Doce Sabor caso a empresa encomende 80 caixas de chocolate Para que a empresa possa decidir se irá comprar 40 50 60 70 80 ou 90 caixas uma tabela muito parecida com essa deve ser construída variandose o valor de Q e refazendo os cálculos do valor do lucro conforme abaixo 34 Capítulo 2 Tabela 2 7 Resultados da simulação para encomendas de 40 e 50 unidades Q 40 unidades Q 50 unidades EVENTO NO ALEATÓRIO DEMANDA LUCRO EVENTO NO ALEATÓRIO DEMANDA LUCRO 1 0860438 80 18000 1 0889193 80 22500 2 057595 70 18000 2 097623 90 22500 3 05743 70 18000 3 07441 80 22500 4 08976 80 18000 4 06789 70 22500 5 0581 70 18000 5 0166 60 22500 6 06202 70 18000 6 00345 40 16500 7 06819 70 18000 7 00066 40 16500 8 03114 70 18000 8 05449 70 22500 9 00143 40 18000 9 0085 50 22500 10 01064 50 18000 10 06382 70 22500 11 0620942 70 18000 11 0633823 70 22500 12 047836 70 18000 12 098545 90 22500 13 01793 60 18000 13 0284 60 22500 14 02349 60 18000 14 09382 90 22500 15 00441 40 18000 15 07199 80 22500 16 02918 60 18000 16 03808 70 22500 17 05552 70 18000 17 00439 40 16500 18 04174 70 18000 18 04093 70 22500 19 04314 70 18000 19 02048 60 22500 20 09456 90 18000 20 01385 50 22500 Média 18000 Média 21600 Fonte Lopes e Galvão 2010 Foram utilizadas as linhas 3 e 4 da tabela de números aleatórios que se encontram no Anexo 1 deste livro Foram utilizadas as linhas 5 e 6 do Anexo 1 35 Pesquisa Operacional Tabela 2 8 Resultados da simulação para encomendas de 60 e 70 unidades Q 60 unidades Q 70 unidades EVENTO NO ALEATÓRIO DEMANDA LUCRO EVENTO NO ALEATÓRIO DEMANDA LUCRO 1 0831563 80 27000 1 0339908 70 31500 2 099475 90 27000 2 044785 70 31500 3 06982 70 27000 3 05463 70 31500 4 00287 40 15000 4 02696 60 25500 5 03462 70 27000 5 01088 50 19500 6 07649 80 27000 6 06333 70 31500 7 09844 90 27000 7 0414 70 31500 8 01964 60 27000 8 06526 70 31500 9 02811 60 27000 9 03057 70 31500 10 03724 70 27000 10 05227 70 31500 11 0946132 90 27000 11 0736661 80 31500 12 017451 60 27000 12 095819 90 31500 13 01003 50 21000 13 05568 70 31500 14 05033 70 27000 14 01205 50 19500 15 07422 80 27000 15 06973 70 31500 16 02454 60 27000 16 03881 70 31500 17 00746 50 21000 17 02172 60 25500 18 05752 70 27000 18 00316 40 13500 19 08522 80 27000 19 08494 80 31500 20 07538 80 27000 20 08428 80 31500 Média 25800 Média 28800 Fonte Lopes e Galvão 2010 Foram utilizadas as linhas 7 e 8 da tabela de números aleatórios que se encontra no Anexo 1 deste livro Foram utilizadas as linhas 9 e 10 do Anexo 1 36 Capítulo 2 Tabela 2 9 Resultados da simulação para encomendas de 90 unidades Q 90 UNIDADES Evento No Aleatório Demanda Lucro Fonte Fogaça 2014 obs Os números aleatórios correspondem às linhas 11 e 12 do anexo I Com base nos valores médios dos lucros obtidos nas diferentes simulações acima podese afirmar que a melhor decisão para o empresário da Doce Sabor é a de realizar uma encomenda de 90 caixas pois essa é a que oferece um maior lucro R 30900 Infelizmente os resultados acima obtidos servem somente como caráter didático pois segundo especialistas da área uma simulação somente tornase confiável fornecendo resultados muito próximos da realidade quando é realizada com 100 linhas de simulação A decisão sobre quantas caixas comprar no caso da Doce Sabor deve somente ser tomada levando em conta o lucro médio previsto por meio de 100 linhas de simulação desse lucro 100 eventos 37 Pesquisa Operacional Para que isso seja realizado você dispõe de vários softwares mas pode também utilizar a planilha eletrônica Excel A construção de um modelo de simulação utilizando o Excel você encontrará no Anexo 2 do presente livro Aprenda a simular no Excel Exemplo O meteorologista da EpagriSC deseja fazer uma simulação com a previsão do número de dias em que as temperaturas ficarão em média acima dos 22ºC no mês de maio em Florianópolis Para tanto fez um levantamento das temperaturas médias observadas neste mês nos últimos 50 anos e construiu a distribuição de freqüência dada pela tabela abaixo Estime o número de dias com temperaturas acima de 22o do próximo mês de maio Utilize a média de 20 linhas de simulação Tabela 210 Número de Ocorrências de dias com temperaturas acima de 22º no mês de maio dos últimos 50 anos NO DE DIAS COM TEMPERATURA ACIMA DE 22O NO DE VEZES QUE O EVENTO FOI OBSERVADO PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO DE NOS ALEATÓRIOS 2 5 4 20 6 18 8 6 9 1 Total 50 Fonte adptado Fogaça 2014 Solução Conforme foi mostrado no exemplo anterior para a realização da simulação devese inicialmente construir a tabela 210 onde se calcula a probabilidade a probabilidade acumulada e encontramse os intervalos dos números aleatórios Para o cálculo da probabilidade de um determinado evento devese utilizar a seguinte fórmula Probabilidade Nº de vezes que o evento foi observado Nº total de observações 38 Capítulo 2 Exemplo a para se obter a probabilidade do exemplo acima probabilidade de ocorrerem 2 dias com temperatura acima de 22º calculase Probabilidade 2 dias 550 010 ou 10 b para se obter a probabilidade de ocorrerem 4 dias com temperatura acima de 22º calculase Probabilidade 4 dias 2050 040 ou seja 40 c para se obter a probabilidade de ocorrerem 6 8 9 dias com temperatura acima de 22º calculase Probabilidade 6 dias 1850 036 ou seja 36 Probabilidade 8 dias 650 012 ou seja 12 Probabilidade 9 dias 150 002 ou seja 2 Mas como se calcula a probabilidade acumulada A probabilidade acumulada será sempre calculada da seguinte forma Linha 1 Probabilidade acumulada probabilidade dessa linha Linha 2 Probabilidade acumulada probabilidade acumulada da linha 1 probabilidade da linha 2 Linha 3 Probabilidade acumulada probabilidade acumulada da linha 2 probabilidade da linha 3 Linha 4 Probabilidade acumulada probabilidade acumulada da linha 3 probabilidade da linha 4 Linha 5 Probabilidade acumulada probabilidade acumulada da linha 4 probabilidade da linha 5 Ou seja A partir da linha 2 a probabilidade acumulada é calculada somandose a probabilidade acumulada da linha anterior com a probabilidade da linha 39 Pesquisa Operacional Calculando o intervalo de números aleatórios Para que você entenda como construir um intervalo primeiro deve lembrar o que aprendeu no segundo grau um intervalo será definido por seu limite inferior e superior Temse então Intervalo aberto limite inferior limite superior Intervalo fechado limite inferior limite superior Intervalo semiaberto à direita limite inferior limite superior Intervalo semiaberto à esquerda limite inferior limite superior Os parênteses ou os colchetes abertos indicam que o número limite inferior ou superior está fora do intervalo Já quando usamos em um intervalo os colchetes fechados nos indicam que o número está incluído no intervalo Exemplo 1 004 1 Esse intervalo compreende todos os valores dentro do intervalo de 004 excluindo este até 10 incluindo este Exemplo 2 115 Esse intervalo compreende todos os valores dentro do intervalo que vai de 10 incluindo este valor até 15 excluindo este valor Agora sim podemos falar da construção do intervalo de números aleatórios para esse exemplo Sempre que construímos esse intervalos teremos na linha 1 o limite inferior do inà a probabilidade acumulada daquela linha Observe na tabela Intervalos de números aleatórios da linha 1 001 Da linha 2 em diante o limite inferior é igual à probabilidade acumulada da linha anterior enquanto que o limite superior é igual à probabilidade acumulada da linha Exemplo Intervalos de números aleatórios da linha 2 da tabela 211 01 05 Limite inferior Probabilidade Acumulada da Linha 1 Limite superior Probabilidade Acumulada da Linha 2 40 Capítulo 2 Tabela 211 Distribuição de probabilidade do exemplo Fonte Fogaça 2014 Tabela 212 Simulação e Resultado Fonte Fogaça 2014 Obs Os números aleatórios da Tabela 212 foram obtidos da linha 3 do anexo 1 Como foi explicado no exemplo anterior para que se realize a simulação devese escolher uma linha da tabela de números aleatórios Anexo 1 Para esse exemplo escolhemos a linha 3 deste anexo Depois de colocados os números aleatórios na tabela de simulação temos que buscar os valores simulados nesse caso o número de dias com temperaturas acima de 22º 41 Pesquisa Operacional Cada linha é considerada um evento e temos que para o evento 1 o número aleatório encontrado foi de 0860438 Com este número em mãos procuramos na Tabela 211 o intervalo em que ele está localizado intervalo da linha 4 acompanhe as setas indicativas Tabela 213 Foram unidas as tabelas 211 e 212 para melhor entendimento Fonte Fogaça 2014 Observando o resultado acima e lembrando que construir uma simulação com 10 eventos tem caráter somente didático o correto são 100 linhas no mínimo você pode concluir que existe uma probabilidade muito grande de que no próximo mês de maio 5 dias terão temperaturas acima de 22ºC 42 Capítulo 2 Atividades de autoavaliação 1 Para praticar os conhecimentos apropriados nesta unidade realize as seguintes atividades propostas Uma lanchonete encomenda uma determinada quantidade de empadas por dia A demanda varia a cada dia mas o gerente da lanchonete tem observado esta demanda e construiu a seguinte tabela Distribuição de probabilidade da demanda por empadas NOS DE UNIDADES VENDIDAS POR DIA PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 30 010 40 027 50 033 60 03 Cada empada custa à lanchonete R 100 e é vendida a R 200 As empadas que sobram em um dia são doadas a um asilo de idosos A lanchonete compra 50 empadas por dia Com base nestas informações desenvolva um modelo de simulação que calcule o lucro diário provável da empresa Utilize a tabela abaixo para simular dez dias de movimento da lanchonete Simulação obs faça a sua simulação utilizando a 14ª linha da tabela de números aleatórios EVENTO NO ALEATÓRIO DEMANDA RECEITA R CUSTO R LUCRO R 1 0795429 2 01228 3 02229 4 04468 5 03055 6 08294 7 03787 8 07943 9 0865 10 09314 Média 43 Pesquisa Operacional 2 O número de lâmpadas halógenas vendidas por semana em uma loja de materiais elétricos tem a seguinte distribuição de probabilidade Número de lâmpadas vendidas Probabilidade Probabilidade acumulada Intervalo números aleatórios 0 015 1 020 2 035 3 015 4 010 5 005 Mostre como usar números aleatórios para simular resultados para esta distribuição obs faça a sua simulação utilizando a 3ª linha da tabela de números aleatórios NÚMERO DE LÂMPADAS PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 0 015 1 020 2 035 3 015 4 010 5 005 Mostre como usar números aleatórios para simular resultados para esta distribuição obs faça a sua simulação utilizando a 3ª linha da tabela de números aleatórios EVENTO NO ALEATÓRIO NO DE LÂMPADAS VENDIDAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média 44 Capítulo 2 3 CORRAR THEÓFILO 2003 Uma empresa de varejo do ramo farmacêutico deseja simular sua demanda diária de determinado item do estoque vitamina C Para isto procedeu ao levantamento de dados históricos sobre esta demanda O relatório de vendas dos últimos cem dias apontou o seguinte comportamento para a demanda diária de frascos de vitamina C Distribuição de freqüência da demanda diária de frascos de vitamina C DEMANDA DIÁRIA NÚMERO DE FRASCOS FREQÜÊNCIA NO DE DIAS PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 10 30 03 15 30 03 20 40 04 Total 100 A probabilidade é obtida dividindose a frenqüência nº de dias que o evento foi observado pelo número total de observações Com base nestes dados efetue a simulação da demanda por frascos de vitamina C obs faça a sua simulação utilizando a 5ª linha da tabela de números aleatórios EVENTO NÚMEROS ALEATÓRIOS DEMANDA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média 45 Pesquisa Operacional 4 A tabela abaixo mostra as probabilidades da distribuição de dividendos pela Usiminas em US milhões para os próximos anos Construa uma simulação que indique quanto a Usiminas irá distribuir na forma de dividendos no próximo ano Calcule a média dos resultados Probabilidade de distribuição de dividendos DIVIDENDOS US MILHÕES PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 50 04 100 010 150 030 200 020 EVENTO NÚMERO ALEATÓRIO DIVIDENDO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média Utilize a linha 2 da tabela de números aleatórios Anexo 1 46 Capítulo 2 5 O gestor de uma empresa que produz cadeiras de dentista pretende controlar melhor o atendimento da demanda diária de seus produtos empregando um modelo de simulação O relatório de vendas de um dos tipos de cadeiras comercializadas pela empresa apresentou nos últimos dois anos uma demanda mensal que varia entre 20 e 28 unidades Tabela 1 Considerando as informações desta tabela construa uma simulação e compute o número médio mensal de cadeiras vendidas Tabela 1 Demanda mensal por cadeiras do tipo A QUANTIDADE DEMANDADA DE CADEIRAS NÚMERO DE MESES NO ANO FREQÜÊNCIA PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 20 3 013 22 6 025 24 8 033 26 4 017 28 3 013 Total 24 Tabela 2 Simulação obs inicie a simulação na 10ª linha da tabela de números aleatórios EVENTO NO ALEATÓRIO DEMANDA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média 47 Pesquisa Operacional 6 Uma microempresa especializada na confecção de calças jeans tem seus custos variáveis variando de acordo com alguns fatores tais como custo do jeans no distribuidor custos de mão de obra frete entre outros O preço de venda e a demanda são também variáveis aleatórias que variam de acordo com o preço dos competidores As distribuições de probabilidade destas variáveis são descritas abaixo Sabese que o custo fixo CF da microempresa é de R 900 por mês Construa uma simulação de 10 linhas de produção e vendas e calcule o lucro médio mensal da empresa Tabela 1 Demanda mensal observada VOLUME DE VENDAS DEMANDA PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 300 012 400 018 500 020 600 023 700 017 800 010 100 Tabela 2 Preço de venda PREÇO DE VENDA R PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 22 007 23 016 24 024 25 025 26 018 27 010 100 Tabela 3 Custos variáveis CUSTO VARIÁVEL R PROBABILIDADE 8 017 9 032 10 029 11 014 12 008 100 48 Capítulo 2 Tabela 4 Simulação obs inicie na 2ª linha da tabela de números aleatórios EVENTO NO ALEATÓRIO PREÇO DE VENDA PV NO ALEATÓRIO CUSTO VARIÁVEL CV NO ALEATÓRIO DEMANDA Q LUCRO PV CVQ CF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média 7 Traduzido e adaptado de RENDER STAIR e BALAKRISCHNAN 2003 Jucélio um estudante de graduação em Administração tem tido problemas para prever sua renda mensal bem como a quantia que sobrará a cada mês Jucélio recebe um salário fixo advindo de uma bolsa de pesquisa mais algum dinheiro extra que ele ganha lecionando aulas particulares de pesquisa operacional Suas chances de vários níveis de renda são mostradas na tabela abaixo RENDA MENSAL R PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 350 040 400 020 450 030 500 010 Seus gastos mensais também variam mês a mês e ele estima que seguem a distribuição da tabela a seguir GASTOS MENSAIS R PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 300 010 400 045 500 030 600 015 49 Pesquisa Operacional Jucélio iniciou este ano com R 600 de saldo em sua conta Simule um ano inteiro doze meses e diga a quanto sobrou para Jucélio no final do ano b quantas vezes ele ficou com saldo negativo no mês Tabela para a simulação Inicie na 5ª linha da tabela anexo 1 MÊS NÚMERO ALEATÓRIO RENDA NÚMERO ALEATÓRIO GASTOS SALDO NA CONTA R 0 60000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 Traduzido e adaptado de TAYLOR 2004 O gerente da Computer World uma loja que vende notebooks e equipamentos relacionados está tentando determinar quantos computadores a loja deveria solicitar cada semana Uma primeira consideração nesta decisão é o número médio de notebooks que a loja venderá por semana e a receita média gerada pela venda dos mesmos Cada notebook é vendido por R 4300 O número de notebooks vendidos por semana é uma variável randômica aleatória que varia de 0 a 4 unidades Com base nos arquivos da empresa o gerente pôde determinar a freqüência da demanda por notebooks das últimas cem semanas descrita na tabela abaixo Com base nestes dados monte uma simulação de dez semanas e responda ao gerente a o número médio de computadores vendidos por semana b a receita média obtida por semana 50 Capítulo 2 DEMANDA DE NOTEBOOKS POR SEMANA FREQUÊNCIA PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 0 20 020 1 40 040 2 20 020 3 10 010 4 10 010 Total 100 Tabela 2 Simulação obs inicie na 5a linha da tabela de números aleatórios SEMANA NO ALEATÓRIO DEMANDA Q RECEITA PVQ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média 9 ANDRADE 2004 Uma empresa deseja lançar um produto no mercado e para isso realizou uma pesquisa da preferência dos consumidores Foi constatado que há uma probabilidade de 40 do produto ser bem aceito e portanto uma probabilidade de 60 de que a aceitação fique abaixo das expectativas No caso de ser o produto bem aceito poderão ocorrer lucros segundo os dados da Tabela 1 Em caso contrário os lucros poderão ocorrer conforme a distribuição de probabilidades da Tabela 2 Qual lucro médio a empresa pode esperar 51 Pesquisa Operacional Tabela 1 Lucro com boa aceitação do produto LUCRO PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 10 10 12 15 14 20 16 30 18 15 20 10 Tabela 2 Lucro com má aceitação do produto LUCRO PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO NOS ALEATÓRIOS 4 10 6 20 8 30 10 20 12 15 14 5 Tabela 3 Aceitação do produto ACEITAÇÃO DO PRODUTO PROBABILIDADE PROBABILIDADE ACUMULADA INTERVALO DE NOS ALEATÓRIOS Boa 04 Má 06 Tabela 4 Simulação observação inicie na 2a linha da tabela de números aleatórios EVENTO NO ALEATÓRIO ACEITAÇÃO NO ALEATÓRIO LUCRO R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média 53 Habilidades Seções de estudo Capítulo 3 Programação Linear formulação Adaptado de Ana Lucia Miranda Lopes Seção 1 Programação linear Seção 2 Construção de um modelo de programação linear formulação Ao final deste estudo o estudante entenderá o que é programação linear e como ela pode auxiliar o administrador na tomada de decisão além de saber elaborar modelos simples de programação linear 54 Capítulo 3 Seção 1 Programação Linear Programação linear é uma técnica de otimização utilizada para resolução de problemas decisórios que podem ser representados por meio de equações lineares A otimização ajuda a encontrar a resposta que produz o melhor resultado para a empresa ou seja aquela que conduz ao maior lucro ou menor custo por exemplo Para que a otimização aconteça é necessário que se construa o modelo matemático que representa o problema a ser resolvido Um modelo é uma representação simplificada de uma realidade e na programação matemática eles são definidos por meio de uma função objetivo e uma ou mais restrições como segue Modelo geral Otimizar Z c1x1 c2x2 c3x3 cnxn sujeito a a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn ou b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn ou b2 am1x1 am2x2 am3x3 amnxn ou bm x1 x2 x3 xn 0 Onde Z Função Objetivo cj coeficientes da função objetivo xj variáveis de decisão aj coeficientes técnicos bi constantes do lado direito da equação RHS Função objetivo restrições 55 Pesquisa Operacional No modelo acima temse x1 x2 x3 xn valores como variáveis de decisão do problema aquilo que se deseja conhecer am1 am2 am3 amn bm c1 c2 cn como constantes isto é valores conhecidos do problema Z como aquilo que se deseja otimizar maximizar ou minimizar As equações acima procuram mostrar matematicamente um problema modelagem Podese ler assim otimize maximize ou minimize uma determinada função Z que se convenciona chamar de funçãoobjetivo Porém ao otimizar esta equação o resultado deverá obedecer às equações abaixo que se convenciona chamar de restrições O sujeito a irá aparecer em todos os modelos e pode ser representado por sa Seção 2 Construção de um modelo de programação linear formulação A construção de um modelo de programação linear pode ser dividida em quatro fases fase 1 definição das variáveis de decisão fase 2 identificação dos dados do problema fase 3 identificação e modelagem da funçãoobjetivo fase 4 identificação e modelagem das restrições 21 Fase 1 Definição das variáveis de decisão Para melhor mostrar como devem ser realizadas esta e as demais fases vamos trabalhar por meio de um exemplo de planejamento da produção Exemplo 31 Só Bicicletas SB é uma empresa nacional que atua no ramo de produção de bicicletas A empresa acaba de lançar dois novos modelos de bicicletas infantis uma para menino e uma para menina que está fazendo o maior sucesso entre a garotada 56 Capítulo 3 O sucesso dos novos modelos é tanto que tudo que for produzido será vendido e o departamento de marketing recomenda que ao menos 250 bicicletas de cada modelo sejam produzidas O lucro unitário na produção e venda da bicicleta feminina é de R 5000 e da bicicleta masculina é de R 3000 A empresa conta para a produção desses dois novos modelos com 200 trabalhadores por turno no departamento de fabricação e 100 trabalhadores por turno no departamento de montagem A empresa trabalha em três turnos e cada funcionário trabalha oito horas por dia O modelo feminino necessita de quatro horas de mão de obra no departamento de fabricação e de duas horas no departamento de montagem O modelo masculino necessita de quatro horas de mão de obra no departamento de fabricação e de uma hora no departamento de montagem Formule um modelo que informe à SB o plano de produção diário que maximiza seu lucro Para que as variáveis de decisão possam ser determinadas podese iniciar perguntando Quais itens afetam o custo ou lucro do problema Quais itens estão livres para escolher eou têm algum controle sobre Quais decisões você tem que tomar Quais valores uma vez determinados constituem a solução do problema Respondidas essas perguntas terseão definidas as variáveis de decisão do problema Essas devem ser representadas por um nome simbólico que pode ser uma letra ou um conjunto de letras nunca um número e que auxilia no entendimento do significado da variável Dê um nome simbólico para a variável No Exemplo 31 o que se quer determinar Sobre o que se tem algum controle Se é desejável determinar o número de bicicletas femininas e masculinas a serem produzidas por dia pela empresa então Qf número de bicicletas femininas a serem produzidas diariamente Qm número de bicicletas masculinas a serem produzidas diariamente 57 Pesquisa Operacional Variável de decisão Representação por um símbolo ou letra daquilo que se quer determinar e sobre o que se tem algum controle 22 Fase 2 Identificação dos dados do problema Uma vez identificadas as variáveis que representam aquilo que se deseja conhecer em um modelo decisório podese passar para a fase de identificação dos dados do problema Esses dados são aqueles necessários para a modelagem completa do problema Todos os dados devem ser levantados e quando esses podem ser obtidos com certeza estamos diante de um problema chamado de determinístico enquanto que problemas estocásticos envolvem dados incertos No problema de planejamento de produção do Exemplo 31 temse que cada bicicleta no modelo feminino necessita de quatro horas de mão de obra para sua fabricação e de duas horas de mão de obra para sua montagem Esses dados assim como os dados relativos ao modelo masculino devem estar representados no modelo A disponibilidade de mão de obra em cada departamento de fabricação e montagem também fará parte do modelo Em um problema de planejamento da produção sabese que o ponto crítico é não poder gastar mais recurso do que a empresa dispõe Temse então que chegar aos valores de disponibilidade de cada recurso Para chegarse ao número de horas de mão de obra disponíveis em cada departamento devese calcular Mão de obra disponível no departamento de fabricação MOF 200 trabalhadores x 3 três turnos x 8 horas diárias de trabalho 200 x 3 x 8 4800 horas Mão de obra disponível no departamento de montagem MOM 100 trabalhadores x 3 três turnos x 8 horas diárias de trabalho 100 x 3 x 8 2400 horas 58 Capítulo 3 Para auxiliar no processo de modelagem do problema podese construir uma tabela que resuma todos os dados disponíveis no problema como segue Tabela 31 Dados do Exemplo 31 Fonte Adaptado de Lopes e Galvão 2007 23 Fase 3 Identificação e modelagem da funçãoobjetivo Depois de determinadas as variáveis de decisão e os dados do problema podese passar à fase de construção do modelo Esse modelo matemático representa a situação da empresa que tem um objetivo e que para alcançálo terá de enfrentar algumas restrições Será formado então por uma funçãoobjetivo e algumas restrições A funçãoobjetivo pode ser entendida como a representação formal do objetivo da organização expresso na forma matemática em termos de dados e variáveis de decisão 231 Funçãoobjetivo É o objetivo do problema descrito em termos de variáveis de decisão e dados Mas qual é o objetivo da empresa Exemplo 31 Podese concluir que o objetivo da empresa SB é obter o maior lucro possível Para obtêlo ela deve encontrar os valores de Qf e Qm que a conduzam a esse lucro Esses valores além de levarem ao melhor lucro possível devem respeitar as restrições que a empresa enfrenta quanto à mão de obra disponível e demanda por bicicletas o que será posteriormente representado pelas restrições 59 Pesquisa Operacional Para a construção da funçãoobjetivo temse pela Tabela 31 que o lucro unitário obtido na produção e venda dos modelos femininos é de R 5000 e dos modelos masculinos é de R 3000 e que a empresa deseja maximizar o lucro total Isso pode ser representado da seguinte forma LT 50Qf 30Qm onde LT é o lucro total obtido na produção dos dois modelos Qf e Qm são as variáveis de decisão e portanto incógnitas do problema Utilizando a função de lucro total acima temse como funçãoobjetivo Max LT 50Qf 30Qm Temos então o objetivo da Só Bicicletas representado matematicamente modelado 24 Fase 4 Identificação e modelagem das restrições A última fase do processo de modelagem de um processo decisório é a identificação das restrições Normalmente o alcance do objetivo de uma organização está sujeito a algumas limitações Essas limitações podem ser limitações físicas capacidade máxima de produção das máquinas ou fábrica quantidade de matériaprima existente ou possível de se obter mão de obra disponível etc limitações externas demanda dos produtos produzidos imposições do mercado imposições do administrador do governo das associações envolvidas o administrador pode ter se comprometido a fornecer uma certa quantia de determinado produto para um cliente antigo a sociedade de proteção ao ambiente impõe que somente uma determinada quantia de um produto seja produzida devido aos danos que sua produção causa ao ambiente etc relações entre as variáveis um determinado produto deve ser produzido duas vezes mais do que outro por exemplo restrições lógicas nas variáveis limites nas variáveis 60 Capítulo 3 A declaração no modelo de todas as limitações ou imposições necessárias para o alcance do objetivo é de vital importância para a obtenção de um resultado que realmente represente o problema da empresa Restrição É a representação matemática de restrições eou limitações da empresa ou limitações nos valores das variáveis No Exemplo 31 lembremos que a empresa deseja saber quanto produzir de cada modelo para maximizar seu lucro Quais são suas limitações A principal é a mão de obra existente nos departamentos de fabricação e montagem que não é ilimitada Lembremos que a mão de obra consumida em cada departamento deve ser menor ou igual à mão de obra disponível Mas como representar CONSUMO DISPONÍVEL Consumo de MO no departamento de fabricação MO disponível no departamento de fabricação Consumo de MO no departamento de montagem MO disponível no departamento de montagem Para representar as relações acima primeiramente temos que construir a equação que representa o consumo de cada departamento como segue Consumo de mão de obra no departamento de fabricação Consumo de MO bic fem mão de obra necessária para a produção de uma bicicleta fem quantidade de bicicletas femininas produzidas Qf Consumo de MO bic masc mão de obra necessária para a produção de uma bicicleta masc quantidade de bicicletas masculinas produzidas Qm E o consumo total de mão de obra no departamento de fabricação será Consumo total de MO no departamento de fabricação Consumo na produção de bicicletas femininas consumo na produção de bicicletas masculinas Agora se temos Disponibilidade no depto de fabricação 4800 horas e se o consumo tem que ser menor ou igual à disponibilidade consumo disponibilidade temse a primeira restrição Restrição 1 4Qf 4Qm 4800 61 Pesquisa Operacional O mesmo pode ser feito para a restrição que irá representar o consumo e disponibilidade de horas de mão de obra no departamento de montagem como segue Consumo disponibilidade De onde temse Restrição 2 2Qf Qm 2400 Prontas as restrições físicas perguntase existe alguma outra limitação ou imposição Sim o departamento de marketing aconselha que ao menos 250 bicicletas de cada modelo sejam produzidas Agora então temos que forçar para que as variáveis de decisão assumam valores iguais ou maiores que 250 Como representar Restrição 3 Qf 250 Restrição 4 Qm 250 O resultado será Max LT 50Qf 30Qm Sujeito a Restrição 1 4Qf 4Qm 4800 Restrição 2 2Qf Qm 2400 Restrição 3 Qf 250 Restrição 4 Qm 250 O modelo acima busca os valores para as variáveis Qf e Qm que satisfaçam todas as restrições ao mesmo tempo Você pode estar se perguntando que se vários valores de Qf e Qm satisfazem as equações qual seria a resposta Sua dúvida está correta e a resposta é que entre os vários valores de Qf e Qm que satisfazem as equações o modelo irá escolher aquele que irá proporcionar o maior valor para a função objetivo maior porque estamos trabalhando com um modelo de maximização Algumas vezes é possível que existam duas ou mais respostas corretas mas esse não é o caso mais comum Com o modelo pronto precisamos ainda resolvêlo para chegar às quantidades de bicicletas femininas e masculinas que conduzem a empresa ao lucro máximo 62 Capítulo 3 Nas próximas unidades você aprenderá a resolver um modelo de programação linear Exemplo 32 Uma escola pública procura uma dieta especial que forneça as quantidades mínimas diárias das vitaminas A B e C 45 miligramas de vitamina A 64 miligramas de vitamina B e 45 miligramas de vitamina C a seus alunos ao menor custo possível Conclui que poderia alcançar seu objetivo incluindo no lanche das crianças laranjas e maçãs Em uma pesquisa nos atacadistas a escola consegue comprar 1 kg de laranja por R 045 Esse quilo de laranja fornece 3 miligramas de vitamina A 8 miligramas de vitamina B e 15 miligramas de vitamina C segundo a nutricionista da escola Cada quilo de maçã custa R 055 e fornece 15 miligramas de vitamina A 8 miligramas de vitamina B e 9 miligramas de vitamina C A meta da escola é determinar quantos quilos de cada fruta devem ser utilizados diariamente de modo a minimizar o custo total Formule o problema 25 Construindo o modelo de programação linear Para a definição das variáveis de decisão devemos nos perguntar o que a empresa neste caso uma escola pública deseja obter como resposta O que ela precisa saber A resposta a essas perguntas está bem clara a escola deseja saber quantos quilos de laranjas e quantos quilos de maçãs devem ser utilizados diariamente no lanche das crianças Como representar estas variáveis Ql quantidade kg de laranjas a utilizar diariamente no lanche da escola Qm quantidade kg de maçãs a utilizar diariamente no lanche da escola Lendo o problema entendese que essa dieta deve ser tal que forneça uma quantidade mínima de vitaminas A B e C às crianças Essas são as imposições que irão mais tarde ser transformadas em restrições do problema de programação linear Com base nos dados informados podese montar a tabela abaixo que irá auxiliar na construção do modelo A tabela resume todas as informações necessárias 63 Pesquisa Operacional Tabela 32 Dados do Exemplo 32 VARIÁVEIS UNIDADE DADOS INICIAIS DADOS SOLICITADOS Laranjas Maçãs Quantidades de fruta no lanche kg Ql Qm Ql0 Qm0 Custo kg 045 055 Minimizar Quantidade de vitamina A Miligramas 3 15 45mg Quantidade de vitamina B Miligramas 8 8 64 mg Quantidade de vitamina C Miligramas 15 9 45 mg Fonte Fogaça 2014 Com base nos dados da tabela constróise a funçãoobjetivo que buscará os valores para Ql e Qm que minimizam o custo total As restrições irão impor alguns limites nos valores dessas variáveis limites esses que devem ser a representação matemática de 1 a dieta deve fornecer pelo menos 45 miligramas de vitamina A 2 a dieta deve fornecer pelo menos 64 miligramas de vitamina B 3 a dieta deve fornecer pelo menos 45 miligramas de vitamina C O modelo então será Minimizar custo total 045Ql 055Qm Sujeito a Vitamina A 3Ql 15Qm 45 Vitamina B 8Ql 8Qm 64 Vitamina C 15Ql 9Qm 45 Restrição lógica 1 Ql 0 Restrição lógica 2 Qm 0 Os modelos acima são conhecidos em programação linear como modelos de planejamento da produção e problema da dieta Em um modelo de planejamento da produção típico desejase identificar as quantidades que deverão ser produzidas de cada tipo de produto de maneira a maximizar algo normalmente o lucro Esses problemas não diferem muito um do outro e você precisará portanto identificar se é ou não um modelo de produção e se for quais são suas restrições 64 Capítulo 3 Normalmente teremos restrições de recursos que são limitantes e de demanda no mínimo Nos problemas de dieta normalmente desejase saber quanto consumir de cada alimento de maneira a minimizar o consumo de calorias por exemplo Atenção Com os exemplos acima você está apto a construir pequenos modelos e não esqueça que todos os modelos têm pelo menos uma funçãoobjetivo os nossos serão sempre uma só e restrições As restrições serão equações que limitam ou impõem algo e terão sempre igualdades ou desigualdades menor ou igual ou maior ou igual Exemplo 33 A Petrobras pode comprar dois tipos de óleo cru óleo leve a um custo de R 2500 por barril e um óleo pesado a um custo de R 2200 por barril Cada barril de óleo cru quando refinado produz três tipos de produtos gasolina óleo diesel e querosene A seguinte tabela indica as quantidades em barris de gasolina óleo diesel e querosene produzidas por cada barril de cada tipo de óleo cru Gasolina Óleo Diesel Querosene Óleo Leve 43 16 33 Óleo Pesado 35 26 25 A refinaria tem contratado a entrega de 2260000 barris de gasolina 1100000 barris de óleo diesel e 350000 barris de querosene Como administrador de produção formule um modelo para determinar a quantia de cada tipo de óleo cru que se precisa comprar de modo que minimize o custo total ao mesmo tempo em que satisfaça a demanda Como vimos anteriormente a formulação do modelo que irá resolver esse problema se dá em 4 fases que iniciam pela definição das variáveis de decisão Mas quais seriam as variáveis de decisão do exemplo 33 A Petrobras quer saber quantos barris de óleo leve e quantos barris de óleo pesado são necessários comprar para atender a demanda Dada essa afirmação temos Variáveis de decisão QL No de barris de óleo leve a comprar QP No de barris de óleo pesado a comprar 65 Pesquisa Operacional Utilizando as variáveis de decisão definidas por você e os dados do problema podese construir a função objetivo Sabendose que o objetivo é o de minimizar o custo total da compra temse Função objetivo Minimizar custo total custo da compra do óleo leve custo da compra do óleo pesado Onde Custo da compra do óleo leve custo por barril de óleo leve multiplicado pela quantidade de barris comprados QL e Custo da compra do óleo pesado custo por barril de óleo pesado multiplicado quantidade de barris comprados QP Então Minimizar Custo 25QL 22QP Os números 25 e 22 representam o custo de cada barril de óleo leve e pesado respectivamente Com a função objetivo formulada podese passar à fase da construção das restrições do problema As restrições serão aquelas que impõem que a quantidade de cada produto gasolina óleo diesel e querosene obtida com a compra de óleo leve e pesado seja igual à quantidade demandada de Quantidade de gasolina obtida na compra 2260000 barris de gasolina Quantidade de óleo diesel obtido na compra 1100000 barris de óleo diesel Quantidade de querosene obtido na compra 350000 barris de querosene Temse então que Quantidade de gasolina obtida na compra quantidade de gasolina existente no óleo leve comprado multiplicado pela quantidade comprada de óleo leve QL quantidade de gasolina existente no óleo pesado comprado multiplicada pela quantidade comprada de óleo pesado QP 66 Capítulo 3 Com o exposto acima temse que as restrições do modelo serão Gasolina 043QL 035QP 2260000 Óleo diesel 016QL 026QP 1100000 Querosene 033QL 025QP 350000 Modelo Final Minimizar Custo 25QL 22QP sa Gasolina 043QL 035QP 2260000 Óleo diesel 016QL 026QP 1100000 Querosene 033QL 025QP 350000 Observação O valor em deve ser transformado para número decimal então por exemplo 43 43100 043 Exemplo 34 Um determinado cliente procurou um banco com o objetivo de investir uma quantia elevada recebida por herança O gerente de atendimento após receber o cliente entrevistao para identificar o seu perfil de risco e no final da entrevista fica claro que ele apresenta um perfil de risco moderado O cliente está decidido a investir um determinado percentual de sua herança em ações e o restante em fundos O gerente então com o apoio da área de pesquisa do banco apresenta uma proposta de investimento que imagina atender às expectativas do cliente A carteira proposta é constituída por um grupo de ações de diferentes setores e dois fundos do banco que têm apresentado um bom retorno ao investidor O retorno e o risco de cada papel estão demonstrados na tabela abaixo PAPEL RETORNO RISCO Ação empresa energia 4212 622 Ação empresa varejo 5129 699 Ação empresa petróleo e gás 4154 569 Fundo Multimercado 6004 72 Fundo de Renda Fixa 610 000 67 Pesquisa Operacional Ao analisar as propostas o cliente faz as seguintes restrições e observações o total investido deve ser de 200000000 A quantia investida na empresa de varejo e no fundo multimercado deve ser de no máximo R 75000000 devido ao alto risco desses investimentos Deve ser investido um mínimo de 60 do total em renda fixa e em ações com risco menor de 6 O investimento deve ser realizado de tal forma a maximizar o seu retorno Monte o modelo que responda ao investidor quanto de seu capital deve ser investido em cada ação e em cada fundo 26 Solução do problema Definição das variáveis de decisão Como foi dito anteriormente as variáveis de decisão escolhidas devem ser aquelas que respondem à questão do problema quanto investir em cada ação e em cada fundo Temse então QE Quantia investida em ações da empresa de energia QV Quantia investida em ações da empresa de varejo QP Quantia investida em ações da empresa de petróleo e gás QM Quantia investida no fundo multimercado QF Quantia investida no fundo de renda fixa Definição da função objetivo O objetivo do problema foi declarado como sendo maximizar o retorno do mesmo Temse portanto que a função objetivo deve ser Maximizar retorno do investimento retorno obtido com as ações da empresa de energia retorno obtido com as ações da empresa de varejo retorno obtido com as ações da empresa de petróleo e gás retorno obtido com o fundo multimercado retorno obtido com o fundo de renda fixa 68 Capítulo 3 Ou seja Maximizar retorno 04212QE 05129QV 04154QP 06004QM 00610QF Definição das restrições As restrições estão claramente definidas no problema ou seja o total investido deve ser de R 200000000 Aqui o investidor diz que a resposta do problema não deve contemplar um investimento superior a 2 milhões Investimento QE QV QP QM QF 2000000 A quantia investida na empresa de varejo e no fundo multimercado deve ser de no máximo R75000000 devido ao alto risco desses investimentos Máximo alto risco QV QM 750000 Deve ser investido um mínimo de 60 do total em renda fixa e em ações com risco menor de 6 Mínimo baixo risco QP QF 1200000 O modelo final será Maximizar retorno 04212QE 05129QV 04154QP 06004QM 00610QF sa Investimento QEQVQPQMQF2000000 Máximo alto risco QV QM 750000 Mínimo baixo risco QP QF 1200000 QE QV QP QM QF 0 Você finaliza agora este capítulo Ao estudálo pôde entender o que é programação linear e como ela pode auxiliar o administrador na tomada de decisão Além disso pôde aprender como elaborar modelos simples de programação linear 69 Pesquisa Operacional Atividades de autoavaliação Para praticar os conhecimentos apropriados nesta unidade realize as seguintes atividades propostas 1 Suponha que uma empresa tenha intenção de produzir cinco tipos de calçados diferentes A B C D e E que poderá vender respectivamente por US 10 12 15 13 e 14 O quadro abaixo mostra as quantidades de couro tempo de máquina e couraça imperflex necessárias para produzir um par de calçado assim como os custos por unidade e as demandas máximas pelos diferentes tipos Sabendo que a empresa dispõe todo mês de 390 m2 de couro 96 m2 de couraça imperflex e 3200 min de tempo de máquina construa um modelo que diga ao empresário quantos pares de cada tipo de calçado ele deverá produzir mensalmente para maximizar seu lucro Tipos de calçados Demanda Tempo de máquina min Couro m2 Couraça imperflex m2 Custo US A 390 75 013 00320 553 B 33 15 014 00377 664 C 20 15 019 00489 830 D 46 15 017 00413 719 E 11 15 018 00443 774 70 Capítulo 3 2 A LCL Motores Ltda LACHTERMACHER 2002 fábrica de motores especiais recebeu recentemente R 90000 em pedidos de seus três tipos de motores Cada motor necessita de um determinado número de horas de trabalho no setor de montagem e no setor de acabamento que está descrito abaixo A LCL pode terceirizar parte de sua produção A tabela abaixo resume estes dados Modelo 1 2 3 Disponibilidade Demanda unidades 3000 2500 500 Montagem hunid 15 2 05 9000 horas Acabamento hunid 25 1 5 10000 horas Custo de produção unid 45 80 120 Custo de compra do terceirizado 65 92 160 A LCL Motores deseja determinar quantos motores devem ser produzidos em sua fábrica e quantos devem ser comprados da terceirizada para atender à demanda e obter o menor custo total possível 71 Pesquisa Operacional 3Uma metalúrgica compra ferro velho de três fornecedores diferentes AB e C Cada carga do fornecedor A contém 20 ton de ferro 20 ton de alumínio e 13 ton de cobre O custo da carga é de R 40000 Cada carga do fornecedor B contém 13 ton de ferro 24 ton de alumínio e 19 ton de cobre O custo da carga é de R 58000 Cada carga do fornecedor C contém 06 ton de ferro 35 ton de alumínio e 09 ton de cobre O custo da carga é de R 39000 A metalurgia precisa adquirir para a próxima semana pelo menos 25 toneladas de cada um dos metais citados ferro alumínio e cobre Quantas cargas devem ser adquiridas de cada fornecedor para minimizar o custo de aquisição dos metais 72 Capítulo 3 4 Uma associação de pescadores situada perto de Florianópolis entrega sua pesca para as empresas de processamento de peixe utilizando diferentes tipos de caminhão Tendo fechado recentemente um contrato para começar a fornecer 1000 toneladas de peixe por mês para empresas catarinenses e a assiciação necessita criar um frota para atender esta demanda A companhia tem 200000 disponíveis obtidos de uma linha de financiamento do BNDES para criar esta frota consistindo de três tipos diferentes de caminhões A capacidade custo de operação e número máximo de viagens para cada tipo de caminhão são dados na tabela abaixo Tipo de Caminhão Capacidade ton Custo Compra Custo por viagem No máximo de viagens por mês 1 2 3 6 3 2 50000 40000 25000 800 650 500 20 25 30 Sabese que o administrador da associação de pescadores tem em mente as seguintes regras a não comprar mais do que 10 caminhões b ao menos 3 caminhões do tipo 3 devem ser comprados eles são necessários para rotas de viagens curtas e demanda baixa Formule um modelo para determinar a composição da frota que minimiza o custo mensal de operação enquanto satisfaz a demanda ficando dentro do orçamento e satisfazendo os outros requerimentos da companhia 73 Pesquisa Operacional 5 Determinado produtor deseja saber qual seria a melhor alocação de suas terras de tal forma que seu lucro seja máximo Sabese que suas terras estão divididas em três lotes sendo 500 800 e 700 hectares suas áreas Sabese também que as possíveis culturas a serem implantadas seriam tomate feijão e arroz que oferecem lucros unitários ha de 600 450 e 300 respectivamente e que as terras não comportam mais do que 900 ha de tomate 700 ha de feijão e 1000 ha de arroz Deve também ser considerado que quaisquer das três culturas podem ser implantadas em quaisquer lotes e que pelo menos 60 de cada lote deve ser utilizado Formule um modelo que indique quanto plantar de cada tipo de cultura em cada lote de modo a maximizar o lucro do produtor 74 Capítulo 3 6 HG Corretora de Investimentos situada em São Paulo recebe um cliente que dispõe de R 3 milhões Este cliente deseja montar uma carteira de ações que lhe forneça o maior retorno esperado no próximo ano O corretor escalado para atender este cliente lhe apresenta uma lista de ações que segundo ele estão em ponto de compra Sua previsão é de que as ações irão fornecer o retorno apresentado na tabela abaixo Seus preços unitários são também apresentados nesta tabela Nome das empresas Retorno anual esperado Custo unitário das ações R Petrobrás PN 9 40 Embraer ON 11 54 Gerdau PN 14 68 Votorantin PN 28 100 Unibanco PN 18 70 Bradesco PN 10 51 Itaú ON 22 90 Para a realização deste investimento o cliente impõe duas condições 1ª que pelo menos R 500000 sejam alocados em ações de bancos e 2ª que pelo menos R 300000 sejam alocados na Petrobrás por saber que a mesma é uma boa pagadora de dividendos Formule o modelo de programação linear que responda ao cliente da corretora quanto alocar em cada ativo ações para maximizar o retorno total esperado ao mesmo tempo em que obedece as condições impostas 75 Pesquisa Operacional 7 Adaptado de RAMALHETE 2000 Uma agroindústria pretende determinar as quantidades de cada ingrediente A e B que devem ser misturadas para formar uma ração animal balanceada em termos de carboidratos vitaminas e proteínas a um custo mínimo Os dados relativos ao custo de cada ingrediente as quantidades mínimas diárias de ingredientes nutritivos básicos a fornecer a cada animal bem como as quantidades destes existentes em A e B gkg constam no quadro abaixo Ingredientes nutritivos Ingrediente A Ingrediente B Quantidade mínima requerida gramas Carboidratos gkg 20 50 200 Vitaminas gkg 50 10 150 Proteínas gkg 30 30 210 Custo kg 10 5 Formule o modelo de programação linear 76 Capítulo 3 8 CORRAR THEÓFILO 2004 modificado Na qualidade de assessor de investimentos da Fundabanc uma fundação de empregados de determinado banco você foi chamado para estudar a melhor forma de aplicar os recursos disponíveis A necessidade de limitar os riscos da empresa conduz a três tipos de aplicações ações preferenciais ações de companhias de utilidade pública e títulos da dívida pública Na composição da carteira devem ser levadas em conta as restrições impostas pela legislação e normas vigentes descritas abaixo Dado que a empresa tem disponível R 100000 formule um modelo que indique à Fundabanc quanto deve ser aplicado em cada investimento de maneira a maximizar o retorno esperado ao mesmo tempo em que obedece as restrições impostas abaixo As taxas de retorno esperadas em estão descritas na tabela abaixo Investimento Símbolo Taxa de retorno esperada Ações da Comgas COMG 43 Ações da Cesp CESP 37 Ações da Eletropaulo ELP 18 Ações da Bematech BEM 28 Títulos públicos federais TPF 15 Títulos públicos municipais TPM 24 Imposições os títulos públicos federais e municipais não podem representar juntos menos do que R 30000 dos investimentos as ações preferenciais da Bematech estão limitadas a R 25000 dos investimentos as ações de companhias de utilidade pública devem contabilizar pelo menos R 30000 dos investimentos 77 Pesquisa Operacional 9 LACHTERMACHER 2002 A LCL Investimentos SA gerencia recursos de terceiros através da escolha de carteiras de investimento para diversos clientes com base em títulos diversos Um de seus clientes exige que não mais do que 25 do total aplicado deve ser investido em um único investimento um valor superior a 50 do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade maiores que dez anos o total aplicado em títulos de alto risco deve ser no máximo de 50 do total investido A tabela abaixo mostra os dados dos títulos selecionados Determine qual percentual do total deve ser aplicado em cada tipo de título de maneira a maximizar o retorno anual Retorno anual Anos para vencimento Risco Título 1 87 15 1 Muito baixo Título 2 95 12 3 Regular Título 3 12 8 4 Alto Título 4 9 7 2 Baixo Título 5 13 11 4 Alto Título 6 20 5 5 Muito alto 79 Habilidades Seções de estudo Capítulo 4 Programação linear problemas de transporte e designação Adaptado de Ana Lúcia Miranda Lopes Seção 1 Identificando a rede de transporte por meio de um grafo Seção 2 Identificando as variáveis de decisão e construindo o modelo matemático Ao final deste estudo o estudante será capaz de montar o grafo que representa a rede de transporte e identificar as variáveis de decisão Identificará a funçãoobjetivo e as restrições para um problema de transportes e reconhecerá a rede de transporte que vai oferecer o menor custo 80 Capítulo 4 Seção 1 Identificando a rede de transporte por meio de um grafo O primeiro passo para efetuar a modelagem de um problema de transporte é passar as informações sobre as origens e destinos para um grafo O grafo é uma figura que representa por meio de nós e arcos as origens e destinos Vamos ver por meio de um exemplo como esse processo acontece Exemplo 41 Uma empresa possui três fábricas que enviam os produtos para dois depósitos localizados em cidades próximas Dados os custos de transporte detalhados na tabela abaixo monte o modelo matemático para definição do menor custo de transporte Tabela 41 Custos de Transporte Runidade DEPÓSITO 1 DEPÓSITO 2 CAPACIDADE DE PRODUÇÃO DAS FÁBRICAS Fábrica A 10 12 50 Fábrica B 20 8 100 Fábrica A C 6 15 120 Demandas 100 170 Fonte Adaptado de Lopes e Galvão 2007 Como já falamos anteriormente o primeiro passo é a montagem do grafo que representa a ligação entre as unidades de produção e os depósitos Na figura que segue além das ligações já aproveitamos para incluir as demais informações de custos de transporte e capacidades de produção e armazenamento 81 Pesquisa Operacional Figura 41 Representação gráfica do Exemplo 41 A B C 2 1 Origens Disponibilidade Destinos Demandas 50 100 120 100 170 QA1 10 QA2 12 QB1 20 QB2 8 QC1 6 QC2 15 Total 270 Total 270 Fonte Adaptado de Lopes e Galvão 2007 Como pode ser observado na figura o arco representa os possíveis caminhos de entrega de produto Neles podem ser registradas as variáveis de decisão escolhidas assim como os custos de transporte Como exemplo temos os arcos que partem da fábrica A nó A Do nó A saem arcos representando a possibilidade de entrega de produto para os depósitos 1 e 2 a um custo de R1000 e R1200 por unidade As variáveis que irão representar essas entregas estão representadas por QA1 e QA2 Do lado esquerdo dos nós podemos fazer constar as capacidades de cada origem fábrica e do lado direito registramos as demandas de cada destino depósito Na seção que segue você irá aprender a identificar as variáveis de decisão e a construir o modelo matemático que representa o problema acima 82 Capítulo 4 Seção 2 Identificando as variáveis de decisão e construindo o modelo matemático Dado o grafo acima podese iniciar a construção do modelo matemático que melhor representa o problema No modelo mais simples de transportes como o descrito acima devese modelar a situação de maneira a obter quanto deverá ser transportado de produto ou insumo de cada região produtora para cada região consumidora resultando portanto nas variáveis de decisão a seguir 21 Definindo as variáveis de decisão QA1 número de unidades a transportar da fábrica A para o depósito 1 QA2 número de unidades a transportar da fábrica A para o depósito 2 QB1 número de unidades a transportar da fábrica B para o depósito 1 QB2 número de unidades a transportar da fábrica B para o depósito 2 QC1 número de unidades a transportar da fábrica C para o depósito 1 QC2 número de unidades a transportar da fábrica C para o depósito 2 Ou de maneira mais geral Qij número de unidades a transportar da fábrica i iABC para o depósito j j12 As letras que irão representar a variável de decisão são de livre escolha de quem estará construindo o modelo QA2 por exemplo representa a quantidade transportada da fábrica A para o depósito 2 porém você poderia ter escolhido XA2 YA2 ou outra qualquer O próximo passo será criar a função objetivo que representará matematicamente o custo total de transporte da empresa Isso envolverá a obtenção do custo unitário do transporte do produto ou insumo de cada unidade produtora para cada depósito Essa função objetivo será a soma dos custos de transportar cada unidade de cada fábrica até cada depósito 83 Pesquisa Operacional 22 Modelando a funçãoobjetivo Minimizar custo total de transporte custo de transportar da fábrica A para os depósitos 12 custo de transportar da fábrica B para os depósitos 12 custo de transportar da fábrica C para depósitos 12 Ou seja Mín Custo 10QA1 12QA2 20QB1 8QB2 6QC1 15QC2 Com a função objetivo pronta o próximo passo é modelar matematicamente as restrições do problema de transportes Mas quais as restrições que essa empresa enfrenta no seu dia a dia 23 Duas coisas devem estar claras neste tipo de modelo 1o Não pode sair mais produto ou mercadoria de cada unidade produtora origem do que a mesma tem disponível ou pode produzir restrições de produção SAÍDAS ou DISPONIBILIDADE NA ORIGEM 2o Não se deve receber menos no ponto de destino do que foi solicitado restrições de demanda ENTRADAS ou DEMANDAS NO PONTO DE DESTINO 24 Modelando as restrições 241 Restrições de produção CProdA QA1 QA2 50 CProdB QB1 QB2 100 CProdC QC1 QC2 120 A restrição CprodA acima por exemplo pode ser entendida como a soma das quantidades que são transportadas da fábrica A até o depósito 1 com as quantidades que são transportadas da fábrica A até o depósito 2 deve ser igual a 50 O mesmo ocorre com as demais restrições 84 Capítulo 4 242 Restrições de demanda DemD1 QA1 QB1 QC1 100 DemD2 QA2 QB2 QC2 170 A restrição DemD1 impõe que tudo o que o depósito 1 recebe de A B e C deve ser igual à demanda solicitada 100 unidades O mesmo acontece com a restrição DemD2 que soma tudo o que o depósito 2 recebe e iguala a 170 unidades 243 Restrições lógicas QA1 QA2 QB1 QB2 QC1 QC2 0 Essas restrições impõem que todas as variáveis assumam somente valores maiores ou iguais a zero 244 Modelo final Mín Custo 10QA1 12QA2 20QB1 8QB2 6QC1 15QC2 Função Objetivo sa CProdA QA1 QA2 50 CProdB QB1 QB2 100 CProdC QC1 QC2 120 DemD1 QA1 QB1 QC1 100 DemD2 QA2 QB2 QC2 170 Restrições QA1 QA2 QB1 QB2 QC1 QC2 0 Restrições lógicas Importante As igualdades definidas nas restrições de produção e nas restrições de demanda somente foram possíveis porque a soma do que se tinha disponível nas fábricas 270 unidades é exatamente igual à soma das demandas dos depósitos 270 unidades Em casos em que não se tem a produção demanda ou capacidade do depósito não se pode trabalhar com igualdades e sim com ou 85 Pesquisa Operacional Com base no exemplo acima é possível construir um modelo genérico que pode ser aplicado a qualquer problema de transporte de mercadorias de seus pontos de origem até seus pontos de destino Este modelo será m n Mín cij xij i 1 j1 sa n xij si para i 1 m j1 m xij dj para j 1n i 1 xij 0 onde cij custo de distribuição ou transporte de produto entre a origem i e o destino j xij total a ser distribuído de i para j si total produzido ou disponível dj total a ser armazenado ou demanda de cada local O símbolo sigma t significa somatório assim no Exemplo 41 temos 86 Capítulo 4 cij são os custos para o transporte do produto da fábrica i para o depósito j xij são os totais a serem transportados de i para j Verificase ainda que neste exemplo i 1 2 e 3 que são as fábricas A B e C respectivamente j 1 e 2 são os depósitos O somatório funciona da seguinte forma utilizase o primeiro valor de i e aplica se a todos os valores de j depois se atribui o segundo valor de i e novamente e aplicase a todos de j assim até utilizar todas as combinações possíveis Após a modelagem do problema a solução será obtida por meio da utilização da ferramenta Solver do Excel ou de qualquer outro software de resolução de modelos de programação matemática LINDO por exemplo Para que você compreenda bem a construção de um modelo de transportes vamos trabalhar em mais dois exemplos Exemplo 1 Verifique a tabela Transporte na midiateca Exemplo 2 Um microempresário brasileiro produz artigos esportivos e possui em estoque 1500 unidades de um determinado produto em uma de suas fábricas fábrica 1 e 1000 unidades em uma segunda fábrica fábrica 2 O empresário recebeu pedidos desse produto proveniente de três diferentes varejistas nas quantidades de 1000 800 e 600 unidades respectivamente Os custos unitários de expedição em reais por unidade desde as fábricas até os varejistas são os seguintes Tabela 42 R unidade Varejista Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3 Fabrica Fabrica 1 4 3 1 Fabrica 2 3 3 2 Fonte Adaptado de Lopes e Galvão 2007 87 Pesquisa Operacional Determine o programa de expedição que atenda todas as demandas a partir do estoque disponível a um custo mínimo Figura 42 Representação gráfica do Exemplo 42 1 2 3 2 1 Origens Destinos 1500 1000 1000 800 Q11 Q12 Q13 Q21 Q22 Q23 Capacidade Total 2500 unid Demanda Total 2400 unid 600 Fonte Adaptado de Lopes e Galvão 2007 25 Identificando as variáveis de decisão Lembre que no capítulo anterior dissemos a você que uma variável de decisão é aquilo que se quer como resposta do modelo aquilo que se quer saber Vamos então pensar o que o microempresário deseja como resposta deste modelo O programa de expedição Sabendose que um programa de expedição significa quantas unidades devem ser expedidas de cada origem para cada destino temse 88 Capítulo 4 Variáveis de decisão Q11 quantidade expedida da fábrica 1 para o varejista 1 Q12 quantidade expedida da fábrica 1 para o varejista 2 Q13 quantidade expedida da fábrica 1 para o varejista 3 Q21 quantidade expedida da fábrica 2 para o varejista 1 Q22 quantidade expedida da fábrica 2 para o varejista 2 Q23 quantidade expedida da fábrica 2 para o varejista 3 Nota podese substituir todo o conjunto acima de definições pelo descrito abaixo Qij quantidade expedida da fábrica i i12 para o varejista jj123 26 Modelando a função objetivo O objetivo declarado pelo microempresário é o de obter um plano de expedição que forneça à sua empresa o menor custo possível custo mínimo Como se sabe que o custo total de expedição é igual à soma dos custos de encaminhar o produto das origens até os destinos temse a seguinte função objetivo Figura 43 Função objetivo Fonte Fogaça 2014 Modelando as restrições Você lembra do exemplo anterior que um modelo típico de transportes tem dois conjuntos de restrições capacidade das origens e demanda dos destinos Nas restrições de capacidade das origens devemse construir equações matemáticas as quais imponham que todo o material expedido das fábricas não exceda a capacidade delas Exemplo Expedição da fábrica 1 para os varejistas 1 2 e 3 1500 unidades 89 Pesquisa Operacional Por outro lado nas restrições de demanda nos destinos devese impor que os valores demandados sejam expedidos para os destinos Exemplo expedição das fábricas 1 e 2 para o varejista 1 1000 unidades Então temse 27 Problemas de designação um caso especial do problema de transportes Um caso especial do problema de transporte é o de designação ou atribuição Nesse tipo de problema podese identificar a melhor maneira de se distribuir um recurso à determinadas funções tarefas ou localização por exemplo Um objetivo bastante comum é o de obter uma distribuição que forneça à empresa um custo mínimo com a mão de obra Fábrica 1 Q11 Q12 Q13 1500 Fábrica 2 Q21 Q22 Q23 1000 Varejista 1 Q11 Q21 1000 Varejista 2 Q12 Q22 800 Varejista 1 Q13 Q23 600 Q11 Q12 Q13 Q21 Q22 Q23 0 Modelo Final Min custo 4Q11 3Q12 1Q13 3Q21 3Q22 2Q23 sa Fábrica 1 Q11 Q12 Q13 1500 Fábrica 2 Q21 Q22 Q23 1000 Varejista 1 Q11 Q21 1000 Varejista 2 Q12 Q22 800 Varejista 1 Q13 Q23 600 Q11 Q12 Q13 Q21 Q22 Q23 0 Capacidade das origens Demanda nos destinos 90 Capítulo 4 Outros problemas que podem ser resolvidos segundo Passos 2008 são distribuir trabalhadores para diferentes atividades localização de máquinas e equipamentos em empresas distribuição de leitos hospitalares destinos em empresas de transporte distribuição de pessoal de vendas etc Sendo esses problemas muito similares aos de transporte podese pensar ainda em origens e destinos Na construção do modelo de designação devese considerar que uma origem trabalhador por exemplo deve ser designada a somente um destino tarefa por exemplo Exemplo 3 Uma empresa que trabalha com vendas de produtos de valor bastante elevado tem no momento o problema de designar o vendedor mais adequado para visitar 4 clientes Para isso dispõe de 4 vendedores dadas as diferentes localidades que se encontram os vendedores especialistas em vendas deste tipo de produto e a distância de cada um até os possíveis compradores A tabela que segue mostra os custos com transporte estada e salários dos vendedores para a visita de cada cliente O empresário deseja determinar qual vendedor irá visitar determinado cliente e impõese que cada vendedor deverá visitar somente 1 cliente cada cliente deverá receber a visita de somente um vendedor o modelo deve buscar o menor custo Tabela 43 Custos da visita do vendedor i ao cliente j VENDEDORESCLIENTES 1 2 3 4 A 9000 9000 9000 3000 B 9000 3000 7000 7000 C 7000 3000 7000 3000 D 7000 9000 9000 9000 Fonte Adaptado de Lopes e Galvão 2007 91 Pesquisa Operacional Solução Esse problema pode ser representado graficamente da seguinte forma Figura 43 Representação gráfica do Exemplo 43 Fonte Adaptado de Lopes e Galvão 2007 Definindo as variáveis de decisão Neste problema temse que determinar qual vendedor irá visitar os clientes 1 2 3 e 4 Podemos pensar que a resposta será o vendedor A irá visitar o cliente 1 sim ou não o vendedor A irá visitar o cliente 2 sim ou não e assim por diante Quando temos variáveis que devem assumir somente dois valores sim e não podese trabalhar com os valores de zero para a variável não e um para a variável sim Temse então um modelo de programação linear binária cujas variáveis neste exemplo são definidas da seguinte forma Xij 0 o vendedor iABCD não visitará o cliente j 1234 1 sim o vendedor iABCD visitará o cliente j 1234 92 Capítulo 4 Construindo a função objetivo Min custo 9000XA1 9000XA2 9000XA3 3000XA4 9000XB1 3000XB2 7000XB3 7000XB4 7000XC1 3000XC2 7000XC3 3000XC4 7000XD1 9000XD2 9000XD3 9000XD4 A equação acima multiplica as variáveis que representam a designação de cada vendedor a cada cliente ao custo da visita Como algumas variáveis assumirão o valor de 1 um e algumas assumirão 0 zero alguns custos que constam na função objetivo irão desaparecer Definindo as restrições Como restrições desse modelo temos cada vendedor deverá visitar somente 1 cliente cada cliente deverá receber a visita de somente um vendedor Lembrando que em programação binária a variável assume somente os valores zero e um podese construir a restrição do vendedor A por exemplo da seguinte forma Vendedor A XA1 XA2 XA3 XA4 1 Essa restrição impõe que o vendedor A seja designado a um e somente um cliente pois a soma dos valores das variáveis deve ser igual a 1 Por exemplo se o vendedor A for designado ao cliente 1 todas as outras variáveis deverão assumir o valor de zero para que a soma seja um O mesmo irá acontecer quando estivermos olhando o cliente A restrição que diz que cada cliente será visitado por somente um vendedor pode ser assim escrita Cliente 3 XA3 XB3 XC3 XD3 1 Essa equação cumpre exatamente o que se quer ou seja cada cliente deverá receber a visita de somente um vendedor Por exemplo se o vendedor B for designado ao cliente 3 todas as outras variáveis dessa equação deverão assumir o valor de zero para que a soma seja igual a 1 93 Pesquisa Operacional Modelo Final Min custo 9000XA1 9000XA2 9000XA3 3000XA4 9000XB1 3000XB2 7000XB3 7000XB4 7000XC1 3000XC2 7000XC3 3000XC4 7000XD1 9000XD2 9000XD3 9000XD4 sa Vendedor A XA1 XA2 XA3 XA4 1 Vendedor B XB1 XB2 XB3 XB4 1 Vendedor C XC1 XC2 XC3 XC4 1 Vendedor D XD1 XD2 XD3 XD4 1 Cliente 1 XA1 XB1 XC1 XD1 1 Cliente 2 XA2 XB2 XC2 XD2 1 Cliente 3 XA3 XB3 XC3 XD3 1 Cliente 4 XA4 XB4 XC3 XD4 1 Xij 0 ou 1 para i 1234 e j 1234 Ao estudar este capítulo você aprendeu a construir um modelo matemático que representa um problema típico de programação linear transportes Para isso passou pela aprendizagem da construção do grafo que representa este problema e com auxílio desse recurso pôde identificar variáveis de decisão restrições e função objetivo 94 Capítulo 4 Atividades de autoavaliação Para praticar os conhecimentos apropriados nesta unidade realize as seguintes atividades propostas 1 A empresa Natural tem três engarrafadoras de água mineral que abastecem diretamente quatro supermercados No mês passado entregou 5400 caixas de água para estes supermercados O transporte é terceirizado e o seu custo no mês passado foi de R 2460000 Isto representa quase 55 do faturamento da Natural Devido à participação muito elevada do custo com transporte no custo total da empresa sua equipe de consultores foi chamada A Natural quer saber se existe uma maneira de gastar menos com transporte aumentando então o lucro da empresa Observe que a hipótese de baixar os preços cobrados pela terceirizada não é uma opção O administrador não teve êxito e concluiu que esta empresa transportadora é ainda a de menor custo para a Natural Sua equipe então considera que a única maneira de baixar o custo total com transporte é repensando o plano de transporte observando é claro as demandas de cada supermercado e a capacidades das unidades engarrafadoras Tabela 44 Os dados relativos aos custos de transporte são os descritos a seguir Com base nestes dados formule um novo plano de transporte para o próximo mês que leve ao custo mínimo possível Tabela 44 Custos de transporte Rcaixa EngarrafadoraSupermercado S1 S2 S3 S4 Capacidade caixamês EA 5 3 2 6 1700 EB 4 7 8 10 2000 EC 6 5 3 8 1700 Demanda mês passado caixas 1700 1000 1500 1200 95 Pesquisa Operacional 2 A empresa SOGRÃOS compra grãos arroz feijão e etc em três regiões produtoras localizadas no interior de Santa Catarina e os deposita em três centros de distribuição CD1 CD2 CD3 para posterior comercialização Esta compra e entrega aos centros de distribuição tem um custo elevado para a Só Grãos e é realizada por uma empresa terceirizada A tabela abaixo mostra os custos de transporte praticados por esta terceirizada Rton transportada A empresa precisa definir à terceirizada centro de distribuiçã a cada semana quantas toneladas de grãos esta deve transportar de cada região produtora para cada CD cujas capacidades de armazenagem são CD1 150 ton CD2 380 ton e CD3 420 ton de grãos É bastante claro que esta definição deve ser a que proporciona à empresa o menor custo total de transporte Formule o modelo sabendo que as regiões produtoras A B e C entregam à empresa no máximo 310 500 e 200 toneladas de grãos a cada semana respectivamente Tabela 45 Custo de transporte em Rtoneladas transportadas Regiões de produção CDs CD1 CD2 CD3 A 7 12 14 B 8 11 13 C 6 10 9 96 Capítulo 4 3 A Transportadora Continental é responsável pela distribuição de produtos de uma indústria de refrigerantes que possui duas fábricas e três depósitos A administração da distribuidora está empenhada em reduzir ao mínimo possível os custos de transporte dos produtos das fábricas para os depósitos Visando à modelagem deste problema como um problema de programação linear o controller da fábrica reuniu os dados constantes nas tabelas abaixo e que correspondem aos custos de transporte de cada fábrica até cada depósito Formule o modelo que indique à administração da distribuidora quanto transportar de cada fábrica para cada depósito de maneira a minimizar o custo de transporte Quadro 46 Dados de custos e capacidades Fábricas Depósitos 1 2 3 Capacidade das fábricas caixas 1 4 5 3 1500 2 6 7 4 3000 Demanda dos Depósitos caixas 2000 1500 1000 97 Pesquisa Operacional 4 Um intermediário abastece três feirantes que operam em cidades diferentes A B e C com ovos que adquire em quatro granjeiros localizados em cidades diferentes I II III e IV Os preços pagos pelo intermediário para os granjeiros não têm diferença entre si do mesmo modo quanto aos preços que os feirantes lhe pagam O intermediário só consegue algum lucro fazendo com que o seu custo de transporte seja o menor possível A tabela abaixo dá o custo de transporte entre os granjeiros e os feirantes em Rdúzia de ovos A tabela também mostra as quantidades de ovos que cada granjeiro pode fornecer na próxima semana e as encomendas de ovos dos feirantes Tabela 47 Custo de transporte em Rdúzias Granja Feirante A B C Oferta dz I 035 027 033 1700 II 037 025 038 1100 III 041 032 038 2000 IV 036 022 039 2000 Encomendas dz 1250 1550 2300 Formule o problema de atender as encomendas a partir das ofertas de modo a minimizar o custo Não esqueça de explicar o significado das suas variáveis 98 Capítulo 4 5 Uma empresa que trabalha com vendas de produtos de valor bastante elevado tem no momento o problema de designar o vendedor mais adequado para tentar realizar uma venda para 4 clientes Para isto dispõe de 4 vendedores Dado um estudo do perfil de cada cliente e de cada vendedor temse a tabela abaixo que mostra as probabilidades de sucesso na venda de cada vendedor para cada cliente Como Chefe do Setor de Vendas encontre a designação mais adequada da sua força de vendedores para maximizar a soma total das probabilidades de sucesso nas vendas cada vendedor deverá visitar somente 1 cliente e cada cliente deverá receber a visita de somente um vendedor Tabela 48 Probabilidades de Sucesso na Venda VendedoresClientes 1 2 3 4 A 90 90 90 30 B 90 30 70 70 C 70 30 70 30 D 70 90 90 90 99 Habilidades Seções de estudo Capítulo 5 Programação linear solução gráfica e algébrica Adaptado de Ana Lúcia Miranda Lopes e Ana Lúcia Meira da Veiga Galvão Seção 1 Introdução Seção 2 Resolvendo um modelo linear pelo método gráfico Seção 3 Programas lineares inviáveis Seção 4 Programas lineares ilimitados Ao final do capítulo o estudante será capaz de resolver pequenos modelos de programação linear utilizando a abordagem gráfica Identificará a participação de cada restrição na busca de uma solução para um modelo de programação linear analisando sua resposta 100 Capítulo 5 Seção 1 Introdução Neste capítulo você aprenderá a resolver graficamente modelos pequenos de programação linear Falamos de modelos pequenos porque somente modelos de duas variáveis podem ser resolvidos graficamente Para a resolução de modelos maiores você deve utilizar um software Nas unidades anteriores falamos que estes modelos podem ser resolvidos por meio de uma planilha eletrônica ou por softwares específicos como o LINDO lembra Aqui você aprenderá passo a passo como se constrói um gráfico que representa uma restrição do problema e como encontrar a resposta do modelo analisado algebricamente Salientamos que os pontos que representam as possíveis soluções do problema serão encontrados graficamente enquanto que a solução propriamente dita será obtida algebricamente por facilidade de cálculo Nos capítulos anteriores foi abordado o método de construção de um modelo linear Vários modelos foram construídos e podem ser resolvidos com a utilização do software Excel Anexo 3 Neste capítulo entretanto iremos abordar a resolução de modelos de programação linear pelo método gráfico Salientase que pelo método gráfico somente modelos lineares de duas variáveis podem ser representados Mas por que devemos aprender o método gráfico se existem softwares que chegam à solução do problema com eficiência Bem o método gráfico é importante para melhorar o entendimento do modelo linear Por meio dele podese enxergar o que está acontecendo quando uma restrição está sendo adicionada ao modelo e como se chega à definição dos valores das variáveis Vamos lá Iniciando por meio de um exemplo temse Exemplo 51 A empresa SEMPRE PERFUMADA SP é uma microempresa do ramo de perfumaria com sede em PalhoçaSC Trabalha na mistura de componentes importados para produção de vários tipos de perfumes 101 Pesquisa Operacional Dois perfumes masculinos são os carros chefe da empresa Um é bastante suave e o outro mais forte e duradouro A produção dos perfumes se dá em dois setores o de mistura e o de embalagem No setor de mistura cinco funcionários trabalham em tempo integral 40h semana e dois em tempo parcial 15hsemana misturando os componentes importados de acordo com as dosagens prédeterminadas No setor de embalagens seis funcionários de tempo integral 40hsemana e um funcionário parcialmente licenciado 10 hsemana trabalham na colocação dos perfumes já prontos em seus respectivos frascos e nas respectivas caixas que serão transportadas para o depósito para posterior entrega nos pontos de varejo O dono da empresa pensa que pode trabalhar com mais eficiência e com isso alcançar um lucro semanal maior se alterar as quantidades produzidas de seus dois produtos Para resolver este problema levantou os dados constantes na tabela abaixo que estabelecem o número de horas que cada litro de produto necessita nos setores de mistura e de embalagem Tabela 51 Requerimentos horaslitro nos respectivos setores de produção PERFUME 1 PERFUME 2 Setor de mistura 2 1 Setor de embalagens 1 2 Fonte Lopes e Galvão 2010 A empresa tem trabalhado com estoques altos de matériaprima sendo portanto o único recurso limitante à mão de obra disponível Porém sabe que não deve produzir mais do que 120 litros do perfume 2 pois sendo esse um perfume mais forte a procura é baixa A margem de lucro calculada para o perfume 1 é de R 300 por litro e do perfume 2 é de R 500 por litro Como administrador da empresa você necessita determinar quanto de cada tipo de perfume deve ser produzido por semana para maximizar o lucro da SP Utilizando o processo de formulação desenvolvido no capítulo anterior temse Passo 1 Definição das variáveis de decisão X1 número de litros do perfume 1 a produzir por semana X2 número de litros do perfume 2 a produzir por semana 102 Capítulo 5 Passo 2 Identificação dos dados do problema Tabela 52 Dados do problema VARIÁVEIS PERFUME 1 PERFUME 2 UNIDADE PERFUME 1 PERFUME 2 DISPONÍVEL No de litros de perfume X1 X2 litros Consumo de MO no setor de mistura horas 2 1 5x40 2x15 230 horas Consumo de MO no setor de embalagem horas 1 2 6x40 1x10 250 horas Lucro unitário 3 5 Solicitado 0 0 120 Lucro total LT Maximizar Fonte Lopes e Galvão 2010 Passo 3 Identificação e modelagem da função objetivo Max LT 3X1 5X2 Passo 4 Identificação e modelagem das restrições MOMist 2x1 x2 230 MOEmb x1 2x2 250 Demx2 x2 120 Modelo final Max LT 3x1 5x2 sa R1 2x1 x2 230 R2 x1 2x2 250 R3 x2 120 R4 x1 0 R5 x2 0 103 Pesquisa Operacional O modelo acima pode ser assim descrito encontre as quantidades litros que devem ser produzidas dos perfumes 1 e 2 de maneira a maximizar o lucro da empresa porém essas quantidades devem obedecer às restrições impostas São as restrições Primeira a mão de obra disponível no setor de mistura é de 230 horas e o resultado de 2x1 x2 não deve ultrapassar este limite Segunda a mão de obra disponível no setor de embalagem é de 250 horas e o resultado de x1 2x2 não pode ultrapassar este limite Terceira a empresa não deseja produzir mais do que 120 litros do perfume 2 por não haver demanda para uma produção maior Seção 2 Resolvendo um modelo linear pelo método gráfico A resolução de um modelo linear pelo método gráfico iniciase com o traçado dos dois eixos representativos de um gráfico bidimensional Plano Cartesiano Para o Exemplo 51 anterior esses eixos estarão representando as quantidade em litros dos perfumes 1 e 2 x1 e x2 104 Capítulo 5 21 Construindo o gráfico representativo das restrições Normalmente se inicia a construção do gráfico representativo de um modelo linear traçandose as restrições do problema Ao representar essas restrições estaremos trabalhando na busca de valores viáveis para cada restrição Esses serão todos os valores que satisfazem aquela restrição em particular Aqueles valores que não satisfazem a restrição são chamados de valores inviáveis Valores viáveis São os valores para as variáveis de decisão que satisfazem a restrição Para o Exemplo 51 podese representar primeiramente as restrições 4 e 5 Essas fazem com que as variáveis de decisão x1 e x2 assumam somente valores positivos ou seja x1 0 e x2 0 por isso o gráfico deve estar contido no 1º quadrante do plano cartesiano conforme a Figura 52 Figura 52 Área viável segundo as restrições 4 e 5 do Exemplo 51 Fonte Fogaça 2014 Os valores viáveis portanto serão aqueles situados no primeiro quadrante do sistema de eixos Excluemse os quadrantes 2 3 e 4 pois esses conduzem a valores negativos para as variáveis de decisão Porém faltam ainda três restrições a serem representadas Vamos portanto à representação gráfica da restrição 1 105 Pesquisa Operacional 22 Representando a primeira restrição R1 R1 2x1 x2 230 Para representar a restrição acima no plano cartesiano precisamos primeiramente lembrar como se faz gráfico de uma função do 1º grau Lembrese O gráfico de uma função do 1o grau é sempre uma reta e para construirmos uma reta necessitamos de apenas dois pontos Primeiramente transformaremos a desigualdade em uma igualdade para facilitar os cálculos Agora vamos calcular os valores de x1 e x2 anulando um deles da seguinte forma R1 2x1 x2 230 Quando x1 0 temos 20 x2 230 X2 230 Quando x2 0 temos 2x1 0 230 2x1 230 x1 2302 x1 115 Assim basta localizar no plano cartesiano x1 115 e x2 230 e unir os pontos conforme Figura 53 Figura 53 Região viável baseada nas restrições 1 4 e 5 Fonte Fogaça 2014 106 Capítulo 5 Note que ao traçar a reta representativa da restrição 1 estaremos restringindo ainda mais nosso espaço de soluções viáveis Como a restrição 1 é uma desigualdade e não uma igualdade todos os valores situados sobre e abaixo da reta representativa da restrição serão valores viáveis Quando temos uma restrição de igualdade somente os valores situados sobre a reta serão valores viáveis Região viável É aquela região que reúne um conjunto de valores viáveis para as variáveis de decisão que satisfazem todas as restrições do modelo de programação linear A região viável neste momento está restrita ao conjunto de valores situados no triângulo de vértice ABC Figura 53 23 Porém falta ainda representar as restrições 2 e 3 do modelo Para representar as duas restrições devese proceder da mesma maneira que para a restrição 1 anterior Primeiro transformase a desigualdade em igualdade Traçase a reta e buscase o conjunto de valores viáveis para aquela restrição Observe que Em uma restrição tipo os valores viáveis estarão sempre sobre e abaixo da reta que representa a restrição Em uma restrição tipo os valores viáveis estarão sempre sobre e acima da reta que representa a restrição 231 Representando a segunda restrição R2 R2 x1 2x2 250 Quando x1 0 temos 0 2x2 250 x2 2502 x2 125 Quando x2 0 temos x1 0 250 x1 250 Então basta localizar no plano cartesiano x1 250 e x2 125 e juntar os pontos conforme a Figura 54 107 Pesquisa Operacional Figura 54 Região viável segundo as restrições 1 2 4 e 5 Fonte Fogaça 2014 Note que ao acrescentar a restrição 2 Figura 54 o espaço que contém as soluções viáveis para o modelo de Programação Linear deixa de ser um triângulo e transformase em um polígono de vértices ABCD A região situada dentro e sobre o contorno do polígono é chamada de região viável e contém valores para as variáveis x1 e x2 que obedecem às restrições 1 2 4 e 5 232 Representando a terceira restrição R3 A representação da terceira restrição é um pouquinho diferente R3 x2 120 Neste caso precisamos apenas localizar x2 120 e traçar uma reta horizontal sobre este valor e todos os valores abaixo e sobre essa reta farão parte da região de soluções viáveis Conforme o gráfico da Figura 55 Figura 55 Região viável do Exemplo 51 para todo o conjunto de restrições Fonte Fogaça 2014 108 Capítulo 5 A Figura 55 mostra como fica a região viável para o modelo do Exemplo 51 quando a restrição 3 é acrescida ao gráfico A região viável agora é formada pelo polígono de vértices ABCDE Observe que o espaço que contém a região viável vai ficando cada vez menor à medida que mais uma restrição é acrescentada Isso é bastante evidente pois a busca de valores para x1 e x2 que satisfaçam as restrições vai ficando cada vez mais difícil ao adicionarmos mais uma restrição Solução viável Uma solução na qual as variáveis de decisão assumem valores viáveis 24 Obtendo a solução ótima Pela Figura 55 anterior podese observar que existe um conjunto grande de soluções possíveis viáveis formadas por todos os pontos dentro e sobre o polígono de vértices ABCDE Porém a solução ótima de um modelo de programação linear é aquela que ao mesmo em que satisfaz todas as restrições conduz ao melhor valor da função objetivo Solução ótima É aquela solução na qual as variáveis de decisão são valores viáveis e que conduz ao melhor valor da função objetivo Existem duas maneiras de chegarse à solução ótima de um PL por meio da abordagem gráfica A primeira e na maior parte das vezes a mais fácil é a que está baseada no seguinte teorema Teorema 1 Se um programa linear é viável e o conjunto de todas as suas restrições resulta em um polígono convexo então a solução ótima se dará em um dos vértices deste polígono Observando a Figura 55 anterior vêse que o conjunto de restrições está representado por um polígono convexo e portanto podese fazer uso do teorema 1 para encontrar a solução ótima O primeiro passo será o de relacionar todas as coordenadas dos pontos que definem os vértices do polígono ABCDE O passo seguinte será o de calcular o valor da função objetivo em cada ponto e ver qual deles nos fornece o melhor valor para a função objetivo 109 Pesquisa Operacional Aplicação do teorema 1 na figura 55 Para encontrar a solução do problema vamos analisar um a um os pontos A B C D e E que são os vértices do polígono encontrado pela intersecção das retas e eixos PONTO A Neste ponto tanto o valor de x1 quanto o valor de x2 são nulos portanto temos x1 0 e x2 0 Qual é o lucro deste ponto Basta substituir os valores acima na função objetivo LTA 3x1 5x2 LTA 30 50 LTA 0 PONTO B Este ponto surge da intersecção entre a primeira restrição R1 e o eixo de x1 Sendo assim o valor de x2 é zero pois o valor de x2 é o tamanho do deslocamento vertical de um ponto E este ponto não se deslocou nem para cima nem para baixo do eixo horizontal estacionando sobre ele Como x2 0 basta substituir este valor em R1 2x1 x2 230 para encontrar o valor de x1 onde o ponto B está localizado Para efeitos de cálculo vamos suprimir o sinal ficando apenas com Sendo assim R1 2x1 x2 230 2x1 0 230 x1 2302 x1 115 Para calcular o lucro no ponto B substituiremos x1 115 e x2 0 no lucro total LTB 3x1 5x2 LTB 3115 50 LTB 345 110 Capítulo 5 PONTO C Este ponto surge da intersecção entre a primeira restrição R1 e a segunda R2 Vamos precisar igualar as restrições R1 2x1 x2 230 e R2 x1 2x2 250 para encontrar os valores de x1 e x2 no ponto C Mais uma vez vamos suprimir os sinais de R1 2x1 x2 230 se isolarmos a variável x2 teremos x2 230 2x1 vamos substituir este valor de x2 na equação da R2 aí teremos o valor de x1 onde as duas restrições se encontram R2 x1 2x2 250 x1 2 230 2x1 250 x1 460 4x1 250 3x1 250 460 3x1 210 x1 210 3 x1 70 Mas x2 230 2x1 então x1 230 2 70 x2 230 140 x2 90 Para calcular o lucro no ponto C substituiremos x1 70 e x2 90 no lucro total LTC 3x1 5x2 LTC 370 590 LTC 210 450 LTC 660 PONTO D Este ponto surge da intersecção entre a segunda restrição R2 e a terceira R3 Sendo assim vamos precisar igualar as restrições R2 x1 2x2 250 e R3 x2 120 para encontrar os valores de x1 e x2 no ponto D Mais uma vez vamos suprimir os sinais de 111 Pesquisa Operacional Vamos iniciar pela restrição 3 temos R3 x2 120 observe que já possuímos o valor de x2 logo basta substituirmos na restrição R2 R2 x1 2x2 250 x1 2120 250 x1 240 250 x1 250 240 x1 10 Para calcular o lucro no ponto D substituiremos x1 10 e x2 120 no lucro total LTD 3x1 5x2 LTD 310 5120 LTD 30 600 LTD 630 PONTO E Esse ponto surge da intersecção entre a terceira restrição R3 e o eixo de x2 O valor de x1 é zero pois o valor de x1 é o tamanho do deslocamento horizontal de um ponto e esse ponto não se deslocou nem para direita nem para a esquerda do eixo vertical estacionando sobre ele Como x1 0 basta substituir este valor em R3 x2 120 suprimindo o sinal ficando apenas com x2 120 Para calcular o lucro no ponto E substituiremos x1 0 e x2 120 no lucro total LTE 3x1 5x2 LTE 30 5120 LTE 600 112 Capítulo 5 Podese assim chegar à tabela Tabela 53 Coordenadas dos vértices do PL do Exemplo 51 e valores na função objetivo Ponto X1 X2 Valor da Função Objetivo Função Objetivo 3x1 5x2 A 0 0 0 B 115 0 345 C 70 90 660 D 10 120 630 E 0 120 600 Fonte Lopes e Galvão 2010 A solução que produz o maior valor da função objetivo será a solução constante do ponto C devendo assim produzir 70 litros de perfume do tipo 1 e 90 litros do perfume do tipo 2 para obter maior lucro lucro total R 66000 Uma outra maneira de obterse graficamente o resultado de um modelo de PL é pelo traçado da reta que representa a função objetivo Como a função objetivo é uma função aberta e no caso do Exemplo 51 uma função aberta na direção da maximização ela não será uma reta fixa no sistema de eixos como é o caso das restrições Será uma reta que se moverá na direção da maximização Mas como traçar a Função Objetivo Bem primeiro devese tomar um ponto dentro da região viável x1x2 Por exemplo x1 50 e x2 60 5060 Ao estabelecerse o valor devese substituílo na função objetivo e calcular o resultado FO 3x1 5x2 Se x1 50 e x2 60 temos 3 50 5 60 450 Logo após retornase à função objetivo original 3x1 5x2 e traçase a reta que a representa naquele ponto 3x1 5x2 450 Para traçarmos esta reta tomamse dois pontos x1 0 e x2 90 e x20 e x1 150 113 Pesquisa Operacional O resultado será o mostrado na Figura 56 que segue Figura 56 Representação gráfica do Exemplo 51 busca da solução ótima passo 1 0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250 300 X2 X1 R4 X1 0 R4 X1 0 R5 X2 0 R3 B D A C E R1 R2 Fonte Fogaça 2014 Após traçar a reta que representa a função objetivo naquele ponto procedese a busca da melhoria do valor da função objetivo movendose sua reta para a direita até que ela esteja praticamente saindo do polígono O último ponto que essa reta toca antes de sair do polígono será a solução ótima Observe na Figura 57 que o último ponto que a reta toca será o C confirmandoo como solução ótima do modelo de programação linear do Exemplo 51 Figura 57 Representação gráfica do Exemplo 51 busca da solução ótima passo 2 Fonte Fogaça 2014 Nesta seção você aprendeu a resolver modelos de programação linear viáveis isto é que tem solução Na seção seguinte irá aprender que nem todos os modelos têm solução e graficamente você pode chegar à conclusão de que o modelo não tem resposta e o porquê de isso ocorrer 114 Capítulo 5 Seção 3 Programas lineares inviáveis Na seção anterior trabalhouse sobre um programa linear para o qual pôde se obter uma única solução ótima Porém apesar de ser o caso mais comum muitas vezes deparase com outros tipos de programas lineares como é o caso de um programa linear inviável 31 Programa linear inviável É um programa linear para o qual não existem valores para as variáveis de decisão que satisfaçam todas as restrições simultaneamente Normalmente um programa linear vem a ser inviável por erros no momento da modelagem ou por imposições do administrador impossíveis de serem obedecidas no modelo Para exemplificar tomamos novamente o Exemplo 51 mas pensemos em uma situação em que o administrador da empresa solicitasse a você que modificasse o modelo pois a demanda do perfume 2 teve um salto grande e ele precisa produzir mais do que 150 litros desse produto por semana O modelo modificado ficaria Max LT 3x1 5x2 sa R1 2x1 x2 230 R2 x1 2x2 250 R3 x2 150 R4 x1 0 A representação gráfica deste novo modelo seria a da Figura 58 115 Pesquisa Operacional Figura 58 Programa linear inviável Fonte Lopes e Galvão 2010 Note pela figura anterior que não existem valores possíveis para x1 e x2 que satisfaçam todas as restrições Para satisfazer a restrição 1 somente valores sobre e abaixo da reta que representa a restrição são aceitos Para a restrição 2 vale o mesmo Porém quando olharmos a região de valores viáveis para a restrição 3 podese observar que os valores acima da reta da R3 são viáveis para esta restrição porém não obedecem à restrição 2 Não existe portanto um único valor que possa satisfazer todas as quatro restrições do modelo Se olharmos mais atentamente para o modelo poderemos ver que é inviável porque não existe recurso no setor de embalagem para produzir a quantia de 150 litros do perfume 2 Será que quando nos deparamos com um modelo inviável a única coisa que temos a fazer é dizer que este modelo não tem resposta Não Na realidade a ausência dessa resposta deverá nos levar a pensar em algum erro de formulação Portanto quando nos depararmos com modelos inviáveis ou ilimitados devemos repensar o modelo rever as equações que representam as restrições e rever até se as imposições que decidimos colocar no modelo não o tornam inviável ou ilimitado Na próxima seção estudaremos programas lineares ilimitados 116 Capítulo 5 Seção 4 Programas lineares ilimitados Um outro caso é o de programas lineares ilimitados Nesse tipo de programa não existe uma solução única pois o conjunto de restrições não forma um polígono fechado estando aberto na direção da maximização ou minimização Para observarmos o que ocorre neste caso suponhamos que o modelo do exemplo anterior tenha sido erroneamente construído com as desigualdades das restrições 1 e 2 trocadas de para O modelo ficaria como abaixo e a Figura 59 o estaria representando graficamente Max LT 3x1 5x2 sa R1 2x1 x2 230 R2 x1 2x2 250 R3 x2 120 R4 x1 0 R5 x2 0 Verifique na figura que segue Figura 59 Programa linear ilimitado Fonte Lopes e Galvão 2010 117 Pesquisa Operacional Na figura anterior a região formada neste novo modelo será a definida pelos vértices ABC A região está portanto aberta não formando mais um polígono fechado Como o objetivo é de maximização a reta da função objetivo será levada para a direita infinitamente não encontrando uma solução Programa linear ilimitado É um programa linear no qual a funçãoobjetivo pode ser melhorada infinitamente Neste capítulo você conheceu o processo para identificação de um modelo linear ilimitado e compreendeu os procedimentos para resolver modelos graficamente Atividades de autoavaliação Para praticar os conhecimentos apropriados nesta unidade realize as atividades propostas seguintes Devido ao tamanho do espaço para a realização das atividades sugerimos que você as faça em folhas avulsas 1 Uma marcenaria situada em Florianópolis produz mesas e cadeiras de baixo custo O processo de produção das mesas e cadeiras é similar e requer um certo número de horas de trabalho no setor de carpintaria e um certo número de horas de trabalho no setor de pintura Cada mesa necessita de quatro horas de trabalho no setor de carpintaria para ficar pronta para pintura e duas horas de trabalho de pintura Cada cadeira requer três horas na carpintaria e uma hora na pintura Durante o atual período de produção estão disponíveis 240 horas de trabalho no setor de carpintaria e 100 horas de trabalho no setor de pintura O departamento de marketing está confiante de que pode vender todas as mesas que puderem ser fabricadas Entretanto devido a um estoque existente de cadeiras o departamento não recomenda que sejam fabricadas mais do que 60 novas cadeiras Cada mesa vendida tem uma margem de contribuição para o lucro de 7 e cada nova cadeira vendida resulta em uma margem de 5 Modele o problema que indique à empresa quantas cadeiras e quantas mesas produzir por semana de modo a maximizar o lucro Resolva graficamente 118 Capítulo 5 2 Uma importadora situada em Santa Catarina está planejando expandir seu negócio até o Rio Grande do Sul Para fazer isto a empresa necessita saber quantos depósitos e o tamanho de cada deverá construir para armazenar suas mercadorias Seu objetivo e restrições são como segue Maximizar lucro mensal 50DP 20DG sa orçamento de marketing disponível 20DP 40DG 400 No de m2 requerido 100DP 50DG 800 Máximo de depósitos pequenos DP 60 DP 0 DG 0 Onde DP número de depósitos pequenos a construir e DG número de depósitos grandes a construir Resolva graficamente este problema 3 Encontre as soluções dos programas lineares abaixo a Maximizar lucro x y sa 2x y 100 x 2Y 100 x y 0 b Maximizar lucro 3x 2y sa 2x y 150 2x 3Y 300 x y 0 119 Pesquisa Operacional c Maximizar lucro 4x 6y sa x 2y 8 6x 4y 24 x y 0 d Maximizar 4x1 8x2 sa 6x1 2x2 3 2x1 3x2 6 2x1 3x2 24 x1x2 0 e Minimizar custo x 2y sa x 3y 90 8x 2y 160 3x 2y 120 y 70 x y 0 121 Habilidades Seções de estudo Capítulo 6 Programação de Projetos por meio do estudo de redes PERTCPM Adaptado de Ana Lúcia Miranda Lopes e Ana Lúcia Meira da Veiga Galvão Seção 1 Definição de PERT e CPM Seção 2 Desenvolvendo a rede Seção 3 Usando o CPM para gerenciar o projeto Ao final do capítulo o estudante será capaz de identificar a diferença entre o CPM Critical Path Method e o PERT Project Evaluation and Review Technique Compreenderá um projeto como um conjunto de atividades com uma sequência lógica entre si Identificará as atividades críticas de um projeto e o tempo mínimo de duração desse por meio do CPM 122 Capítulo 6 Seção 1 Definição de PERT e CPM Algumas organizações em determinado momento enfrentarão grandes e complexos projetos Gerenciálos é um desafio para a maioria dos administradores especialmente quando o número de atividades envolvidas nesses projetos é elevado RENDERSTAIR BALAKRISHNAN 2003 Milhões de reais têm sido gastos indevidamente devido a atrasos desnecessários que poderiam ser estimados com um bom gerenciamento de projetos Representar o projeto por meio de uma rede é um excelente auxiliar para os administradores e tem sido utilizado de forma intensa pelas grandes empresas brasileiras e estrangeiras nos últimos cinquenta anos Essas redes podem auxiliar o administrador na obtenção das respostas para as seguintes perguntas Qual é o tempo mais curto em que um projeto pode ser completado Quais são as atividades críticas dentro do projeto e que devem ser monitoradas com cuidado O que acontece com o tempo de duração do projeto se uma determinada atividade atrasar Essas e outras perguntas podem ser respondidas por meio da construção e observação de uma rede PERT ou CPM Segundo Mathur e Sollow 1997 as técnicas de PERT e CPM foram desenvolvidas nos anos 50 Primeiramente a empresa Dupont criou a técnica CPM Critical Path Model 1957 que foi desenvolvida para gerenciar a construção e manutenção de suas indústrias químicas Mais tarde a marinha americana US Navy desenvolveu a técnica de PERT Project Evaluation and Review Technique para o planejamento e controle do programa do míssil Polaris A diferença básica entre as duas técnicas está no tempo de duração de cada atividade envolvida no projeto Em uma rede PERT cada atividade tem três tempos diferentes que são combinados para determinar o tempo esperado de execução da atividade PERT é considerada uma técnica probabilística pois os tempos de execução das atividades do projeto são probabilísticos Já a CPM é considerada uma técnica determinística pois o tempo de execução de cada atividade deve ser conhecido com certeza Esse tempo estimado é chamado normal ou padrão e é o tempo que o administrador do projeto estima que cada atividade irá levar para ser completada em condições normais 123 Pesquisa Operacional 11 Veja os conceitos CPM Critical Path Model É uma técnica de pesquisa operacional que auxilia na programação de projetos e na qual as durações de cada atividade são conhecidas com certeza PERT Project Evaluation and Review Technique É uma técnica de pesquisa operacional que auxilia na programação de projetos e na qual as durações de cada atividade não são conhecidas Segundo Winston e Albright 2000 CPM tem sido utilizado com muito sucesso em muitas aplicações incluindo as seguintes gerenciamento de projetos de construção tais como aeroportos prédios hospitais estradas etc gerenciamento de alterações de procedimentos em empresas aéreas instalação de um novo sistema de informações dentro da empresa desenvolvimento e propaganda de um novo produto gerenciamento do processo de fusão de duas ou mais empresas etc Para aplicar as técnicas de PERT ou CPM primeiramente é necessário desenvolver uma rede que representa todo o projeto desde o início até o final Na próxima seção veremos como essa rede é construída Seção 2 Desenvolvendo a rede Para desenvolver a rede representativa de um projeto as seguintes etapas são importantes identificar as atividades individuais que fazem parte de um projeto obter o tempo estimado para a execução de cada atividade identificar as relações de tempo e precedência de cada atividade desenhar o diagrama de rede 124 Capítulo 6 21 Identificando as atividades individuais Segundo Mathur e Sollow 1997 projetos completos consistem de várias atividades individuais Para monitorar esses projetos é necessário primeiro identificar suas atividades Algumas atividades dentro de um projeto podem ser tão complexas que elas mesmas resultam em uma outra rede Por exemplo implantar o planejamento estratégico definido pela diretoria de uma empresa Dependendo do tamanho dessa empresa pode ser que cada setor necessite de uma rede diferente devido às suas peculiaridades Para identificação das atividades de um projeto algumas regras gerais podem ser seguidas MATHUR e SOLLOW 1997 cada atividade deve ter um início e um fim definidos dentro do contexto do projeto a finalização de uma atividade é condição necessária mas não suficiente para a finalização do projeto o tamanho de uma atividade deve estar ao alcance de seu controle senão essa deve ser subdividida deve existir alguém responsável por cada atividade todas as atividades necessárias para a execução do projeto devem estar listadas Exemplo 61 WK é uma empresa que organiza grandes concertos shows bem como a campanha publicitária deles Ela foi contratada para gerenciar o show do grupo Rolling Stones a ser realizado no Rio de Janeiro Para que este projeto não corra risco algum de atraso a empresa quer construir uma rede CPM para monitorálo Iniciou então listando as atividades necessárias para a execução do projeto conforme descrito abaixo Tabela 61 Projeto Rolling Stones lista de atividades com prazo ATIVIDADES DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES Atividade A Encontrar o local para o show Atividade B Buscar e contratar os engenheiros responsáveis pela construção das estruturas necessárias Atividade C Contratar o ato de abertura Atividade D Colocar anúncio nos rádios e redes de televisão Atividade E Buscar e negociar com agências e lojas para venda dos tickets 125 Pesquisa Operacional Atividade F Preparar a parte eletrônica do concerto Atividade G Estudar e implementar a logística de transporte Atividade H Últimos detalhes FonteLopes e Galvão 2007 22 Obtendo os tempos estimados para cada atividade Como o tempo necessário para a execução do projeto todo depende da execução e finalização de cada atividade individual tornase necessário estabelecer um prazo para a execução de cada atividade Esses prazos nem sempre são fáceis de serem obtidos e podem ser probabilísticos rede PERT ou determinísticos rede CPM Uma estimativa pode ser obtida da seguinte maneira utilizar experiências passadas para estabelecer o tempo das atividades consultar as pessoas encarregadas para cada atividade usar dados históricos 23 Para o exemplo 61 os seguintes prazos foram determinados Tabela 62 Projeto Rolling Stones lista de atividades com prazo ATIVIDADES DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES TEMPO ESTIMADO SEMANAS Atividade A Encontrar o local para o show 3 Atividade B Buscar e contratar os engenheiros responsáveis pela Construção das estruturas necessárias 2 Atividade C Contratar o ato de abertura 6 Atividade D Colocar anúncio nos rádios e redes de televisão 2 Atividade E Buscar e negociar com agências e lojas para venda dos tickets 3 Atividade F Preparar a parte eletrônica do concerto 3 Atividade G Estudar e implementar a logística de transporte 1 Atividade H Últimos detalhes 15 FonteLopes e Galvão 2007 126 Capítulo 6 24 Criando a tabela de precedências Como descrito anteriormente o tempo necessário para a finalização de um projeto está baseado no tempo de finalização de cada atividade individual Porém o prazo do projeto não é a simples soma dos prazos para a execução das tarefas individuais pois algumas atividades podem ser executadas ao mesmo tempo em que outras Existem também algumas atividades que só podem ser iniciadas depois do término de uma outra Portanto para saber o prazo necessário para a execução de um projeto é preciso identificar quais atividades estão relacionadas com outras e qual deve ser feita antes Devese então criar uma tabela de precedências Uma tabela de precedências deve conter a lista das atividades anteriormente identificadas como necessárias para a execução do projeto bem como suas relações de precedência Devese identificar portanto quais são as atividades predecessoras de todas as atividades Uma atividade é predecessora de outra quando a primeira deve ser totalmente finalizada para que a outra possa iniciar Para o exemplo 61 teríamos como tabela de precedência a seguinte Tabela 63 Projeto Rolling Stones tabela de precedências ATIVIDADES DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES PREDECESSORES TEMPO ESTIMADO SEMANAS Atividade A Encontrar o local para o show 3 Atividade B Buscar e contratar os engenheiros responsáveis pela construção das estruturas necessárias A 2 Atividade C Contratar o ato de abertura A 6 Atividade D Colocar anúncio nos rádios e redes de televisão C 2 Atividade E Buscar e negociar com agências e lojas para venda dos tickets A 3 Atividade F Preparar a parte eletrônica do concerto B 3 Atividade G Estudar e implementar a logística de transporte C 1 Atividade H Últimos detalhes F G 15 FonteLopes e Galvão 2007 127 Pesquisa Operacional 25 Construindo a rede do projeto Uma rede de um projeto é formada pelos nós arcos atividades e prazos de duração de cada atividade Ela deve ser totalmente clara e mostrar as relações de precedência entre cada atividade O tipo de rede de projeto mais utilizado é o chamado Activity on Arc Network AOA ou seja rede de atividades no arco Nesse tipo de rede um nó representa o início de uma atividade e outro representa a sua finalização Um arco representa a atividade em si por exemplo Figura 61 Construção de uma rede de projeto por meio de arcos e nós 0 1 nós arco Fonte Lopes e Galvão 2007 Nos arcos são representadas as atividades e a rede deve mostrar as relações de precedências entre cada atividade Para o exemplo 61 teremos Figura 62 Estabelecendo relações de precedência em uma rede de projeto 0 1 2 A B FonteLopes e Galvão 2007 A figura acima representa que a atividade B só pode ser iniciada depois que a A estiver sido finalizada A é portanto predecessora de B Figura 63 Definindo relações de precedência e atividades em paralelo 0 1 2 A B 3 C FonteLopes e Galvão 2007 128 Capítulo 6 Já a figura acima indica que as atividades B e C devem ser iniciadas somente depois que a atividade A for finalizada mas as duas B e C podem ser executadas em paralelo pois uma não depende da outra Na rede também deve ser informado o prazo de execução de cada atividade Para o exemplo 61 a rede ficará Figura 64 Rede do exemplo 61 0 1 2 3 4 5 A3 B2 C6 E3 D2 G1 F3 H1 FonteLopes e Galvão 2007 Como pode ser observado na rede acima todas as atividades do projeto show dos Rolling Stones estão representadas nela assim como seus prazos de duração Por exemplo a figura mostra que as atividades G e D só podem ser iniciadas depois que a atividade C tiver sido concluída e que elas têm prazos de duração de uma e duas semanas respectivamente Já a atividade C tem a A como predecessora e só pode iniciar depois da conclusão Resumindo para você os passos necessários para a construção da rede desenhe o nó 0 para representar o início do projeto desenhe um arco para cada atividade que não tem predecessora identifique cada arco com o símbolo da atividade e o prazo de duração determine um nó terminal a cada arco para identificar o fim daquela atividade desenhe o nó 1 para representar o ponto em que a atividade anteriormente identificada é finalizada veja na tabela de precedências quais atividades podem iniciar agora continue com este esquema para as demais atividades 129 Pesquisa Operacional 26 Inserindo uma atividade dummy na rede do projeto Uma atividade dummy é artificial pois não faz parte do projeto e não requer tempo para sua execução É incluída no projeto somente para assegurar a correta relação de precedência entre as atividades A atividade dummy deve ser representada por uma seta pontilhada Podese também trabalhar com nós dummies Esse é um nó artificial incluído na rede do projeto para representar um ponto no tempo em que certas atividades são completadas e assegurar a correta relação de precedência entre as atividades Veja os conceitos Uma atividade dummy é artificial pois não faz parte do projeto e não requer tempo para sua execução É incluída no projeto somente para assegurar a correta relação de precedência entre as atividades e um nó dummy é um nó artificial incluído na rede do projeto para representar um ponto no tempo no qual certas atividades são completadas e assegurar a correta relação de precedência entre as atividades Para uma boa representação da rede de um projeto alguns aspectos devem ser assegurados NÃO deve haver cruzamento de linhas NÃO deve haver mais de um arco com a mesma atividade arcos NÃO devem ser arredondados duas atividades NÃO devem sair do mesmo nó e chegar no mesmo nó mesma cauda e mesma cabeça Para resolver esse problema utilizase uma atividade dummy Veja Figura 65 Figura 65 Utilização da atividade dummy 2 1 1 2 3 A B 1 2 3 A B FonteLopes e Galvão 2007 130 Capítulo 6 Exemplo 62 Imagine que a empresa WK do exemplo acima depois de montada a rede decidiu que não mais iria contratar uma empresa para realizar a propaganda do evento pois ela própria teria competência e pessoal para fazêlo Com essa mudança devese acrescentar mais uma atividade na rede acima pois a empresa concluiu que poderia colocar os anúncios nas rádios e televisões antes de imprimir a propaganda do evento Uma nova tabela foi então construída acrescentando outra atividade imprimir propaganda e mudando a atividade D Tabela 64 Projeto Rolling Stones nova tabela de precedências Descrição das atividades Predecessores Tempo estimado semanas Atividade A Encontrar o local para o show 3 Atividade B Buscar e contratar os engenheiros responsáveis pela construção das estruturas necessárias A 2 Atividade C Contratar o ato de abertura A 6 Atividade D Colocar anúncio nas rádios e redes de televisão C 2 Atividade E Buscar e negociar com agências e lojas para venda dos tickets A 3 Atividade F Preparar a parte eletrônica do concerto B 3 Atividade G Imprimir e distribuir propaganda escrita C 5 Atividade H Estudar e implementar a logística de transporte C 1 Atividade I Últimos detalhes F H 15 FonteLopes e Galvão 2007 131 Pesquisa Operacional 27 Incorporando esta nova realidade à rede anterior teríamos Figura 66 Rede representativa do projeto do exemplo 62 0 1 2 3 4 5 A3 B2 C6 E3 D2 H1 F3 I15 G5 dummy 1 FonteLopes e Galvão 2007 Devese notar na rede acima a inclusão de uma variável dummy nesse caso para evitar que duas atividades D e G saiam do mesmo nó e cheguem no mesmo nó Seção 3 Usando o CPM para gerenciar o projeto Como foi definido anteriormente o CPM é uma técnica de PO que visa a auxiliar na administração de projetos é particularmente adequada quando temos certeza dos prazos de duração de cada atividade que compõe o projeto Esta técnica pode auxiliar o administrador a responder as seguintes perguntas Qual é o tempo mais curto em que um projeto pode ser executado Quais atividades são críticas É possível antecipar certas atividades de maneira que o projeto termine mais cedo Se sim quais As atividades críticas de um projeto serão aquelas que fazem parte do caminho crítico pois um atraso em uma delas resultará no atraso do projeto todo O caminho crítico é aquele que determina quanto tempo o projeto vai durar isto é é aquele caminho em que um atraso em qualquer uma das atividades que o compõem resultará em um atraso no projeto Como para finalizar um projeto a empresa deve completar todos os caminhos o prazo do projeto é o prazo do caminho crítico 132 Capítulo 6 As atividades do caminho crítico devem ser monitoradas com cuidado pois um atraso em uma atividade do caminho crítico aumenta o prazo do projeto Um atraso aumento de prazo em uma atividade que não faz parte do caminho crítico pode alterálo modificando assim o prazo de duração do projeto Porém a antecipação de uma atividade fora do Caminho Crítico não mudará o Caminho Crítico nem o prazo de duração do projeto Para chegar ao caminho crítico de um projeto devese listar todos os possíveis caminhos que o projeto deve completar O caminho crítico é aquele de prazo mais longo A Tabela 65 mostra os caminhos trilhados para a finalização do projeto do exemplo 62 bem como seus respectivos prazos de duração Tabela 65 Caminhos para a execução do projeto do show dos Rolling Stones exemplo 62 CAMINHO PRAZO DE DURAÇÃO SEMANAS ABFI 32315 95 ACHI 36115 115 ACG 365 14 ACD 362 11 AE 33 6 FonteLopes e Galvão 2007 Como o caminho crítico será aquele mais longo teremos para o exemplo 62 o caminho ACG como caminho crítico Nas atividades que constam desse caminho o administrador deve concentrar seus maiores esforços pois qualquer atraso incorrerá em aumentar o prazo de execução do projeto 133 Pesquisa Operacional Atividades de autoavaliação Para praticar os conhecimentos apropriados nesta unidade realize as atividades seguintes propostas Utilize uma folha em separado para realizar as atividades 1 Mariana que é gerente da maior e melhor oficina mecânica de Florianópolis está sempre muito preocupada com a satisfação dos clientes Desse modo decidiu mapear as etapas do processo de elaboração de orçamento para conserto de veículos Sendo assim ela identificou as atividades necessárias para este fim bem como suas relações de precedência Com base no quadro que segue ajude Mariana a construir a rede deste processo Atividade Descrição da atividade Predecessores imediatos A Chegada do cliente à empresa B Atendimento ao cliente A C Relatório dos problemas apresentados B D Cadastro do cliente e do veículo B E Orçamento C F Saída do cliente da empresa D E 2 Cláudia diretora de uma empresa que organiza grandes eventos acaba de assinar um contrato para produzir uma festa de reveillon para 230 pessoas Para que nada saia errado e que não corra o risco de atrasar este projeto a mesma decide representálo através de uma rede CPM Para tanto levantou as seguintes atividades e relações de precedências Com base no quadro abaixo desenhe a rede do projeto Atividade Descrição da atividade Predecessores imediatos A Buscar um local para o evento B Organizar a lista de convidados com a contratante C Decidir o cardápio com a contratante D Preparar e entregar os convites B E Ligar para os convidados para obter a confirmação da presença D F Encomendar o buffet C G Contratar os garçons F H Limpar e arrumar o local A I Fazer a decoração H 134 Capítulo 6 3 O diagrama abaixo reflete a sequência de atividades necessárias à execução de um projeto de sistema de gestão de conhecimento informatizado em uma empresa X Sobre os arcos estão indicadas as atividades e suas durações em semanas perguntase a Qual é o prazo de execução deste projeto b Quais são as atividades que formam o caminho crítico c Se a atividade D atrasasse três semanas o que aconteceria com o prazo de execução do projeto 0 1 2 3 4 5 G15 B5 C9 I 9 D12 E8 F10 H12 6 A10 4 A SurfWave é uma empresa que compra estampa e vende camisetas na região de Florianópolis e arredores O dono da empresa deseja construir uma rede CPM para o projeto de produção de seu produto Este projeto iniciase com um pedido das camisetas matériaprima Após o pedido os próximos passos são a arte final na área gráfica e a produção da tela na área de produção Com a produção da tela e a arte final pronta a tela é gravada Quando as camisetas chegam iniciamse as tarefas de separação das camisetas e colocação na máquina para estampar Após a tela gravada as camisetas são colocadas na máquina de estampar para fazer uma amostra Após aprovação da amostra as camisetas podem ser estampadas Terminada a estampagem as camisetas são retiradas das máquinas e enfim empacotadas Construa a tabela de precedências e em seguida e rede do projeto 135 Pesquisa Operacional 5 A tabela abaixo contém um conjunto de atividades que são necessárias para a construção de uma casa Mostra também suas predecessoras e o tempo de duração de cada atividade Desenhe a rede e calcule o seu caminho crítico Atividades Descrição Predecessores Duração dias Atividade A Construção das fundações 5 Atividade B Edificação das paredes e vigas A 8 Atividade C Construção do telhado B 10 Atividade D Instalação da parte elétrica B 5 Atividade E Colocação das janelas B 4 Atividade F Colocação dos materiais hidráulicos E 6 Atividade G Pintura da casa CF 3 137 Considerações Finais Ao longo desta Unidade de Aprendizagem você foi desafiado a construir modelos matemáticos que uma vez resolvidos auxiliam o administrador a resolver problemas decisórios complexos Você adquiriu conhecimentos a respeito de várias técnicas de pesquisa operacional Espero que tenha gostado e que siga seu caminho em busca de novos desafios 138 Universidade do Sul de Santa Catarina 139 Referências ANDRADE Eduardo Leopoldino de Introdução à pesquisa operacional métodos e modelos para a análise de decisão 3 ed Rio de Janeiro LTC 2004 COLIN Emerson Pesquisa Operacional 170 aplicações em estratégia finanças logística produção marketing e vendas Rio de Janeiro LTC 2007 CORRAR Luiz J FUNDAÇÃO INSTITUTO DE PESQUISAS CONTÁBEIS Atuariais e Financeiras Coord Pesquisa operacional para decisão em contabilidade e administração contabilometria São Paulo Atlas 2004 DOWNING Douglas CLARK Jeff Estatística aplicada 2 ed São Paulo Saraiva 2005 EVANS James R OLSON David L Introduction to simulation and risk analysis 2 ed Upper Saddle River Prentice Hall 2002 GOLDBARG Marco Cesar LUNA Henrique Pacca L Otimização combinatória e programação linear modelos e algoritmos Rio de Janeiro Campus 2000 HARREL Charles MOTT Jack BATEMAN Robert BOWDEN Royce GOGG Thomas Simulação otimizando os sistemas São Paulo Belge Simulação e Imam 2002 HILLIER Frederick LIEBERMAN Gerald Introdução à Pesquisa Operacional São Paulo McGrawHill 2006 LACHTERMACHER Gerson Pesquisa operacional na tomada de decisões modelagem em Excel Rio de Janeiro Campus 2002 LOPES Ana Lúcia Miranda GALVÃO Ana Lúcia Introdução à pesquisa operacional design instrucional Lígia Maria Soufen Tumolo assistente acadêmico Nágila Cristina Hinckel Roberta de Fátima Martins 3 ed rev e atual Palhoça UnisulVirtual 2010 MATHUR Kamlesh SOLOW Daniel Management Science The art of decision making New Jersey Prentice Hall 1997 MOREIRA Daniel A Pesquisa Operacional Curso Introdutório São Paulo Thomson Learning 2007 140 Universidade do Sul de Santa Catarina OLSON David EVANS James Introduction to Simulation and Risk Analysis 2 ed New Jersey Prentice Hall 2002 PASSOS Eduardo Jose Pedreira Franco dos Programação Linear como Instrumento da Pesquisa Operacional São Paulo Atlas 2008 POWEL STEPHEN BAKER KENNETH A Arte da Modelagem com Planilhas ciência da gestão engenharia de planilhas e arte da modelagem Tradução Amir Kurban Rio de Janeiro LTC 2006 PRADO Darci PERTCPM Belo Horizonte EDG 1998 PRADO Darci Programação linear Belo Horizonte EDG 1998 PRADO Darci Teoria das filas e da simulação Belo Horizonte EDG 1999 RAMALHETE Manuel GUERREIRO Jorge MAGALHÃES Alípio Programação Linear Vol I Lisboa McGrawHill 1984 RENDER Barry STAIR Ralph M BALAKRISHNAN Nagraj Managerial decision modeling with spreadsheets Upper Saddle River Prentice Hall 2003 SOBRAPO Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional Disponível em http wwwsobrapoorgbr Acesso em 04 dez 2014 TAYLOR Bernard W Introduction to management science 8th ed Upper Saddle River Prentice Hall 2004 WINSTON Wayne ALBRIGHT Christian Practical management science Spreadsheet modeling and applications Belmont Duxbury Press 1997 141 Sobre os Professores Conteudistas Ana Lúcia Miranda Lopes Engenheira civil formada pela PUCRS mestre e doutora em Engenharia de Produção pelo PPGEPUFSC É professora de Pesquisa Operacional há 8 anos e professora do Mestrado em Administração da UNISUL Utiliza as técnicas de pesquisa operacional em suas pesquisas com o objetivo de avaliar o desempenho de organizações Tem vários trabalhos publicados nesta área Ana Lúcia Meira da Veiga Galvão É professora da Unisul Virtual e foi professora de Pesquisa Operacional no curso de graduação em Administração das Faculdades EnergiaSC Moacir Fogaça Possui graduação em Engenharia Operacional Eletronica Industrial pela Universidade Presbiteriana Mackenzie 1980 graduação em Tecnologia Eletrônica pela Universidade Presbiteriana Mackenzie 1980 Graduado em Tecnologia em Gestão Financeira pela Unisul em 2009 Graduado em Administração Bacharelado pela Unisul em 20111 MBA pela Fundação Getúlio Vargas 2009 Mestrado em Gestão Empresarial pela Unisul 2003 Atualmente é professor titular da Universidade do Sul de Santa Catarina e coordena o Curso Superior de Tecnologia em Logística na Unisul Virtual Tem experiência na área de Engenharia Elétrica com ênfase em Engenharia Eletrônica e Telecomunicações atuando principalmente nas seguintes áreas logística qualidade internet e ensino a distância Experiência de 20 anos em Telecomunicações e em docência no ensino superior de 13 anos Leciona Na Unisul Virtual e nos Cursos presenciais de Administração e Engenharia de Produção 142 Respostas e Comentários das Atividades de Autoavaliação Capítulo 1 1 O que é pesquisa operacional Pesquise na internet e busque outras definições além da que foi apresentada a você A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais Tendo como foco a tomada de decisões aplica conceitos e métodos de outras áreas científicas para concepção planejamento ou operação de sistemas para atingir seus objetivos Através de desenvolvimentos de base quantitativa A Pesquisa Operacional visa também introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão sem descuidar no entanto dos elementos subjetivos e de enquadramento organizacional que caracterizam os problemas Fonte httpptwikipediaorgwikiPesquisaoperacional 2 Pesquisa na internet o que é cada uma das técnicas de pesquisa operacional Os algoritmos genéticos são uma família de modelos computacionais inspirados na evolução que incorporam uma solução potencial para um problema específico numa estrutura semelhante a de um cromossomo e aplicam operadores de seleção e crossover a essas estruturas de forma a preservar informações críticas relativas à solução do problema Normalmentes os AGs são vistos como otimizadores de funções embora a quantidade de problemas para o qual os AGs se aplicam seja bastante abrangente Fonte httpwwwgtaufrjbrmarciogenetichtml As abordagens multicritério se constituem em formas de modelar os processos de decisão onde entram em jogo uma decisão a ser tomada os eventos desconhecidos que podem afetar os resultados os possíveis cursos de ação e os próprios resultados Estes modelos refletem de maneira suficientemente estável o juízo de valores dos decisores Pesquisa Operacional 143 Dessa forma as abordagens multicritérios funcionam como uma base para discussão principalmente nos casos onde há conflitos entre os decisores ou ainda quando a percepção do problema pelos vários atores envolvidos ainda não está totalmente consolidadaBouyssou1989 em Noronha1998 Seu objetivo portanto é ajudar o decisor a analisar os dados que são intensamente complexos no campo ambiental e buscar a melhor estratégia de gestão do meio ambiente Fonte httpwwwcprmgovbrrehisimposiogoAnalise20da20 Aplicacao20de20Metodos20Multicriterios20de20Apoio20a20 Decisao20na20Gestao20de20Recursos20Hidricospdf Em matemática a cadeia de Markov é um caso particular de processo estocástico Com tempo discreto E apresentando a propriedade de Markov chamada assim em homenagem ao matemático Andrei Andreyevich Markov A definição desta propriedade também chamada de memória markoviana é que os estados anteriores são irrelevantes para a predição dos estados seguintes desde que o estado atual seja conhecido Fonte httpptwikipediaorgwikiCadeiasdeMarkov O método de Análise por Envoltória de Dados DEA do inglês Data Envelopment Analysis é uma metodologia de análise de eficiência que compara uma eficiência revelada tida como eficiência otimizada com a eficiência das unidades analisadas estabelecendo um indicador de avaliação da eficiência da relação insumosprodutos dessas unidades A DEA utilizase da programação matemática para obter avaliações ex post facto da eficiência relativa dos resultados dos gestores quer tenham sido planejados ou executado Fonte httpptwikipediaorgwikiAnC3A1liseporenvoltC3B3ria dedados A Teoria dos Grafos é o ramo da matemática que estuda as propriedades de grafos Um grafo com 6 vértices e 7 arestas 144 Universidade do Sul de Santa Catarina Um grafo é um conjunto de pontos chamados vértices ou nodos ou nós conectados por linhas chamadas de arestas ou arcos A nomenclatura de nodos e arcos está caindo em desuso Fonte httpptwikipediaorgwikiTeoriadosgrafos O principal objetivo do controle de estoque é otimizar o investimento em estoques aumentando o uso eficiente dos meios internos de uma empresa e minimizar as necessidades de capital investido em estoque Marco Aurélio Dias Administração de Materiais 1995 Fonte httpptwikipediaorgwikiControledeestoque Programação dinâmica é um método para a construção de algoritmos para a resolução de problemas computacionais em especial os de otimização combinatória Ela é aplicável à problemas no qual a solução ótima pode ser computada a partir da solução ótima previamente calculada e memorizada de forma a evitar recálculo de outros subproblemas que sobrepostos compõem o problema original Fonte httpptwikipediaorgwikiProgramaC3A7C3A3o dinC3A2mica Programação Linear é uma importante área da optimização por várias razões Muitos problemas práticos em pesquisa operacional podem ser expressos como problemas de programação linear Certos casos especiais de programação linear tais como problemas de network flow e problemas de multicommodity flow são considerados importantes o suficiente para que se tenha gerado muita pesquisa em algoritmos especializados para suas soluções Vários algoritmos para outros tipos de problemas de optimização funcionam resolvendo problemas de PL como subproblemas Historicamente ideias da programação linear inspiraram muitos dos conceitos centrais de teoria da optimização tais como dualidade decomposição e a importância da convexidade e suas generalizações Fonte httpptwikipediaorgwikiProgramaC3A7C3A3olinear Programação nãolinear O termo otimização é empregado às vezes em referência a uma classe específica de problemas de Programação matemática não linear No entanto Otimização pode ser usado para designar Programação matemática de forma tornar o significado do termo mais compreensível Neste sentido optamos por usar Otimização Linear Otimização Inteira Otimização não linear para nomear os problemas classicamente conhecidos como programação linear programação inteira e programação não linear respectivamente Fonte httpwwwmatufgbrbienal2006minisocorrorangelpdf Pesquisa Operacional 145 Redes neuronais redes neurais no Brasil ou mais propriamente Redes neuronais artificiais são sistemas computacionais baseados numa aproximação à computação baseada em ligações Nós simples u neurões neurônios processadores ou unidades são interligados para formar uma rede de nós daí o termo rede neuronal A inspiração original para esta técnica advém do exame das estruturas do cérebro em particular do exame de neurônios Fonte httpptwikipediaorgwikiRedesneurais Em computação simulação consiste em empregar técnicas matemáticas em computadores com o propósito de imitar um processo ou operação do mundo real Desta forma para ser realizada uma simulação é necessário construir um modelo computacional que corresponda à situação real que se deseja simular São alguns casos clássicos que justificam a simulação Para descrever o comportamento de um Sistema A simulação pode ser usada para mostrar como um sistema funciona ao contrário de como as pessoas acreditam que funcione Quando experimentar é dispensioso Em casos em que uma experiência real seria onerosa a simulação pode oferecer bons resultados sem a necessidade de grandes investimentos Quando experimentar não é adequado Por exemplo não é adequado experimentar o sistema de contingência de uma usina nuclear Fonte httpptwikipediaorgwikiSimulaC3A7C3A3o Teoria da decisão é uma área de estudo da matemática discreta relacionada à e de interesse de estudiosos de todos os ramos da ciência engenharia e atividades das ciências sociais Ela está preocupada em como os tomadores de decisão ideais ou reais tomam ou devem tomar decisões e em como as decisões ótimas podem ser alcançadas Fonte httpenwikipediaorgwikiDecisiontheory A teoria das filas é um ramo da probabilidade que estuda a formação de filas através de análises matemáticas precisas e propriedades mensuráveis das filas Ela provê modelos para demonstrar previamente o comportamento de um sistema que ofereça serviços cuja demanda cresce aleatoriamente tornando possível dimensionálo de forma a satisfazer os clientes e ser viável economicamente para o provedor do serviço evitando desperdícios e gargalos Fonte httpptwikipediaorgwikiTeoriadasfilas 146 Universidade do Sul de Santa Catarina Teoria dos Jogos é um ramo da matemática aplicada que estuda situações estratégicas onde jogadores escolhem diferentes ações na tentativa de melhorar seu retorno Inicialmente desenvolvida como ferramenta pra compreender comportamento econômico e depois por Corporação RAND para definir estratégias nucleares a teoria dos jogos é agora usada em diversos campos acadêmicos A partir de 1970 a teoria dos jogos passou a ser aplicada ao estudo do comportamento animal incluindo evolução das espécies por seleção natural Devido a interesse em jogos como o dilema do prisioneiro no qual interesses próprios e racionais prejudicam a todos a teoria dos jogos vem sendo aplicada na ciência política ética filosofia e recentemente no jornalismo área que apresenta inúmeros e diversos jogos tanto competitivos como cooperativos Finalmente a teoria dos jogos despertou a atenção da ciência da computação que a vem utilizando em avanços na inteligência artificial e cibernética Fonte httpptwikipediaorgwikiTeoriadosjogos Capítulo 2 1 Uma lanchonete encomenda uma determinada quantidade de empadas por dia A demanda varia a cada dia mas o gerente da lanchonete tem observado esta demanda e construiu a seguinte tabela Distribuição de Probabilidade da demanda por empadas No de unidades vendidas por dia Probabilidade Probabilidade acumulada Intervalo nos aleatorios 30 010 40 027 50 033 60 03 Cada empada custa à lanchonete R 100 e é vendida a R 200 As empadas que sobram em um dia são doadas a um asilo de idosos A lanchonete compra 50 empadas por dia Com base nestas informações desenvolva um modelo de simulação que calcule o lucro diário provável da empresa Utilize a tabela abaixo para simular 10 dias de movimento da lanchonete Resposta Pesquisa Operacional 147 Distribuição de Probabilidades de demanda por empadas No de unidades vendidas por dia Probabilidade Probabilidade acumulada Intervalo nos aleatórios 30 01 01 0 01 40 027 037 01 037 50 033 07 037 07 60 03 1 07 10 Preço de venda R 200 Custo R 100 Lucro por empada R 100 Dia No aleatório Demanda Receita R Custo R Lucro R 1 0795429 60 120 50 50 2 01228 40 80 50 30 3 02229 40 80 50 30 4 04468 50 100 50 50 5 03055 40 80 50 30 6 08294 60 120 50 50 7 03787 50 100 50 50 8 07943 60 120 50 50 9 0865 60 120 50 50 10 09314 60 120 50 50 Média 44 Desviopadrão 966 2 O número de lâmpadas halógenas vendidas por semana em uma loja de materiais elétricos tem a seguinte distribuição de probabilidade Mostre como usar números aleatórios para simular resultados para esta distribuição Resposta Distribuição de Probabilidades de demanda por lâmpadas Número de lâmpadas Probabilidade Probabilidade acumulada Intervalo nos aleatórios 0 015 015 0015 1 02 035 015035 2 035 07 03507 3 015 085 07085 4 01 095 085095 5 005 1 09510 148 Universidade do Sul de Santa Catarina Evento Noaleatório No de lâmpadas vendidas 1 0860438 4 2 057595 2 3 05743 2 4 08976 4 5 0581 2 6 06202 2 7 06819 2 8 03114 1 9 00143 0 10 01064 0 Média 19 3 CORRAR THEÓFILO 2004 Uma empresa de varejo do ramo farmacêutico deseja simular sua demanda diária de determinado item do estoque vitamina C Para isto procedeu ao levantamento de dados históricos sobre esta demanda O relatório de vendas dos últimos 100 dias apontou o seguinte comportamento para a demanda diária de frascos de vitamina C Com base nestes dados efetue a simulação da demanda por frascos de vitamina C obs faça a sua simulação utilizando a 5ª linha da tabela de nos aleatório Resposta Demanda Diária n0 de frascos Freqüência n0 de dias Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo nos aleatorios 10 30 03 03 003 15 30 03 06 0306 20 40 04 1 061 Total 100 Evento Número aleatório Demanda 1 0889193 20 2 097623 20 3 07441 20 Pesquisa Operacional 149 4 06789 20 5 0166 10 6 00345 10 7 00066 10 8 05449 15 9 0085 10 10 06382 20 Média 155 4 A tabela abaixo mostra as probabilidades da distribuição de dividendos pela Usiminas em US milhões para os próximos anos Construa uma simulação que indique quanto a Usiminas irá distribuir na forma de dividendos no próximo ano Calcule a média e o desvio padrão dos resultados Dividendos US milhões Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo nos aleatorios 50 04 04 004 100 01 05 0405 150 03 08 0508 200 02 1 081 Evento Número aleatório Dividendo 1 0210096 R 5000 2 056622 R 15000 3 00711 R 5000 4 05213 R 15000 5 09204 R 20000 6 06073 R 15000 7 03871 R 5000 8 05316 R 15000 9 06437 R 15000 10 01376 R 5000 Média R 11500 150 Universidade do Sul de Santa Catarina 5 O gestor de uma empresa que produz cadeiras de dentista pretende controlar melhor o atendimento da demanda diária de seus produtos empregando um modelo de simulação O relatório de vendas de um dos tipos de cadeiras comercializadas pela empresa apresentou nos últimos dois anos uma demanda mensal que varia entre 20 e 28 unidades tabela 1 Considerando as informações desta tabela construa uma simulação e compute o número médio mensal de cadeiras a serem vendidas no próximo mês Demanda Mensal por cadeiras do tipo A Quantidade demandada de cadeiras Número de meses no ano frequência Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo nos aleatorios 20 3 013 013 0 013 22 6 025 038 013 038 24 8 033 071 038 071 26 4 017 088 071 088 28 3 013 100 088 1 Total 24 Probabilidade 324 Tabela 2 Simulação obs inicie a simulação na 10ª linha da tabela de números aleatórios Evento No Aleatório Demanda 1 0736661 26 2 095819 28 3 05568 24 4 01205 20 5 06973 24 6 03881 24 7 02172 22 8 00316 20 9 08494 26 10 08428 26 Média 24 Pesquisa Operacional 151 6 Uma microempresa especializada na confecção de calças de jeans tem seus custos variáveis variando de acordo com alguns fatores tais como custo do jeans no distribuidor custos de mão de obra frete entre outros O preço de venda e a demanda são também variáveis aleatórias que variam de acordo com o preço dos competidores As distribuições de probabilidade destas variáveis são descritas abaixo Sabese que o custo fixo CF da microempresa é de R900 por mês Construa uma simulação de 10 linhas de produção e vendas e calcule o lucro médio mensal da empresa Tabela 1 Demanda Mensal Observada Volume de Vendas demanda Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo nos aleatorios 300 012 012 0012 400 018 03 01203 500 02 05 0305 600 023 073 05073 700 017 09 07309 800 01 1 091 Tabela 2 Preço de Venda Preço de Venda R Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo nos aleatorios 22 007 007 0007 23 016 023 007023 24 024 047 023047 25 025 072 047072 26 018 09 07209 27 01 1 091 1 Tabela 3 Custos Variáveis Custo Variável R Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo nos aleatórios 8 017 017 0017 9 032 049 017049 10 029 078 049078 11 014 092 078092 12 008 1 0921 1 152 Universidade do Sul de Santa Catarina Tabela 4 Simulação Obs inicie na 2ª linha da tabela de números aleatórios Evento No aleatório Preço de Venda Pv No aleatório Custo Variável Cv No aleatório Demanda q Lucro Pv Cvq CF 1 0210096 R 2300 0860438 R 1100 0620942 600 R 630000 2 056622 R 2500 057595 R 1000 047836 500 R 660000 3 00711 R 2300 05743 R 1000 01793 400 R 430000 4 05213 R 2500 08976 R 1100 02349 400 R 470000 5 09204 R 2700 0581 R 1000 00441 300 R 420000 6 06073 R 2500 06202 R 1000 02918 400 R 510000 7 03871 R 2400 06819 R 1000 05552 600 R 750000 8 05316 R 2500 03114 R 900 04174 500 R 710000 9 06437 R 2500 00143 R 800 04314 500 R 760000 10 01376 R 2300 01064 R 800 09456 800 R 1110000 Lucro Médio R 645000 7 Traduzido e adaptado de Render Stair e Balakrischnan 2003 Jucélio um estudante de graduação em Administração tem tido problemas para prever sua renda mensal bem como a quantia que sobrará a cada mês Jucélio recebe um salário fixo advindo de uma bolsa de pesquisa mais algum dinheiro extra que ele ganha lecionando aulas particulares de pesquisa operacional Suas chances de várias níveis de renda são mostradas na tabela abaixo Renda Mensal R Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo nos aleatorios 350 040 040 004 400 020 060 0406 450 030 090 0609 500 010 10 0910 Gastos Mensais R Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo nos aleatorios 300 01 01 001 400 045 055 01055 500 03 085 055085 600 015 1 08510 0 Pesquisa Operacional 153 Tabela para a simulação Inicie na 5ª linha da tabela Anexo 1 Mês No aleatório Renda No aleatório Gastos Saldo na conta R 0 R 60000 1 0889193 R 45000 0284 R 40000 R 65000 2 097623 R 50000 09382 R 60000 R 55000 3 07441 R 45000 07199 R 50000 R 50000 4 06789 R 45000 03808 R 40000 R 55000 5 0166 R 35000 00439 R 30000 R 60000 6 00345 R 35000 04093 R 40000 R 55000 7 00066 R 35000 02048 R 40000 R 50000 8 05449 R 40000 01385 R 40000 R 50000 9 0085 R 35000 0831563 R 50000 R 35000 10 06382 R 45000 099475 R 60000 R 20000 11 0633823 R 45000 06982 R 50000 R 15000 12 098545 R 50000 00287 R 30000 R 35000 8 traduzido e adaptado de Taylor B 2004 O gerente da Computer World uma loja que vende notebooks e equipamentos relacionados está tentando determinar quantos computadores a loja deveria solicitar cada semana Uma primeira consideração nesta decisão é o número médio de notebooks que a loja venderá por semana e a receita média gerada pela venda dos mesmos Cada notebook é vendido por R 430000 O Preço de Venda Pv O número de notebooks vendidos por semana é uma variável randômica aleatória que varia de 0 a 4 unidades Com base nos arquivos da empresa o gerente pôde determinar a frequência da demanda por notebooks das últimas 100 semanas descrita na tabela abaixo Com base nestes dados monte uma simulação de 10 semanas e responda ao gerente a o número médio de computadores vendidos por semana b a receita média obtida por semana Tabela 1 Demanda Observada Demanda de Notebooks por semana Frequência Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo nos aleatórios 0 20 02 02 0 02 1 40 04 06 02 06 2 20 02 08 06 08 3 10 01 09 08 09 4 10 01 1 09 1 Total 100 154 Universidade do Sul de Santa Catarina Tabela 2 Simulação observação inicie na 5a linha da tabela de números aleatórios Semana N0 Aleatório Demanda q Receita Pvq 1 0889193 3 R 1290000 2 097623 4 R 1720000 3 07441 2 R 860000 4 06789 2 R 860000 5 0166 0 R 6 00345 0 R 7 00066 0 R 8 05449 1 R 430000 9 0085 0 R 10 06382 2 R 860000 Média 14 R 602000 9 AndradeL 2004 Uma empresa deseja lançar um produto no mercado e para isso realizou uma pesquisa da preferência dos consumidores Foi constatado que há uma probabilidade de 40 do produto ser bem aceito e portanto uma probabilidade de 60 de que a aceitação fique abaixo das expectativas No caso de ser o produto bem aceito poderão ocorrer lucros segundo os dados da Tabela 1 Em caso contrário os lucros poderão ocorrer conforme a distribuição de probabilidades da Tabela 2 Qual o lucro médio a empresa pode esperar Com base no lucro médio e no desviopadrão avalie o risco da decisão Resposta Tabela 1 Lucro c Boa Aceitação do Produto Lucro Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo nosaleatorios 10 10 01 001 12 15 025 01025 14 20 045 025045 16 30 075 045075 18 15 09 07509 20 10 1 0910 Pesquisa Operacional 155 Tabela 2 Lucro c Má Aceitação do Produto Lucro Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo nosaleatorios 4 10 01 001 6 20 03 0103 8 30 06 0306 10 20 08 0608 12 15 095 08095 14 5 1 09510 Aceitação do Produto Probabilidade Probabilidade Acumulada Intervalo Nos Aleatorios Boa 04 04 004 Má 06 1 0410 Observe que primeiro temos que saber se a aceitação do produto foi boa ou má Posteriormente devese sortear novos números aleatórios para chegarmos ao lucro Tabela 3 Simulação observação inicie na 2a linha da tabela de números aleatórios Evento N0 aleatório Aceitação N0 aleatório Lucro R 1 0210096 Boa 0860438 18 2 056622 Má 057595 8 3 00711 Boa 05742 16 4 05213 Má 08976 12 5 09204 Má 0581 8 6 06073 Má 06202 10 7 03871 Boa 06819 16 8 05316 Má 03114 8 9 06437 Má 00143 4 10 01376 Boa 01064 12 Lucro Médio R 112 Desviopadrão R 444 A empresa não terá prejuízo com o lançamento deste produto pois alcançará um lucro médio de R 1120 Não apresenta portanto risco muito elevado 156 Universidade do Sul de Santa Catarina Capítulo 3 1 Suponha que uma empresa tenha intenção de produzir 5 tipos de calçados diferentes A B C D e E que poderá vender respectivamente por US 10 12 15 13 e 14 O Quadro abaixo mostra as quantidades de couro tempo de máquina e couraça imperflex necessárias para produzir um par de calçado assim como os custos por unidade e as demandas pelos diferentes tipos de calçado Sabendo que a empresa dispõe todo mês de 390 m2 de couro 96 m2 de couraça imperflex e 3200 min de tempo de máquina construa um modelo que diga ao empresário quantos pares de cada tipo de calçado ele deverá produzir mensalmente para maximizar seu lucro Tipos de calçados Demanda Tempo de Máquina min Couro m2 Couraça Imperflex m2 Custo US A 390 75 013 00320 553 B 33 15 014 00377 664 C 20 15 019 00489 830 D 46 15 017 00413 719 E 11 15 018 00443 774 Resposta Variáveis de decisão QA No de pares de calçado do tipo A produzir por mês QB No de pares de calçado do tipo B produzir por mês QC No de pares de calçado do tipo C produzir por mês QD No de pares de calçado do tipo D produzir por mês QE No de pares de calçado do tipo E produzir por mês Modelo Maximizar 447QA 536QB 67QC 581QD 626QE sa Lim tempo de máq 75QA 15QB 15QC 15QD 15QE 3200 Lim Couro 013QA 014QB 019QC 017QD 018QE 390 Lim Couraça 0032QA 00377QB 00489QC 00413QD 00443QE 96 Demanda A QA 390 Demanda B QB 33 Pesquisa Operacional 157 Demanda C QC 20 Demanda D QD 46 Demanda D QE 11 QA QB QC QD QE 0 2 A LCL Motores Ltda LACHTERMACHER 2002 fábrica de motores especiais recebeu recentemente R 90000 em pedidos de seus três tipos de motores Cada motor necessita de um determinado número de horas de trabalho no setor de montagem e no setor de acabamento que está descrito abaixo A LCL pode terceirizar parte de sua produção A tabela abaixo resume estes dados Modelo 1 2 3 Disponibilidade Demanda unidades 3000 2500 500 Montagem hunid 15 2 05 9000 horas Acabamento hunid 25 1 5 10000 horas Custo de Produção unid 45 80 120 Custo de compra do terceirizado 65 92 160 A LCL Motores deseja determinar quantos motores devem ser produzidos em sua fábrica e quantos devem ser comprados da terceirizada para atender à demanda e obter o menor custo total possível Resposta Variáveis de decisão P1 número de motores do tipo 1 produzir P2 número de motores do tipo 2 produzir P3 número de motores do tipo 3 produzir C1 número de motores do tipo 1 comprar C2 número de motores do tipo 2 comprar C3 número de motores do tipo 3 comprar Modelo Minimizar 45P1 80P2 120P3 65C1 92C2 160C3 sa 158 Universidade do Sul de Santa Catarina Horas montagem 15P1 2P2 05P3 9000 Horas acabamento 25P1 1P2 5P3 10000 Demanda motor 1 P1 C1 3000 Demanda motor 2 P2 C2 2500 Demanda motor 3 P3 C3 500 P1P2P3C1C2C3 0 3 Uma metalúrgica compra ferro velho de três fornecedores diferentes AB e C Cada carga do fornecedor A contém 20 ton de ferro 20 ton de alumínio e 13 ton de cobre O custo da carga é de R 40000 Cada carga do fornecedor B contém 13 ton de ferro 24 ton de alumínio e 19 ton de cobre O custo da carga é de R 58000 Cada carga do fornecedor C contém 06 ton de ferro 35 ton de alumínio e 09 ton de cobre O custo da carga é de R 39000 A metalurgia precisa adquirir para a próxima semana pelo menos 25 toneladas de cada um dos metais citados ferro alumínio e cobre Quantas cargas devem ser adquiridas de cada fornecedor para minimizar o custo de aquisição dos metais Variáveis de decisão QFA número de cargas comprar do fornecedor A para atender a demanda da próxima semana QFB número de cargas comprar do fornecedor B para atender a demanda da próxima semana QFC número de cargas comprar do fornecedor C para atender a demanda da próxima semana Modelo Minimizar 400 QFA 580 QFB 390 QFC s a Ferro 2 QFA 13 QFB 06 QFC 25 Alumínio 2 QFA 24 QFB 35 QFC 25 Cobre 13 QFA 19 QFB 09 QFC 25 QFA QFBQFC 0 Pesquisa Operacional 159 4 Uma associação de pescadores situada perto de Florianópolis entrega sua pesca para as empresas de processamento de peixe utilizando diferentes tipos de caminhão Tendo fechado recentemente um contrato para começar a fornecer 1000 toneladas de peixe por mês para empresas catarinenses necessita criar um frota para atender esta demanda A companhia tem 200000 disponíveis obtidos de uma linha de financiamento do BNDES para criar esta frota consistindo de três tipos diferentes de caminhões A capacidade custo de operação e número máximo de viagens para cada tipo de caminhão são dados na tabela abaixo Tipo de Caminhão Capacidade ton Custo Compra Custo por viagem N0 máximo de viagens por mês 1 2 3 6 3 2 50000 40000 25000 800 650 500 20 25 30 Sabese que o administrador da associação de pescadores tem em mente as seguintes regras a não comprar mais do que 10 caminhões b ao menos 3 caminhões do tipo 3 devem ser comprados eles são necessários para rotas de viagens curtas e demanda baixa Formule um modelo para determinar a composição da frota que minimiza o custo mensal de operação enquanto satisfaz a demanda ficando dentro do orçamento e satisfazendo os outros requerimentos da companhia Variáveis de decisão Q1 número de caminhões do tipo 1 comprar Q2 número de caminhões do tipo 2 comprar Q3 número de caminhões do tipo 3 comprar Construção da função objetivo Queremos determinar a composição da frota que minimiza o custo mensal de operação portanto devemos multiplicar o custo de cada viagem com o número de viagens mensais que cada caminhão faz assim Caminhão 1 800 x 20 R 16000 Caminhão 2 650 x 25 R 16250 Caminhão 3 500 x 30 R 15000 160 Universidade do Sul de Santa Catarina Modelo Minimizar 16000 Q1 16250 Q2 15000 Q3 s a Dinheiro 50000Q1 40000Q2 25000Q3 200000 Capacidade x viagens 120Q1 75Q2 60Q3 1000 Regra a Q1 Q2 Q3 10 Regra b Q3 3 Q1 Q2Q3 0 5 Determinado produtor deseja saber qual seria a melhor alocação de suas terras de tal forma que seu lucro seja máximo Sabese que suas terras estão divididas em três lotes sendo 500 800 e 700 hectares suas respectivas áreas Sabese também que as possíveis culturas a serem implantadas seriam tomate feijão e arroz que oferecem lucros unitários ha de 600 450 e 300 e que as terras não comportam mais do que 900 ha de tomate 700 ha de feijão e 1000 ha de arroz Deve também ser considerado que quaisquer das três culturas podem ser implantadas em quaisquer lotes e que pelo menos 60 de cada lote seja utilizado Formule um modelo que indique quanto plantar de cada tipo de cultura em cada lote de modo a maximizar o lucro do produtor Resposta Variáveis de Decisão QT1 Quantos hectares do lote 1 plantar com tomate QT2 Quantos hectares do lote 2 plantar com tomate QT3 Quantos hectares do lote 3 plantar com tomate QF1 Quantos hectares do lote 1 plantar com feijão QF2 Quantos hectares do lote 2 plantar com feijão QF3 Quantos hectares do lote 3 plantar com feijão QA1 Quantos hectares do lote 1 plantar com arroz QA2 Quantos hectares do lote 2 plantar com arroz QA3 Quantos hectares do lote 3 plantar com arroz Pesquisa Operacional 161 Modelo Maximizar 600QT1 600QT2 600QT3 450QF1 450QF2 450QF3 300QA1 300QA2 300QA3 sa Limite Lote 1 QT1 QF1 QA1 500 Limite Lote 2 QT2 QF2 QA2 800 Limite Lote 3 QT3 QF3 QA3 700 Lim tomate QT1 QT2 QT3 900 Lim feijão QF1 QF2 QF3 700 Lim arroz QA1 QA2 QA3 1000 Utilização lote 1 QT1 QF1 QA1 300 Utilização lote 2 QT2 QF2 QA2 480 Utilização lote 3 QT3 QF3 QA3 420 QT1QT2QT3QF1QF2QF3QA1QA2QA3 0 6 HG Corretora de Investimentos situada em São Paulo recebe um cliente que dispõe de 3 milhões Este cliente deseja montar uma carteira de ações que lhe forneça o maior retorno esperado no próximo ano O corretor escalado para atender este cliente lhe apresenta uma lista de ações que segundo ele estão em ponto de compra Sua previsão é de que as ações irão fornecer o retorno apresentado na tabela abaixo Seus preços unitários são também apresentados nesta tabela Nome das Empresas Retorno Anual Esperado Custo unitário das ações R Petrobrás PN 9 40 Embraer ON 11 54 Gerdau PN 14 68 Votorantin PN 28 100 Unibanco PN 18 70 Bradesco PN 10 51 Itaú ON 22 90 Para a realização deste investimento o cliente impõe duas condições 1 que pelo menos R50000000 seja alocado em ações de bancos e 2 que pelo menos R 30000000 seja alocado na Petrobrás por saber que a mesma é uma boa pagadora de dividendos 162 Universidade do Sul de Santa Catarina Formule o modelo de programação linear que responda ao cliente da corretora quanto alocar em cada ativo ações para maximizar o retorno total esperado ao mesmo tempo que obedece as condições impostas Resposta Variáveis de decisão QP Nº de ações da Petrobrás comprar para compor a carteira do cliente QE Nº de ações da Embraer comprar para compor a carteira do cliente QG Nº de ações da Gerdau comprar para compor a carteira do cliente QV Nº de ações da Votorantin comprar para compor a carteira do cliente QU Nº de ações do Unibanco comprar para compor a carteira do cliente QB Nº de ações do Bradesco comprar para compor a carteira do cliente QI Nº de ações do Itaú comprar para compor a carteira do cliente Construção da Função objetivo IMP o retorno do investimento calculado na função objetivo será a taxa de retorno multiplicada pelo custo da ação Portanto teremos Petrobrás 009 x 40 036 Embraer ON 011 x 54 594 Gerdau PN 014 x 68 952 Votorantin PN 028 x 100 28 Unibanco PN 018 x 70 126 Bradesco PN 010 x 51 51 Itaú ON 022 x 90 198 Modelo Maximizar 36QP 594QE 952QG 28QV 126QU 51QB 198QI sa Limite recursos 40QP 54QE 68QG 100QV 70QU 51QB 90QI 3000000 Imposição Bancos 70QU 51QB 90QI 500000 Pesquisa Operacional 163 Imposição Petrobrás 40QP 300000 QE QG QV QU QB QI 0 7 adaptado de Ramalhete 2000 Uma agroindústria pretende determinar as quantidades de cada ingrediente A e B que devem ser misturadas para formar uma ração animal balanceada em termos de carbohidratos vitaminas e proteínas a um custo mínimo Os dados relativos ao custo de cada ingrediente as quantidades mínimas diárias de ingredientes nutritivos básicos a fornecer a cada animal bem como as quantidades destes existentes em A e B gkg constam no quadro abaixo Ingredientes nutritivos Ingrediente A Ingrediente B Quantidade Mínima Requeridagramas Carbohidratosgkg 20 50 200 Vitaminasgkg 50 10 150 Proteínasgkg 30 30 210 Custo kg 10 5 Formule o modelo de programação linear Resposta Variáveis de decisão QA quantidade kg do ingrediente A utilizar na mistura QB quantidade kg do ingrediente B utilizar na mistura Modelo Minimizar Custo 10QA 5QB sa Minimo carbohidrato 20QA 50QB 200 Minimo vitaminas 50QA 10QB 150 Minimo proteinas 30QA 30QB 210 QAQB0 8 Corrar e Theófilo 2004 modificado Na qualidade de assessor de investimentos da Fundabanc uma fundação de empregados de determinado banco você foi chamado para estudar a melhor forma de aplicar os recursos disponíveis A necessidade de limitar os riscos da empresa conduz a três tipos de aplicações ações preferenciais ações de companhias de utilidade pública e títulos da dívida pública Na composição da carteira devem ser levadas em conta as restrições impostas pela legislação e normas vigentes descritas abaixo 164 Universidade do Sul de Santa Catarina Dado que a empresa tem disponível R 10000000 formule um modelo que indique à Fundabanc quanto deve ser aplicado em cada investimento de maneira a maximizar o retorno esperado ao mesmo tempo que obedece as restrições impostas abaixo As taxas de retorno esperadas em estão descritas na tabela abaixo Investimento Símbolo Taxa de retorno esperada Ações da Comgas COMG 43 Ações da Cesp CESP 37 Ações da Eletropaulo ELP 18 Ações da Bematech BEM 28 Títulos públicos federais TPF 15 Títulos públicos municipais TPM 24 Imposições os títulos públicos federais e municipais não podem representar juntos menos do que R 30000 dos investimentos as ações preferenciais da Bematech estão limitadas a R 2500000 dos investimentos as ações de companhias de utilidade pública devem contabilizar pelo menos R 30000 dos investimentos Resposta Variáveis de decisão QCO Quanto R investir nas ações da Comgás QCE Quanto R investir nas ações da Cesp QEL Quanto R investir nas ações da Eletropaulo QBE Quanto R investir nas ações da Bematech QTF Quanto R investir em títulos públicos federais QTM Quanto R investir em títulos públicos municipais Modelo Maximizar retorno 0043QCO 0037QCE 0018QEL 0028QBE 0015 QTF 0024QTM sa Limite recursos QCO QCE QEL QBE QTF QTM 100000 Pesquisa Operacional 165 Imposição títulos QTF QTM 30000 Imposição Bematech QBE 25000 Imposição utilidade pública QCO QCE QEL 30000 QCO QCE QEL QBE QTF QTM 0 9 Lachtermacher 2002 A LCL Investimentos SA gerencia recursos de terceiros através da escolha de carteiras de investimento para diversos clientes baseados em títulos diversos Um de seus clientes exige que não mais do que 25 do total aplicado deve ser investido em um único investimento um valor superior a 50 do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade maiores que dez anos o total aplicado em títulos de alto risco deve ser no máximo de 50 do total investido A tabela abaixo mostra os dados dos títulos selecionados Determine qual percentual do total deve ser aplicado em cada tipo de título de maneira a maximizar o retorno anual Retorno anual Anos para vencimento Risco Título 1 87 15 1 Muito Baixo Título 2 95 12 3 Regular Título 3 12 8 4 Alto Título 4 9 7 2 Baixo Título 5 13 11 4 Alto Título 6 20 5 5 Muito Alto Resposta Variáveis de decisão T1 percentual da aplicação alocada no título 1 T2 percentual da aplicação alocada no título 2 T3 percentual da aplicação alocada no título 3 T4 percentual da aplicação alocada no título 4 T5 percentual da aplicação alocada no título 5 T6 percentual da aplicação alocada no título 6 Modelo 166 Universidade do Sul de Santa Catarina Maximizar retorno 0087T1 0095T2 012T3 009T4 013T5 020T6 sa Limite título 1 T1 025 Limite título 2 T2 025 Limite título 3 T3 025 Limite título 4 T4 025 Limite título 5 T5 025 Limite título 6 T6 025 Mínimo maturidade T1 T2 T5 050 Máximo risco T3 T5 T6 050 T1 T2 T3 T4 T5 T6 0 Capítulo 4 1 A empresa Natural tem 3 engarrafadoras de água mineral que abastecem diretamente quatro supermercados No mês passado entregou 5400 caixas de água para estes supermercados O transporte é terceirizado e o seu custo no mês passado foi de R2460000 Isto representa quase 55 do faturamento da Natural Devido à participação muito elevada do custo com transporte no custo total da empresa sua equipe de consultores foi chamada A Natural quer saber se existe uma maneira de gastar menos com transporte aumentando então o lucro da empresa Observe que a hipótese de baixar os preços cobrados pela terceirizada não é um opção O administrador não teve êxito e concluiu e que esta empresa transportadora é ainda a de menor custo para a Natural Sua equipe então considera que a única maneira de baixar o custo total com transporte é repensando o plano de transporte observando é claro as demandas de cada supermercado e capacidades das unidades engarrafadoras Tabela 44 Os dados relativos aos custos de transporte são os descritos abaixo Com base nestes dados formule um novo plano de transporte para o próximo mês que leve ao custo mínimo possível Pesquisa Operacional 167 Tabela 44 Custos de Transporte Rcaixa DepósitoEngarrafadora D1 D2 D3 D4 Capac em cxmês EA 5 3 2 6 1700 EB 4 7 8 10 2000 EC 6 5 3 8 1700 Demanda mês passado caixas 1700 1000 1500 1200 Resposta Desenhando o Grafo Definindo as Variáveis de Decisão XA1 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 1 XA2 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 2 XA3 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 3 XA4 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 4 XB1 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 1 168 Universidade do Sul de Santa Catarina XB2 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 2 XB3 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 3 XB4 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 4 XC1 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 1 XC2 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 2 XC3 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 3 XC4 número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 4 Ou de maneira mais geral Xij número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora i iABC para o supermercado j j1234 Modelando a Função Objetivo Minimizar Custo Total de Transporte Custo de transportar caixas da engarrafadora A para os supermercados 1234 custo de transportar caixas da engarrafadora B para os supermercados 1234 custo de transportar caixas da engarrafadora C para os supermercados 1234 Ou seja Min Custo 5XA1 3XA2 2XA3 6XA4 4XB1 7XB2 8XB3 10XB4 6XC1 5XC2 3XC3 8XC4 Modelando as Restrições Restrições de Produção ProdEA XA1 XA2 XA3 XA4 1700 ProdEB XB1 XB2 XB3 XB4 2000 ProdEC XC1 XC2 XC3 XC4 1700 Pesquisa Operacional 169 Restrições de Demanda DemD1 XA1 XB1 XC1 1700 DemD2 XA2 XB2 XC2 1000 DemD3 XA3 XB3 XC3 1500 DemD4 XA4 XB4 XC4 1200 Restrições Lógicas XA1 XA2 XA3 XA4 XB1 XB2 XB3 XB4 XC1 XC2 XC3 XC4 0 Modelo Final Min Custo 5XA1 3XA2 2XA3 6XA4 4XB1 7XB2 8XB3 10XB4 6XC1 5XC2 3XC3 8XC4 sa ProdEA XA1 XA2 XA3 XA4 1700 ProdEB XB1 XB2 XB3 XB4 2000 ProdEC XC1 XC2 XC3 XC4 1700 DemD1 XA1 XB1 XC1 1700 DemD2 XA2 XB2 XC2 1000 DemD3 XA3 XB3 XC3 1500 DemD4 XA4 XB4 XC4 1200 XA1 XA2 XA3 XA4 XB1 XB2 XB3 XB4 XC1 XC2 XC3 XC4 0 O interessante neste exercício é que existe mais de uma combinação possível para chegar ao custo mínimo de R 2310000 2 A empresa SOGRÃOS compra grãos arroz feijão etc em 3 regiões produtoras localizadas no interior de Santa Catarina e os deposita em três centros de distribuição CD1CD2CD3 para posterior comercialização Esta compra e entrega aos centros de distribuição tem um custo elevado para a Só Grãos e é realizada por uma empresa terceirizada A tabela abaixo mostra os custos de transporte praticados por esta terceirizada Rton transportada 170 Universidade do Sul de Santa Catarina A empresa precisa definir à terceirizada quantas toneladas de grãos esta deve transportar de cada região produtora para cada Centro de Distribuição a cada semana cujas capacidades de armazenagem são CD1 150 ton CD2 380 ton e CD3 420 toneladas de grãos É bastante claro que esta definição deve ser a que proporciona à empresa o menor custo total de transporte Formule o modelo sabendo que as região produtoras A B e C entregam à empresa no máximo 310 500 e 200 toneladas de grãos a cada semana respectivamente Tabela 45 Custo de Transporte em Rtoneladas transportadas Regiões de Produção CDs CD1 CD2 CD3 A 7 12 14 B 8 11 13 C 6 10 9 Resposta Para a construção de um modelo de transportes podese iniciar pelo grafo que representa este problema como segue Representação Gráfica da Atividade de Autoavaliação 2 Definindo as variáveis de decisão QA1Quantidade em toneladas a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 1 Pesquisa Operacional 171 QA2Quantidade em toneladas a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 2 QA3Quantidade em toneladas a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 3 QB1Quantidade em toneladas a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 1 QB2Quantidade em toneladas a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 2 QB3Quantidade em toneladas a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 3 QC1Quantidade em toneladas a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 1 QC2Quantidade em toneladas a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 2 QC3Quantidade em toneladas a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 3 Ou Qij Quantidade em toneladas a ser transportada da região produtora i iABC para o centro de distribuição j 123 Modelando a Função Objetivo O objetivo da empresa SG é o de obter o menor custo possível com o transporte de grãos das três regiões produtoras para os três CDs Temse então Min Custo 7QA1 12QA2 14QA3 8QB1 11QB2 13QB3 6QC1 10QC2 9QC3 Modelando as restrições As restrições que representam o problema do exemplo 32 devem obedecer as seguintes regras 1 Não pode sair mais produto toneladas de grãos das regiões produtoras do que elas tem disponível 2 Os centros de distribuição devem receber toneladas de grãos tudo que lhes é possível armazenar Então Restrições de produção 172 Universidade do Sul de Santa Catarina CapRPA QA1 QA2 QA3 310 CapRPB QB1 QB2 QB3 500 CapRPC QC1 QC2 QC3 200 Restrições de capacidade de armazenagem CapCD1 QA1 QB1 QC1 150 CapCD2 QA2 QB2 QC2 380 CapCD3 QA3 QB3 QC3 420 Restrições Lógicas QA1 QA2 QA3 QB1 QB2 QB3 QC1 QC2 QC3 0 Modelo Final Min Custo 7QA1 12QA2 14QA3 8QB1 11QB2 13QB3 6QC1 10QC2 9QC3 st CapRPA QA1 QA2 QA3 310 CapRPB QB1 QB2 QB3 500 CapRPC QC1 QC2 QC3 200 CapCD1 QA1 QB1 QC1 150 CapCD2 QA2 QB2 QC2 380 CapCD3 QA3 QB3 QC3 420 QA1 QA2 QA3 QB1 QB2 QB3 QC1 QC2 QC3 0 3 A Transportadora Continental é responsável pela distribuição de produtos de uma indústria de refrigerantes que possui duas fábricas e três depósitos A administração da distribuidora está empenhada em reduzir ao mínimo possível os custos de transporte dos produtos das fábricas para os depósitos Visando à modelagem deste problema como um problema de programação linear o controller da fábrica reuniu os dados constantes das tabelas abaixo e que correspondem aos custos de transporte de cada fábrica até cada depósito Formule o modelo que indique à administração da distribuidora quanto transportar de cada fábrica para cada depósito de maneira a minimizar o custo de transporte Pesquisa Operacional 173 Tabela 46 Dados de custo e capacidades Depósitos Capac Fábricas caixas Fábricas 1 2 3 1 4 5 3 1500 2 6 7 4 3000 Demanda dos Depósitos caixas 2000 1500 1000 Resposta Para a construção de um modelo de transporte podese iniciar pelo grafo que representa este problema Variáveis de Decisão Q11 número de caixas transportar da fábrica 1 para o depósito 1 Q12 número de caixas transportar da fábrica 1 para o depósito 2 Q13 número de caixas transportar da fábrica 1 para o depósito 3 Q21 número de caixas transportar da fábrica 2 para o depósito 1 Q22 número de caixas transportar da fábrica 2 para o depósito 2 Q23 número de caixas transportar da fábrica 2 para o depósito 3 174 Universidade do Sul de Santa Catarina Modelo Minimizar custo 4Q11 5Q12 3Q13 6Q21 7Q22 4Q23 sa Capacidade fab 1 Q11 Q12 Q13 1500 Capacidade fab 2 Q21 Q22 Q23 3000 Capacidade dep 1 Q11 Q21 2000 Capacidade dep 2 Q12 Q22 1500 Capacidade dep 3 Q13 Q23 1000 Q11Q12Q13Q21Q22Q23 0 4 Um intermediário abastece três feirantes que operam em cidades diferentes A B e C com ovos que adquire em quatro granjeiros localizados em cidades diferentes IIIIII e IV Os preços pagos pelo intermediário para os granjeiros não tem diferença entre si do mesmo modo quanto aos preços que os feirantes lhe pagam O intermediário só consegue algum lucro fazendo com que o seu custo de transporte seja o menor possível O quadro abaixo dá o custo de transporte entre os granjeiros e os feirantes em Rdúzia de ovos O quadro também mostra as quantidades de ovos que cada granjeiro pode fornecer na próxima semana e as encomendas de ovos dos feirantes Tabela 47 Custo de transporte Rdúzia Granja Feirante A B C Oferta dz I 035 027 033 1700 II 037 025 038 1100 III 041 032 038 2000 IV 036 022 039 2000 Encomendas dz 1250 1550 2300 Formule o problema de atender as encomendas a partir das ofertas de modo a minimizar o custo Não esqueça de explicar o significado das suas variáveis Resposta Para a construção de um modelo de transporte podese iniciar pelo grafo que representa este problema Pesquisa Operacional 175 Variáveis de decisão Qij N0 de dúzias de ovos transportar da granja iiIIIIIIIV para o feirante jjABC Modelo Minimizar custo 035QIA 027QIB 033QIC 037QIIA 025QIIB 038QIIC 041QIIIA 032QIIIB 038QIIIC 036QIVA 022QIVB 039QIVC sa Oferta Granja I QIA QIB QIC 1700 Oferta Granja II QIIA QIIB QIIC 1100 Oferta Granja III QIIIA QIIIB QIIIC 2000 Oferta Granja IV QIVA QIVB QIVC 2000 Demanda feirante A QIA QIIA QIIIA QIVA 1250 Demanda feirante B QIB QIIB QIIIB QIVB 1550 Demanda feirante C QIC QIIC QIIIC QIVC 2300 Qij 0 176 Universidade do Sul de Santa Catarina Capítulo 5 1 Uma marcenaria situada em Florianópolis produz mesas e cadeiras de baixo custo O processo de produção das mesas e cadeiras é similar e requer um certo número de horas de trabalho no setor de carpintaria e um certo número de horas de trabalho no setor de pintura Cada mesa necessita de quatro horas de trabalho no setor de carpintaria para ficar pronta para pintura e duas horas de trabalho de pintura Cada cadeira requer três horas na carpintaria e uma hora na pintura Durante o atual período de produção estão disponíveis 240 horas de trabalho no setor de carpintaria e 100 horas de trabalho no setor de pintura O departamento de marketing está confiante de que pode vender todas as mesas que puderem ser fabricadas Entretanto devido a um estoque existente de cadeiras o departamento não recomenda que sejam fabricadas mais do que 60 novas cadeiras Cada mesa vendida tem uma margem de contribuição para o lucro de 7 e cada nova cadeira vendida resulta em uma margem de 5 Modele o problema que indique à empresa quantas cadeiras e quantas mesas produzir por semana de modo a maximizar o lucro Resolva graficamente Resposta Variáveis de decisão QM Quantidade de mesas produzir semanalmente QC Quantidade de cadeiras produzir semanalmente Modelo Maximizar Lucro 7QM 5QC sa Limite horas carpintaria 4QM 3QC 240 Limite horas pintura 2QM 1QC 100 Limite Demanda QC 60 QMQC0 Gráfico Pesquisa Operacional 177 Resultado QM 30 QC 40 Lucro 410 Uma empresa que trabalha com vendas de produtos de valor bastante elevado tem no momento o problema de designar o vendedor mais adequado para tentar realizar uma venda para 4 clientes Para isto dispõe de 4 vendedores Dado um estudo do perfil de cada cliente e de cada vendedor temse a tabela abaixo que mostra as probabilidades de sucesso na venda de cada vendedor para cada cliente Como Chefe do Setor de Vendas encontre a designação mais adequada da sua força de vendedores para maximizar a soma total das probabilidades de sucesso nas vendas cada vendedor deverá visitar somente 1 cliente e cada cliente deverá receber a visita de somente um vendedor Tabela 47 Custo de transporte Rdúzia VendedoresClientes 1 2 3 4 A 90 90 90 30 B 90 30 70 70 C 70 30 70 30 D 70 90 90 90 Resposta 178 Universidade do Sul de Santa Catarina Para a construção de um modelo de transporte podese iniciar pelo grafo que representa este problema Variáveis de decisão Xij Construindo a função objetivo Modelo Max probabilidade de sucesso de venda 90XA1 90XA2 90XA3 30XA4 90XB1 30XB2 70XB3 70XB4 70XC1 30XC2 70XC3 30XC4 70XD1 90XD2 90XD3 90XD4 sa Vendedor A XA1 XA2 XA3 XA4 1 Vendedor B XB1 XB2 XB3 XB4 1 Vendedor C XC1 XC2 XC3 XC4 1 Vendedor D XD1 XD2 XD3 XD4 1 Cliente 1 XA1 XB1 XC1 XD1 1 Cliente 2 XA2 XB2 XC2 XD2 1 Cliente 3 XA3 XB3 XC3 XD3 1 Pesquisa Operacional 179 Cliente 4 XA4 XB4 XC3 XD4 1 Xij 0 ou1 para i 1234 e j 1234 2 Uma importadora situada em Santa Catarina está planejando expandir seu negócio até o Rio Grande do Sul Para fazer isto a empresa necessita saber quantos depósitos de cada tamanho deverá construir para armazenar suas mercadorias Seu objetivo e restrições são como segue Resposta Gráfico DP 8 DG 0 Lucro 400 3 Encontre as soluções dos programas lineares abaixo Resposta 3a Gráfico 180 Universidade do Sul de Santa Catarina x 3333 y 3333 Lucro 6667 3b Gráfico x 375 y 75 Lucro 2625 Pesquisa Operacional 181 3c Gráfico x 2 y 3 Lucro 26 3d Gráfico x 45 x2 5 Lucro 22 182 Universidade do Sul de Santa Catarina 3e Gráfico x 257 y 2142 Objetivo 6857 Capítulo 6 1 Mariana que é gerente da maior e melhor oficina mecânica de Florianópolis está sempre muito preocupada com a satisfação dos clientes Desse modo decidiu mapear as etapas do processo de elaboração de orçamento para conserto de veículos Para este acompanhamento ela identificou as atividades necessárias para este fim bem como suas relações de precedência Com base na tabela abaixo ajude Mariana a construir a rede deste processo Atividade Descrição da Atividade Predecessores Imediatos A Chegada do cliente à empresa B Atendimento ao cliente A C Relatório dos problemas apresentados B D Cadastro do cliente e do veículo B E Orçamento C F Saída do cliente da Empresa DE Pesquisa Operacional 183 2 Cláudia diretora de uma empresa que organiza grandes eventos acaba de assinar um contrato para produzir uma festa de Reveillon para 230 pessoas Para que nada saia errado e que não corra o risco de atrasar este projeto a mesma decide representálo através de uma rede CPM Para tanto levantou as seguintes atividades e relações de precedências Desenhe a rede Atividade Descrição da Atividade Predecessores Imediatos A Buscar um local para o evento B Organizar a lista de convidados com a contratante C Decidir o cardápio com a contratante D Preparar e entregar os convites B E Ligar para os convidados para obter a confirmação da presença D F Encomendar o buffet C G Contratar os garçons F H Limpar e arrumar o local A I Fazer a decoração H Resposta 184 Universidade do Sul de Santa Catarina 3 O diagrama abaixo reflete a seqüência de atividades necessárias à execução de um projeto de sistema de gestão de conhecimento informatizado em uma certa empresa X Sobre os arcos estão indicadas as atividades e suas durações em semanas Perguntase a Qual é o prazo de execução deste projeto b Quais são as atividades que formam o caminho crítico c Se a atividade D atrasasse 3 semanas o que aconteceria com o prazo de execução do projeto Exercício resolvido Caminhos existentes Duração das atividades Tempo total do caminho ACFI 109109 38 semanas ACG 10 9 15 34 semanas BDFI 512109 36 semanas BDG 51215 32 semanas BEH 5812 25 semanas a O prazo de execução deste projeto é de no mínimo 38 semanas Este tempo é calculado a partir do caminho com maior duração que indica que não há como fazer em um tempo menor b O caminho crítico é o ACFI pois tem a maior duração e qualquer atraso nas atividades deste caminho vai provocar um atraso no projeto como um todo Pesquisa Operacional 185 c Caminhos existentes Duração das atividades Tempo total do caminho ACFI 109109 38 semanas ACG 10 9 15 34 semanas BDFI 515109 39 semanas BDG 51515 35 semanas BEH 5812 25 semanas Se a atividade D atrasasse três semanas o prazo de execução do projeto passaria a ser de 39 semanas Embora a atividade D não faça parte do caminho crítico o atraso dela comprometeu o prazo final de execução do projeto porque foi maior do que a folga que havia no caminho que ela faz parte 4 A SurfWave é uma empresa que compra estampa e vende camisetas na região de Florianópolis e arredores O dono da empresa deseja construir uma rede CPM para o projeto de produção de seu produto Este projeto iniciase com um pedido das camisetas matériaprima Após o pedido os próximos passos são a arte final na área gráfica e a produção da tela na área de produção Com a produção da tela e a arte final pronta a tela é gravada Quando as camisetas chegam iniciamse as tarefas de separação das camisetas e colocação na máquina para estampar Após a tela gravada as camisetas são colocadas na máquina de estampar para fazer uma amostra Após aprovação da amostra as camisetas podem ser estampadas Terminada a estampagem as camisetas são retiradas das máquinas e enfim empacotadas Construa a tabela de precedências e em seguida e rede do projeto Exercício resolvido Atividade Descrição da Atividade Predecessores Imediatos A Pedido de camiseta B Fazer artefinal A C Produção da tela A D Gravação da tela B e C E Recepção das camisetas A F Separação das camisetas colocação da camiseta na máquina E G Fazer amostra D e F H Aprovar amostra H I Estampagem e embalagem das camisetas H 186 Universidade do Sul de Santa Catarina 5 A tabela abaixo contém um conjunto de atividades que são necessárias para a construção de uma casa Mostra também suas predecessoras e o tempo de duração de cada atividade Desenhe a rede e calcule o seu caminho crítico Atividades Descrição Predecessores Duração dias Atividade A Construção das fundações 5 Atividade B Edificação das paredes e vigas A 8 Atividade C Construção do telhado B 10 Atividade D Instalação da parte elétrica B 5 Atividade E Colocação das janelas B 4 Atividade F Colocação dos materiais hidráulicos E 6 Atividade G Pintura da casa CF 3 Exercício resolvido Caminhos existentes Duração das atividades Tempo total do caminho ABEFG 58463 26 dias ABCG 58103 26 dias ABD 585 18 dias Os caminhos ABEFG e ABCG são críticos pois têm a maior duração Qualquer atraso nas atividades destes caminhos vai provocar um atraso no projeto como um todo ANEXO 1 Tabela de Números Aleatórios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0796616 009071 00866 03795 05467 05771 04673 09292 07404 05539 2 0210096 056622 00711 05213 09204 06073 03871 05316 06437 01376 3 0860438 057595 05743 08976 0581 06202 06819 03114 00143 01064 4 0620942 047836 01793 02349 00441 02918 05552 04174 04314 09456 5 0889193 097623 07441 06789 0166 00345 00066 05449 0085 06382 6 0633823 098545 0284 09382 07199 03808 00439 04093 02048 01385 7 0831563 099475 06982 00287 03462 07649 09844 01964 02811 03724 8 0946132 017451 01003 05033 07422 02454 00746 05752 08522 07538 9 0339908 044785 05463 02696 01088 06333 0414 06526 03057 05227 10 0736661 095819 05568 01205 06973 03881 02172 00316 08494 08428 11 0567891 046648 05487 08976 04637 01761 06178 0769 04673 07072 12 0541017 053469 0383 05969 03706 09677 0901 03517 03705 0925 13 0210732 081331 0766 08489 01153 03877 03024 00739 01889 02922 14 0795429 01228 02229 04468 03055 08294 03787 07943 0865 09314 15 0965871 002761 03473 07582 00483 04641 07929 03263 05549 04273 16 0675253 08697 05801 06115 02637 08242 09141 05492 08811 02412 17 046076 033455 08411 04419 00884 09831 08827 07881 08188 02485 18 0825295 04362 01207 02411 09469 01573 03666 01643 04109 04261 19 0588643 027789 03889 09579 06038 04279 03648 09236 05856 09967 20 0054579 023188 04643 08212 06492 00698 06094 00679 06953 0273 21 0425046 058716 06889 00072 04111 05488 03362 06026 05088 04416 22 0534387 042944 0744 07304 00299 09332 07613 07567 01265 02431 23 0089115 040728 01543 0144 05777 06533 0887 01419 05545 09193 24 0218284 097775 0726 0406 02539 04918 04158 03694 08952 03295 25 08773 017311 03637 04515 03551 04655 03522 00614 07512 07835 26 0453585 086941 0644 07445 04057 00185 09662 07171 07929 02389 27 0981961 004948 01578 03764 00472 04307 07189 01544 08164 07406 28 0893144 078246 07318 07959 01386 09505 01036 05494 02598 07408 29 0072608 029879 06073 06624 06333 09052 05897 09787 00267 09088 30 0997908 066189 06409 02742 01714 08889 02082 0762 0449 00736 31 0441741 054971 08827 0102 01 00851 04076 04107 02692 06643 32 0916656 068571 05591 04047 07313 01629 06509 03326 06339 00749 33 0782098 019475 08955 04423 06784 0409 05473 00377 09308 06985 34 0514714 021744 06671 07729 07872 01576 08857 04038 03948 01844 35 099709 062824 01814 06058 09007 08442 01425 04326 01143 00464 36 061225 012292 03619 02296 08102 08552 01617 06173 06084 04967 37 0561609 07754 04493 09933 04847 07405 04819 01315 08397 01506 38 0434193 042439 01679 01996 01036 00746 02037 06307 00435 00911 39 0878908 096521 05433 05763 07149 04713 05724 07679 03273 05207 40 0878034 038429 03559 06013 05395 01129 07702 01565 05627 03976 Pesquisa Operacional 189 ANEXO 2 Simulação em Excel EXEMPLO de simulação no Excel O exemplo que segue pretende simular a demanda de determinado produto dada a distribuição de probabilidade do mesmo tabela 1 Para começar a construção de seu modelo de simulação no Excel você deverá digitar os dados da distribuição de probabilidade da sua variável aleatória conforme Tabela 1 Para construir a probabilidade acumulada lembre que a mesma será a soma da célula de cima C6 no exemplo com a do lado B7 Lembre que a probabilidade acumulada da primeira linha C3 será a soma do valor contido na célula ao lado B3 com zero isto é o próprio valor da célula ao lado Podese agora construir a tabela de distribuição dos números Aleatórios tabela 2 onde os limites superiores serão a própria probabilidade acumulada Com as tabelas prontas iniciase a simulação introduzindo a função aleatório na tabela 3 O resultado será o da planilha abaixo aonde o Excel sorteará vários números aleatórios 190 Universidade do Sul de Santa Catarina Para realizar a simulação buscando a demanda correspondente ao número aleatório daquela linha iremos utilizar a função PROCV do Excel conforme explicação que segue FUNÇÃO PROCV Como chamar esta função Você irá no menu do Excel e escolherá Inserirfunção Dentre todas as funções que estarão disponíveis você irá selecionar a PROCV Ao selecionar esta função a janela abaixo abrirá e você poderá então inserir os argumentos da função Pesquisa Operacional 191 Argumentos da função PROCV PROCVvalorprocurado matriz tabela numíndicecoluna Para a simulação o valor procurado será o endereço da coluna que contém o número aleatório gerado pela função ALEATORIO No caso deste exemplo será a célula B13 A matriz tabela será o endereço da matriz que contém os limites inferior e superior e o valor a ser atribuído à variável demanda No nosso exemplo a matriz tabela está no endereço E3G8 O que a função PROCV faz Ela pega o no aleatório que está em B3 por exemplo e o busca no intervalo da matriz tabela que está no endereço E3G8 A função vê que o número 02197 está no intervalo entre 015 e 030 e na célula que contém a função PROCV o Excel escreverá o valor demanda que está na 3ª Coluna da matriz tabela O argumento número índice coluna deverá sempre vir preenchido com o valor 3 Por quê Porque é nesta coluna da matriz tabela que estaremos escrevendo o valor que desejamos simular neste caso Demanda Tabela 2 É importante salientar que o endereço da matriz tabela deve sempre vir acompanhado do pois o mesmo deve ser fixo O cifrão faz exatamente isso fixa endereço de células 192 Universidade do Sul de Santa Catarina Mas o que fazer com as funções que foram criadas na 1ª Linha da tabela de simulação Tabela 3 Para que não precisemos criar novamente as funções aleatório e Procv a cada nova linha de simulação podemos utilizar um recurso fantástico do Excel que diminui em muito o nosso trabalho O recurso é o seguinte Você clica na célula que contém a função que você quer copiar aleatório por exemplo e vai com o cursor até o canto direito inferior Quando aparecer uma cruz preta você segura no botão esquerdo do mouse e arrasta esta célula até a última linha da sua simulação Pesquisa Operacional 193 O resultado da simulação será o da planilha que segue mas lembre que para uma simulação produzir bons resultados precisaremos no mínimo 100 linhas de simulação É por este motivo que teremos que aprender a construir nossas simulações em uma planilha eletrônica Excel por exemplo Com 100 linhas de simulação você poderá calcular média e desviopadrão utlizando as funções MÉDIA do Excel O argumento das funções média serão somente o endereço das células que você deseja utilizar para o cálculo das medidas estatísticas No nosso exemplo será o endereço C13C112 conforme figura que segue 194 Universidade do Sul de Santa Catarina Para aprender e praticar mais acesse o EVA da nossa disciplina este exemplo estará lá pronta em uma planilha Excel Pesquisa Operacional 195 ANEXO 3 Como utilizar o SolverExcel para resolver problemas de programação linear PL Para mostrar a você como utilizar o Solver do Excel para a resolução de modelos de programação linear vamos relembrar o exemplo 31 da Capítulo 3 de nosso livro Acesse esta planilha de cálculos na Midiateca Exemplo 31 Só Bicicletas SB é uma empresa nacional que atua no ramo de produção de bicicletas A empresa acaba de lançar 2 novos modelos de bicicletas infantis 1 para menino e 1 para menina que está fazendo o maior sucesso entre a garotada O sucesso dos novos modelos é tanto que tudo que for produzido será vendido e o departamento de marketing recomenda que ao menos 250 bicicletas de cada modelo sejam produzidos O lucro unitário na produção e venda da bicicleta feminina é de 50 e da bicicleta masculina é de 30 A empresa conta para a produção destes dois novos modelos com 200 trabalhadores no departamento de fabricação e 100 trabalhadores no departamento de montagem A empresa trabalha em três turnos e cada funcionário trabalha 8 horas por dia O modelo feminino necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e de 2 horas no departamento de montagem O modelo masculino necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e de 1 hora no departamento de montagem Formule um modelo que informe à SB o plano de produção diário que maximiza seu lucro Modelando este problema como um problema de programação linear teremos Max Lucro 50Qf 30Qm st Restr 1 Fabricação 4Qf 4Qm 4800 Restr 2Montagem 2Qf Qm 2400 Restr 3 Marketing bici fem Qf 250 Restr 4 Marketing bici masc Qm 250 Para resolvermos este modelo no Excel primeiro deveremos digitálo no software em forma de planilha conforme a Figura 1 que segue aonde na coluna A teremos os cabeçalhos ou seja o nome das restrições nas colunas de B até F teremos as informações do modelo Devemos informar em B e C quais são as constantes que no modelo estão multiplicando as variáveis Qf e Qm 196 Universidade do Sul de Santa Catarina Na coluna D deveremos colocar para cada restrição a fórmula ou seja a função que a representa Por exemplo Figura 1 Colocando os dados do modelo na planilha Excel Na célula D6 teremos a função que o objetivo da empresa ou seja 50Qf 30Qm Como no Excel uma função é informada através do endereço das células teremos a constante 50 substituída pelo endereço em que ela se encontra B6 a variável Qf substituída pelo endereço B5 a outra constante 30 pelo endereço C6 e a variável Qm por C5 Antes de cada fórmula devemos inserir o símbolo de igualdade B6 B5 C6C5 Na célula D7 teremos a função que representa o consumo de mão de obra no departamento de fabricação ou seja 4Qf 4Qm Teremos então a constante 4 substituída pelo endereço em que ela se encontra B7 a variável Qf substituída pelo endereço B5 a outra constante 4 pelo endereço C7 e a variável Qm por C5 Pesquisa Operacional 197 Teremos então B7B5 C7C5 Para a restrição de montagem que está uma linha abaixo teremos B8B5 C8 C5 A mesma coisa deve ser feita para as demais restrições Note que tanto as restrições quanto a função objetivo estarão sempre se referindo aos endereços B5 e C5 as quais deverão conter as quantidades de Qf e Qm Poderemos então utilizar novamente o recurso do Excel de copiar a função arrastandoa Na célula D6 escreveremos B6B5 C6 C5 Note que o fixa o endereço da célula e portanto quando arrastarmos esta função teremos nas células abaixo B7B5 C7 C5 B9B5 C8 C5 B9B5 C9 C5 B10B5 C10 C5 Veja que o Excel variou o número da linha daquelas funções que não contém o e manteve fixo os demais Depois de construídas todas as funções na coluna totais deveremos informar para cada restrição se a mesma é ou na coluna E Na coluna F teremos ainda os valores dos lados direitos de cada restrição RHS Com o modelo pronto é só chamar o Solver através de FerramentasSolver conforme Figura 4 Saiba que se você abrir o menu Ferramentas no Excel e o Solver não estiver disponível você poderá acionálo através de FerramentasSuplementos como mostra a seguir 198 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 2 Adicionando o Solver ao Menu Ferramentas Figura 3 Adicionando o Solver Pesquisa Operacional 199 Agora você poderá chamar o Solver no menu Ferramentas como mostra a Figura 4 Figura 4 Definindo célula de destino Após o solver ser ativado FerramentasSolver a janela da Figura 4 se abrirá Nesta estaremos informando o modelo que queremos resolver Passos a serem seguidos 1o Definir célula de destino a célula de destino será sempre a que contém a função que representa a minha função objetivo ou seja D6 2o Informar se o modelo é de maximização ou minimização clicando no lugar correspondente 3o Informar as células variáveis conforme figura 5 abaixo estas serão aquelas que estamos buscando ou seja os valores de Qf e Qmcélulas B5 a C5 200 Universidade do Sul de Santa Catarina 4o adicionar as restrições do modelo clicando no botão Adicionar que abrirá a janela adicionar restrição Figura 6 Figura 6 Adicionando uma restrição Pesquisa Operacional 201 5o na janela da Figura 6 temse referência de célula orientação da restrição e restrição Em referência de célula devemos indicar a função que está na colula D clicando no endereço correspondente Na orientação da restrição devese indicar se a restrição é do tipo ou ou e em restrição deveremos informar os limites coluna F por exemplo Para a restrição de mão de obra no departamento de fabricação iremos informar que a solução encontrada deve respeitar a seguinte imposição o valor que está em D7 consumo de mão de obra neste departamento deve ser ao valor que está em F7 máximo de horas de mão de obra disponível Todas as funções devem ser inseridas nesta janela clicando adicionar após a inserção No final clicase em Ok e temse a janela planilha abaixo Figura 7 Modelo quase pronto 6o depois que introduzirmos todas as restrições voltamos à janela inicial e clicamos em Opções Desta maneira a janela da figura 8 se abrirá e clicaremos em presumir modelo linear e presumir não negativos 202 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 8 Escolhendo opções do Solver 7o Depois de todos estes passos executados poderemos resolver o modelo clicando em OK e Resolver A resposta será a mostrada na Figura 9 Figura 9 Resultados do Solver Pesquisa Operacional 203 Você agora tem seu modelo resolvido Conforme mostra a Figura 9 o resultado será produzir 950 bicicletas femininas indicado na célula B5 250 bicicletas masculinas indicado na célula C5 com um lucro de R 5500000indicado na célula B5 Resultados adicionais do Solver são que toda a mão de obra do departamento de fabricação foi consumida com esta solução mostrado na célula D7 Das 2400 horas de mão de obra disponíveis no departamento de montagem somente 2150h foram consumidas célulaD8 e que os resultados das restrições 3 e 4 foram 950 e 250 células D9 e D10 Agora você já sabe como resolver modelos de programação linear no Excel 204 Universidade do Sul de Santa Catarina ANEXO 4 Cálculo do desvio padrão Acesse esta planilha de cálculos na Midiateca D D DDm DDm2 ΣDDm2 n1 360 360 75 5625 180 180 105 11025 1 ENTER 360 Σ 180 180 105 11025 2 ENTER 180 Σ 300 300 15 225 3 ENTER 180 Σ 300 300 15 225 4 ENTER 300 Σ 300 300 15 225 5 ENTER 300 Σ 300 300 15 225 6 ENTER 300 Σ 360 360 75 5625 7 ENTER 300 Σ 360 360 75 5625 8 ENTER 360 Σ 300 300 15 225 9 ENTER 360 Σ 240 240 45 2025 10 ENTER 300 Σ 300 300 15 225 11 ENTER 240 Σ 180 180 105 11025 12 ENTER 300 Σ 300 300 15 225 13 ENTER 180 Σ 360 360 75 5625 14 ENTER 300 Σ 300 300 15 225 15 ENTER 360 Σ 300 300 15 225 16 ENTER 300 Σ 300 300 15 225 17 ENTER 300 Σ 300 300 15 225 18 ENTER 300 Σ 180 180 105 11025 19 ENTER 300 Σ Desvio padrão 6117 Dm 285 71100 19 374211 6117 20 ENTER 180 Σ G S DESVPAD 6117 6117 MÁQUINAS EM PORTUGUES STDEVS 6117274935 MÁQUINAS EM INGLÊS σ DESVIO PADRÃO FÓRMULA PARA O CÁLCULO Onde D Demanda Dm Demanda média n número de períodos TECLAR HP12C CÁLCULO DO DESVIO PADRÃO NO EXCEL NO BRAÇO NA CALCULADORA w w wunisulbr Pesquisa Operacional A logística assume cada vez mais o importante papel de transferir mercadorias e ou serviços entre as áreas de produção e as áreas de consumo Más condições na infraestrutura do País podem inclusive inviabilizar negócios pois os custos logísticos podem tornar a negociação impraticável Um dos grandes méritos ao se estudar ou trabalhar com logística consiste principalmente em equilibrar os custos com o nível de serviço ao cliente Estes e outros temas referentes a pesquisa operacional serão trabalhados neste livro