Prova Final Calculo I FATEC - Pontos Criticos e Variação de Funções

FATEC MIGUEL REALE CÁLCULO I prof dr HENRIQUE FURIA SILVA PROVA FINAL 16122023 httpwwwfatecitaqueraedubr Av Miguel Ignácio Curi 360 São Paulo SP 011 20564347 TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DETALHADAMENTE JUSTIFICADAS ESCREVENDO PEQUENOS TEXTOS APRESENTAR OS RESULTADOS NOS VALORES EXATOS SEM APROXIMAÇÕES CÓPIAS DE TEXTOS SERÃO PUNIDAS COM A REPROVAÇÃO NA DISCIPLINA PARA TODOS OS ENVOLVIDOS Uma função definida pelo parâmetro 𝑚 0 foi especificada para o desenho de uma pista de skate 𝑥 ℝ 𝑦 𝐻𝑚𝑥 1 250 𝑚 4 𝑥5 15 𝑥4 100 𝑥3 190 𝑥2 600 𝑥 8 O parâmetro 𝑚 0 é a dezena correspondente à sua idade1 em anos O gráfico fora de escala construído com computador é apresentado abaixo 1 Exemplo se sua idade é igual a 45 anos então 𝑚 4 Se sua idade terminar em 0 adote 𝑚 1 𝑓𝑛𝑥 𝑎0 𝑎1 𝑥 𝑎2 𝑥2 𝑎3 𝑥3 𝑎𝑛1 𝑥𝑛1 𝑎𝑛 𝑥𝑛 𝑝 𝑞 ℚ 𝑝 é um divisor de 𝑎0 que é o termo independente 𝑞 é um divisor de 𝑎𝑛 que é o coeficiente do termo de maior grau 1 Pontos críticos Siga o seguinte roteiro para obter os pontos de máximo e de mínimo locais a Mostre que a derivada da função 𝐻 é a função dada por 𝑥 ℎ𝑚𝑥 20 𝑞 𝑥4 3 𝑥3 15 𝑥2 19 𝑥 30 b Obtenha as raízes da função ℎ𝑚 c Obtenha as coordenadas dos pontos 𝐹 𝐺 𝐻 𝐼 d Explicar quais desses pontos são pontos de máximo e de mínimo locais da função 𝐻𝑚 justifi cando detalhadamente suas afirmações com um pequeno texto e Determinar os trechos em que a função 𝐻 decresce e os trechos em que a função 𝐻𝑚 cresce 𝑓𝑛𝑥 𝑎0 𝑎1 𝑥 𝑎2 𝑥2 𝑎3 𝑥3 𝑎𝑛1 𝑥𝑛1 𝑎𝑛 𝑥𝑛 𝑝 𝑞 ℚ 𝑝 é um divisor de 𝑎0 que é o termo independente 𝑞 é um divisor de 𝑎𝑛 que é o coeficiente do termo de maior grau 2 Variação da função Siga o seguinte roteiro para obter o comportamento local e global da função a Apresentar os limites da função nos extremos do domínio explicando com um pequeno texto as justificativas para os resultados obtidos b Mostre que 𝑥 2 é uma raiz da função 𝐻 c Efetue a divisão de polinômios apresentada abaixo 𝑥4 3 𝑥3 15 𝑥2 19 𝑥 30 𝑥 2 d A partir do resultado obtido no item anterior explique detalhadamente para concluir que 𝐻𝑚𝑥 𝐻𝑚𝑥 1 250 𝑚 𝑥 2 4 𝑥4 23 𝑥3 54 𝑥2 298 𝑥 4 e Utilize o computador para mostrar que o polinômio 4 𝑥4 23 𝑥3 54 𝑥2 298 𝑥 4 não possui raízes racionais f Do item anterior se conclui que o polinômio 𝐻𝑚 possui apenas uma raiz racional 𝑥1 0 g Com isto todas as outras raízes do polinômio 𝐻𝑚 são números irracionais obtidos por meio de uma combinação de radicais 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ℚ Explique qual seria o procedimento adotado para obter uma estimativa para as outras raízes 1 a Sendo m 3 Hmx Px 1 14 5 x1 15 4x3 100 3 x 190 2x 600 4 x 250 3 Px 1 20x 3x 45x 19x 30 750 x 20x0 35 15x 19x 30 750 b Por inspeção x1 é soiz arrim vamos diminuir a grau da 1 polinomis 14 3 1519 30 I 1430 O Px x 30 Percebemos que ar outras raizer msx 5 x 3 ex 2 arrim x x 2x 1x 3x 5 E es raizes são 3 4 2 5 c Os pentes em questão são os pontar de máxima e mínimo da funzas e ar abeisras desres enter sar as sines anteriormente encontradas x 3 xa 1x 2 I 5 F de ad and Agora para encontrar y 1 e basta substituir es valores Xno g original Hm arrie as obteremos I 13475 0 f 3 37750 y j x 1 y 0 428 G 4 0 428 x 2 3 y 2 108 H2 7 108 x 5 y 2 456 15 2 456 d Como a quests Vi como a função M compenta eschman or fornece um grafier de gue H 2 2 108 1 3 u 2 3 I 1 4 0 128 f 5 2 155 Com isso pela analise do grafica anterismente explicitado percebemos que F é maximo local G é mínimo local é macime local I é mínimo local e Novamente malizando e grafies temes que a funçe Hun Cresce on reja primeira derivada mais que gera em 1 0 3 u 4 2u5 0 Becresce su rija primeira desivado menor que gera em 3 1 u2 5 2 a Como a função é grau ímpar temos que quando x ou x o termo dominante de Hmx será o x5 ou seja no domínio das reais lim x Hmx lim x Hmx b Vamos substituir o valor 2 na equação dada para Hm Hm2 1750425 1524 10023 19022 6002 8 Hm2 1750128 250 800 760 1200 8 Hm2 17501568 1568 0 OK 2 é raiz de Hm c x4 3x3 15x2 19x 30 x 2 x4 x3 17x 15 x 2x3 x3 15x2 x2 17x2 19x 17x2 34x 15x 30 15x 30 0 Logo x4 3x3 15x2 19x 30 x 2 x3 x2 17x 15 d e Plotando esse gráfico em um software Geogebra por exemplo percebese que as outras raízes são x2 362453 x3 001339 x4 349843 x5 588948 Logo assutras raizes exceto x2 são todas inacionais 8 Realmente come foi mostrado no item enterior 2 é a unica 3 1 raiz racional e s polinomis 4x 23x 54x 298x 1 mas possui raizes racionais gPara alter as outras raiges um avalis de sal peduciones buscar internales Las be fa aferramente computin zu triadmini lee estavas moreimada