Quantificador

Aplicação 7 Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quantificadores 1º Quantificador existencial x ℝ x² 5x 4 0 Verdade 2º Quantificador específico x ℝ x² 5x 4 0 ou x 1 ou x 4 Verdade 3º Quantificador universal x ℝ x² 5x 4 0 Falso 2 a 1a 1 a² 1 a ℝ a 1a 1 a² 1 3 y3 x4 y7 4 m² 9 m 3 5 x x 7 5a 4 11 9 x² x 1 a² aa a 1 1 6 Sentença 5a 4 11 Proposição verdadeira Existe a pertencente aos números reais tal que 5a 4 11 Resolução Isolando a temos 5a 11 4 5a 7a 75 Portanto a pode assumir qualquer valor menor ou igual a 75 satisfazendo a inequação 2 5 Sentença x x Proposição verdadeira Para todo x pertencente aos números reais x é igual a x Resolução Por definição o oposto do oposto de um número é o próprio número ou seja x x Isso é válido para qualquer número x Exercício Transformação de Sentenças Abertas em Proposições Verdadeiras 1 Sentença x2 5x 4 0 Proposição verdadeira Existe x pertencente aos números reais tal que x2 5x 4 0 e x pode ser 1 ou 4 Resolução A equação quadrática x2 5x 4 0 pode ser resolvida utilizando fatoração x2 5x 4 x 1x 4 Logo os valores de x que satisfazem a equação são x 1 e x 4 4 Sentença m2 9 m 3 Proposição verdadeira Para todo m pertencente aos números reais m2 9 é diferente de m 3 Resolução Para qualquer valor de m a expressão m2 9 nunca será igual a m 3 pois m2 9 inclui uma soma quadrática que é diferente do formato linear de m 3 2 Sentença a 1a 1 a2 1 Proposição verdadeira Para todo a pertencente aos números reais a 1a 1 é igual a a2 1 Resolução Aplicando a propriedade distributiva temos a 1a 1 a2 1 Portanto a expressão é válida para qualquer valor de a no conjunto dos números reais 3 Sentença 37 75 Proposição verdadeira O resultado da soma é uma verdade matemática mas depende da simplificação Resolução Somando os números 37 75 1535 4935 6435 Portanto o resultado da soma é 6435 uma verdade matemática Transformação de Sentenças Abertas em Proposições Verdadeiras 1 Sentença A equação é x² 5x 4 0 Proposição verdadeira Existe um valor de x pertencente aos números reais tal que x² 5x 4 0 e os valores de x que satisfazem esta equação são 1 e 4 Explicação Para resolver esta equação utilizase o método da fatoração A equação pode ser escrita como x 1x 4 0 o que indica que os valores de x que tornam a equação verdadeira são 1 e 4 2 Sentença A expressão é a 1a 1 a² 1 Proposição verdadeira Para todo a pertencente aos números reais a expressão a 1a 1 é igual a a² 1 Explicação Esta é uma propriedade conhecida como diferença de quadrados Quando aplicamos a multiplicação o resultado será sempre igual a a² 1 para qualquer valor de a 3 Sentença Os números envolvidos são 37 75 Proposição verdadeira A soma de 37 com 75 é uma verdade matemática e o resultado da soma é 6435 Explicação Para somar frações é necessário encontrar o denominador comum Neste caso o denominador comum é 35 Após ajustar e somar as frações o resultado é 6435 4 Sentença A raiz e a expressão são m² 9 m 3 Proposição verdadeira Para todo m pertencente aos números reais m² 9 é diferente de m 3 Explicação A diferença ocorre porque o termo dentro da raiz envolve uma soma quadrática enquanto m 3 é uma expressão linear Por isso as duas não podem ser iguais 5 Sentença A expressão é x x Proposição verdadeira Para todo x pertencente aos números reais x é igual a x Explicação O oposto do oposto de um número retorna ao próprio número Essa propriedade é verdadeira para qualquer valor de x 6 Sentença A inequação é 5a 4 11 Proposição verdadeira Existe um valor de a pertencente aos números reais tal que 5a 4 é menor ou igual a 11 Explicação Para resolver esta inequação isolamos o termo a Subtraindo 4 de ambos os lados temos 5a 7 Dividindo por 5 obtemos a 75 Qualquer valor de a menor ou igual a 75 satisfaz a inequação 7 Sentença A raiz é x² x Proposição verdadeira Para todo x maior ou igual a 0 pertencente aos números reais x² é igual a x Explicação A raiz quadrada de x² é igual ao valor absoluto de x Quando x é maior ou igual a 0 o valor absoluto de x é simplesmente x 8 Sentença A expressão é a² aa a 1 Proposição verdadeira Para todo a diferente de 0 pertencente aos números reais a² aa é igual a a 1 Explicação Na simplificação da expressão o termo a no numerador cancela com o termo a no denominador resultando em a 1 Isso só é válido para valores de a diferentes de 0 pois divisão por 0 não é definida 8 Sentença a² aa a 1 Proposição verdadeira Para todo a 0 pertencente aos números reais a² aa é igual a a 1 Resolução Simplificando a expressão a² aa aa 1a a 1 Essa simplificação é válida para qualquer valor de a 0 já que a divisão por zero não é definida 7 Sentença x² x Proposição verdadeira Para todo x 0 pertencente aos números reais x² é igual a x Resolução A raiz quadrada de x² é igual ao valor absoluto de x ou seja x² x Quando x 0 temos x x então x² x