Questões de Geometria Analítica

20 y 2x 3 r z x 2 r x 2x 3 x 2 x R x 2x x 0 3 2 s x1 1 5x 23 x 1 0 53 0 1 23 x R NAS QUESTOES 20 E 23 USAREMOS A SEGUINTE ESTRATEGIA DETERMINAR OS VETORES DIRETORES vr E vs DAS RETAS r E s CALCULAR O PRODUTO VETORIAL vr x vs v SENDO V O VETOR NORMAL AO PLANO DESEJADO ENCONTRAR UM PONTO QUALQUER DE ALGUMA DAS RETAS p r OU p s E CALCULAR v X p 0 SENDO X x y z UM PONTO DO PLANO A EQUAÇÃO ACIMA VAI GERAR O PLANO DESEJADO v E pX SÃO ORTOGONAIS PORTANTO v pX v X p 0 20 y 2x 3 r z x 2 r x 2x 3 x 2 x R x 2x x 0 3 2 PORTANTO vr É 1 2 1 POIS x vr x 1 2 1 x 2x x s x13 z15 y 1 5x1 3z1 y 1 5x 5 33 z y 1 5x3 23 z y 1 s x1 1 5x 23 x 1 0 53 0 1 23 x R vs vr x vs i j k i j 103 i j 53 i 2 k 103 83 1 2 1 2 1 1 2 30 1 0 53 1 0 v VEJA QUE p 0 3 2 r TOME x 0 NA EQUAÇAO DE r ASSIM A EQUAÇÃO DO PLANO É v X p 0 103 83 2 x y z 0 3 2 0 103 83 2 x y 3 z 2 0 10x3 8y3 8 2z 4 0 10x 8y 6z 12 0 22 r x 3 t y t z 4 r 3 t t 4 t t 0 3 0 4 t 1 1 0 3 0 4 vr s x 22 y 12 z 0 x 22 1 y2 x 2 1 y y x 1 z 0 s x x 1 0 x 1 1 0 0 1 0 vs NESSE CASO vr vs E vr x vs 0 NAO CONSEGUIR DO MESMO MODO VAMOS CONSTRUIR UM VETOR w DA SEGUINTE MANEIRA TOMAR UM PONTO Pr DA RETA r E UM PONTO Ps DA RETA s E FAZER COM QUE w SEJA O VETOR QUE LIGA ESSES PONTOS Na equação da reta r tome t 0 e Pr 3 0 4 enquanto em s tome x 0 com Ps 0 1 0 Logo w Pr Ps 3 1 4 Fazendo v vr x w v i j k i j 1 j 4 i k 4 j 3 k 4 4 2 Logo a equação do plano é v X Ps 0 4 4 2 x y 1 z 0 4x 4y 4 2z 0 2x 2y 2 z 0 25 PRIMEIRAMENTE VAMOS ENCONTRAR UMA EXPRESSÃO MELHOR PARA r r x 2y z 1 0 x 2y 1 z z x 2y 1 COMPARANDO 2x xy 3 7 0 2x y 7 z 3 2x y 7 2x y 7 x 2y 1 3x 6 3y x 2 y y x 2 E SUBSTITUINDO NA PRIMEIRA EQUAÇÃO z x 2y 1 x 2 x 2 1 x 2x 4 1 z x 5 r x x 2 x 5 x 1 1 1 0 2 5 AGORA VAMOS TOMAR UM PONTO p E DETERMINAR O VETOR AP TOME x 0 OBTENSO p 0 2 5 AP p A 3 0 6 DETERMINANDO O VETOR NORMAL v vr x AP i j k 1 1 1 3 0 6 i j 6i 3j 6j 1 1 1 3 0 6 3k 6 9 3 v PORTANTO A EQUAÇÃO DO PLANO É v X A 6 9 3 x 3 y 2 z 1 0 6x 3 9 y 2 3z 1 0 6x 18 9y 18 3z 3 0 6x 9y 3z 3 0 2x 3y z 1 0 2x 3y 3 1 0 26 O plano yz é o plano x 0 logo na equação de pi 2y z 3 0 z 2y 3 r 0 y 2y 3 y 0 1 2 0 0 3 TOME y 0 E p 0 0 3 r PORTANTO AP p A 1 2 2 COM ISSO v vr x AP i j k 0 1 2 1 2 2 j j 0 1 2i 2j 2i k 4 2 1 EQUAÇÃO DO PLANO v X A 0 4 2 1 x 1 y 2 z 1 0 4x 1 2y 2 3 1 0 4x 2y 3 1 0