Questões de Matemática 2

Considere a função de produção fKL 300 ³KL no qual K é a quantidade de capital L a quantidade de trabalho e fKL a quantidade produzida Considere a isoquanta ou curva de nível com 900 unidades produzidas Nesse caso para essa quantidade produzida podemos representar que L xK em que x é a proporcionalidade entre capital e trabalho Preencha o valor de x no espaço para esse caso 3 4 A partir de determinada função de produção dada as curvas de nível indicam que a quantidade produzida aumenta no sentido noroeste do gráfico representado por L e K nos eixos em que L é a quantidade de trabalho e K a quantidade de capital Escolha uma opção Verdadeiro Falso 7 8 Considere fx₁x₂ x₁² x₂² x₁x₂ 3x₁ 4x₂ É verdade afirmar que a O ponto crítico 11 é ponto de mínimo b O ponto crítico 11 é ponto de máximo c Não há ponto crítico para essa função d O ponto crítico 103 113 é ponto de sela e O ponto crítico 103 113 é ponto de máximo f O ponto crítico 103 113 é ponto de mínimo Calcule o diferencial da função fx₁x₂ ex₁² x₂² com Δx₁ e² e Δx₂ e² partindo do ponto 11 Preencha o valor do diferencial no espaço disponível Resposta Considere que a firma tenha custo marginal CMg 02q no qual q é a quantidade produzida Com essa informação preencha a variação do custo total ΔCT da quantidade variando de 0 a 100 no espaço fornecido Resposta Calcule o diferencial da função fx₁x₂ 10x₁ 8x₂ com Δx₁ 6 e Δx₂ 10 Preencha o valor do diferencial no espaço disponível Resposta Considere que a pessoa deseja maximizar a função utilidade proveniente do consumo O indivíduo consome x unidades do bem com preço px e y unidades do outro bem com preço py A sua função utilidade é U xα yβ A restrição orçamentária do indivíduo é xpx y py r e r é a renda Nesse caso o lagrangeano será L xα yβ Escolha uma opção Verdadeiro Falso Obtenha o limxy11 x9 x3 y3x3 y3 Preencha o valor desse limite no espaço disponível Resposta Otimize fx1 x2 x3 x12 x32 x22 sujeito a x32 x12 x22 e x1 x2 x3 1 0 Assinale a alternativa correta para x1 x2 x3 a Os pontos críticos são 1 22 1 22 1 2 e 1 22 1 22 1 2 b Nenhuma das alternativas anteriores c Os pontos críticos são 1 22 1 22 1 2 e 1 22 1 22 1 2 d Os pontos críticos são 1 22 1 22 1 2 e 1 22 1 22 1 2 Considere fxyz x² y² z² y z xy 6 Assinale a alternativa correta a 13 23 12 é um ponto de mínimo b 13 23 12 é um ponto de sela c 13 23 12 é um ponto de máximo d Nenhuma das anteriores Considere que a firma tem preço P 100 Q20 no qual P é o preço da firma e Q a quantidade de bem no mercado O custo dessa firma é CQ 0075Q2 10000 Preencha a quantidade produzida pela firma que maximiza o lucro Q Resposta 1 𝑓𝐾 𝐿 300 𝐾 𝐿 3 𝑓𝐾 𝐿 900 300 𝐾 𝐿 3 900 𝐾 𝐿 3 3 𝐾 𝐿 27 𝐿 𝑥 𝐾 𝐾 𝑥 𝐾 27 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑂𝑆𝑇𝐴 𝑥 27 2 Resposta Falso Nas funções de produção padrão as curvas de nível isquantas representam combinações de 𝐿 trabalho e 𝐾 capital que geram a mesma quantidade de produto Para aumentar a quantidade produzida as isquantas se deslocam para fora sentido nordeste exigindo mais insumos 𝐿 eou 𝐾 Movendose para o noroeste reduzindo 𝐾 eou 𝐿 a tendência é que a produção diminua não aumente Portanto a afirmação é falsa 3 𝑈𝑥1 𝑥2 100 𝑥1 2 2𝑥2 2 𝑥1𝑥2 𝑥1 é a quantidade consumida de bananas 𝑥2 é a quantidade consumida de mamão 𝑈 𝑥2 𝑥2 100 𝑥1 2 2𝑥2 2 𝑥1𝑥2 DERIVADAS 1 O termo 100 é uma constante então sua derivada em relação a 𝑥2 é 0 2 O termo 𝑥1 2 não contém 𝑥2 então sua derivada em relação a 𝑥2 também é 0 3 O termo 2𝑥2 2 é derivado como 𝑥2 2𝑥2 2 4𝑥2 4 O termo 𝑥1𝑥2 é derivado como 𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑥1 𝑈 𝑥2 4𝑥2 𝑥1 substituímos 𝑥1 10 e 𝑥2 20 𝑈 𝑥2 420 10 80 10 90 Resposta final 90 4 𝑈𝑥1 𝑥2 100 𝑥1 2 2𝑥2 2 𝑥1𝑥2 𝑈 𝑥1 2𝑥1 𝑥2 2𝑈 𝑥1 2 𝑥1 2𝑥1 𝑥2 2𝑈 𝑥1 2 2 Substituir os valores de 𝑥1 10 e 𝑥2 20 2𝑈 𝑥1 2 1020 2 Resposta final 2 5 1 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑒𝑥12𝑥22 2 Derivadas parciais o Em relação a 𝑥1 𝑓 𝑥1 𝑒𝑥12𝑥22 2𝑥1 o Em relação a 𝑥2 𝑓 𝑥2 𝑒𝑥12𝑥22 2𝑥2 3 Avaliar derivadas no ponto 11 𝑓 𝑥1 11 𝑒1212 21 2𝑒2 𝑓 𝑥2 11 𝑒2 21 2𝑒2 4 Diferencial total 𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑓 𝑥1 𝛥𝑥1 𝑓 𝑥2 𝛥𝑥2 Substituindo valores 𝑑𝑓 2𝑒2𝑒2 2𝑒2𝑒2 2 2 4 Resposta Final4 6 𝑓𝑥1 𝑥2 10𝑥1 8𝑥2 𝛥𝑥1 6 e 𝛥𝑥2 10 Derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑥1 𝑓 𝑥1 10 Derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑥2 𝑓 𝑥2 8 𝑑𝑓 𝑓 𝑥1 𝛥𝑥1 𝑓 𝑥2 𝛥𝑥2 𝑑𝑓 106 810 𝑑𝑓 60 80 140 Resposta final140 7 𝑓𝑥 𝑦 𝑒𝑥1𝑥2 𝑓𝑡𝑥1 𝑡𝑥2 𝑡𝑛 𝑓𝑥1 𝑥2 se a função for homogênea de grau 1 deve ser verdade que 𝑓𝑡𝑥1 𝑡𝑥2 𝑡 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑓𝑡𝑥1 𝑡𝑥2 𝑒𝑡𝑥1𝑡𝑥2 𝑒𝑡𝑥1𝑥2 𝑡 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑡 𝑒𝑥1𝑥2 A função exponencial não é homogênea de grau 1 pois a igualdade só é válida para 𝑡 1 não para todos os valores de 𝑡 Logo a afirmação é falsa Resposta final falso 8 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 2𝑦2 𝑓𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥2 2𝑦2 2𝑥 𝑓 𝑦 𝑦 𝑥2 2𝑦2 4𝑦 𝑓𝑥 𝑦 2𝑥 4𝑦 Alternativa a 𝑓𝑥 𝑦 2𝑥 2𝑦 errada pois a derivada de 𝑓𝑥 𝑦 em relação a 𝑦 é 4𝑦 não 2𝑦 Alternativa b 𝑓11 2 𝑓11 2 14 1 24 𝑓11 22 42 4 16 20 2 b está errada Alternativa c 𝑓10 2 𝑓10 2 14 0 20 𝑓10 22 02 4 2 c está correta Alternativa d 𝑓22 20 𝑓22 2 24 2 48 𝑓22 42 82 16 64 80 20 d está errada Alternativa e 𝑓𝑥 𝑦 22 errada pois o gradiente é 2𝑥 4𝑦 não 22 Resposta final 𝑐 𝑓10 2 9 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 2 𝑥2 2 𝑥1𝑥2 3𝑥1 4𝑥2 Derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑥1 𝑓 𝑥1 2𝑥1 𝑥2 3 Derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑥2 𝑓 𝑥2 2𝑥2 𝑥1 4 Encontrar os pontos críticos 𝑓 𝑥1 0 e 𝑓 𝑥2 0 2𝑥1 𝑥2 3 0Equac ao 1 2𝑥2 𝑥1 4 0Equac ao 2 Resolvendo o sistema 1 Da Equação 1 isolamos 𝑥2 𝑥2 2𝑥1 3 1 Substituímos 𝑥2 2𝑥1 3 na Equação 2 22𝑥1 3 𝑥1 4 0 4𝑥1 6 𝑥1 4 0 3𝑥1 10 0 𝑥1 10 3 1 Substituímos 𝑥1 10 3 na Equação 1 para encontrar 𝑥2 𝑥2 2 10 3 3 20 3 3 20 3 9 3 11 3 Portanto o ponto crítico é 10 3 11 3 Passo 3 Determinar a natureza do ponto crítico Derivadas parciais de segunda ordem 2𝑓 𝑥12 2 2𝑓 𝑥1 𝑥2 1 2𝑓 𝑥22 2 Logo a matriz Hessiana é 𝐻 2 1 1 2 Determinante da matriz Hessiana det𝐻 22 11 4 1 3 Como o determinante é positivo e 2𝑓 𝑥12 2 0 significa que o ponto crítico 10 3 11 3 é um ponto de mínimo Alternativa f O ponto crítico 10 3 11 3 é ponto de mínimo Esta alternativa está correta A alternativa correta é 𝑓 10 1 Encontrar os Pontos Críticos o Derivadas parciais e sistema de equações o 𝑓 𝑥 2𝑥 𝑦 01 o 𝑓 𝑦 2𝑦 𝑥 1 02 o 𝑓 𝑧 2𝑧 1 03 o 𝑧 1 2 𝑦 2𝑥 left 3x 1 0 extLongrightarrow extx frac13 y frac23 right o Ponto crítico 1 3 2 3 1 2 Classificação via Matriz Hessiana Matriz Hessiana 𝐻 2 1 0 1 2 0 0 0 2 o 2 0 o det 2 1 1 2 3 0 o det𝐻 6 0 Conclusão 𝐻 é positiva definida ponto de mínimo Resposta a 11 𝐶𝑀𝑔 𝑑𝐶𝑇 𝑑𝑞 𝐶𝑀𝑔 02𝑞 𝑑𝐶𝑇 𝑑𝑞 02𝑞 𝐶𝑇𝑞 02𝑞 𝑑𝑞 A integral de 02𝑞 é 𝐶𝑇𝑞 01𝑞2 𝐶 Onde 𝐶 é a constante de integração Como o enunciado não fornece informação sobre o custo fixo podemos supor que o custo total no ponto 𝑞 0 seja zero 𝐶𝑇0 0 𝐶𝑇𝑞 01𝑞2 𝛥𝐶𝑇 𝐶𝑇100 𝐶𝑇0 𝐶𝑇100 01 1002 01 10000 1000 𝛥𝐶𝑇 1000 0 1000 Resposta1000 12 A função utilidade do indivíduo é dada por 𝑈 𝑥𝛼𝑦𝛽 A restrição orçamentária é 𝑥𝑝𝑥 𝑦𝑝𝑦 𝑟 𝐿 𝑈𝑥 𝑦 𝜆 𝑟 𝑥𝑝𝑥 𝑦𝑝𝑦 𝐿 𝑥𝛼𝑦𝛽 𝜆 𝑟 𝑥𝑝𝑥 𝑦𝑝𝑦 Portanto a afirmação dada na questão está falsa pois o Lagrangiano correto deve incluir a restrição orçamentária e o multiplicador de Lagrange Resposta Falso 13 Simplificação da Expressão o Fatorando o denominador soma de cubos 𝑥3 𝑦3 𝑥 𝑦𝑥2 𝑥𝑦 𝑦2 o Reorganizando o numerador 𝑥9 𝑥3𝑦3 𝑥3𝑥6 𝑦3 𝑥3𝑥32 𝑦3 o Dividindo numerador e denominador por 𝑦3 𝑥3𝑥6 𝑦31 𝑥3 𝑦31 Para 𝑦 1 𝑥3𝑥61 𝑥31 𝑥31𝑥31𝑥3 1𝑥3 𝑥31 𝑥3 lim 𝑥1𝑥31 𝑥3 131 13 1 2 2 Resposta O limite é 2 14 1 𝐿𝑥1 𝑥2 𝜆 2𝑥1 𝑥2 𝜆𝑥1 2 𝑥2 2 2𝑥1 1 2 𝐿 𝑥1 2 𝜆2𝑥1 2 01 𝐿 𝑥2 1 𝜆2𝑥2 02 𝐿 𝜆 𝑥1 2 𝑥2 2 2𝑥1 1 03 3 o A partir da equação 2 𝜆 1 2𝑥2 o Para 𝑥2 2 5 𝑥1 1 2 2 5 1 8 5 o Para 𝑥2 2 5 𝑥1 1 2 2 5 1 8 5 4 o Ponto 1 8 5 2 5 𝑓 2 1 8 5 2 5 2 10 mı ˊnimo o Ponto 1 8 5 2 5 𝑓 2 1 8 5 2 5 2 10 ma ˊximo Resposta b 1 8 5 2 5 é um ponto de mínimo 15 𝑓𝑥 𝑥4 108𝑥 1 𝑓𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥4 108𝑥 1 𝑓𝑥 4𝑥3 108 4𝑥3 108 0 4𝑥3 108 𝑥3 108 4 27 𝑥 27 3 3 O único ponto crítico é 𝑥 3 A derivada de 𝑓𝑥 𝑥4 108𝑥 1 é 𝑓𝑥 4𝑥3 108 𝑓𝑥 𝑑 𝑑𝑥 4𝑥3 108 12𝑥2 𝑓3 1232 12 9 108 Como 𝑓3 0 𝑥 3 é um ponto de mínimo local RESPOSTA 𝑥 3 16 1 𝑓𝑥 𝑥2 4𝑥 3 2 𝑓𝑥 2𝑥 4 o Em 𝑥 1 𝑓1 2 máximo local o Em 𝑥 3 𝑓3 2 mínimo local Como 𝑓𝑥 é um polinômio cúbico ele não possui extremos globais Quando 𝑥 𝑓𝑥 quando 𝑥 𝑓𝑥 Portanto os extremos locais não são globais RESPOSTA falsa 17 𝑔1𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥3 2 𝑥1 2 𝑥2 2 0 𝑔2𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 0 𝐿𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝜆1 𝜆2 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝜆1𝑔1𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝜆2𝑔2𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝐿𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝜆1 𝜆2 𝑥1 2 𝑥3 2 𝑥2 2 𝜆1𝑥3 2 𝑥1 2 𝑥2 2 𝜆2𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 1 Derivada parcial em relação a 𝑥1 𝐿 𝑥1 2𝑥1 2𝜆1𝑥1 𝜆2 0 𝑥11 𝜆1 𝜆2 2 1 Derivada parcial em relação a 𝑥2 𝐿 𝑥2 2𝑥2 2𝜆1𝑥2 𝜆2 0 𝑥21 𝜆1 𝜆2 2 1 Derivada parcial em relação a 𝑥3 𝐿 𝑥3 2𝑥3 2𝜆1𝑥3 𝜆2 0 𝑥31 𝜆1 𝜆2 2 1 Derivada parcial em relação a 𝜆1 𝐿 𝜆1 𝑥3 2 𝑥1 2 𝑥2 2 0 𝑥3 2 𝑥1 2 𝑥2 2 1 Derivada parcial em relação a 𝜆2 𝐿 𝜆2 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 0 1 𝑥11 𝜆1 𝜆2 2 2 𝑥21 𝜆1 𝜆2 2 3 𝑥31 𝜆1 𝜆2 2 4 𝑥3 2 𝑥1 2 𝑥2 2 5 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 0 𝑥1 𝑥2 2𝑥1 12 2𝑥1 2 4𝑥1 2 4𝑥1 1 2𝑥1 2 2𝑥1 2 4𝑥1 1 0 𝑥1 442421 22 4168 4 48 4 422 4 𝑥1 1 2 2 𝑥1 1 2 2 ou𝑥1 1 2 2 x3 Como 𝑥1 𝑥2 temos 𝑥2 1 2 2 ou𝑥2 1 2 2 Para 𝑥1 1 2 2 𝑥3 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 Para 𝑥1 1 2 2 𝑥3 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 Os pontos críticos são 1 2 2 1 2 2 1 2 e 1 2 2 1 2 2 1 2 A alternativa correta é a 18 𝑅𝑇 100 𝑄 20 𝑄 100𝑄 𝑄2 20 𝜋 𝑅𝑇 𝐶𝑇 100𝑄 𝑄2 20 0075𝑄2 10000 𝜋 100𝑄 𝑄2 8 10000 𝑑𝜋 𝑑𝑄 100 𝑄 4 1 𝑑2𝜋 𝑑𝑄2 1 4 0 Concavidade para baixo ma ˊximo 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑂𝑆𝑇𝐴 400