Resumo de Estatística Afa

Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nESTATÍSTICA DESCRITIVA\n(de acordo com o edital da AFA 2012/2013)\n\n1 Introdução; Conceitos básicos: população e amostra, variável.\n\nPode-se dizer que Estatística é a atividade humana especializada ou um corpo de técnicas, ou ainda uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões.\n\nA Estatística Descritiva pode ser interpretada como uma função cujo objetivo é a observação de fenômenos de mesma natureza, a coleta de dados numéricos referentes a esses fenômenos, a organização e a classificação desses dados observados e a sua apresentação através de gráficos e tabelas, além do cálculo de coeficientes (estatísticos) que permitem descrever resumidamente os fenômenos.\n\nPopulação O Universo Estatístico é o conjunto constituído por todos os indivíduos que apresentam pelo menos uma característica comum, cujo comportamento interessa analisar (inferir). De maneira mais informal, podemos dizer que população é o conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o qual se faz inferência e coleta de dados estatísticos em nível relevante para esse estudo, são suas características e dados históricos. Para caracterizar uma população estudada em termos de uma amostra, se pode definir uma subpopulação, tendo sempre em consideração os aspectos que a caracterizam.\n\nAmostra pode ser definida como um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de observações abrangidas pela população, através da qual se faz um juízo ou inferência sobre as características da população.\n\nQuando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, tem-se uma estatística de atributo; por outro lado, se os dados são expressos através de valores numéricos e possuem caráter quantitativo, tem-se uma estatística quantitativa ou de variável.\n\nVariável é um atributo mensurável que tipicamente varia entre os indivíduos.\n\n2 Frequência absoluta e relativa; porcentagem; tabelas de frequência.\n\nPara apresentar os conceitos a seguir, vamos considerar um grupo de 10 estudantes com as seguintes idades: 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16.\n\nOs dados podem ser agrupados considerando o número de repetições de um determinado valor ou de valores em um intervalo. Essa maneira de apresentar os dados é denominada distribuição de frequências.\n\nFrequência Absoluta (simples) (n_i) é o número de repetições de um valor individual ou de uma classe de valores da variável.\n\nmadematica.blogspot.com\nPágina 1 de 25 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nExemplo:\n\nidade | n_i\n13 | 2\n14 | 4\n15 | 3\n16 | 1\n\nA soma das frequências simples absolutas em uma tabela é chamada frequência total e corresponde ao número total de observações.\n\nΣ k\ni=1 n_i = n\n\nFrequência Absoluta Acumulada (N_j) de uma classe ou de um valor individual é a soma da frequência absoluta simples dessa classe ou valor com as frequências absolutas simples das classes ou dos valores menores ou anteriores. Observe que a frequência acumulada pode ser \"abaixo de\" ou \"acima de\" dependendo do tipo de informação que se deseja obter. Quando não há referência, considera-se que a frequência acumulada é \"abaixo de\".\n\nidade | n_i | N_i\n13 | 2 | 2\n14 | 4 | 6\n15 | 3 | 9\n16 | 1 | 10\nTOTAL | 10 | 10\n\nA frequência absoluta acumulada da última classe é igual ao total de observações.\n\nA Frequência Relativa (simples) (f_i) é a razão entre a frequência absoluta (n_i) e o número total de dados (n).\n\nf_i = n_i / n\n\nExemplo:\n\nidade | n_i | f_i\n13 | 2 | 0,2\n14 | 4 | 0,4\n15 | 3 | 0,3\n16 | 1 | 0,1\nTOTAL | 10 | 1\n\nmadematica.blogspot.com\nPágina 2 de 25 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nA frequência relativa sempre pertence ao intervalo [0,1], ou seja, 0 ≤ f_i ≤ 1 e a soma das frequências relativas de todos os valores assumidos por uma determinada variável é igual a 1.\n\nA Frequência Relativa Acumulada (F_i) de uma classe ou valor individual é igual à soma da frequência relativa simples dessa classe ou valor com as frequências relativas simples das classes ou valores menores ou anteriores. A frequência relativa acumulada também pode ser obtida pela razão entre a frequência absoluta acumulada e o total de observações.\n\nF_i = N_i / n\n\nExemplo:\n\nidade | n_i | N_i | f_i\n13 | 2 | 2 | 0,2\n14 | 4 | 6 | 0,6\n15 | 3 | 9 | 0,9\n16 | 1 | 10 | 1,0\nTOTAL | 10 | 10 | 1,0\n\nDados agrupados em classes\n\nA lista a seguir apresenta as notas de 10 alunos em uma prova: 4,5; 5,1; 5,6; 6,2; 6,5; 6,8; 7,2; 7,5; 8,2.\n\nObserve que para a análise desses dados, é conveniente agrupá-los em intervalos de classe. Veja a tabela a seguir:\n\nIntervalo de notas | Frequência (n_i)\n4,0 - 5,0 | 1\n5,0 - 6,0 | 2\n6,0 - 7,0 | 2\n7,0 - 8,0 | 2\n8,0 - 9,0 | 1\n\nObserve que a [a + b] representa o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita [a, b[, que é um intervalo de classe de amplitude b-a. O ponto médio da classe (x_i) é a média aritmética entre o limite inferior e o limite superior da classe, ou seja, x_i = (a + b) / 2. Recomenda-se que os intervalos de classe adotados tenham sempre a mesma amplitude.\n\nmadematica.blogspot.com\nPágina 3 de 25 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\n3 Gráficos estatísticos: gráficos de barras, gráficos de linhas (poligonal), gráficos de setores, histograma.\n\nGráfico de setores\n\nSe uma variável assume k valores distintos, podemos representar a distribuição de frequências dividindo o círculo em k setores circulares com ângulos centrais proporcionais às frequências de cada um dos valores.\n\nÍdade\n\nGráfico de barras\n\nO gráfico de barras tem por finalidade comparar grandesas por meio de retângulos de igual altura e larguras proporcionais às respectivas grandesas.\n\nFrequentias\n\nOs gráficos de colunas ou gráfico de barras verticais permitem comparar grandesas por meio de retângulos de mesma largura e alturas proporcionais às respectivas grandesas.\nmadematica.blogspot.com\nPágina 4 de 25 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nGráfico de linhas (poligonal)\n\nOs gráficos em linha são obtidos representando os valores da variável no gráfico e unindo-se esses pontos por segmentos de retas. Esses gráficos são muito convenientes para representar séries temporais.\n\nAno\n\nHistograma\n\nUm histograma é um gráfico de colunas que representa uma distribuição de frequências.\n\nConsidere um grupo de 26 alunos com as seguintes idades: 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 17.\nmadematica.blogspot.com\nPágina 5 de 25 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nVamos construir histogramas correspondentes a esses dados.\n\nHistograma de frequências absolutas\n\nHistograma de frequências relativas\n\nO polígono de frequências é um gráfico em linhas representativo de uma distribuição de frequências simples. No caso de dados agrupados em intervalos de classe, os pontos do gráfico são os pontos médios das bases superiores dos retângulos.\n\nO gráfico em linhas representativo de uma distribuição de frequências acumuladas é chamado polígono de frequências acumuladas ou ogiva de Galton. No caso de dados agrupados em intervalos de classe, os pontos do gráfico são os pontos correspondentes aos limites superiores das classes das bases superiores dos retângulos.\nmadematica.blogspot.com\nPágina 6 de 25 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nvalores é igual a soma de cada um os valores assumidos pela variável multiplicado pela sua frequência dividida pela soma das frequências, ou seja, x̄ = Σ xi * ni / Σ ni.\n\nExemplo: x̄ = 2 - 13 + 4 + 14 + 3 - 15 + 1 - 16 / 2 + 4 + 3 + 1 = 14,3.\n\nSeja fi = ni / Σ ni de cada um dos valores assumidos pela variável x, então sua média aritmética pode ser escrita como x̄ = Σ xi * fi = x1 * f1 + x2 * f2 + ... + xk * fk.\n\nExemplo: x̄ = 0,2 - 13 + 0,4 + 14 + 0,3 - 15 + 0,1 - 16 = 14,3.\n\nObserve que as fórmulas para o cálculo da média aritmética utilizando as frequências absolutas ou relativas dos valores assumidos assemelham-se à fórmula da média aritmética ponderada, estando as frequências absolutas ou relativas. 4 Medidas de centralidade: média aritmética, média aritmética ponderada, mediana, moda.\n\nPara apresentar os conceitos a seguir, vamos considerar um grupo de 10 estudantes com as seguintes idades: 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16.\n\nMédia Aritmética e Média Aritmética Ponderada\n\nSeja x uma variável quantitativa e x1, x2, x3, ..., xn os valores assumidos por essa variável. A média aritmética (x̄) de x é igual a soma de todos os valores assumidos pela variável dividida pelo número de valores, ou seja, x̄ = Σ xi / n.\n\nExemplo: x̄ = 13 + 13 + 14 + 14 + 14 + 15 + 15 + 15 + 16 / 10 = 14,3\n\nSe adicionarmos um mesmo valor a cada um dos valores assumidos pela variável, a média aritmética fica adicionada desse valor.\n\nSe multiplicarmos cada um dos valores assumidos pela variável por um mesmo valor, a média aritmética fica multiplicada por esse valor.\n\nSeja x uma variável quantitativa e x1, x2, x3, ..., xk os valores assumidos por essa variável, com frequências absolutas respectivamente iguais a n1, n2, n3, ..., nk. A média aritmética (x̄) desses. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nQuando os dados estão agrupados em intervalos de classe, o cálculo da mediana é feito por interpolação, de acordo com a seguinte fórmula: Me = l + (n/2 - F) / fMe * h, onde l é o limite inferior do intervalo da classe mediana, n é o número total de observações, Fst é a frequência acumulada da classe anterior à da mediana e fMe é a frequência simples da classe da mediana.\n\nModa\n\nSeja x uma variável e x1, x2, x3, ..., xk os valores assumidos por essa variável, com frequências absolutas respectivamente iguais a n1, n2, n3, ..., nk. A moda (Mo) dos valores é o max{n1, n2, n3, ..., nk}.\n\nAssim, a moda de um conjunto é o valor que ocorre mais vezes ou de maior frequência simples (absoluta ou relativa) numa distribuição de frequências.\n\nExemplo: Sejam 10 estudantes com as seguintes idades: 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16. A moda é 14.\n\nA moda pode não existir ou, existir, mas não ser única.\n\nObserve que, diferentemente da média e da mediana, é possível calcular a moda também de variáveis que não sejam quantitativas.\n\nQuando os dados estão agrupados em intervalos de classe, a classe modal é a classe de maior frequências. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nO desvio em relação à média aritmética é a diferença entre cada valor e a média aritmética.\n\nd_i = x_i - \\bar{x}\n\nA soma de todos os desvios em relação à média aritmética é sempre nula.\n\nO desvio médio absoluto (DMA) é a média aritmética dos desvios em módulo.\n\nDMA = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} |d_i|}{n} \n\nSe os dados forem agrupados em intervalos de classe, então o módulo de cada desvio deve ser multiplicado pela sua frequência absoluta (n_i).\n\nDMA = \\frac{\\sum_{i=1}^{k} |d_i| \\cdot n_i}{n}\n\nExemplo: Sejam 10 estudantes com as seguintes idades: 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16.\n\nIdade: n_i: d_i: |d_i|: |d_i|\n\n13 2 -1, 3 1, 3\n14 4 0, 0 0, 0\n15 3 0, 7 0, 7\n16 1 1, 7 1, 7\n\nO desvio médio absoluto é DMA = \\frac{2, 6 + 1, 2 + 2, 1 + 1, 7}{2 + 4 + 3 + 1} = 0, 76.\n\nVariância Populacional\n\nA variância populacional (σ²) é a média aritmética da soma dos quadrados dos desvios em relação à média de um conjunto de números.\n\nσ² = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} d_i^2}{n} \n\nOutra fórmula para o cálculo da variância populacional é σ² = \\frac{1}{n} \\left[ \\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \\left( \\sum_{i=1}^{n} x_i \\right)^2 \\right].\n\nmadematica.blogspot.com\nPágina 10 de 25 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nSe os dados forem agrupados em intervalos de classe, então o quadrado de cada desvio deve ser multiplicado pela sua frequência absoluta (n_i) ou relativa (f_i).\n\nσ² = \\frac{\\sum_{i=1}^{k} d_i^2 \\cdot n_i}{n}\n\nSe adicionarmos um mesmo valor a cada um dos valores assumidos pela variável, a variância não se altera.\n\nSe multiplicarmos cada um dos valores assumidos pela variável por um mesmo valor, a variância fica multiplicada pelo quadrado desse valor.\n\nSe a variância for calculada sobre uma amostra em vez de sobre toda a população, teremos então a chamada variância amostral que é dada por S² = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} (x_i - \\bar{x})^2 \\cdot n_i}{n - 1} ou para dados agrupados por\n\nIdade: n_i: d_i: d_i²\n\n13 2 -1, 3 1, 69\n14 4 0, 0 0, 00\n15 3 0, 7 0, 49\n16 1 1, 7 2, 89\n\nA variância populacional é σ² = \\frac{2 \cdot 1, 69 + 4 \cdot 0, 09 + 3 \cdot 0, 49 + 1 \cdot 2, 89}{2 + 4 + 3 + 1} = 0, 81.\n\nDesvio Padrão Populacional\n\nO desvio padrão populacional (σ) é a média quadrática dos desvios em relação à média de um conjunto de números ou a raiz quadrada da variância. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nOutra fórmula para o cálculo do desvio padrão populacional é σ = \\sqrt{\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} (x_i - \\bar{x})^2}.\n\nSe os dados forem agrupados em intervalos de classe, então o quadrado de cada desvio deve ser multiplicado pela sua frequência absoluta (n_i) ou relativa (f_i).\n\nσ = \\sqrt{\\frac{\\sum_{i=1}^{k} d_i^2 \\cdot n_i}{n}}.\n\nSe adicionarmos um mesmo valor a cada um dos valores assumidos pela variável, o desvio padrão não se altera.\n\nSe multiplicarmos cada um dos valores assumidos pela variável por um mesmo valor, o desvio padrão fica multiplicado por esse valor.\n\nSe o desvio padrão for calculado sobre uma amostra em vez de sobre toda a população, teremos então o chamado desvio padrão amostral que é dado por S = \\sqrt{\\frac{\\sum_{i=1}^{k} d_i^2 \\cdot n_i}{n - 1}} ou para dados agrupados por S = \\sqrt{\\frac{\\sum d_i^2 \\cdot n_i}{n - 1}}.\n\nObserve que, comparando-se duas amostras que possuem a mesma média aritmética, aquela de menor desvio padrão apresentará resultados mais próximos da média do que a outra.\n\nA razão entre o desvio padrão amostral e o populacional é \\sqrt{\\frac{n}{n - 1}} chamado fator de correção de Bessel.\n\nSe os valores se distribuem de acordo com uma distribuição normal (unimodal, gaussiana, simétrica, de afinamento médio) podemos dizer que:\n\n68% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a um desvio padrão.\n\n95% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a dois desvios padrão.\n\n99,7% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.\n\nEsta informação é conhecida como a regra dos \"68-95-99,7\". Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nFonte: Wikipédia\nExemplo: Sejam 10 estudantes com as seguintes idades: 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16.\n\nIdade ni \u03b4i \u03b4i²\n13 2 -1,3 1,69\n14 4 -0,3 0,09\n15 3 0,7 0,49\n16 1 1,7 2,89\n\nO desvio padrão populacional é σ = √(2·1,69 + 4·0,09 + 3·0,49 + 1·2,89)\n 2 + 4 + 3 + 1 = √0,81 = 0,9.\n\nEXERCÍCIOS\n\nQUESTÃO 1\n(EEAr 2000) Numa prova de matemática, três classes obtiveram as seguintes médias e desvios:\nclasse A: x̄ = 4,5 e σ = 2,5\nclasse B: x̄ = 4,5 e σ = 3,1\nclasse C: x̄ = 4,5 e σ = 2,8\nSe for sorteado um aluno em cada classe, em qual delas é mais provável que a nota desse aluno esteja entre 3,0 e 6,0?\na) Classe A\nb) Classe B\nc) Classe C\nd) Classes B e C\n\nRESPOSTA: a\nRESOLUÇÃO: Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nComo o intervalo [3,0;6,0] é simétrico em relação à média aritmética x̄ = 4,5, a probabilidade do aluno ter uma nota nesse intervalo é maior na classe que tem mais notas próximas à média, ou seja, naquela que tem o menor desvio médio, que é a classe A.\n\nQUESTÃO 2\n(EEAr 2000) Os resultados da prova de Ciências aplicada a uma turma de um certo colégio estão apresentados no gráfico. Baseado neste gráfico, podemos afirmar que a porcentagem de alunos dessa turma com nota inferior a 5,0, nessa prova de Ciências, foi de\n\n 14\na) 37,5%\nb) 42,5%\nc) 47,5%\nd) 52,5%\n\nRESPOSTA: b\nRESOLUÇÃO:\nO total de alunos é n=1+3+5+8+12+5+3+2+1=40.\nA porcentagem de alunos com nota inferior a 5,0 é\n\nF4 = N4/n = 1+3+5+8/40 = 42,5%. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\n1,85 | 1,90 08\n1,90 | 1,95 02\nTotal 80\n\na) 25%\nb) 30%\nc) 60%\nd) 75%\n\nRESPOSTA: a\nRESOLUÇÃO:\n10+8+2 = 1\n 80\n= 25%\n\nQUESTÃO 4\n(EEAr 2003) Um teste de inteligência, aplicado aos alunos das 4as séries do Ensino Fundamental da Escola A, apresentou os seguintes resultados:\n\nPont n.º de alunos Pontos n.º de alunos\n90 | 95 40 115 | 120 140\n95 | 100 60 120 | 125 120\n100 | 105 100 125 | 130 90\n105 | 110 160 130 | 135 20\n110 | 115 180 135 | 140 10\n\nA frequência relativa da classe modal é\na) 0,2\nb) 0,22\nc) 0,25\nd) 0,5\n\nRESPOSTA: a\nRESOLUÇÃO:\nA classe modal é a 5ª classe (110|–|115). A frequência relativa dessa classe é:\nfs = 40+60+140+160+180/180\n = 20/100 = 0,2. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\na) 57\nb) 20\nc) 41\nd) 16\n\nRESPOSTA: a\n\nRESOLUÇÃO:\nF4 = f1+f2+f3+f4 = 8+12+21+16 = 57\n\nQUESTÃO 6\n(EEAr 2004) A média de um conjunto de quatro valores é 4,25. Se aumentarmos 5 unidades o menor desses valores, e diminuirmos de 3 unidades o maior deles, a nova média será\na) 4,75\nb) 5,25\nc) 5\n5\n\nRESPOSTA:\n\nRESOLUÇÃO:\nSejam x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 cuja média é ______ 4,25 ⇔ x1+x2+x3+x4 = 17;\na nova média é dada por\n(x1+5)+x2+x3+(x4−3) ______\n4\n4\nQUESTÃO 7\n(EEAr 2005) A tabela traz as idades, em anos, dos filhos de 5 mães.\nNome da Mãe Ana Márcia Cláudia Lúcia Eloísa\nIdade dos filhos 7, 10, 12 11, 15 8, 10, 12 14 9, 12, 15, 16, 18\n\nA idade modal desses 15 filhos é inferior à idade média dos filhos de Eloísa em ______ anos(s).\na) 4\nb) 3\nc) 2\nd) 1\n\nRESPOSTA: c\n\nRESOLUÇÃO:\nA idade modal é 12 anos,\na idade média dos filhos de Eloísa é 9+12+15+16+18 ______\n5 = 14.\nA idade modal desses 15 filhos é inferior à idade média dos filhos de Eloísa em 14−12 = 2 anos.\n Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nQUESTÃO 8\n(EEAr 2005) Na distribuição dos salários de 800 empregados de uma empresa, o ponto médio da 4.* classe é R$ 1400,00. Se as 8 classes dessa distribuição têm a mesma amplitude de: R$ 200,00 e são do tipo [a, b], então a 6.* classe não inclui, com certeza, o salário de R$\na) 1900,00\nb) 1850,00\nc) 1800,00\nd) 1750,00\n\nRESPOSTA: a\n\nRESOLUÇÃO:\nSe R$ 1400,00 é o ponto médio da 4.* classe e ela tem amplitude R$ 200,00, então a 4.* classe é 1300─1500.\nPortanto, a 5.* classe é 1500─1700 e a 6.* classe 1700─1900, ou seja, [1700,1900[ que não inclui R$ 1900,00.\n\nQUESTÃO 9\n(EEAr 2005) Sejam x1, x2, x3, …, x11 os valores ordenados de uma variável X. A mediana desse conjunto de valores é igual a\na) x41\nb) x40\nc) x40+x41\n2\n\nd) x41+x42\n2\n\nRESPOSTA: a\n\nRESOLUÇÃO:\nComo a quantidade de termos é ímpar a ordem da mediana é 81+1 ______ 2 = 41. Logo, a mediana é x41.\n Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nQUESTÃO 10\n(EEAr 2006) Os resultados de uma pesquisa realizada com 20 alunos de uma escola, a respeito da área da carreira pretendida, estão apresentados na tabela:\nÁrea Frequência Absoluta Frequência Relativa\nHumanas 8 M\nBiológicas P 0,35\nExatas R S\nTotal 20 1,00\n\nOs valores de M, P, R e S são, respectivamente:\na) 0,35; 5; 7 e 0,35.\nb) 0,4; 7; 5 e 0,4.\nc) 0,4; 7; 5 e 0,25.\nd) 0,25; 5; 7 e 0,25.\n\nRESPOSTA: c\n\nRESOLUÇÃO:\nA frequência relativa de humanas é M = 8/20 = 0,4.\nA frequência relativa da área biológica é P = 0,35 ⇔ P = 7.\nComo o total de alunos é 20, temos: 8+7+R=20 ⇔ R=5.\nA frequência relativa de exatas é S = 5/20 = 0,25.\n\nQUESTÃO 11\n(EEAr 2006) Sendo fi as frequências absolutas, a classe mediana da distribuição é a:\nclasse [10,20[ [20,30[ [30,40[ [40,50[ [50,60[ [60,70[ [70,80[\nfi 25 18 10 5 9 12 15\n\nb) 2ª\nc) 3ª\nd) 5ª\n\nRESPOSTA:\n\nRESOLUÇÃO:\nO total de observações é n = 25+18+10+5+9+12+15 = 94.\nComo n = 94 é par, então a mediana é dada por ______\nx94+x(94−1) ______\n2 2\n\n4ª classe, então é essa a classe mediana.\n\nQUESTÃO 12\n(EEAr 2006) A tabela mostra as idades dos alunos matriculados no Centro de Educação Infantil \"X\", em 2005.\n\nIdade (anos) Número de alunos\n2 3\n3 5\n4 5\n5 9\n6 25\n\nTotal 50\n A média dessa distribuição é\na) 10,28\nb) 12\nc) 18 e 36%\nd) 11,17 É correto afirmar que o número\na) média de filhos é maior que o número médio.\nb) média de filhos coincide com o número modal.\nc) mediana e o número modal de filhos são iguais.\nd) modal, o mediano e o número médio de filhos são iguais.\n\nRESPOSTA: a\n\nRESOLUÇÃO:\nA moda é 4.\nA média é x = 0.2+1+8+2+10+3+14+4+18+5-15 = 217/67 ≈ 3,24.\nA ordem da mediana é 67/1 = 34 e o seu valor é 3.\nLogo, o número modal de filhos é maior que o número médio. RESPONDA:\nA pesquisa referida é obtida pela razão entre a frequência absoluta e o número total de elementos. Portanto, ela permite comparar amostras com quantidades de elementos diferentes.\n\nRESPOSTA: b\n\nQUESTÃO 16\n(EEAr 2007) Feito um levantamento sobre a altura dos 50 alunos da 5ª série A de um colégio, chegou-se aos seguintes resultados:\n\nAltura (cm)\nnº de alunos\n150 - 154 2\n154 - 158 12\n158 - 162 14\n162 - 166 8\n166 - 170 6\n170 - 174 4\n\nNessas condições, o número de alunos da 5ª A que não atingem 1,58 m de altura, e a porcentagem de alunos cuja altura é maior ou igual a 1,62 m são, respectivamente, QUESTÃO 21\n(EEAr 2010) O gráfico representa a produção de arroz, em milhares de toneladas, em certo país, no período 1980-1988.\n\nPelo gráfico, pode-se concluir que, no período 1980-1988, nesses país, a produção média anual de arroz, em mil toneladas, é, aproximadamente,\na) 64.\nb) 60.\nc) 58.\nd) 52.\n\nRESPOSTA: d\n\nRESOLUÇÃO:\n\\overline{x} = \\frac{50 + 30 + 20 + 30 + 60 + 60 + 70 + 80 + 70}{9} = \\frac{470}{9} \\approx 52 QUESTÃO 22\n(EEAr 2010) Os salários mensais, em reais, dos 24 funcionários de uma empresa são\n\n800 840 880 880 1000 1050 1060\n1100 1150 1200 1210 1230 1250 1280 1300\n1340 1380 1450 1480 1500 1520 1550\n\nO salário mensal mediano dessa empresa, em reais, é:\na) 1200\nb) 1210\nc) 1220\nd) 1230\n\nRESPOSTA: b\n\nRESOLUÇÃO:\nComo n = 24 é par, o salário mediano é \\frac{x_{(\\frac{n}{2})} + x_{(\\frac{n}{2} + 1)}}{2} = \\frac{1210 + 1230}{2} = 1220. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.\n\nRESOLUÇÃO:\nOrdenando os valores, temos: 1,92; 1,98; 2,05; 2,11; 2,16.\nComo n = 5 é ímpar, a ordem da mediana é \\( \\frac{5+1}{2} = 3 \\) e seu valor é \\( x_3 = 2,05 \\).\n\nmadematica.blogspot.com\nPágina 25 de 25