Resumo Oscilações Mecânicas - Física 2

Oscilações Mecânicas - Função Energia Potencial p/ forças conservativas (Ab) U(x) F(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = m\dot{\overline{a}} Pontos de equilíbrio: \frac{dU(x)}{dx} |_{x=x_0} = 0 \frac{d^2U(x)}{dx^2} |_{x=x_0} > 0 (equilíbrio estável) \rightarrow movimento periódico (oscilação) U(x) ≈ U(x_0) = O \frac{d^2U(x)}{dx^2} |_{x=x_0} < 0 (equilíbrio instável) U(x) ≈ U(x_0) + \frac{dU(x)}{dx} |_{x_0} + \frac{1}{4} \frac{d^4U(x)}{dx^4} |_{x_0} x^4 + ... U(x) ≈ U(x_0) + \frac{1}{2} \frac{d^2U(x)}{dx^2} |_{x=x_0} x^2 Parêntese: Expansão em série de Taylor f(x) f(x) ≈ f(x_0) + \frac{df(x)}{dx} |_{x=x_0} (x-x_0) + \frac{1}{2!} \frac{d^2f(x)}{dx^2} |_{x=x_0} (x-x_0)^2 + ... + \frac{1}{n!} \frac{d^nf(x)}{dx^n} |_{x=x_0} (x-x_0)^n U(x) em torno de um ponto de equilíbrio estável Força Associada: F(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = cx^2 F(x) = - cx - Um sistema físico na vizinhança de uma posição de equilíbrio estável executa oscilações harmônicas. - A equação de movimento do oscilador harmônico simples (MHS) IIª Lei de Newton: F(x) = -cx = m\overline{a} -cx = m\frac{d^2x}{dt^2} mx'' + cx = 0 x'' + \frac{ω_0^2x}{c/m} = 0 \omega_0 = \sqrt{\frac{c}{m}} (Modelos comuns de osciladores harmônicos simples) a) Massa - mola F(x) = - kx ω_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} b) Pêndulo simples oscilando em pequenos ângulos F(x) = -mg\theta ω_0 = \sqrt{\frac{g}{L}} Parêntese: Noções básicas de números complexos z = a + bi onde bεR, i = \sqrt{-1} a = Re(z) \rightarrow parte real b = Im(z) \rightarrow parte imaginária → Diagrama de Argand Representação na Forma Polar: |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(a+ib)(a-ib)} = \sqrt{z \overline{z}} z = |z|(cosθ + i sinθ) z = |z|(cosθ + i sinθ) \frac{e^{iθ}}{2} = \cosθ + i \sinθ fórmula de Euler Solção da equação do oscilador harmônico simples usando o método dos números complexos ∴ EDO de segunda ordem do MHS: x'' + ω_0^2x = 0 Objetivo: encontrar x(t) u x = x_0 nt = 0 Chute inicial: x(t) = ae^{st} \dot{x}(t) = ase^{s t} \ddot{x}(t) = as^2e^{s t} a(y + ω_0^2) = 0 s^2 = -ω_0^2 s = ±iω_0 x (t) = be^{iω_0t} + b_2e^{-iω_0t} Duas soluções particulares linearmente independentes x(t) = b_1 e^{iω_0t} + b_2 e^{-iω_0t} → solução geral, (matemática) Condições iniciais x(t) = x_0 v(t) = v_0 x(t) = b_1e^{iω_0t} + b_2e^{-iω_0t} v(t) = iω_0b_1e^{iω_0t} - iω_0b_2e^{-iω_0t} -b_1+b_2=x_0 iω_0(b_2 − b_2) = v_0 x(t) = b_1[cos(ω_0t)] + i sin(ω_0t)] t − b_2[cos(ω_0t)] x(t) = (b_1+b_2) \cos(ω_0t) + i(b_1−b_2)\sin(ω_0t) x(t) = x_0 \cos{(\omega_0 t)} + \frac{v_0}{\omega_0} \sen{(\omega_0 t)} Solução geral do oscilador harmônico simples Outra forma: x(t) = A \cos{(\omega_0 t + \delta)}\ \ \ ou\ \ \ x(t) = A \sen{(\omega_0 t + \varphi)} com \varphi = \delta + \frac{\pi}{2}\ \ \ (\text{Ângulo de fase da oscilação}) Utilizando \cos\ \text{e}\ \sen\ \text{da soma}: x(t) = A\ (\cos{(\delta)}\cos{(\omega_0 t)} - \sen{(\delta)}\sen{(\omega_0 t)}) x_0 = A \cos{(\delta)} v_0 = -A \omega_0 \sen{(\delta)} tan(\delta)=-\frac{x_0}{\omega_0 v_0}\ \ \ A= \frac{x_0}{\cos{(\delta)}}