Sequencias e Series Numericas Calculo do Termo Geral e Convergencia

Desde o Ensino Médio as sequências estão presentes nas aulas de matemática Lá somos apresentados às Progressões Aritméticas e Geométricas Aqui durante a graduação revemos esses conceitos nas disciplinas de Introdução ao Cálculo e depois mais formalmente em Cálculo Diferencial e Integral III Na disciplina de Análise Matemática temos essas mesmas sequências mas vistas de maneira mais aprofundada Além disso o conceito de série também é apresentado Sobre as sequências e séries considere a seguinte sequência numérica xₙ 14 116 164 1256 a Calcule o termo geral da sequência xₙ e mostre que é uma sequência monótona decrescente b Considere a série yₙ dada por yₙ de n1 até tal que yₙ 14 4ⁿ Essa série é convergente ou divergente Justifique sua resposta a Perceba que o primeiro termo da sequência é 1 4 e cada termo seguinte é igual ao anterior multiplicado por 1 4 logo é uma progressão geométrica com razão 1 4 Logo o nésimo termo é xn1 4 1 4 n1 xn 1 4 n E vamos mostrar por indução que xn é monótona decrescente Base da indução De fato x1 x2 pois 1 4 1 16 Passo indutivo E supondo que xn1 xn então xn1 xn 1 4 n1 1 4 n 1 4 1 4 n1 1 4 1 4 n 1 4 n 1 4 n1 xnxn1 Portanto xnxn1 para todo n número natural b Primeiro sendo xn a sequência do item a então para todo n temos xn yn pois xn yn 1 4 n 1 44 n 44 n4 n40 Também n1 xn converge pois é a soma infinita de uma progressão geométrica com razão de módulo menor que 1 particularmente a razão é 1 4 Assim pelo critério da comparação como xn yn para todo n e n1 xn converge então n1 yn converge