Teorema Central do Limite e suas Aplicações em Estatística

83 O Teorema Central do Limite O TCL é um dos resultados mais importantes da Teoria de Probabilidade De forma genérica ele diz que a soma de um ntimero muito grande de varlaveis aleatdrias independentes tem distribuicao aproximadamente Normal Portanto o teorema fornece uma maneira simples de calcular probabilidades aproximadas Além disso explica 0 notavel fato de que a média amostral inclusive frequéncia relativas exibem comportamento similar ao da distribuigao Normal Em Estatistica o TCL é essencial no desenvolvimento da Teoria Assintdética muito utilizada para se fazer inferéncia estatistica sob a abordagem frequentista A versao mais simples do TCL é a seguinte Teorema Central do Limite Seja XXo uma sequéncia de vas iid com média ps e varidncia o Entao Xn pb d N01 o Va 0 1 ou seja Aad 4 Z onde Z N01 mais especificamente se F é a fda de Ark e Fz 6afda de Z entao Fx Fx Var R Alternativamente podemos escrever m X n dist AIT MH A ng 4 ovn Na pratica o TCL é utilizado da seguinte maneira para um n WN suficien temente grande para que a aproximacao seja razodvel assumese que Xu N01 ain 0 1 e usase isso para calcular probabilidades e se fazer inferéncia estatistica 1 Ler exemplo 3a do livro Exercicio A nota final de um aluno em uma certa disciplina é uma va com média 75 e variancia 25 a Utilize o TCL para calcular quantos estudantes teriam que cursar a disciplina para garantir com probabilidade de pelo menos 0 90 que a média da classe nao se afastaria de 75 por mais que 5 pontos Exemplo 3b Numero de alunos que se matricularam em uma disciplina é uma va com distribuicao Poisson com média 100 Serao abertas duas turmas se o nimero de matriculados for maior ou igual a 120 Qual a probabilidade de se teram duas turmas Solugao exata e100 7 WO Solugéo aproximada Escrever uma Poisson100 como a soma de 100 Poisson1 independentes Exemplo 3c Um dado honesto é jogado 10 vezes Encontre a probabilidade aproximada de que a soma obtida esteja entre 30 e 40 inclusive 2 TCL para variaveis independentes Seja X Xo uma sequéncia de vas independentes com respectivas média e variancia ju e a7 Se vale que a as Xs sdo uniformemente limitadas ou seja IM tq PX MW 1 Wi b S31 07 Entao i XG Hi ie Li 4 N0 1 Vein 3