Teoremas Limite e Convergência de Variáveis Aleatórias

81 e 82 Teoremas limite Em varios momentos durante o curso discutimos padroes esperados quando repetimos um experimento aleatorio muitas vezes de forma independente Em particular como frequˆencias relativas se aproximam de probabilidades medias e variˆancias de conjuntos de dados se aproximam de medias e variˆancias de variaveis aleatorias Esses resultados sao formalizados na teoria de Probabilidade atraves do conceito de convergˆencia de variaveis aleatorias Ate entao vocˆes estudaram o conceito de limite de sequˆencias de numeros reais ou seja Seja a1 a2 uma sequˆencia de numeros reais dizemos que limn an a para a R se e so se ϵ 0 n0 N tq n n0 an a ϵ Para definirmos convergˆencia de variaveis aleatorias precisamos de algo mais elaborado Em particular existem diferentes tipos de convergˆencia de vas Vamos estudar trˆes delas Essas definicoes sao de suma importˆancia para a teoria de Inferˆencia Es tatıstica Antes de estudarmos os tipos de convergˆencia vamos ver algumas desigual dades probabilısticas Proposicao 21 Desigualdade de Markov Se X e uma va que assume apenas valores naonegativos entao para todo a 0 PX a EX a prova Para a 0 defina I como sendo a variavel indicadora do evento X a e note que como X 0 I X a Tomandose o valor esperado de ambos 1 os lados temos que EI EX a sendo que EI PX a Agora obtemos a desigualdade de Chebyshev como um corolario da desigual dade de Markov Proposicao 21 Desigualdade de Markov Se X e uma va com media µ e variˆancia σ2 finitos entao para todo k 0 PX µ k σ2 k2 prova PX µ k PX µ2 k2 EXµ2 k2 σ2 k2 Essas duas desigualdades nos permitem encontrar limites superiores para probabilidades de vas quando conhecemos seus dois primeiros momentos Exemplo O numero de itens produzidos semanalmente em uma fabrica tem media 50 a O que se pode dizer sobre a probabilidade da producao semanal exceder 75 b Se a variˆancia da producao semanal e 25 o que se pode dizer sobre a prob abilidade da producao semanal ficar entre 40 e 60 Seja X o numero de itens produzidos semanalmente a PX 75 PX 75 EX 75 5075 23 b P40 X 60 PX 50 10 1PX 50 10 1 25 100 1 14 34 2 A desigualdade de Chebyshev pode ser usada para provar que se V arX 0 entao PX EX 1 Tipos de convergˆencia Seja X1 X2 uma sequˆencia de vas e X uma outra va Convergˆencia em distribuicao Seja Fn a funcao distribuicao de Xn e F a funcao distribuicao de X Dizemos que a sequˆencia X1 X2 converge em distribuicao para X se lim n Fnx Fx para todo x R que seja um ponto de continuidade de F Escrevemos Xn d X Convergˆencia em probabilidade Dizemos que a sequˆencia X1 X2 converge em probabilidade para X se ϵ 0 lim n PXn X ϵ 0 Escrevemos Xn p X Convergˆencia quase certa Dizemos que a sequˆencia X1 X2 converge quase certamente para X se P lim n Xn X 1 Isso significa que existe um subconjunto mensuravel de Ω tal que para todo ω neste subconjunto Xnω X ou seja vale a convergˆencia de cada sequˆencia definida por cada ω neste subconjunto Podemos escrever Pω Ω lim n Xnω Xω 1 3 Escrevemos Xn qc X Propriedades qc p d Se a va limite X e constante entao d p E comum se referir a convergˆencia em probabilidade como convergˆencia fraca e convergˆencia quase certa como convergˆencia forte Lei Fraca dos Grandes Numeros Teorema 21 Lei Fraca dos Grandes Numeros Seja X1 X2 uma sequˆencia de vas independentes e identicamente dis tribuıdas tal que EXi µ Defina Xn X1Xn n Entao Xn p µ ou seja limn P Xn µ ϵ 0 ϵ 0 prova vamos provar o caso mais simples no qual V arXi σ2 R i P Xn X ϵ P Xn X2 ϵ2 σ2 nϵ2 n 0 A Lei Fraca nos permite interpretar o valor esperado como um limite de medias de conjuntos de dados quando o numero de repeticoes independentes de um experimento aleatorio cresce indefinidamente Na verdade podemos aplicar o Teorema para interpretar o valor esperado de qualquer funcao real integravel de va de interesse Em particular pode mos formalizar o limite das frequˆencia relatovas como probabilidades usando funcoes indicadoras 4 Note pelo enunciado do Teorema que as vas Xi nao precisam ter variˆancia finita Podese mostrar ainda que o resultado vale no caso em que as vas sao apenas naocorrelacionadas Exercıcio A nota final de um aluno em uma certa disciplina e uma va com media 75 e variˆancia 25 a Forneca um imite superior para a probabilidade de que a nota do aluno nao exceda 85 b O que pode ser dito sobre a probabilidade de que a nota do aluno esteja entre 65 e 85 c Quantos estudantes teriam que cursar a disciplina para garantir com prob abilidade de pelo menos 0 90 que a media da classe nao se afastaria de 75 por mais que 5 pontos 5