Termodinamica

Ex I6 Cap 1 Vauclair Considere um alpinista que está subindo uma montanha com a ajuda de uma corda e procede a saltos sucessivos de mesmo comprimento l Depois de cada parada ele tem a possibilidade de se deslocar para cima de uma distância l com probabilidade α 12 ou de descer uma distância l com probabilidade 1 α Suponha que o salto seja instantâneo e que o alpinista pare entre cada salto por um tempo τ Seja L o comprimento da corda múltiplo de l Depois de quanto tempo o alpinista chegará no alto Assumiremos que a subida do alpinista ocorre de acordo com a situação mais provável Faça a aplicação numérica para L 5 m l 50 cm α 34 τ 15 s Ex I1 Cap 1 Vauclair a Qual é a influência do Sol sobre a trajetória dos átomos Utilize as expressões desenvolvidas nas notas do curso Estime a variação angular da trajetória de um átomo devido ao Sol e depois o número n de colisões necessárias para que a incerteza sobre a trajetória de um átmo seja superior a 2π A massa do Sol é 2 1030 Kg e a distância TerraSol é 15 1011 m b Repita o exercício para a influência da galáxia de Andrômeda que possui massa de 500 bilhões de vezes a massa do Sol e uma distância à Terra de 2 milhões de anosluz Ex I8 Vauclair Movimento Browniano Uma partícula se desloca livremente no espaço A cada instante de tempo τ ela sofre uma colisão instantânea que a desloca aleatoriamente para uma direção qualquer com probabilidade uniformemente repartida em todas as direções A velocidade v tem módulo constante colisões elásticas Depois de um tempo t Nτ a partícula sofre N colisões Mostre que o deslocamento total em uma direção dada x é nulo na média Calcule o desvio quadrático médio Δx2 Uma partícula que se desloca livremente no espaço sofre colisões instantâneas a cada intervalo de tempo 𝜏 de modo que entre duas colisões consecutivas descreve um movimento retilíneo uniforme de duração 𝜏 e velocidade de módulo constante v Logo a contribuição ao deslocamento na direção x no iésimo intervalo vale Δ𝑥𝑖 𝑣 𝜏 cos 𝜃𝑖 onde 𝜃𝑖 é o ângulo entre a direção do movimento nesse intervalo e o eixo x Como cada colisão escolhe a direção de forma independente e com probabilidade uniforme em todas as direções o valor esperado de cos 𝜃 sobre a superfície da esfera é nulo Tomando a densidade angular 𝑝𝜃 𝑑𝜃 sin 𝜃 2 𝑑𝜃 𝜃 0 𝜋 temos cos 𝜃 cos 𝜃 𝜋 0 sin 𝜃 2 𝑑𝜃 1 2 1 2 cos2 𝜃 0 𝜋 0 Chamando N o número de colisões em um tempo total 𝑡 𝑁𝜏 o deslocamento total em x é 𝑥 Δ𝑥𝑖 𝑁 𝑖1 𝑣 𝑁 𝑖1 𝜏 cos 𝜃𝑖 Pelo teorema da linearidade da esperança e pela independência das direções 𝑥 𝑣 𝑁 𝑖1 𝜏 cos 𝜃𝑖 𝑁 𝑣 𝜏 0 0 Para o desvio quadrático médio definimos Δ𝑥2 𝑥2 Δ𝑥𝑖 𝑁 𝑖1 2 Expandindo o quadrado surge uma soma de termos com ij e com 𝑖 𝑗 Nos termos cruzados que envolvem 𝑐𝑜 𝑠 𝜃𝑖 𝑐𝑜 𝑠 𝜃𝑗 para 𝑖 𝑗 a independência implica cos 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑗 cos 𝜃𝑖cos 𝜃𝑗 0 de modo que apenas os termos com ij sobrevivem dando 𝑥2 Δ𝑥𝑖2 𝑁 𝑖1 𝑁 𝑣 𝜏2cos2 𝜃 O cálculo de 𝑐𝑜𝑠2𝜃 usa a mesma densidade angular cos2 𝜃 cos2 𝜃 𝜋 0 sin 𝜃 2 𝑑𝜃 1 2 cos2 𝜃 𝜋 0 sin 𝜃 𝑑𝜃 1 2 1 3 cos3 𝜃 0 𝜋 1 3 Portanto Δ𝑥2 𝑥2 𝑁 𝑣2 𝜏2 1 3 𝑣2 𝜏2 3 𝑡 𝜏 1 3 𝑣2 𝜏 𝑡 Então o deslocamento médio em x é zero e o desvio quadrático médio cresce linearmente com o tempo segundo 𝑥 0 Δ𝑥2 1 3 𝑣2 𝜏 𝑡 Cada salto do alpinista altera sua altura em 𝑙 com probabilidade 𝛼para subir e 1 𝛼 para descer de modo que após N saltos a altura líquida é 𝐻𝑁 número de subidas número de descidas 𝑙 Sejam k o número de subidas entre esses N saltos e N k o número de descidas então 𝐻𝑁 𝑘 𝑁 𝑘 𝑙 2𝑘 𝑁 𝑙 Para que essa altura atinja exatamente o comprimento da corda L é preciso que 2𝑘 𝑁 𝑙 𝐿 𝑘 𝑁 𝐿 𝑙 2 A probabilidade de ocorrerem exatamente k subidas em N saltos é dada pela distribuição binomial 𝑃𝑁 𝑁 𝑘 𝛼 𝑘 1 𝛼 𝑁𝑘 Para encontrar o número de saltos N mais provável de primeiro alcançar a altura L observamos que k deve ser inteiro e que 𝑃𝑁 costuma ser maximal quando N satisfaz aproximadamente as condições de equilíbrio do caminhamento enviesado O ganho médio de altura a cada salto é Δ𝐻 𝛼 1 𝛼 𝑙 2𝛼 1 𝑙 pois subidas e descidas são independentes Pela Lei dos Grandes Números o desvio típico em N saltos é pequeno em comparação ao deslocamento médio quando N é grande de modo que a trajetória mais provável atinge 𝐻𝑁 𝐿 quando 𝑁 Δ𝐻 𝐿 ou seja 𝑁 𝐿 2𝛼 1 𝑙 Substituindo os valores numéricos 𝐿 5 m 𝑙 050 m e 𝛼 34 obtémse 2𝛼 1 2 3 4 1 1 2 Δ𝐻 1 2 050 m 025 m 𝑁 5 m 025 m 20 Cada salto requer uma pausa de duração 𝜏 15 s de modo que o tempo total mais provável para chegar ao alto é 𝑡 𝑁 𝜏 20 15 s 300 s o que corresponde a 5 min Então o alpinista levará aproximadamente 300 s para alcançar o topo da montanha seguindo a trajetória mais provável de subida enviesada a Os átomos de um gás em temperatura ambiente descrevem trajetórias quase retilíneas entre colisões sucessivas A cada colisão o átomo perde memória de sua direção anterior e parte com velocidade de módulo típico v em uma direção nova A influência gravitacional de um corpo como o Sol introduz entre duas colisões uma pequena deflexão angular Δ𝜃 da trajetória que pode ser obtida a partir da aceleração gravitacional e do tempo livre médio entre colisões Para estimar o tempo livre médio 𝜏 usamos valores típicos de um gás rarefeito a velocidade térmica média de um átomo à temperatura ambiente vale aproximadamente 𝑣 50 102 ms e o caminho livre médio 𝜆 entre colisões fica em torno de 𝜆 10 107 m Logo 𝜏 𝜆 𝑣 10 107 50 102 s 20 1010 s A aceleração gravitacional do Sol à distância média TerraSol 𝑅 15 1011 m tem módulo 𝑎 𝐺 𝑀 𝑅 2 onde 𝐺 6674 1011 m3kgs2 e 𝑀 20 1030 kg Substituindo 𝑎 6674 1011 20 1030 15 10112 ms2 59 103 ms2 Durante o intervalo livre 𝜏 a deflexão angular pequena pode ser aproximada por Δ𝜃 𝑎 𝜏 𝑣 pois a velocidade muda de direção conforme a componente perpendicular de 𝑎 atua por tempo 𝜏 Logo Δ𝜃 59 103 20 1010 50 102 24 1015 rad Como cada colisão recompõe aleatoriamente a direção essas pequenas deflexões acumulamse de modo difusiva após n colisões o desvio médio rms em ângulo é 𝜃rms 𝑛 Δ𝜃 Para que a incerteza angular atinja 2𝜋 basta exigir 𝑛 Δ𝜃 2𝜋 𝑛 2𝜋 Δ𝜃 2 2𝜋 24 1015 2 70 1030 b Repetindo o cálculo para a influência de Andrômeda cuja massa é cerca de 5 1011𝑀 e cuja distância à Terra é aproximadamente 2 106 anosluz convertendo 1 anoluz em 946 1015 m obtemos 𝑀And 5 1011 𝑀 𝑅And 2 106 946 1015 m 19 1022 m 𝑎And 𝐺 𝑀And 𝑅And 2 19 1013ms2 Δ𝜃And 𝑎And 𝜏 𝑣 75 1026 rad 𝑛And 2𝜋 Δ𝜃And 2 7 1051 Essas estimativas mostram que o efeito gravitacional do Sol embora maior que o de Andrômeda ainda é insignificante para a trajetória de um átomo exigindo cerca de a 1031 colisões para gerar um desvio da ordem de 2𝜋 enquanto Andrômeda exigiria mais de b 1051 colisões