Trabalho de Matemática

TRABALHO DE RECUPERAÇÃO FINAL 01 Calcule em cada caso a distância entre os dois pontos dados a A1 3 e B9 9 b C3 1 e D5 14 02 Prove que o triângulo cujos vértices são os pontos A0 5 B3 2 e C3 2 é isósceles e calcule o perímetro 03 Determine a equação da reta para cada item abaixo a A1 4 e B3 2 b m tg 45º C4 3 04 A equação da reta passando pela origem e paralela à reta determinada pelos pontos A2 3 e B1 4 é 05 Determine o valor de m para que as retas 2x 3y 1 0 e mx 6y 3 0 sejam paralelas 06 As retas 3x 2y 1 0 e 4x 6y 10 0 são 07 Determinar a reta perpendicular à reta de equação x 2y 3 0 no seu ponto de coordenadas igual a 5 1 08 De o raio e as coordenadas do centro das circunferências de equação igual a a x² y² 4x 6y 2 0 b x² y² 2x 8y 1 0 09 Determine a equação da circunferência com centro no ponto C2 1 e que passa pelo ponto A4 3 10 A distância do centro da circunferência de equação x² y² 4x 2x 25 0 ao ponto 3 4 é 11 Nos seguintes casos calcule a distância de P e r a P0 3 e r 4x 3y 1 0 b P1 5 e r 3x 4y 2 0 12 Determine a distância entre as retas paralelas r 4x 3y 9 0 e s 4x 3y 6 0 13 Resolver as equações a x² 4 0 b x² 4x 5 0 14 Determinar x e y de modo que z₁ 2x 5yi seja igual a z₂ 4 10i 15 Para que valores de x e y são iguais os complexos z₁ x 1 3i e z₂ 4 y 1i 16 Para que o valor de x o número complexo z 5x 10 8i 17 Efetuar a 2 3i 6 4i c 2 4i1 3i b 6 5i 2 i d 1 2i3 i 18 Determinar o número complexo z tal que 5z z 12 16i 19 Determine o número complexo z tal que 2z 3z 4 i 20 Sendo z 2 i e w 3 2i calcule a z c z w b w 21 Calcule o módulo dos complexos abaixo a 3i b 2 2i 22 Divida Px 5x⁴ 3x³ 2x 3 por Dx x 2 e de seu quociente e seu resto 23 Determine o resto da divisão de Px x³ 5x² 9x 8 por Dx x 3 utilizando a Chave b BriotRuffini 24 Divida Px x³ 2x² 2x 1 por Dx x 1 pelos métodos a Chave b BriotRuffini 25 Divida Px 2x³ 8x² 4 por Dx 2x² 1 e de o quociente e o resto 26 Dados os polinômios Px x² Qx x⁴ x² e Rx 5x⁴ 3x² determine os números a e b reais tais que Rx a Px b Qx 27 Resolva a equação 4x³ 19x² 28x m 0 Determine a m sabendo que 2 é raiz dupla b a outra raiz 28 O polinômio px 4x⁴ 12x³ x² 12x 4 é divisível por x² 4x 4 Quais são as raízes de px 29 Se 2 é raiz dupla do polinômio px 2x⁴ 7x³ 3x² 8x 4 então a soma das outras raízes é 30 Calcule a área superficial e o volume de cada prisma abaixo 31 A diagonal de um cubo mede 33 Determine a área lateral a área total e o volume 32 Determine a área lateral total e volume de um cilindro de revolução em que o raio da base mede 5 e a altura 13 33 Para se construir uma lata cilíndrica circular sem tampa com 20 cm de diâmetro na base e 25 cm de altura são gastos x cm² de material O valor x é 34 Calcule a aresta da base de um pirâmide regular sabendo que o apótema da pirâmide mede 6 cm e a aresta lateral mede 10 cm 1º a 1 xy 4xy 5y cos x Linear Sim A equação é linear porque y e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não estão dentro de funções não lineares Ordem 2 devido a y b x³y4 x²y 4xy 3y 0 Linear Sim Semelhante à equação a y e suas derivadas aparecem linearmente Ordem 4 devido a y4 c 1 y² d²ydt² t dydt y eᵗ Não Linear Não O termo 1 y² d²ydt² torna a equação não linear devido ao produto de y² com a segunda derivada de y Ordem 2 devido a d²ydt² d d²ydx² 9y sin y Não Linear Não O termo sin y torna a equação não linear Ordem 2 devido a d²ydx² e sin x y cos x y 2 Linear Sim y e suas derivadas aparecem linearmente Ordem 3 devido a y 2 a EDO 2y y 0 Solução proposta y cex2 y 12 cex2 212 cex2 cex2 cex2 cex2 0 A equação é satisfeita então y cex2 é uma solução b EDO y 4y 32 Solução proposta y 8 y 0 0 48 32 A equação é satisfeita então y 8 é uma solução C EDO y y sin x Solução proposta y 12 x 12 cos x 10ex y 12 12 sin x 10ex 12 12 sin x 10ex 12 x 12 cos x 10ex 12 12 sin x 12 x 12 cos x Simplificando vemos que a equação não é satisfeita para todos os x então y 12 x 12 cos x 10ex não é uma solução d EDO dydt 20y 24 Solução proposta y 65 65 et dydt 65 et 65 et 20 65 65 et 65 et 24 24et 24 1145 et A equação não é satisfeita para todos os t então y 65 65 et não é uma solução e EDO x2 dy 2xydx 0 Solução proposta y 1x2 dydx 2x3 dy 2x3 dx x2 2x3 dx 2x 1x2 dx 2x dx 2x dx 0 A equação é satisfeita então y 1x2 é uma solução f EDO dydx sqrtyx Solução proposta y sqrtx c12 dydx 2 sqrtx c112 sqrtx sqrtx c1sqrtx sqrtx c1sqrtx sqrt sqrtx c12 x sqrtx c1sqrtx A equação é satisfeita então y sqrtx c12 é uma solução g EDO 2xydx x2 2y dy 0 Solução proposta x2 y y2 c1 2xy x2 dydx 2y dydx 0 2xy x2 2y dydx 0 2xydx x2 2y dy 0 A equação é satisfeita então x2 y y2 c1 é uma solução h EDO y y 12y 0 Solução proposta y c1 e3x c2 e4x y 3c1 e3x 4c2 e4x y 9c1 e3x 16 c2 e4x 9c1 e3x 16 c2 e4x 3 c1 e3x 4 c2 e4x 12 c1 e3x c2 e4x 9 3 12 c1 e3x 16 4 12 c2 e4x 0 A equação é satisfeita então y c1 e3x c2 e4x é uma solução i EDO y 6y 13y 0 Solução proposta y e3x cos 2x y 3 e3x cos 2x 2 e3x sin 2x y 9 e3x cos 2x 6 e3x sin 2x 6 e3x sin 2x 4 e3x cos 2x 5 e3x cos 2x 12 e3x sin 2x 5 e3x cos 2x 12 e3x sin 2x 63 e3x cos 2x 2 e3x sin 2x 13 e3x cos 2x 5 18 13 e3x cos 2x 12 12 e3x sin 2x 0 A equação é satisfeita então y e3x cos 2x é uma solução j EDO y y2 0 Solução proposta y ln x c1 c2 y 1xc1 y 1xc12 1xc12 1 xc12 1 xc12 1 xc12 2 xc12 A equação não é satisfeita para todos os x então y ln x c1 c2 não é uma solução k EDO y y 9y 9y 0 Solução proposta y c1 sin 3x c2 cos 3x 4ex y 3c1 cos 3x 3c2 sin 3x 4ex y 9c1 sin 3x 9c2 cos 3x 4ex y 27c1 cos 3x 27c2 sin 3x 4ex 27c1 cos 3x 27c2 sin 3x 4ex 9c1 sin 3x 9c2 cos 3x 4ex 93c1 cos 3x 3c2 sin 3x 4ex 9c1 sin 3x c2 cos 3x 4ex 27c1 cos 3x 27c1 cos 3x 9c2 cos 3x 9c2 cos 3x 27c2 sin 3x 9c1 sin 3x 27c2 sin 3x 9c1 sin 3x 4ex 4ex 36ex 36ex 54c1 cos 3x 54c2 sin 3x 72ex A equação não é satisfeita para todos os x então y c1 sin 3x c2 cos 3x 4ex não é uma solução l EDO y y tan x Solução proposta y cos x lnsec x tan x y sin x lnsec x tan x cos x sec x sin x lnsec x tan x 1 y cos x lnsec x tan x sin x sec x sec x tan x cos x lnsec x tan x tan x sec x cos x lnsec x tan x tan x sec x cos x lnsec x tan x tan x sec x A equação não é satisfeita para todos os x então y cos x lnsec x tan x não é uma solução m EDO x3 d3ydx3 2x2 d2ydx2 x dydx y 12x2 Solução proposta y c1 x c2 x ln x 4x2 y c1 c2 ln x 1 8x y c2x 8 y c2x2 x3 c2x2 2x2 c2x 8 x c1 c2 ln x 1 8x c1 x c2 x ln x 4x2 c2 x 2c2 x 16x2 c1 x c2 x ln x c2 x 8x2 c1 x c2 x ln x 4x2 12x2 3 y x2 x 0 x2 x 0 1 Para x 0 y x2 A derivada é y 2x 2 Para x 0 y x2 A derivada é y 2x 1 Para x 0 x2x 2x2 2x2 2x2 0 2 Para x 0 x2x 2x2 2x2 2x2 0 Em ambos os casos a equação diferencial é satisfeita Portanto a função definida por partes é solução da equação diferencial dada 4 y xy y2 y cx c2 y c cx c2 xc c2 cx c2 cx c2 y 2kx kx2 x2kx 2kx2 kx2 2kx2 4k2x2 k 2k 4k2 0 k 4k2 0 k1 4k k 0 ou 1 4k 0 k 0 ou k 14 y 14 x2 5 a y 5y 6y 0 1 Calcular as derivadas de y y emx y memx y m2 emx 2 Substituir na EDO m2 emx 5memx 6emx 0 3 Fatorar emx emx m2 5m 6 0 4 Resolver a equação quadrática Como emx nunca é zero resolvemos m2 5m 6 0 m 2m 3 0 Portanto m 2 ou m 3 b y 10y 25y 0 1 Calcular as derivadas de y y emx y memx y m2 emx 2 Substituir na EDO m2 emx 10memx 25 emx 0 3 Fatorar emx emx m2 10m 25 0 4 Resolver a equação quadrática Como emx nunca é zero resolvemos m2 10m 25 0 m 52 0 Portanto m 5 raiz repetida 6 1 Verificação de y1 x2 y1 x2 y1 2x y1 2 x2 2 4x2x 6x2 2x2 8x2 6x2 Portanto y1 x2 é uma solução 2 Verificação de y2 x3 y2 x3 y2 3x2 y2 6x x2 6x 4x3x2 6x3 6x3 12x3 6x3 0 Portanto y2 x3 é uma solução 3 Verificação de c1 y1 e c2 y2 c1 y1 c1 x2 c1 y1 2c1 x c1 y1 2c1 x2 2c1 4x2c1 x 6c1 x2 2c1 x2 8c1 x2 6c1 x2 0 c2 y2 c2 x3 c2 y2 3c2 x2 c2 y2 6c2 x x2 6c2 x 4x3c2 x2 6c2 x3 6c2 x3 12c2 x3 6c2 x3 0 Portanto c1 y1 e c2 y2 são soluções 4 Verificação da soma y₁ y₂ y₁ y₂ x² x³ y₁ y₂ 2x 3x² y₁ y₂ 2 6x x²2 6x 4x2x 3x² 6x² x³ 2x² 6x³ 8x² 12x³ 6x² 6x³ 2 8 6x² 6 12 6x³ 0 Portanto y₁ y₂ é uma solução 7 y dydx c xc cx cx cx xy y y0 0 0 c 0 0 0 Se c 0 então y 0 x 0 Portanto y 0 é uma solução Se c 1 então y 1 x x Portanto y x é uma solução Assim duas soluções para o PVI são y 0 e y x y 0 x 0 x x 0 x 0 0 0 0 x 1 x x x 8 a dydx sin5x dy sin5x dx dy sin5x dx y 15 cos5x C b dx e³ˣ dy 0 e³ˣ dy dx dy e³ˣ dx dy e³ˣ dx y 13 e³ˣ C C dydx x 12 dy x 12 dx dy x 12 dx y 13 x 13 C d dydx y 1x dyy 1 dxx dyy 1 dxx lny 1 lnx C1 y 1 elnx C1 elnx eC1 x eC1 y 1 Cx y Cx 1 e x2 y2 dy y 1 dx y2y 1 dy dxx2 y2y 1 dy 1x2 dx y2y 1 y 1 1y 1 y 1 1y 1 dy 1x2 dx y22 y lny 1 1x C 9 a y 2y 1 y0 52 μx e2dx e2x e2x y 2e2x y e2x ddxe2x y e2x ddxe2x y dx e2x dx e2x y 12 e2x C y 12 C e2x 52 12 C e20 52 12 C C 2 y 12 2 e2x ey 1 sinx dx 1 cosx dy y0 ey 1 1 dy 1 cosx sinx dx dy ey 1 sinx 1 cosx dx dy ey 1 sinx 1 cosx dx ey 1 ey dy sinx 1 cosx dx ln1 ey ln1 cosx C ln1 e0 ln1 cos0 C ln2 ln2 C C 2 ln2 ln4 ln1 ey ln1 cosx ln4 ln1 ey ln 4 1 cosx 1 ey 4 1 cosx ey 4 1 cosx 1 3 cosx 1 cosx y ln 3 cosx 1 cosx C dydt y ty dydt 1 t y dyy 1 t dt dyy 1 t dt ln y t t22 C y et t22 C eC et t22 K et t22 3 K e1 122 K e12 K 3 e12 y 3 e12 et t22 3 et t22 12 y 3 e2t t2 1 2 3 et 12 2 10 a y 2y 1 y0 52 μx e 2 dx e2x e2x y 2 e2x y e2x ddx e2x y e2x ddx e2x y dx e2x dx e2x y 12 e2x C y 12 C e2x 52 12 C e20 52 12 C C 2 y 12 2 e2x