Transformada de Laplace - Exercícios Resolvidos e Aplicações

Transformada de Laplace Calcule as TL das funções dadas abaixo Utilizando a integral a ft et7 b ft te4t c ft et cos t d ft tsen t e ft 2t4 f ft 4t 10 g ft t2 6t 3 h ft t 13 i ft 1 e4t j ft t2 e9t 5 k ft 1 e2t2 l ft cos5t sen2t m ft et senht n ft et cosht Transformada de Laplace Exercícios 1 Determine a Transformada Inversa de Laplace a L1 1 s4 b L1 1 s2 48 s5 c L1 s13 s4 d L1 2 s 1 s32 e L1 4 s 6 s5 1 s 8 f L1 5 s2 49 g L1 4s 4s2 1 h L1 2s 6 s2 9 i L1 s s2 2s 3 j L1 s2 6s 9 s1s2s4 Transformada de Laplace Exercícios 2 Resolver as equações diferenciais com PVI utilizando Transformada de Laplace a y y et y0 5 b y 2y 3y 6et y0 1 y0 3 c y y 2 sen 2t y0 10 y0 0 Lft 0 ftest dt a ft et7 0 et7est dt 0 et st 7 dt 0 e1ste7 dt constante e7 0 e1st dt e7 11s e1st 0 e71s lim t 1s1es1t e0 e71s 0 1 e7s1 b ft te4t 0 te4t est dt 0 te4st dt Lft integral por partes μ t dμ dt dv e4st dt v 14s e4st Lft t4s e4st0 0 14s e4st dt Observe ts4 e4st0 lim t t4s esλt 0 LHosp lim t 1 4λλ4 eλ4t 0 Daí Lft 0 14λ e4λt dt Lft 14λ 0 e4λt dt Lft 14λ 14λ e4λt0 Lft 14λ2 e4λt0 Lft 14λ2 lim t e4λt 1 zero Lft 14λ2 1 1s42 Lft 1s42 boxed c ft et cost 0 et cost est dt 0 cost e1st dt Fazendo integral por partes em I cost e1st μ cos t dμ sen t dt dν e1st dt v 11s e1st I e cos t1s 11s e1st sen t dt I e cos t1s 11s sen t e1st dt Fazendo integral por partes em W μ sen t dμ cos t dt dv e1st dt v 11s e1st W sen t e1st1s 11s e1st cos t dt W e1st sen t1s 11s cos t e1st dt I cos t e1st1s 11s e1st sen t1s 11s cos t e1st dt I e1st cos t1s 11s2 e1st sen t 11s2 cos t e1s t dt I I 11s2 I e1st cos t1s e1st sen t1s2 I 1 11s2 cos tes1t 1s sen tes1t 1s2 Note que quando colocarmos o intervalo de 0 a teremos cos t com t igual a zero assim como sen t Lft 0 11 11s2 cos 0es10 1s Lft 0 1s21s2 1 11s Lft 1s1s2 1 boxed s1s12 1 d ft t sen t A resolução por integral resulta em contas muito grandes Pode consultar no Symbolab Lft test cos t1s2 est s sen t1s2 11s2 est sen t 2 sest cos t s2 est sen t0 Lft 2ss2 12 e ft 2 t4 Lft 0 2 t4 est dt 2 est t4s 4s5 s est t3 3 s2 est t2 2s est t est0 Lft 48s5 f ft 4t 10 Lft 0 4t 10est dt Lft 2est 5 2ts est 2s20 Lft 4s2 10s g ft t2 6t 3 Lft 0 t2 6t 3 est dt Lft est 3s est t2s 25 s3 5 s est t est 62 s2 s est t est0 Lft 2s3 6s2 35 h ft t13 Lft 0 t13 est dt 1s est 3s s est t est 3est 1s t 23 s2 s est t est 1s4 s3 est t3 3s2 est t2 2s est t est0 Lft 1s 32 s2 6s3 60s4 i ft 1 e4t Lft 0 1 e4t est dt Lft 1s est 1s4 est 4t0 Lft 4s 1s4 ii ft t2 est 5 Lft 0 t2 est 5 est dt Lft 2s3 1s3 5s k ft 1 e2t2 Lft 0 1 e2t2 est dt 1s 2s2 1s4 l ft cos5t sen2t Lft 0 cos 5t sen 2t est dt 5est sen5t25s2 sest cos5t25s2 2est cos2t4s2 s est sen2t4s20 ss2 25 2s2 4 m ft et senht Lft ₀ᶦ et senht est dt 1p1² 1 n ft et cosht Lft ₀ᶦ et cosht est dt s1s1² 1 EXERCICIOS TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA a L¹ 1p⁴ t 4824 t⁴ 1p⁴ 16 6p⁴ 16 3p⁴ L¹ 16 3p⁴ 16 t³ L¹ 1p⁴ t³6 t 2t⁹ c L¹ s1³s⁴ L¹ s1³ p⁴ L¹ s³ 3s² 3s 1 s⁴ L¹ 1s 3s² 3s³ 1s⁴ L¹ 1p 3L¹ 1p² 3L¹ 1p³ L¹ 1p⁴ 1 3t 3t²2 t³6 d L¹ 2p 1p³² L¹ 4p² 4p⁴ 1p⁶ L¹ 4p² 4L¹ 1p⁴ L¹ 1p⁶ 4t 46 t³ 15 t⁵ 4t 23 t³ 1120 t⁵ e L¹ 4p 6p⁵ 1p8 L¹ 4p 6L¹ 1p⁵ L¹ 1p8 4 64 t⁴ e8t 4 14 t⁴ e8t f L¹ 5p² 49 Lembre L senkt kp² k² Note entao que L¹ 5p² 49 5L¹ 1p² 7² 57 sen7t g L¹ 4p4p² 1 L¹ pp² 14 L¹ p p² 12² cos12 t h L¹ 2p 6p² 9 L¹ 2pp² 9 L¹ 6p² 9 2L¹ pp² 3² 6L¹ 1p² 3² 2 cos3t 63 sen3t 1 3t 3t²2 t³6 i L¹ ss² 2s 3 Fracção parcial ss² 2s 3 1 4s1 34 s3 L¹ 14s1 L¹ 34s3 14 et 34 e3t j L¹ s² 6s 3 s1s2s4 Por fracção parcial L¹ 165 s1 256 s2 130 s4 165 et 256 e2t 130 e4t y y et y0 5 L y y L et L y y 1s1 Lsyy y0 Lsy 1s1 Lsy s 1 5 1s1 Lsy s 5s 1 Lsy s 6s1 ss1 6s1 y L¹ ss1 6s1 y L¹ ss1 6L¹ 1s1 y L¹ ss1 6et b y 2y 3y 6et y0 1 y0 3 L y 2L y 3L y 6s 1 s² L y s y0 y0 2s L y y0 3L y 6s 1 s² L y s 3 2s L y 2 3L y L y s² 2s 3 1 6s 1 L y s 5s² 2s 3s 1 y 12 et e3t 32 et c y y sqrt2 sensqrt2t y0 20 y0 0 Ly Ly Lsqrt2 sen sqrt2t s2 Ly s y0 y0 Ly 2 s2 2 Ly s2 1 s 20 0 2 s2 2 Ly 20s 2 s2 2 20s3 20s 2 s2 2s2 1 y sqrt2 sensqrt2t 20 cost 2 sent