Unidade I: Geometria Espacial - Noções Preliminares

Unidade I GEOMETRIA ESPACIAL Profa Ana Carolina Bueno Geometria espacial euclidiana estuda os objetos espaciais e as suas propriedades ampliação da geometria plana Noções preliminares de geometria Ponto é um conceito primitivo são nomeados com letras maiúsculas A B C Conceitos preliminares de geometria A B httppessoalsercomtelcombrmatematica fundamgeometriageobasicohtm httpcejarjcecierjedubrpdfmod3matema ticaUnid2MATMatematicaModulo3pdf Reta é um conceito primitivo determinada por dois pontos distintos infinita por um único ponto passam infinitas retas formada por infinitos pontos nomeadas com letras minúsculas r s t Conceitos preliminares de geometria A B s httpcejarjcecierjedubrpdf mod3matematicaUnid2MAT MatematicaModulo3pdf Plano é um conceito primitivo é formado por infinitas retas e infinitos pontos três pontos não colineares não alinhados determinam um plano nomeados pelas letras minúsculas do alfabeto grego α β γ Conceitos preliminares de geometria A B s β Ponto reta e plano Conceitos preliminares de geometria Reta coplanar uma reta tem dois pontos distintos num plano então ela está contida nele um plano pode ser formado a partir de uma reta e um ponto fora dela Conceitos preliminares de geometria formação de um plano r γ A B P t α Retas concorrentes duas retas são concorrentes quando têm somente um ponto em comum Retas paralelas duas retas são paralelas quando não têm um ponto comum Conceitos preliminares de geometria formação de um plano α r s r s O A B α t C s A B α Retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto Retas reversas duas retas são reversas quando não têm ponto comum e não são paralelas Noções preliminares de geometria tipos de reta r s α β s α t Planos secantes quando dois planos distintos se interceptam em uma reta Paralelismo no espaço Planos paralelos dois planos são paralelos se não possuírem ponto em comum ou sua interseção for um conjunto vazio α β ø Planos coincidentes dois ou mais planos coincidentes α β α β Paralelismo no espaço β α α β ENEM 2010 A figura seguinte representa um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B Nesse salão o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A A fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano Interatividade A B C D E ENEM 2010 A figura seguinte representa um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B Nesse salão o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A A fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano Resposta A B C D E A menor distância entre dois pontos no plano nessa situação será na única imagem em que eles são colineares ou seja pertencem à mesma reta Resposta Reta contida no plano uma reta está contida no plano quando pelo menos dois de seus pontos pertencem ao plano Reta e plano paralelos a reta r e o plano α são paralelos pois sua interseção é um conjunto vazio Posições entre reta e plano t α r A B r Reta e plano concorrentes A reta r possui um único ponto P no plano α Posições entre reta e plano α r P Uma reta r é perpendicular ao plano α quando for perpendicular a duas retas concorrentes ao plano α r u r s r t r u P r s P r t P r α t α s α u α Perpendicularidade entre reta e plano α r P u t s Dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta perpendicular ao outro α β α β s t β t s Perpendicularidade entre dois planos s t α r β Retas ortogonais são retas que não se encontram mas suas projeções formam um ângulo reto Retas ortogonais r s Pode ser considerado uma região do espaço limitada por uma superfície fechada São classificados em poliedros e não poliedros Sólido geométrico Poliedro Não poliedro esfera Poliedros são sólidos cujas faces são polígonos ou seja superfícies planas A superfície é composta por um número finito de faces Os sólidos não poliedros são aqueles em que uma das faces não é uma superfície plana ou que possuem somente superfícies curvas Poliedros e não poliedros Paralelepípedo Cilindro Cone Poliedro convexo que têm duas faces paralelas e congruentes chamadas bases e as demais faces em forma de paralelogramos chamadas faces laterais Quanto à inclinação das arestas laterais os prismas podem ser retos ou oblíquos Prisma As arestas laterais têm o mesmo comprimento As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base As faces laterais são retangulares Prisma reto As arestas laterais têm o mesmo comprimento As arestas laterais são oblíquas ao plano da base As faces laterais não são retangulares Prisma oblíquo É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares Prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero Prisma regular PUCCAMP Considere as afirmações a seguir I Duas retas distintas determinam um plano II Se duas retas distintas são paralelas a um plano então elas são paralelas entre si III Se dois planos são paralelos então toda reta de um deles é paralela a alguma reta do outro É correto afirmar que a apenas II é verdadeira b apenas III é verdadeira c apenas I e II são verdadeiras d apenas I e III são verdadeiras e I II e III são verdadeiras Interatividade PUCCAMP Considere as afirmações a seguir I Duas retas distintas determinam um plano II Se duas retas distintas são paralelas a um plano então elas são paralelas entre si III Se dois planos são paralelos então toda reta de um deles é paralela a alguma reta do outro É correto afirmar que a apenas II é verdadeira b apenas III é verdadeira c apenas I e II são verdadeiras d apenas I e III são verdadeiras e I II e III são verdadeiras Resposta I Duas retas distintas determinam um plano falsa II Se duas retas distintas são paralelas a um plano então elas são paralelas entre si falsa III Se dois planos são paralelos então toda reta de um deles é paralela a alguma reta do outro verdadeira Resposta continuação β s α t r Planificação facilita a visão e o modo como vamos calcular a área lateral de um prisma Planificação de um prisma Cálculo da área lateral 6 retângulos de base l e altura h Bases 6 triângulos equiláteros Planificação de um prisma hexagonal regular Alat n Aface lateral Alat 6 Aface lateral Calculando a área do triângulo Planificação de um prisma hexagonal regular A BOC b h 2 L L 3 2 2 A triângulo equilátero Ahexágono 6 6 b h 2 L L 3 4 L 2 3 4 3L 2 3 2 Ahexágono Volume do prisma hexagonal regular Cálculo do volume do prisma qualquer Volume de um prisma hexagonal regular Vprisma hexagonal Abase h Vprisma hexagonal h 3L 2 3 2 Vprisma Abaseh Em uma piscina regular hexagonal cada aresta lateral mede 8 m e cada aresta da base mede 4 m Calcule desse prisma a a área de cada face lateral b a área de uma base c a área lateral d a área total e o volume total Prisma exemplo Fonte O autor a a área de cada face lateral Af b h Af 4 8 Af 32 m² b a área de uma base Ab 616 3 4 Ab 24 3 m² c a área lateral AL 648 AL 192 m² Prisma exemplo 8 m 4 m d a área total At 224 3 192 At 48 3 192 m² e o volume total Vt Ab H Vt 24 3 8 Vt 192 3 m³ Delimitado por 6 retângulos Faces opostas são retângulos idênticos Paralelepípedo Paralelepípedo oblíquo Paralelogramo nas 6 faces Paralelepípedo reto Retângulos nas faces laterais Bases são paralelogramos Dimensão das faces a b e c Diagonal do paralelepípedo dp Diagonal da face db Diagonal do paralelepípedo H G D C F B A dp db E a c b ² ² ² c b a d p Diagonal do paralelepípedo dp 2 db 2 c2 Diagonal da face db 2 a2 b2 Área total de um paralelepípedo retângulo A 2ab 2ac 2bc A 2ab ac bc Paralelepípedo A B C D E F G H a b c Volume de um paralelepípedo retângulo V AB h Paralelepípedo A B C D E F G H a b C h A garagem subterrânea de um edifício tem 18 boxes retangulares cada um com 35 m de largura e 5 m de comprimento O piso da garagem é de concreto e tem 20 cm de espessura Calcule o volume de concreto utilizado para o piso da garagem Paralelepípedo exemplo Solução O piso terá a forma de um paralelepípedo muito fino já que sua espessura é de 020m Esse piso entrará em cada box O volume de cada piso é V 35 x 5 x 020 35m³ O volume total utilizado nos 18 boxes será V 18 x 35 63m³ Paralelepípedo exemplo A B C D E F G H a b C h Paralelepípedo retângulo com 6 faces quadradas Cubo 2 2 ² ² ² ² ² a d a d a a d b b b 3 ² 3 ² 2 ² ² ² 2 ² ² ² ² 2 a d a d a a d a a d a d d c c c c c Área total do cubo At 6a² Volume total do cubo Vt a³ Cubo Determinar a área total a diagonal da face a diagonal e o volume do cubo de aresta 2 cm At 6 a2 6 22 At 24 cm2 db cm dc cm Vt a³ 2³ Vt 8 cm³ Cubo 2 a 2 2 3 a 3 2 UNIV O volume e a altura de um prisma reto valem respectivamente 48m³ e 3m O perímetro da base do prisma que é quadrado mede a 4m b 12m c 18m d 24m e 16m Interatividade UNIV O volume e a altura de um prisma reto valem respectivamente 48m³ e 3m O perímetro da base do prisma que é quadrado mede a 4m b 12m c 18m d 24m e 16m Resposta Sabendo que V 48m³ e h 3m podemos usar a fórmula do volume para determinar a área Usamos a fórmula da área para determinar o valor das arestas das bases Como o perímetro é a soma de todos os lados somamos as quatro arestas da base de valor 4m Assim P 16m Resposta 3 ² 16 3 48 3 48 m A A A h A V b b b b m a a a a a Ab 4 16 ² 16 Base pode ser qualquer polígono As faces laterais são triângulos não necessariamente equiláteros Pirâmides A B C D E V α h Pirâmide pentagonal As pirâmides são classificadas segundo o número de arestas de sua base Classificação das pirâmides Pirâmide pentagonal Pirâmide regular quadrangular A B C D E V α h Elementos da pirâmide VO h Apótema da base OM Apótema da pirâmide VM Face lateral V M ponto médio O Área total At Ab AL Ab área da base AL área lateral Volume total Pirâmides V Ab h 1 3 A B C D V h Calcule o volume de uma pirâmide regular de base hexagonal sabendo que sua altura é de 12 cm e que cada aresta da base mede 8 cm Pirâmide 12 cm 8 cm Solução primeiro vamos calcular a área da base dessa pirâmide Sabemos que a base da pirâmide é um hexágono regular de 8 cm de aresta Pirâmide ² 3 96 2 3 64 3 2 3 8² 3 2 3 ² 3 cm A A A a A b b b b A área do hexágono regular é dada por O volume do hexágono regular é dado por ³ 3 384 3 12 3 96 1 3 1 cm V V h A V b Uma pirâmide regular é interceptada em todas as suas arestas por um plano paralelamente às suas bases o plano dividirá esse sólido em dois novos sólidos uma nova pirâmide e o tronco da pirâmide Tronco de uma pirâmide As arestas laterais são congruentes As bases são polígonos regulares semelhantes As faces são trapézios isósceles congruentes A altura da face lateral denominase apótema do tronco Tronco de uma pirâmide Base menor Base maior Seção transversal de uma pirâmide h altura da pirâmide V A B C D E H altura da pirâmide V A B C D E Propriedade da semelhança Tronco de uma pirâmide A razão entre a área da seção e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança A razão entre os volumes das pirâmides é igual ao cubo da razão de semelhança Tronco de uma pirâmide AABCDE h2 AABCDE H2 V ABCDE h V ABCDE H 3 Exemplo Dada uma pirâmide de 10 cm de altura e 250 cm2 de área da base pedese a a que distância do vértice deve estar uma seção transversal de 160 cm2 sendo x a distância pedida b o volume da pirâmide maior Resposta a b Tronco de uma pirâmide cm x x x H h A A b s 8 10 5 4 10 ² 250 160 ² ² ³ 83333 3 250 10 1 cm V V Bases paralelas e semelhantes Faces laterais são trapézios isósceles entre si O apótema é a altura de qualquer um desses trapézios As arestas laterais são congruentes entre si Tronco de pirâmide quadrangular Área de tronco de pirâmide Atotal Ab área da base do menor polígono AB área da base do maior polígono Área lateral é a soma das áreas de todos os trapézios Atotal Ab AB Alateral Área do tronco de uma pirâmide b B Volume do tronco de uma pirâmide h altura de tronco de pirâmide Volume do tronco de uma pirâmide b b B B t A A A h A V 3 h 2 B 2 b 100 cm A 30 cm A 6 cm h Volume do tronco de uma pirâmide Exemplo Calcule o volume de um tronco de pirâmide de 6 cm de altura e cujas bases têm áreas de 30 cm2 e 100 cm2 3 b b B B 36954 cm V 30 5477 2100 V 30 10030 3 100 6 V A A A 3 A h V FUVEST SP Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular de base quadrada O lado da base mede 8 m e a altura da pirâmide 3 m As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1 m² Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas quebras e emendas o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é a 90 b 100 c 110 d 120 e 130 Interatividade FUVEST SP Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular de base quadrada O lado da base mede 8 m e a altura da pirâmide 3 m As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1 m² Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas quebras e emendas o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é a 90 b 100 c 110 d 120 e 130 Resposta O cálculo de r apótema da base ou raio da circunferência inscrita à base é feito lembrando que 2r lado do quadrado 8m Usamos Pitágoras para calcular o apótema da pirâmide Resposta m ap ap ap 5 25 9 16 3² 4² ² A área lateral da pirâmide será calculada Sabemos que as telhas são vendidas em lotes que cobrem 1 m² Assim para cobrir o telhado precisamos de 80 lotes mas não podemos esquecer que pode haver um desperdício de 10 lotes por isso o número mínimo de lotes a ser comprado é 90 Resposta continuação ² 80 2 8 5 4 2 m A A ap P A l l b l ATÉ A PRÓXIMA