Usp_m_d_funcoes

Grupo Exatas\nwww.grupoexatas.com.br\n\nFunções\n\nExercícios Dissertativos\n\n1. (2000)\na) Esboce, para x real, o gráfico da função f(x) = |x - 2| + |2x + 1| - x - 6. O símbolo |a| indica o valor absoluto de um número real a e é definido por |a| = a, se a ≥ 0 e |a| = -a, se a < 0.\nb) Para que valores reais de x, f(x) > 2x + 2.\n\n2. (2004)\nSeja m ≥ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x² - 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m.\na) Esboçar no plano cartesiano representado ao lado, os gráficos de f e g quando m = 1/4 e m = 1.\nb) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando m = 1/2.\nc) Determinar, em função de m, o número de raízes da equação f(x) = g(x).\n\n3. (2005)\nSeja f(x) = ax² + b - x, onde a é um número real diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x) = 0 são reais e o número x = 3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes.\n\n4. (2006)\nUma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2. Considere ainda a função g(x) = f(x - 1) + 1 para todo o número real x.\na) Calcule g(3).\nb) Determine f(x), para todo x real.\nc) Resolva a equação g(x) = 8.\n\n5. (2007)\na) represente, no sistema de coordenadas desenhado na folha de respostas ao lado, os gráficos das funções f(x) = [4 - x²] e g(x) = (x + 7)/2.\nb) Resolva a inequação |4 - x²| ≤ (x + 7)/2.\n\nProfessor: Leonardo Carvalho\nFUVEST\ncontato: spexatas@gmail.com Grupo Exatas\nwww.grupoexatas.com.br\n\nFunções\n\n6. (2009)\nPara cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x² + mx + 2.\nNessas condições:\na) Determine em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x).\nb) Determine os valores de m ∈ R para os quais a imagem de f contém o conjunto {y ∈ R: y ≥ 1}.\nc) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y ∈ R: x ≥ 0}, além disso, f é crescente no conjunto {x ∈ R: x ≥ 0}.\nd) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c), e para cada y ≥ 2, o único valor de x ≥ 0 tal que f(x) = y.\n\n7. (2010)\nDetermine a solução (x, y), y > 1, para o sistema de equações\n\nlog₂(9x - 35) = 6\nlog₃(27x - 81) = 3\n\n8. (2011)\nDetermine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade\n\n|log₁₆(1 - x²) - log₄(1 - x)| < 1/2\n\n9. (2012)\nDetermine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade\n\n|x² - 10x + 21| ≤ |3x - 15|\n\n10. (2014) Dados m e n inteiros, considere a função f definida por f(x) = 2 - m/x + n para x ≠ -n.\na) No caso em que m-n=2, mostre que a igualdade f(√2) = √2 se verifica.\nb) No caso em que m=n=2, esboce a parte do gráfico de f em que x > -2, levando em conta as informações obtidas nos itens (a) e (b). Utilize o par de eixos dado na página de respostas.\nc) Existe um par de inteiros (m, n) ≠ (2, 2) tal que a condição f(√2) = √2 continue sendo satisfeita?\n\n11. (2015) Resolva as inequações:\na) x³ - x² - 6x > 0;\n\nProfessor: Leonardo Carvalho\nFUVEST\ncontato: spexatas@gmail.com Grupo Exatas\nwww.grupoexatas.com.br\n\nFunções\n\n12. (2015) A função f está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar n,\nf(x) =\n \nx - (n - 1), se n - 1 ≤ x ≤ n\n n + 1 - x, se n ≤ x ≤ n + 1\n\n(a) Esboce o gráfico f para 0 ≤ x ≤ 6.\nb) Encontre os valores de x, 0 ≤ x ≤ 6, tais que f(x) = 1/5.\n\n13. (2016) Considere as funções f e g definidas por\nf(x) = 2 log₂(x - 1)\ng(x) = log₂(1 - x/A)\na) Calcule f(3/2), f(3), f(0), g(−4), g(0) e g(2).\nb) Encontre x, 1 < x < 4, tal que f(x) = g(x).\nc) Levando em conta os resultados dos itens a) e b), esboce os gráficos de f e g no sistema cartesiano impresso na página de resposta.\n\n14. (2016) A figura abaixo representa o gráfico de uma função f: [-5, 5]. Note que f(-5) = f(2) = 0. A restrição de f ao intervalo [-5, 0] tem como gráfico parte de uma parábola com vértice no ponto (-2, -3); restringida ao intervalo [0, 5], f tem como gráfico um segmento de reta.\n\na) Calcule f(-1) e f(3).\nUsando os sistemas de eixos da folha de respostas, esboce\nthe графика de g(x) = f(|x|), x ∈ [-5, 5];\nb) o gráfico de h(x) = f(|x|), x ∈ [-5, 5];\n\nProfessor: Leonardo Carvalho\nFUVEST\ncontato: spexatas@gmail.com