Descobrindo o Teorema de Pitágoras

vivendo a matemática descobrindo o teorema de pitágoras luiz márcio imenes editora scipione vivendo a matemática descobrindo o teorema de pitágoras luiz márcio imenes 13.ª edição editora scipione Caro leitor Algumas pessoas gostam de dançar, outras não. Há quem vi- bre ao dirigir automóveis e quem sinta sono na direção. Como tudo na vida, há quem goste de Mate- mática e quem não a veja com bons olhos. Mas, para gostar de algu- ma coisa, é preciso conhecê-la. É preciso experimentá-la e ter a chance de sentir algum prazer neste contato. A série Vivendo a Matemática pretende contribuir para um me- lhor conhecimento da Matemática. Mais do que isso, deseja ser o cu- pido de um novo romance entre você e esta bela ciência. Luiz Márcio ÍNDICE O primeiro bate-papo 5 Um quebra-cabeça diferente 8 A construção do quebra-cabeça 8 Vamos montar o quebra-cabeça 13 Uma relação entre áreas 14 Em linguagem matemática 17 A tesoura do telhado e o teorema de Pitágoras 19 O triângulo retângulo e o mestre-de-obras 23 O esquadro dos arquitetos egípcios 26 Vamos construir um esquadro egípcio? 29 Pitágoras e a Escola Pitagórica 29 A genialidade dos pitagóricos 31 O detetive e a Matemática 32 Usando o método dedutivo 32 370 demonstrações diferentes 35 Outro modo de ver as coisas 37 Os números pitagóricos 38 A diagonal do quadrado 41 Raízes quadradas em espiral 43 A importância da Matemática 45 Para você ler um pouco mais... 46 O PRIMEIRO BATE-PAPO Ao fazer um desenho ou resolver um exercício de Geometria, muitas vezes você tem de desenhar um ângulo reto. Isso é fácil, não é mesmo? Basta você usar o esquadro, o transferidor, ou até mesmo a capa do seu caderno. E se você dispusesse apenas de um pedaço de barbante? Como faria para conseguir um ângulo reto? O mundo que o rodeia está cheio de ângulos retos. Preste atenção e veja que eles aparecem nas vidraças, portas, mesas, armários, nas paredes das casas, nas molduras dos quadros, nos livros, nas caixas usadas para embalagens. Em quase tudo o que nos cerca notamos o ângulo reto. Por que o ângulo reto é tão comum? Para responder a essa pergunta, pense na importância que têm para nós as linhas verticais e as linhas horizontais. O batente da porta e a parede da casa são verticais. O parapeito da janela e o chão da casa são horizontais. Observe como ao seu redor há uma porção de linhas verticais e horizontais. Repare ainda que uma linha vertical forma ângulo reto com uma linha horizontal. Isto ajuda a entender por que o mundo está repleto de ângulos retos. Quando os homens começaram a levantar suas primeiras casas e templos, cercar terrenos e medir terras, surgiu a necessidade de aprenderem a construir ângulos retos. Na edificação das pirâmides egípcias, dos palácios orientais, dos templos gregos, das cidades incas, arquitetos e construtores usaram uma figura que se tornou famosa: o triângulo retângulo. Por ter um ângulo reto, ele tem sido utilizado como esquadro para se obterem linhas perpendiculares. Esta figura simples foi estudada por povos antigos, que perceberam suas interessantes propriedades. A mais importante delas foi descoberta na Grécia, há mais de dois mil anos, por Pitágoras e seus discípulos. Juntos, vamos então saber que propriedade é essa que tanto encantou Pitágoras. Vamos também aprender com os antigos egípcios a construir o ângulo reto usando apenas um pedaço de barbante. UM QUEBRA-CABEÇA DIFERENTE Você certamente já deve ter montado um quebra-cabeça: foi só abrir a caixa, espalhar as peças e começar a brincadeira, não foi? Agora você vai montar um quebra-cabeça diferente dos que você conhece, pois, brincando com ele, aprenderá um pouco mais de Matemática. E, o que é mais interessante, este quebra-cabeça não vem pronto. Você é que vai construí-lo. Para isso, pegue lápis, borracha, régua, esquadro, tesoura, lápis de cor ou canetas hidrográficas e pedaços quadrados de cartolina com aproximadamente 40 cm de lado. As peças de um quebra-cabeça devem se encaixar direitinho. Assim, cada figura precisa ser feita com muito capricho. Usando seu material de desenho, isso fica fácil. A CONSTRUÇÃO DO QUEBRA-CABEÇA No centro de uma das cartolinas, você vai desenhar com um lápis uma figura como esta: Só que, na sua figura, as medidas dos lados deverão ser um pouco maiores. Mas espere, não comece ainda! É preciso seguir algumas instruções, senão as peças do quebra-cabeça não se encaixam. Primeiro olhe bem o desenho. Nele vemos um triângulo e três quadrados. Inicie a figura pelo triângulo. Observe que ele é de um tipo especial: trata-se de um triângulo retângulo. Um de seus ângulos é reto: mede 90 graus. Para construir esse ângulo reto, você pode usar o esquadro e a régua: Você já deve ter aprendido que num triângulo retângulo o lado maior, aquele que está diante do ângulo reto, chama-se hipotenusa. Os outros dois lados chamam-se catetos. Para que o seu quebra-cabeça fique com um tamanho bom, desenhe os catetos com 6 cm e 8 cm. Passemos agora aos quadrados. Capriche nas medi- das: é preciso que todos os ângulos meçam 90 graus. Além disso, se os catetos do triângulo retângulo me- dem 6 cm e 8 cm, então os quatro lados do quadrado menor deverão medir 6 cm, e os quatro lados do qua- dradd médio, 8 cm. Os lados do quadradão deverão medir 10 cm. Preste atenção: se as medidas dos lados das figuras apresentarem diferenças maiores que 1 mm, convém refazer o desenho. Se sua figura estiver correta, siga adiante. Para facili- tar o entendimento das próximas instruções, vamos colocar letras nos vértices das figuras: 10 Agora, usando régua e lápis, prolongue a linha IC até ela encontrar a linha EA no ponto J. Prolongue também a linha HB até ela encontrar FG no ponto K. Depois, de- senhe a linha KL, que faz ângulo reto com BK. Pronto, está terminada a base do seu quebra-cabeça. Guarde-a, porque agora você vai construir suas peças. Para isso, pegue outro pedaço de cartolina e desenhe nele uma figura igual à que você acabou de fazer. Só que desta vez você só trabalhará com os dois quadra- dos menores. 11 Numere as partes dos quadrados menores e faça de- senhos nelas: pinte bolinhas no quadrado médio e trace listras no menor. (Você pode também escolher cores diferentes para pintar cada quadrado.) 12 Agora, reforce as linhas tracejadas e as linhas cheias usando lápis ou caneta esferográfica preta. Por fim recorte cada uma das partes numeradas. VAMOS MONTAR O QUEBRA-CABEÇA? Você deve encaixar as figuras 1, 2, 3, 4 e 5 dentro do quadradão do desenho-base. É possível arrumá-las de modo que, juntas, preencham completamente o quadrado maior. Tente! Com paciência, você conseguirá. Faça isso sem ver a solução. Aceite esse desafio! UMA RELAÇÃO ENTRE ÁREAS Ao encaixar as cinco peças no quadradão, você cobriu-o por completo: Podemos então concluir que a área do quadradão é a soma das áreas das cinco figuras: Dentro do quadradão cabem 10 x 10 = 100 quadradinhos de 1 cm de lado; logo, a área do quadradão é igual a 100 cm². A área do quadrado menor é igual a 36 cm². A área do outro quadrado é igual a 64 cm². Veja só: 100 cm² = 36 cm² + 64 cm², ou seja, a área do quadradão é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados. A linguagem matemática é universal: em todos os países do mundo os códigos matemáticos têm o mesmo significado. Para os japoneses, por exemplo, 2 + 3 = 5 significa o mesmo que para nós. Outro aspecto importante da linguagem matemática é que ela é econômica. Compare: 2 + 3 = 5 com dois mais três é igual a cinco Pois bem. Daqui para a frente usaremos cada vez mais a linguagem matemática. Já dissemos que, num triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Com a linguagem matemática podemos "encolher" essa frase e escrevê-la de um modo que a torne compreensível em qualquer país do mundo. Para isso, vamos representar pela letra a a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Assim, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa será a², representando-se as medidas dos catetos por b e c, as áreas dos quadrados construídos sobre eles serão iguais, respectivamente, a b² e c². EM LINGUAGEM MATEMÁTICA As pessoas se comunicam falando, gesticulando, escrevendo ou mesmo desenhando. A palavra falada ou escrita, o gesto, são códigos convencionais que utilizamos para nos comunicar. Alguns desses códigos possuem alcance nacional, como a língua de um país. Alguns são regionais e outros, ainda, valem em qualquer lugar. Em todos os países do mundo, por exemplo, as luzes vermelha, amarela e verde dos semáforos têm o mesmo significado: Pare! Atenção! Siga! Observe nas ruas a enorme quantidade de sinais de trânsito empregados: as faixas para a travessia de pedestres, as placas de mão e de contramão, as de estacionamento proibido, as placas de orientação, etc. Enfim, estamos sempre usando códigos cujos significados precisamos conhecer. O mesmo acontece em relação à Matemática. Ela também tem seu próprio código, isto é, seus próprios sinais e símbolos. Muitos deles você já aprendeu: 2+3 5 V49 7 (a+b)² = a² + 2ab + b² MMC(2,7) = 14 4/7 15:3=5 ½ + ⅓ = 5/6 Logo, podemos afirmar que: a² = b² + c² Essa fórmula simples, ''enxuta'' e universal sintetiza todas as conclusões que tiramos até aqui. Para compreendê-la, é preciso não perder de vista o significado das letras a, b e c: elas representam as medidas dos lados de um triângulo retângulo, sendo a a medida da hipotenusa e b e c as medidas dos catetos. Por isso, a fórmula a² = b² + c² pode ser lida do seguinte modo: Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Essa é a propriedade mais importante dos triângulos retângulos. Por isso, podemos chamá-la de propriedade fundamental dos triângulos retângulos. Ela é também conhecida como teorema de Pitágoras. A TESOURA DO TELHADO E O TEOREMA DE PITÁGORAS Na construção do telhado de uma casa, os carpinteiros fazem uma estrutura de madeira que tem o seguinte formato: Em geral, a madeira usada é a peroba, por ser muito resistente. Veja só quantos triângulos as vigas de peroba estão formando. Muitos deles são triângulos retângulos. Os carpinteiros e engenheiros chamam essa estrutura de tesoura do telhado. Ao construir a tesoura de um telhado, o carpinteiro se vê diante do seguinte problema: com que comprimento deve serrar cada viga? Pois bem. O comprimento das vigas depende da largura da casa e da inclinação do telhado. Se a casa tiver 8 m de largura, a viga AB da tesoura terá 8 m de comprimento. O comprimento da viga CM depende da inclinação do telhado. Quanto mais inclinado for o telhado, maior será a viga CM. A inclinação do telhado, por sua vez, depende do tipo de telha que se pretende usar na cobertura. Observe alguns telhados. Note que existem vários tipos de telha. A telha francesa, por exemplo, exige uma inclinação de pelo menos 40%, para que a água das chuvas possa escoar-se. Essa inclinação de 40% é obtida assim: partindo da extremidade para o topo do telhado, para cada metro (100 cm) na horizontal, subimos 40% de metro na vertical, ou seja, 40 cm. No exemplo dado, como AM mede 4 m, a vertical CM terá de medir 40% de 4 m, isto é: CM = \( \frac{40}{100} \times 4 \ m = \frac{160}{100} \ m = 1,60 \ m \) Agora vamos calcular o comprimento da viga AC, que deve ter o mesmo comprimento da viga CB. Como o triângulo AMC é retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras. Já sabemos que AM e CM, que são os catetos, medem 4 m e 1,6 m, respectivamente. Para calcular a hipotenusa AC, escrevemos: AC² = 4² + 1,6² = 16 + 2,56 = 18,56 Se AC² = 18,56, então AC = √18,56. Calculando a raiz quadrada, obtemos: AC ≅ 4,3 m Esse exemplo mostra que a Matemática também é um instrumento útil na resolução de problemas práticos. Não estamos afirmando, no entanto, que todos os carpinteiros usam o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento das vigas da tesoura de um telhado. Esse mesmo comprimento pode ser obtido empregando-se processos mais simples. Você imagina algum? Tente agora resolver a seguinte questão: • Já conhecemos o comprimento de cada uma das vigas AB, CM e AC da tesoura do telhado. O ponto D está no meio de AM, e o ponto F, no meio de MB. Determine o comprimento de cada uma das vigas: DE, EM, MG e GF. (Confira a resposta na página 26.) O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O MESTRE-DE-OBRAS Para construir uma casa, é preciso, antes, projetá-la e desenhá-la. Terminado o projeto, a planta é entregue ao mestre-de-obras, que se encarrega de supervisionar a construção. Depois da limpeza do terreno, o mestre e seus ajudantes fazem as marcações necessárias, conforme as especificações da planta, usando barbante, estacas, martelo e um metro de carpinteiro. As paredes devem formar ângulos retos. Na linguagem dos construtores, elas devem ''estar no esquadro''. Vejamos como o mestre-de-obras consegue marcar esses ângulos retos. Inicialmente, ele estica um fio entre duas estacas, A e B, cravadas no chão. Depois, amarra um outro fio na estaca A e prende sua extremidade a uma terceira estaca, C. O ajudante segura essa terceira estaca, ainda sem cravá-la na terra, procurando manter o fio AC esticado. Usando apenas sua sensibilidade e sua experiência, o mestre determina onde o ajudante deve cravar a estaca C, de maneira que o fio AC fique perpendicular ao fio AB. A posição da estaca C é provisória, e a confirmação de que os fios AB e AC formam um ângulo reto é feita do seguinte modo: sobre o fio AB marca-se, com uma estaca, o ponto P, a 3 m de A; sobre o fio AC marca-se, com outra estaca, o ponto Q, a 4 m de A. Em seguida, o mestre mede a distância entre os pontos P e Q. 230 m. Para ter uma idéia do que representa essa dimensão, compare-a com a medida dos quarteirões de nossas cidades, que tem cerca de 100 m de lado. Pois bem: no interior da base dessa pirâmide há espaço para quatro quarteirões! Se essa distância medir exatamente 5 m, é sinal de que o mestre acertou na primeira! O ângulo formado pelos fios AB e AC mede precisamente 90°. Portanto as paredes que serão construídas em AB e AC “estarão no esquadro”. Você já percebeu por que isso ocorre? É porque o triângulo de lados 3 m, 4 m e 5 m, que foi marcado no terreno, é um triângulo retângulo, uma vez que 5² = 3² + 4². Faça as contas e comprove! Mas nem sempre o mestre acerta na primeira. Pode acontecer que, medindo PQ, ele obtenha 4,83 m. Isto significa que o ângulo formado pelos fios AB e AC me-de menos de 90°. O mestre faz, então, uma segunda tentativa, abrindo um pouco mais o ângulo. Para isso, seu ajudante deve mudar a posição da estaca C. Em seguida, o mestre repete o processo. Em geral, um mestre-de-obras experiente consegue obter um ângulo reto com poucas tentativas. Nesse processo, ele pode ainda deparar com outras situações. Pense nestas: - Se, ao medir a distância PQ, o valor encontrado for superior a 5 m, como proceder? - Se o mestre-de-obras marcasse AP = 50 cm e AC = 120 cm, qual deveria ser a medida de PQ para que os fios AB e AC formassem um ângulo reto? Resolva essas questões. Você pode conferir as respostas no quadro a seguir. Respostas das questões propostas DE = GF = \frac{MC}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8 m = 80 cm EM = MG = AE = \frac{AC}{2} = \frac{4,3}{2} = 2,15 m = 215 cm Será preciso fechar um pouco o ângulo formado pelas linhas AB e AC e repetir o processo. Devemos ter PQ² = 50² + 120² = 2 500 + 14 400 = 16 900. Portanto PQ deverá medir 130 cm, pois 130² = 16 900. O ESQUADRO DOS ARQUITETOS EGÍPCIOS Você acabou de ver que o triângulo cujos lados medem 3 m, 4 m e 5 m é muito útil quando se deseja obter um ângulo reto. Isso acontece porque, se os lados de um triângulo têm essas medidas, ele certamente possui um ângulo reto. Este não é o único triângulo a partir do qual se obtém ângulos retos, mas com certeza é o mais conhecido — há muitos séculos é utilizado pelos construtores. Você já deve ter ouvido falar das pirâmides egípcias. São enormes monumentos de pedra, construídos no Egito, na Antiguidade. A maior delas, conhecida como Grande Pirâmide ou Pirâmide de Quéops, foi erigida na época do faraó Quéops, há cerca de 4500 anos. Sua base é um gigantesco quadrado, cujos lados medem aproximadamente O quadrado da base da Grande Pirâmide é quase perfeito: as diferenças entre as medidas de seus lados são muito pequenas e seus ângulos são praticamente iguais a 90°. Cientistas, historiadores, arqueólogos e arquitetos têm-se impressionado com o alto grau de precisão com que as pirâmides foram construídas. Isso nos faz supor que os egípcios possuíam profundos conhecimentos de Geometria. De fato, diversos documentos escritos naquela época revelam, por exemplo, que o triângulo de lados 3, 4 e 5 já era conhecido dos arquitetos e construtores egípcios. Tais documentos mostram que eles usavam uma corda, na qual davam nós a intervalos de igual distância, formando com ela esse tipo de triângulo. Era assim o esquadro dos arquitetos egípcios: uma simples corda com 12 espaços iguais entre os nós. VAMOS CONSTRUIR UM ESQUADRO EGÍPCIO? Dando nós em um barbante, imite os arquitetos e construtores egípcios e obtenha seu esquadro. É preciso apenas um pouco de paciência ao dar os nós, para que os espaços entre eles fiquem exatamente iguais. Se preferir, em vez de dar nós no barbante, amarre nele pequenas fitas, ou faça quaisquer outras marcas, sempre a intervalos iguais. Cuide somente de que os espaços sejam todos do mesmo tamanho. Depois de construir seu esquadro de barbante, use-o para verificar se as paredes de sua casa, ou da escola, estão realmente “no esquadro”. PITÁGORAS E A ESCOLA PITAGÓRICA Vários povos antigos conheceram e utilizaram o triângulo de lados 3, 4 e 5. No entanto, foi na Grécia, por volta do século VI a.C., que os estudos da propriedade fundamental desse triângulo tornaram-se de fato importantes. Esses estudos começaram com Pitágoras. De sua vida pouco se conhece. Sabe-se, contudo, que ele foi o fundador de uma sociedade mística secreta, chamada Escola Pitagórica. Esta sociedade existiu por alguns séculos. Os membros dessa seita, os pitagóricos, pensavam muito sobre o mundo, tentando explicá-lo. Em sua filosofia de vida, os números tinham importância fundamental. Um dos mais destacados membros da Escola Pitagórica, Filolau, dizia que todas as coisas têm um número e que sem os números nada se pode conceber ou compreender. Para os pitagóricos, a harmonia do Universo, o movimento dos planetas, a vida animal e a vegetal, o som, a luz, tudo isso só podia ser explicado através dos números. Os pitagóricos eram tão fascinados pelos números, que chegaram a lhes atribuir qualidades muito curiosas. Os números pares, por exemplo, eram considerados femininos e os ímpares, com exceção do 1, eram masculinos. O número 1 era o gerador de todos os outros. O 5 era o símbolo do casamento, por ser a soma do primeiro número feminino, 2, com o primeiro número masculino, 3. Estabeleceram ainda interessantes relações entre os números. Por exemplo, os números 220 e 284 eram chamados de números amigos. Vejamos por quê. Considere todos os divisores positivos de 220, com exceção do próprio 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 A soma desses divisores de 220 é igual a 284. Faça as contas e comprove! Considere agora os divisores positivos de 284, com exceção do próprio 284: 1, 2, 4, 71 e 142 A soma desses divisores de 284 é igual a 220. Faça as contas e comprove! É por isso que os pitagóricos diziam que o 220 e o 284 eram números amigos. O misticismo em torno dos números não é exclusivo dos pitagóricos. Até hoje as pessoas vêem neles qualidades sobrenaturais: 7 é conta de mentiroso, 13 é dia de azar... Essa crença deu origem à numerologia. Algu mas pessoas acreditam que os números influenciam nossas vidas. A GENIALIDADE DOS PITAGÓRICOS Os pitagóricos levaram a extremos sua adoração pelos números, baseando neles sua filosofia e seu modo de ver o mundo. Foram eles que descobriram que, em todo e qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos: b a a² = b² + c² c Poderia haver relação numérica mais simples e elegante do que essa, envolvendo os lados de um triângulo retângulo? A harmonia do triângulo retângulo só podia ser compreendida através de números! Era assim que pensavam os pitagóricos. O grande mérito desses estudiosos foi justamente esse: terem descoberto que essa propriedade é geral e aplicável, sem exceção, a todos os triângulos retângulos. Você deve estar curioso para saber como isso é possível. Se há infinitos triângulos retângulos, como afirmar, com absoluta certeza, que tal propriedade é válida para todos eles? A genialidade dos pensadores gregos é notável justamente porque eles desenvolveram um método de raciocínio, chamado método dedutivo, por meio do qual se pode provar a verdade de um fato. O método dedutivo não é usado apenas na Matemática; ele foi e continua sendo muito importante para o desenvolvimento de todas as ciências. O DETETIVE E A MATEMÁTICA Como dissemos, o método dedutivo consiste em provar, através de argumentos lógicos, que alguma coisa é verdadeira. Um detetive, por exemplo, usa o método dedutivo para provar quem é o autor de um crime que investiga. Se suspeita de uma certa pessoa, mas descobre que na hora do crime ela estava em outro local, o detetive deixa de considerá-la como possível autora do crime. Ao raciocinar assim, está se baseando num fato inquestionável: uma pessoa não pode estar em dois lugares ao mesmo tempo. Entretanto, para arquitetar o seu raciocínio, o detetive não parte do nada. Ele analisa muitos elementos ligados ao crime: impressões digitais, fios de cabelo, ligações amorosas entre os suspeitos e a vítima, e tudo o mais que vemos nos filmes e romances policiais. Enfim, pelo método dedutivo, ou seja, partindo de alguns conhecimentos, pensando, raciocinando, utilizando as regras da Lógica, concluímos que certos fatos são verdadeiros. Matemáticos e detetives usam e abusam desse modo de raciocinar. USANDO O MÉTODO DEDUTIVO Vamos provar, dedutivamente, que, em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Você acompanhará melhor esse raciocínio se cons truir algumas figuras em cartolina. Comece desenhando e recortando um triângulo retângulo qualquer. Não importam as medidas de seus lados. Vamos representá-las por letras: a é a medida da hipotenusa; b e c são as medidas dos catetos. Em seguida, recorte outros três triângulos iguais ao primeiro. b a c b a c a b c b a c Agora desenhe e recorte um quadrado, cujo lado seja igual à hipotenusa a dos triângulos retângulos. Enfeite-o com letras A. a Finalmente, desenhe e recorte mais dois quadrados: um de lado b e outro de lado c. Enfeite-os com letras B e C, respectivamente. b b c c Com o quadrado de lado a e os quatro triângulos, você pode formar um quadradão: Note que o quadradão tem lado b + c. Usando agora os mesmos quatro triângulos e os dois quadrados de lados b e c, você pode construir a seguinte figura: Temos outra vez um quadradão de lado b + c. Portanto os dois quadradões são iguais. Se do primeiro quadradão você eliminar os quatro triângulos, sobrará o quadrado de lado a, cuja área é igual a a². Se do segundo quadradão, que é igual ao primeiro, você eliminar os mesmos quatro triângulos, sobrarão dois quadrados de lados b e c que, juntos, têm área igual a b² + c². Logo, o que sobrou do primeiro quadradão é igual ao que sobrou do segundo quadradão: a² = b² + c² Provamos, assim, aquilo a que nos havíamos proposto: Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. As afirmações que são demonstradas como verdadeiras através do método dedutivo são chamadas teoremas. A afirmação anterior é um teorema famoso: o teorema de Pitágoras. 370 DEMONSTRAÇÕES DIFERENTES! Como a seita pitagórica era secreta e suas descobertas pouco divulgadas, fica difícil saber qual foi exatamente a demonstração dada por seus membros ao teorema de Pitágoras. Presume-se que tenha sido a que você acabou de ver. Várias demonstrações foram sendo elaboradas por outros matemáticos da Grécia Antiga e, com o passar do tempo, novas provas foram aparecendo.