Variável Aleatória - Conceitos e Definições com Exemplos

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES Variável Aleatória 2 Variável Aleatória Dado um fenômeno aleatório qualquer com um certo espaço amostral desejamos estudar a estrutura probabilística de quantidades associadas a esse fenômeno Por exemplo ao descrever uma peça manufaturada podemos empregar duas classificações defeituosa ou não defeituosa Para facilitar a análise vamos atribuir um número real a cada resultado do experimento Assim podemos atribuir o valor 0 às peças não defeituosas e 1 às defeituosas Nós podemos entender por variável aleatória uma função que associa a cada elemento do espaço amostral neste exemplo os elementos são defeituosa não defeituosa um número real Denotaremos as variáveis aleatórias por letras maiúsculas 3 Variável Aleatória Consideremos um experimento e Ω o espaço amostral associado a esse experimento Uma função X que associa a cada elemento ω Ω um número real Xω é denominada variável aleatória va Ou seja variável aleatória é um característico numérico do resultado de um experimento As variáveis aleatórias são fundamentais para as aplicações pois elas representam as características de interesse em uma população Por exemplo em uma linha de usinagem de peças estamos interessados em controlar o diâmetro das peças produzidas Neste caso o resultado da medição do diâmetro é a variável aleatória de interesse Em um ensaio clínico estamos interessados em avaliar o tempo de vida dos pacientes e neste caso a tempo de vida corresponde à variável aleatória 4 Variável Aleatória Exemplo 1 Considere três lançamentos independentes de uma moeda equilibrada Seja C cara e K coroa O espaço amostral deste experimento é SCCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK Podemos definir a variável aleatória X número de caras obtidas nos três lançamentos Por exemplo temos que XCCC 3 e XKCC2 5 Variável Aleatória Discreta Seja X uma variável aleatória va Se o número de valores possíveis de X for enumerável finito ou infinito dizemos que X é uma variável aleatória discreta Isto é os possíveis valores de X podem ser postos em lista como x1x2 No caso finito a lista possui um valor final xn e no caso infinito a lista continua indefinidamente 6 Variável Aleatória Discreta Suponha que após um exame médico pessoas sejam diagnosticadas como tendo diabetes D e não tendo diabetes N Admita que três pessoas sejam escolhidas ao acaso e classificadas de acordo com esse esquema O espaço amostral é dado por ΩDDDDDNDNDNDDNNDNDNDNNNNN 7 Variável Aleatória Discreta Nosso interesse é saber quantas pessoas com diabetes foram encontradas não interessando a ordem em que tenham sido selecionadas Isto é desejamos estudar a variável aleatória X a qual atribui a cada resultado ω Ω o número de pessoas com diabetes Consequentemente o conjunto dos possíveis valores de X é 0123 ou seja X é uma variável aleatória discreta 8 Variável Aleatória Discreta A coleção de pares xipxi i12 é algumas vezes denominada distribuição de probabilidade de X Assim podemos falar que a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta X definida em um espaço amostral Ω é uma tabela que associa a cada valor de X sua probabilidade 9 Variável Aleatória Discreta Considere que uma moeda é lançada duas vezes Seja X a função definida no espaço amostral que é igual ao número de caras nos dois lançamentos C Cara e K Coroa Temos na Tabela a seguir a distribuição de probabilidade referente a variável aleatória X Os valores das probabilidades na tabela acima são obtidos da seguinte maneira PX0PKK14 PX1PCKPKC12 PX2PCC14 10 Variável Aleatória Contínua Seja X uma variável aleatória Suponha que o contradomínio Rx de X seja um intervalo ou uma coleção de intervalos Então diremos que X é uma variável aleatória contínua 11 Variável Aleatória Contínua Exemplo 1 Uma válvula eletrônica é instalada em um circuito seja X o período de tempo em a válvula funciona Neste caso X é uma variável aleatória contínua podendo tomar valores nos reais positivos ou seja o subconjunto dos números reais 0 12 Variável Aleatória Contínua Exemplo 2 Um navio petroleiro sofre um acidente no qual seu casco é rompido e o óleo é derramado Seja Y a variável aleatória que determina a área atingida pelo óleo do navio Neste caso temos que a variável Y é uma variável continua a qual também assume valores em no subconjunto dos números reais 0 13 Variável Aleatória Contínua Exemplo 2 Um navio petroleiro sofre um acidente no qual seu casco é rompido e o óleo é derramado Seja Y a variável aleatória que determina a área atingida pelo óleo do navio Neste caso temos que a variável Y é uma variável continua a qual também assume valores em no subconjunto dos números reais 0 14 Variável Aleatória Contínua Dizemos que X é uma variável aleatória absolutamente contínua se existe uma função fXR0 denominada função densidade de probabilidade e abreviada por fdp que satisfaz às seguintes propriedades fx0 para todo x Rx Além disso definimos para qualquer cd Rx com c d que Pc X d 15 Variável Aleatória Contínua Dizemos que X é uma variável aleatória absolutamente contínua se existe uma função fXR0 denominada função densidade de probabilidade e abreviada por fdp que satisfaz às seguintes propriedades fx0 para todo x Rx Vale a pena notar que da forma como a probabilidade foi definida a probabilidade de um ponto isolado é sempre zero ou seja PXc Desta forma podemos concluir que quando X é uma variável aleatória contínua a probabilidade de ocorrer um valor especifico é zero 16 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Para construir o modelo binomial vamos introduzir uma sequência de ensaios de Bernoulli Tal sequência é definida por meio das seguintes condições Em cada ensaio considerase somente a ocorrência ou nãoocorrência de um certo evento que será denominado sucesso S e cuja nãoocorrência será denominada falha F Os ensaios são independentes A probabilidade de sucesso que denotaremos por p é a mesma para cada ensaio A probabilidade de falha será denotada por 1p 17 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Para um experimento que consiste na realização de n ensaios independentes de Bernoulli o espaço amostral pode ser considerado como o conjunto de nuplas em que cada posição há um sucesso S ou uma falha F A probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos k primeiros ensaios e falhas nos nk ensaios seguintes é pk1pnk 18 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Note que esta é a probabilidade de qualquer ponto com k sucessos e nk falhas O número de pontos do espaço amostral que satisfaz essa condição é igual ao número de maneiras com que podemos escolher k ensaios para a ocorrência de sucesso dentre o total de n ensaios pois nos nk restantes deverão ocorrer falhas Este número é igual ao número de combinações de n elementos tomados k a k ou seja Ou seja para k01n PXkpk1pnk 19 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Seja X o número de sucessos obtidos na realização de n ensaios de Bernoulli independentes Diremos que X tem distribuição binomial com parâmetros n e p em que p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio se sua função de probabilidade for dada por pxPXkpk1pnk Usaremos a notação X bnp 20 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa sucesso é p01 Tomase uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas Qual a probabilidade de se obter pxPXkpk1pnk 1 Uma peça defeituosa 2 Nenhuma peça defeituosa 3 Duas peças defeituosas 4 No mínimo duas peças defeituosas 5 No máximo duas peças defeituosas 21 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Solução 22 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo Estabeleça as condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial A distribuição binomial é usada para encontrar a probabilidade de X números de ocorrências ou sucessos de um evento PX em n tentativas do mesmo experimento quando 1 existirem somente 2 resultados mutuamente exclusivos 2 as n tentativas são independentes e 3 a probabilidade de ocorrência ou sucesso p permanece constante em cada tentativa Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta 23 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO de Poisson Em muitas situações nos deparamos com a situação em que o número de ensaios n é grande n e p é pequeno p0 no cálculo da função binomial o que nos leva a algumas dificuldades pois como podemos analisar para n muito grande e p pequeno fica relativamente difícil calcularmos a probabilidade de k sucessos a partir do modelo binomial isto é utilizando a função de probabilidade 24 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO de Poisson Observamos que podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma e tomando λnp segue que Se tomarmos o limite quando n obtemos que 25 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO de Poisson E para k01 e e2718 Assim temos que expressão é devida a Poisson e é muito utilizada para calcular probabilidades de ocorrências de defeitos raros em sistemas e componentes 26 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO de Poisson Uma variável aleatória discreta X segue a distribuição de Poisson com parâmetro λ λ 0 se sua função de probabilidade for dada por Utilizamos a notação X Poissonλ ou X Poλ O parâmetro λ indica a taxa de ocorrência por unidade medida 27 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO de Poisson Exemplo Considere um processo que têm uma taxa de 02 defeitos por unidade Qual a probabilidade de uma unidade qualquer apresentar a dois defeitos b um defeito c zero defeito 28 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO de Poisson Solução 29 Modelo Probabilístico Discreto DISTRIBUIÇÃO de Poisson Exercícios O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson com média de dois petroleiros por dia Desse modo a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a