Vários Exercícios Análise Matemática

Análise Matemática II Para cada questão apresente todos os cálculos e todas as justificações 1 Considere a função f R² R definida por fxyln1xyxy a 10 Pontos Determine o domínio de f e interpreteo geometricamente b 10 Pontos Determine a fronteira do domínio de f e diga justificando se é aberto fechado ou nem aberto nem fechado 2 Considere a função f R² R definida por fxy x⁴y⁴x⁴y⁴ se xy00 0 se xy00 a 10 Pontos Estude a continuidade de f b 5 Pontos Estude a diferenciabilidade de f em 00 c 10 Pontos Calcule o gradiente de f no ponto 11 d 5 Pontos Seja u11 Calcule fᵤ11 3 a 10 Pontos Mostre que a equação eᶻsinxyz2z2xyπ define implicitamente z como função de x e y numa vizinhança de 1 π2 0 b 10 Pontos Sendo u11 calcule zᵤ1 π2 4 15 Pontos Determine os extremos de fxyzxyz sujeita a 1x 1y 1z 1 0 5 15 Pontos Seja w fxyxy em que f R² R é uma função de classe C² Mostre que se tem 4 ²fuv ²wx² ²wy² onde u xy e v xy 6 25 Pontos Considere a integral I ₀¹ y¹ x³ 1 dxdy Desenhe a região de integração e calcule o valor de I invertendo a ordem de integração 7 Seja J W x² y² z² dzdydx onde W é o sólido limitado superiormente pelo plano z 2 e inferiormente pela parte da esfera x² y² z² 4z 0 a 15 Pontos Exiba os limites de integração de J nas coordenadas esféricas b 20 Pontos Use o item anterior para calcular o valor J 8 Dos dois grupos de questões A e B resolva apenas um GRUPO A A1 Considere a hélice circular de equação rtcost sint t a 10 Pontos Calcule o comprimento do arco da hélice do ponto 100 até o ponto 102π b 15 Pontos Determine os vetores normal e binormal da hélice A2 Seja rt a costi a sintj com a 0 a 15 Pontos Mostre que a curvatura de r é 1a GRUPO B B Uma partícula se move do ponto 10 ao longo de um segmento de reta até ao ponto 01 em seguida ao longo de um segmento de arco da circunferência x² y² 1 até ao ponto 10 e então volta ao ponto de partida 10 pelo eixo dos x a 20 Pontos Esboce o caminho percorrido pela partícula e use o teorema de Green para calcular o trabalho W C F realizado pelo campo de força Fxy x²y y²xy nessa partícula b 20 Pontos Calcule W usando a definição de integral de linha FORMULÁRIO fx₀ ᵏi1 λᵢ gᵢx₀ gᵢx₀cᵢ i1k xr cosθ yr sinθ z z x ρ cosθ sinϕ y ρ sinθ sinϕ z ρ cosϕ D F D F₂x F₁y dxdy F C F dγ aᵇ Fγtγt dt κt rt rtrt³ Nt TtTt aᵇrt dt κt Ttrt BtTt Nt Exame 2ª Chamada 17072023 Análise Matemática II Para cada questão apresente todos os cálculos e todas as justificações 1 Considere a função f R² R definida por fxy ln1xyxy a 10 Pontos Determine o domínio de f e interpreteo geometricamente b 10 Pontos Determine a fronteira do domínio de f e diga justificando se é aberto fechado ou nem aberto nem fechado 2 Considere a função f R² R definida por fxy x⁴ y⁴ x⁴ y⁴ se xy 00 0 se xy 00 a 10 Pontos Estude a continuidade de f b 5 Pontos Estude a diferenciabilidade de f em 00 c 10 Pontos Calcule o gradiente de f no ponto 11 d 5 Pontos Seja u 11 Calcule fᵤ11 3 a 10 Pontos Mostre que a equação eᶻ sinxyz 2z 2xy π define implicitamente z como função de x e y numa vizinhança de 1 π2 0 b 10 Pontos Sendo u 11 calcule zᵤ1 π2 4 15 Pontos Determine os extremos de fxyz xyz sujeita a 1x 1y 1z 1 0 5 15 Pontos Seja w fxy xy em que f R² R é uma função de classe C² Mostre que se tem 4 ²fuv ²wx² ²wy² onde u xy e v xy 6 25 Pontos Considere a integral I ₀¹ y¹ x³ 1 dxdy Desenhe a região de integração e calcule o valor de I invertendo a ordem de integração 7 Seja J W x² y² z²dzdydx onde W é o sólido limitado superiormente pelo plano z 2 e inferiormente pela parte da esfera x² y² z² 4z 0 a 15 Pontos Exiba os limites de integração de J nas coordenadas esféricas b 20 Pontos Use o item anterior para calcular o valor J 8 Dos dois grupos de questões A e B resolva apenas um GRUPO A A1 Considere a hélice circular de equação rt costsintt a 10 Pontos Calcule o comprimento do arco da hélice do ponto 100 até o ponto 102π b 15 Pontos Determine os vetores normal e binormal da hélice A2 Seja rt a costi a sintj com a 0 a 15 Pontos Mostre que a curvatura de r é 1a GRUPO B B Uma partícula se move do ponto 10 ao longo de um segmento de reta até ao ponto 01 em seguida ao longo de um segmento de arco da circunferência x² y²1 até ao ponto 10 e então volta ao ponto de partida 10 pelo eixo dos x a 20 Pontos Esboce o caminho percorrido pela partícula e use o teorema de Green para calcular o trabalho W ₐ C F realizado pelo campo de força Fxy x²y y²xy nessa partícula b 20 Pontos Calcule W usando a definição de integral de linha FORMULÁRIO fx₀ ᵏᵢ1 λᵢ gᵢx₀ gᵢx₀ cᵢ i1k D F D F₂x F₁y dxdy κt rt rt rt³ xr cosθ yr sinθ zz C F C F dγ ₐᵇ Fγtγt dt Nt Tt Tt xρ cosθ sinϕ yρ sinθ sinϕ zρ cosϕ ₐᵇ rt dt κt Tt rt Bt Tt Nt Domínio Todos valores possíveis de xy vamos ver as exi gências de acordo com as funções apresentadas Aqui temos a raíz quadrada de um módulo logo não temos restrição sobre o sinal de xy pois o mó dulo sempre fará com que fique positivo Entretanto como essa raíz quadrada está em um denominador ela deve ser diferente de zero logo Agora olhando para função logarítmica Essa função só está definida se o que estiver dentro do log for estritamente positivo ou seja maior que zero Interpretando geometricamente isso seria o equivalente a não tocar no eixo x não tocar no eixo y e A fronteira de D é Portanto o conjunto Domínio de f é um conjunto aberto pois não inclui sua fronteira dentro dele Logo o limite em 00 não está bem definido na origem depende do caminho que você pega podendo tomar valores diferentes de f00 Logo fxy é contínua para todos pontos de R² exceto 00 pois se xy não sendo 00 a parte da função que é definida é uma função contínua em todo ponto tirando 00 Já sabemos que fxy não será contínua em 00 portanto ela não será diferenciável nesse ponto pois uma exigência para ser diferenciável em um ponto do domínio é ser contínua nesse dado ponto Quero a derivada direcional de f na direção de u Para isso usaremos Teorema da Função Implícita que diz 2 π2 0 logo pelo Teorema da função implícita está satisfeito o que foi pedido b 10 Pontos Sendo u 11 calcule zu1 π2 Para isso precisamos de zx zy Já sabemos que nessas condições Fxyz 0 define implicitamente z Façamos Fx eᶻ cosxyz yz 2 Fy eᵗ cosxyz xz 2x Fz eᶻ sinxyz eᶻ xy cosxyz 2 No ponto Fx e⁰ cos0 0 2 2 Fy e⁰ cos0 0 2 1 2 Fz 2 π2 4 π2 zx Fx Fz No ponto 2 4 π2 4 4 π Usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange logo Como gxyz 0 1x 1x 1x 1 3x 1 xyz3 logo o extremo é no ponto 333 com f333 27 5 15 Pontos Seja wfxy xy em que f R² R é uma função de classe C² Mostre que se tem 4²fuv ²wx² ²wy² onde u xy e v xy w fmv mxy v xy mx 1 my 1 vx 1 vy 1 wx fm mx fv vx wx fm fv ²wx² x fm fv ²fm² mx ²fv² vx ²fvm vx ²fvm mx ²fm² ²fv² 2 ²fmv Agora wy fm my fv vy fm fv ²wy² y fu fv m² my ²fmv vy ²fv²vy ²fvmmy ²fm² ²fv² ²fmv ²fvm ²fm² ²fv² 2²fmv Logo wx² wy² ²fm² ²fv² 2²fmv ²fm² ²fv² 2²fmv 4²fmv como queríamos 6 25 Pontos Considere a integral I ₀¹ y¹ x³ 1 dx dy Desenhe a região de integração e calcule o valor de I invertendo a ordem de integração Região de integração 0 y 1 y x 1 x y graph x y y x² Região de integração Posso reescrever como 0 y x² 0 x 1 logo ₀¹ y¹ x³ 1 dx dy ₀¹ ₀ˣ² x³ 1 dy dx ₀¹ y x³ 1 ₀ˣ² dx ₀¹ x² x³ 1 dx u x³ 1 dudx 3x² dx x² dx 13 du ₁² u12 13 du 13 23 u32₁² 29 232 1 29 22 1