Introdução à Macromecânica de Compósitos e Relações Tensãodeformação

Uma Introdução à Macromecânica aplicada à Compósitos Macromecânica de Lâminas Universidade Federal de Itajubá UNIFEI Campus Itabira Fibra Matriz Micromecânica de uma lâmina unidirecional Macromecânica de uma lâmina unidirecional Camada homogênea ortotrópica Macromecânica de um Laminado Elemento estrutural Figura 1 Tipos de abordagens mecânicas Relação tensãodeformação para materiais isotrópicos A lei de Hooke baseouse em observações experimentais e através das mesmas verificouse que quando as deformações são suficientemente pequenas tipicamente menores que 02 para metais há uma proporcionalidade entre tensões e deformações No caso particular de tração ou compressão uniaxial a lei de Hooke simplificase para a equação E onde E é o módulo de elasticidade ou módulo de Young e para cisalhamento puro em um único plano ela expressase pela equação G Equação 1 Equação 2 Carregamento uniaxial Quando analisamos mais que uma direção interação entre todas as direções necessita ser considerada Isso é feito por meio da razão de Poisson Para um objeto tracionado em x a razão de Poisson é Carregamento biaxial Se o material é isotrópico e é tracionado em 2 direções então devido à razão de Poisson a deformação normal será a soma das duas deformações Por exemplo se há tensões normais nas direções x e y então a deformação total na direção x é x total x devido a x x devido a y Relação tensãodeformação para materiais isotrópicos Similarmente a deformação total na direção y é y total y devido a y y devido a x x devido a y Figura 2 Estado plano de tensões atuando em um corpo sólido Em se tratando de um estado 2D ou plano de tensões conforme ilustrado na Figura 1 no qual x y e xy são diferentes de zero mas as demais tensões são nulas ou seja z yz zx 0 a Lei de Hooke expande se para um sistema de três equações mostrado a seguir Relação tensãodeformação para materiais isotrópicos Este sistema de três equações também pode ser expresso na forma matricial xy y x xy y x G E E E E 0 0 0 1 1 0 1 1 2 2 2 2 Equação 3 Equação 4 Equação 3 forma matricial Equação 4 forma matricial xy xy y x y y x x G E E E E 1 1 1 1 2 2 2 2 Em um caso geral de estado 3D de tensões conforme mostrado na Figura 2 a lei de Hooke relaciona 6 tensões e 6 deformações independentes através de um sistema de 6 equações o qual pode ser colocado na forma matricial conforme apresentado através da equação 5 Equação 5 Relação tensãodeformação para materiais isotrópicos xy zx yz z y x xy zx yz z y x G G G E E E E E E E E E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 0 0 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 0 0 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 Figura 3 Estado tridimensional de tensões atuando em um corpo sólido httpswwwecomputingxcomSM07jsp onde é a razão de Poisson O módulo de cisalhamento G é função de duas constantes elásticas E e de acordo com a relação abaixo 2 1 E G Equação 6 Na equação 5 notase que todos os elementos não nulos da matriz 6X6 dependem apenas das constantes E G e E como estas 3 propriedades elásticas estão relacionadas pela equação 6 os elementos da matriz baseiamse unicamente em 2 constantes independentes Estas constantes caracterizam o comportamento elástico de um material isotrópico Vale mencionar que as relações entre tensões e deformações para materiais isotrópicos submetidos a estados bidimensionais e tridimensionais de tensões no regime elástico são válidas em qualquer direção e independem do sistema de coordenadas ortogonal utilizado já que os materiais isotrópicos são caracterizados por apresentar um número infinito de planos de simetria elástica através de um dado ponto de sua estrutura Dessa forma as propriedades elásticas dos materiais isotrópicos são definidas a partir de 2 constantes independentes e não variam com a direção da solicitação mecânica Tensões normais aplicadas em um material isotrópico em qualquer direção causam apenas deformações normais na direção das tensões aplicadas e contrações nas direções transversais devido ao efeito Poisson Tensões normais não produzem deformações cisalhantes no material De forma semelhante tensões de cisalhamento produzem apenas deformações cisalhantes Relação tensãodeformação para materiais isotrópicos Relação tensãodeformação para materiais anisotrópicos submetidos a um carregamento triaxial Se um determinado material não possui qualquer tipo de simetria elástica ele é chamado de anisotrópico Neste caso ao invés de ter duas constantes elásticas independentes E v como um material isotrópico ele é caracterizado por ter 36 constantes elásticas independentes As relações entre deformaçãotensão para materiais anisotrópicos submetidos a estados triaxiais de tensão em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal 123 podem ser escritas na forma matricial conforme da seguinte forma 12 31 23 2 2 1 66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11 12 31 23 3 2 1 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S 12 31 23 3 2 1 66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11 12 31 23 2 2 1 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C Equação 7 Equação 8 Onde a matriz S é denominada matriz de flexibilidade e a matriz C é denominada matriz de rigidez C compliance S Stiffness Se as propriedades de um dado material são as mesmas ao longo de qualquer direção com relação ao plano então o plano é definido como plano de simetria do material Um material pode ter zero um dois três ou infinitos planos de simetria através de um dado ponto Um material que não tem nenhum plano de simetria é chamado de anisotrópico No entanto devido a considerações de simetria onde SijSji o número de constantes elásticas no material é reduzido para 21 Desta forma para a maior parte dos materiais anisotrópicos são necessárias 21 constantes elásticas independentes para descrever completamente seu comportamento elástico conforme apresentado nas Equações 9 e 10 Relação tensãodeformação para materiais anisotrópicos submetidos a um carregamento triaxial 12 31 23 2 2 1 66 56 55 46 45 44 36 35 34 33 26 25 24 23 22 16 15 14 13 12 11 12 31 23 3 2 1 S Sim Sim Sim Sim Sim S S Sim Sim Sim Sim S S S Sim Sim Sim S S S S Sim Sim S S S S S Sim S S S S S S 12 31 23 3 2 1 66 56 55 46 45 44 36 35 34 33 26 25 24 23 22 16 15 14 13 12 11 12 31 23 2 2 1 C Sim Sim Sim Sim Sim C C Sim Sim Sim Sim C C C Sim Sim Sim C C C C Sim Sim C C C C C Sim C C C C C C Equação 9 Equação 10 Sim simetria Uma lâmina feita de material compósito na qual as fibras estão imersas em uma matriz e alinhadas unidirecionalmente conforme apresentado na Figura 3 é ortotrópica e suas relações tensãodeformação podem ser obtidas usando as equações 11 e 12 apresentadas a seguir Figura 4 Sistema de eixos de ortotropia eixos locais ou principais e eixos de referência ou globais 2 Transversalmente às fibras 1 Longitudinalmente às fibras 3 Ortogonal Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento triaxial Para definir um sistema de eixos ortogonais para uma lâmina compósita ortotrópica dentro do qual as propriedades mecânicas serão identificadas são necessários 2 sistemas de coordenadas o 1º eixos globais ou de referência para descrever com clareza os carregamentos mecânicos xyz e a geometria da peça analisada e o 2º eixos locais ou principais para localizar as fibras em relação ao componente 123 Assim um eixo designado 1 ou l de longitudinal é colocado longitudinalmente as fibras um outro designado 2 ou t é colocado transversalmente as fibras e um outro designado 3 ou t é colocado ortogonalmente aos dois anteriores conforme mostrado na Figura 3 Se um determinado material tem três planos perpendiculares entre si de simetria elástica ele é chamado de ortotrópico Para um material deste tipo as relações tensãodeformação são semelhantes as apresentadas para o material anisotrópico equações 9 e 10 entretanto o número de constantes elásticas independentes é reduzido para 9 Dessa forma a equação que relaciona tensãodeformação para um material deste tipo pode ser apresentada na forma matricial pelas Equações 11 e 12 12 31 23 3 2 1 66 55 44 33 23 13 23 22 12 13 12 11 12 31 23 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S S S S S S S S S S S S 12 31 23 3 2 1 66 55 44 33 23 13 23 22 12 13 12 11 12 31 23 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C Equação 11 Equação 12 Material anisotrópico 12 31 23 2 2 1 66 56 55 46 45 44 36 35 34 33 26 25 24 23 22 16 15 14 13 12 11 12 31 23 3 2 1 S Sim Sim Sim Sim Sim S S Sim Sim Sim Sim S S S Sim Sim Sim S S S S Sim Sim S S S S S Sim S S S S S S Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento triaxial Material ortotrópico Três importantes observações podem ser feitas acerca das relações tensão deformação apresentadas para um material ortotrópico equações 11 e 12 Não existe interação entre as tensões normais 1 2 e 3 e as deformações cisalhantes 23 31 12 ou seja tensões normais atuando ao longo das direções principal do material e produzem somente deformações normais Não há interação entre as tensões cisalhantes 23 4 31 5 12 6 e as deformações normais 1 2 3 ou seja tensões cisalhantes atuam apenas nos planos principais do material produzindo somente deformações cisalhantes Não há interação entre tensões cisalhantes e deformações cisalhantes em planos diferentes isto é um tensão cisalhante atuando no plano principal produz uma deformação cisalhante somente neste plano Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento triaxial Para determinação dos elementos da matriz de flexibilidade considerase individualmente a aplicação de carregamentos uniaxiais normais e de cisalhamento no tensor de tensões da equação 11 Por exemplo se um elemento é submetido a um carregamento uniaxial de tração na direção 1 somente 1 os elementos S11 S12 e S13 podem ser determinados Assim Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento triaxial 11 1 1 1 11 1 S S 21 1 2 1 21 2 S S 31 1 3 1 31 3 S S 0 12 31 23 Equação 13 a Equação 13 b Equação 13 c Equação 13 d 12 31 23 3 2 1 66 55 44 33 23 13 23 22 12 13 12 11 12 31 23 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S S S S S S S S S S S S Equação 11 Das relações de engenharia para esse carregamento que produz as deformações 1 2 e 3 os elementos S11 S12 e S13 podem então ser determinados pela equivalência com as equações apresentadas anteriormente Assim para o carregamento na direção 1 temse Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento triaxial 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 E S E E 1 12 21 1 12 1 2 1 1 12 2 1 12 2 E S E E 1 13 31 1 13 1 3 1 1 13 3 1 13 3 E S E E S21 Equação 14 a Equação 14 b Equação 14 c O restante dos elementos da matriz S é obtido empregandose raciocínio semelhante e estão apresentados na Equação 15 Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento triaxial 12 31 23 3 2 1 12 31 23 3 2 23 1 13 3 32 2 1 12 3 31 2 21 1 12 31 23 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 G G G E E E E E E E E E Equação 15 Sendo E1 E2 e E3 os módulos de elasticidade respectivamente nas direções 1 2 e 3 G23 G31 e G12 os módulos de cisalhamento respectivamente nos planos 23 31 e 12 e os coeficientes de Poisson que são dados pela relação i j ij Equação 16 9 constantes elásticas independentes E1 E2 e E3 G23 G31 e G12 G23 e G31 e G12 G23 e G13 Aplicar um carregamento de tensão normal na direção 2 e de cisalhamento no plano 12 E considerandose que SijSji com ij 12 e 3 é possível extrair da equação 14 b igualdade Equação 17 j ji i ij E E A matriz de rigidez pode então ser encontrada a partir de uma operação matemática de inversão da matriz de flexibilidade C S1 Equação 18 2 21 1 12 E E 1 12 21 1 12 1 2 1 1 12 2 1 12 2 E S E E Equação 14 b Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento triaxial Estado de tensões 2D ou estado plano de tensões onde x y e xy são diferentes de zero mas as demais tensões z yz e zy são iguais a zero Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento biaxial Quando a espessura de uma lâmina unidirecional é bem menor do que a das outras duas dimensões que é o que acontece com a maioria dos trabalhos empregandose materiais compósitos o estudo é feito para uma lâmina considerandose apenas os efeitos nas direções 1 e 2 e no plano 12 ou seja estado plano de tensão e desse modo as componentes de tensão fora do plano são consideradas nulas o que leva a colocar 323130 O primeiro índice referese à direção normal da face área na qual o esforço atua 2º índice referese à direção do esforço aplicado que causou a tensão MATRIZ S MATRIZ DE FLEXIBILIDADE 12 2 1 12 2 1 12 2 21 1 12 2 1 1 0 0 0 1 0 1 G E E E E 12 2 1 66 22 12 12 11 12 2 1 0 0 0 0 S S S S S Assim é possível reduzir a Equação 15 a Equação 19 Equação 20 Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento biaxial 12 31 23 3 2 1 12 31 23 3 2 23 1 13 3 32 2 1 12 3 31 2 21 1 12 31 23 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 G G G E E E E E E E E E Equação 15 Na equação 20 a matriz 3 por 3 simétrica é conhecida como matriz de flexibilidade ou matriz S E a relação matricial que fornece as tensões referentes às direções 1 e 2 em função das deformações é dada pela equação 21 Sendo a matriz 3 por 3 neste caso conhecida como matriz Q a qual é a inversa de S ou seja Q S1 Devese observar que os elementos da matriz S e os da matriz Q só dependem das constantes elásticas E1 E2 G12 12 e 21 Estas constantes definem o comportamento elástico ortotrópico de lâminas com reforço unidirecional no sistema 12 12 2 1 66 22 12 12 11 12 2 1 0 0 0 0 Q Q Q Q Q 12 2 1 12 2 1 Q 12 21 1 11 1 E Q 12 21 2 22 1 E Q 12 21 2 12 21 12 21 1 21 12 1 1 E Q E Q 12 66 G Q Equação 21 Equação 23 Equação 22 Equação 24 Equação 25 Equação 26 Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento biaxial Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento biaxial Aplicando um carregamento de tensão normal na direção 1 σ1 0 σ2 0 τ12 0 Aplicando um carregamento de tensão normal na direção 2 σ1 0 σ2 0 τ12 0 Aplicando um carregamento de tensão cisalhante no plano 12 σ1 0 σ2 0 τ12 0 Aplicação de tensões para encontrar as constantes de engenharia de uma lâmina unidirecional Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento biaxial Aplicando um carregamento de tensão normal na direção 1 σ1 0 σ2 0 τ12 0 Então 1 11 1 S 11 1 1 E S 1 1 1 E 1 21 2 S 1 2 12 12 1 2 1 21 12 1 S 1 1 12 1 E 21 1 12 S Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento biaxial Aplicando um carregamento de tensão normal na direção 2 σ1 0 σ2 0 τ12 0 Então 2 12 1 S 12 2 1 S 12 2 21 2 S 2 12 21 S E 12 2 21 E S 2 22 2 S 22 2 2 S 22 2 1 S E Se 12 2 21 E S e 21 1 12 E S j ji i ij E E Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento biaxial Aplicando uma tensão de cisalhamento no plano 12 σ1 0 σ2 0 τ 12 0 1 0 2 0 Então 66 12 12 S 66 12 12 12 1 S G 12 66 1 G S Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento biaxial As relações tensãodeformação abaixo mostram que quando a lâmina é carregada nas direções principais 1 ou 2 não existe deformação de cisalhamento 12 0 12 2 1 66 22 12 12 11 12 2 1 0 0 0 0 S S S S S 12 2 1 66 22 12 12 11 12 2 1 0 0 0 0 Q Q Q Q Q De forma similar quando a lâmina é sujeita a uma tensão de cisalhamento puro 12 não há deformações normais 12 0 Assim não há acoplamento entre tensões normaisdeformação de cisalhamento e de tensões de cisalhamentodeformações normais no sistema de eixos principais Relação tensãodeformação para materiais ortotrópicos submetidos a um carregamento biaxial Transformação de coordenadas para materiais Ortotrópicos As equações descritas anteriormente relacionam as e 2D que agem nas direções paralelas e perpendiculares às fibras sistema de coordenadas 12 Em uma lâmina compósita as coordenadas 12 no caso 2D são chamadas de coordenadas principais do material eixos locais Tais equações somente são válidas para análise 2D utilizandose as coordenadas principais 12 Neste caso as fibras são paralelas à direção X1 0 Se as fibras não estiverem alinhadas com o sistema de coordenadas longitudinal e transversal da lâmina ou componente estrutural sistema XY eixos de referência e estiverem inclinadas com um ângulo 0 relativamente à direção X as equações deixam de ser válidas Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Tensões em planos inclinado Transformação de tensão Figura 5 Representação do estado de tensão em um sistema de coordenadas com rotação x1y1 Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Figura 6 Lâmina ortotrópica com orientação arbitrária xy y x T 12 2 1 xy y x T 12 2 1 Mudança de propriedades dos eixos locais para os eixos globais utilizar uma matriz de transformação para as tensões e uma matriz de transformação para as deformações Equação 27 Equação 28 Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária 2 2 2 2 2 2 2 2 n m mn mn mn m n mn n m T 2 2 2 2 2 2 cos cos cos cos 2 cos cos 2 cos sen sen sen sen sen sen sen T Sendo m cos e n sen 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 cos 2 cos cos cos cos sen sen sen sen sen sen sen T 2 2 2 2 2 2 2 2 n m mn mn mn m n mn n m T Equação 29 Equação 30 2 2 2 2 2 2 1 2 2 n m mn mn mn m n mn n m T 12 2 1 1 T xy y x 2 2 2 2 2 2 1 cos cos cos cos 2 cos cos 2 cos sen sen sen sen sen sen sen T Para o estudo das tensões a equação 27 expressa essas propriedades nas coordenadas locais 12 em termos das coordenadas globais XY O que se deseja efetivamente são as tensões x y e xy no eixo global do material como função de 1 2 e 12 do eixo local o que é obtido pela inversão de T Equação 31 Equação 32 Equação 32 Para análise de tensões e deformações nas lâminas no eixo global é necessário estabelecer a relação entre tensão e deformação nesse sistema desenvolvendo uma equação similar à equação 21 que estabelece relação entre tensão e deformação no eixo local 12 2 1 66 22 12 12 11 12 2 1 0 0 0 0 Q Q Q Q Q Para isso manipular a equação 31 com o auxílio da equação 21 dando a equação 33 12 2 1 1 Q T xy y x 12 2 1 66 22 12 12 11 1 0 0 0 0 Q Q Q Q Q T xy y x Equação 21 Equação 33 Equação 33 Equação 31 12 2 1 1 T xy y x Como as tensões e deformações estão em sistemas diferentes tensões no eixo global e deformações no eixo local será necessário transformar a matriz de deformação do sistema local para o sistema global xy y x xy y x Q T T 1 Q T T Q 1 xy y x xy y x Q A matriz Q barra pode ser calculada através do produto das matrizes T1 Q e T Equação 34 Matriz Q barra A matriz Q só relaciona tensões e deformações 2D nas coordenadas 1 e 2 Para se relacionar tensões e deformações nas coordenadas x e y é obrigatório o uso da equação 34 A matriz que relaciona tensões e deformações nesta equação é chamada de matriz Q barra xy y x xy y x Q Q Q Q Q Q Q Q Q 66 26 16 26 22 21 16 12 11 Equação 34 Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária 2 2 2 2 2 2 66 22 12 12 11 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 cos 2 cos cos cos cos 0 0 0 0 cos cos cos cos 2 cos cos 2 cos sen sen sen sen sen sen sen Q Q Q Q Q sen sen sen sen sen sen sen Q 2 2 2 2 2 2 66 22 12 12 11 2 2 2 2 2 2 66 26 16 26 22 12 16 12 11 cos cos 2 cos 2 cos cos cos cos 0 0 0 0 cos cos cos cos 2 cos cos 2 cos sen sen sen sen sen sen sen Q Q Q Q Q sen sen sen sen sen sen sen Q Q Q Q Q Q Q Q Q Equação 35 Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Os componentes da matriz Q barra são escritos da forma como se segue Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Matriz S barra A matriz S barra é a matriz inversa da Q barra Equação 36 Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Os componentes da matriz S barra são escritos da forma como se segue Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária A matriz Q barra ao contrário da Q a qual somente é função das propriedades elásticas do material também depende de funções trigonométricas do ângulo definido como ângulo entre a direção 1 paralela às fibras e o eixo x Ao contrário da matriz Q que possui elementos nulos nas posições 16 e 26 da matriz 3X3 que relaciona tensões e deformações a matriz Q barra apresenta elementos não nulos nestas posições para Q160 e Q260 A matriz Q barra é cheia A presença destes elementos não nulos na matriz Q barra faz com que uma lâmina com fibras inclinadas com relação às tensões aplicadas apresente comportamento anisotrópico Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Acoplamentos extensãocisalhamento shearing streching coupling Fisicamente a lâmina passa a apresentar os seguintes acoplamentos elásticos no plano xy 1 entre tensões normais por exemplo x e y e deformações angulares por exemplo xy yx Neste caso por exemplo a lâmina pode sofrer deformação angular ao ser tracionada na direção longitudinal x 2 entre tensões cisalhantes e deformações normais A lâmina pode sofrer deformação normal na direção x ao ser submetida a tensões de cisalhamento puro Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Lâmina isotrópica Lâmina anisotrópica Figura 7 Lâmina ortotrópica com orientação arbitrária antes e depois da aplicação de uma tensão normal uniaxial Acoplamentos extensãocisalhamento shearing streching coupling Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Se não houvesse matriz as fibras inclinadas tenderiam a sofrer uma rotação para se alinhar com a direção x Esta tendência de rotação angular seria bem pronunciada com as fibras secas sem matriz Mas como há matriz elas ficam restringidas pela resina que as aglutina e ocorre uma pequena deformação angular na lâmina Neste caso além de a lâmina alongarse na direção x efeito principal ocorre o acoplamento entre x e xy Este acoplamento é um efeito secundário ou seja x xy Sendo assim uma lâmina com orientação arbitrária tracionada deformase na direção da carga e simultaneamente sofre uma pequena deformação angular distorção Este acoplamento só ocorre quando as fibras estão inclinadas em relação ao esforço mecânico Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Acoplamentos extensãocisalhamento shearing streching coupling Além do acoplamento mostrado um corpo elástico anisotrópico contido no plano xy ao ser submetido ao cisalhamento puro pode apresentar em adição às deformações angulares xy as quais distorcem o corpo mas não alteram suas dimensões iniciais comprimento largura e espessura deformações normais x acopladas Figura 8 Resultado da aplicação de cisalhamento puro em diferentes tipos de materiais Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária A análise do comportamento de uma lâmina com orientação arbitrária isto é quando os eixos do sistema de referência eixos globais não coincidem com as direções principais eixos locais pode ser feita utilizando a equação que relaciona deformação com tensão dada pela equação 36 A matriz que estabelece essa relação é a matriz de flexibilidade e assim tornase útil determinar os elementos dessa matriz em função das propriedades elásticas dessa lâmina Tanto na matriz de flexibilidade transformada equação 36 quanto na matriz de rigidez transformada equação 34 notase a presença de termos que não existiam quando os eixos globais estavam alinhados com as direções principais da lâmina Considerando a matriz de flexibilidade estes termos são S16 S26 S61 e S62 Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Como exemplo ao se aplicar isoladamente uma tensão normal x o material sofre além de deformações normais x S11x e y S21x também uma deformação angular induzida xy S16x enquanto ao se aplicar uma tensão cisalhante xy o material sofre além da deformação angular xy S66xy também deformações normais induzidas x S16xy e y S26xy Desse modo o estudo de lâminas com o sistema de eixos não coincidentes exige uma atenção redobrada do projetista pois há ocorrência de tensões induzidas em direções que podem não estar sendo consideradas na análise de tensões e deformações para cálculo de dimensionamento da estrutura Portanto os termos S16 e S26 representam acoplamento elástico entre tensões normais e deformações cisalhantes e os termos S61 e S62 representam acoplamento elástico entre tensões cisalhantes e deformações normais Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária A determinação destes termos exige estabelecer novas constantes de engenharia denominadas de coeficientes de influência mútua e que são representadas de duas formas de acordo com o tipo de solicitação na lâmina conforme representação na Figura 9 A simbologia dos termos é feita pela letra Figura 9 Representação dos termos envolvidos no coeficiente de influência mútua de uma lâmina a primeiro tipo b segundo tipo Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária a b Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Onde i é deformação normal na direção i e ij é a deformação cisalhante no plano ij Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Para determinação dos elementos da matriz de flexibilidade considerase individualmente a aplicação de carregamentos uniaxiais na equação da matriz S barra Se um elemento é submetido somente a um carregamento uniaxial de tração na direção x x os elementos S11 S21 e S61 podem ser determinados Assim da equação 36 temse que Manipulandose as equações 37 ac e aplicandose as constantes de engenharia das equações 38 ac temse as constantes de engenharia S11 S21 e S61 indicadas nas equações 39 ac Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Equação 39 a Equação 39 b Equação 39 c Equação 40 Da simetria da matriz de flexibilidade são válidas as relações Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária Equação 41 Equação 42 Equação 43 As constantes elásticas para uma lâmina UD foram relacionadas às matrizes de rigidez e flexibilidade Técnicas similares são aplicadas para relacionar as constantes elásticas de uma lâmina com angulação às suas matrizes transformadas de rigidez e de flexibilidade E as relações entre constantes são encontradas e dadas pelas equações 4448 Relações entre constantes Relações entre constantes 12 2 2 1 1 2 2 12 2 2 12 2 1 1 1 2 2 2 2 12 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 12 2 4 1 4 2 2 1 1 12 2 4 1 4 1 1 1 4 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 G E E m n G G m n G E E E E E m n G E E E E E m n E G E m E n E m n E G E n E m E xy y y x x y x Equação 44 Equação 45 Equação 45 Equação 47 Equação 48 Relações entre constantes A partir das relações dadas anteriormente equações 4246 é possível verificar como os módulos elásticos de uma lâmina anisotrópica variam em função do ângulo plotando os gráficos de Ex Ey x y e Gxy para variando de 0 a 90 Dados E1 240 GPa E2 8 GPa x 026 G12 6 Gpa 0 20 40 60 80 0 50 100 150 200 250 Ex graus Ex Variação das Propriedades da Lâmina com a Orientação Variação do módulo de elasticidade na direção x em função do ângulo da lâmina para uma matriz de grafiteepóxi 0 20 40 60 80 0 50 100 150 200 250 Ey EY graus Variação das Propriedades da Lâmina com a Orientação Variação do módulo de elasticidade na direção y em função do ângulo da lâmina para uma matriz de grafiteepóxi 0 20 40 60 80 0 50 100 150 200 250 Módulo graus Ex Ey Variação das Propriedades da Lâmina com a Orientação Variação do módulo de elasticidade na direção xy em função do ângulo da lâmina para uma matriz de grafiteepóxi As variações do módulo de Young Ex e Ey com θ apresentam um comportamento inverso À medida que a orientação da fibra varia de 0 a 90 o valor de Ex varia de E1 módulo de elasticidade longitudinal para E2 módulo de elasticidade transversal Entretanto os valores máximos e mínimos de Ex não ocorrem necessariamente em θ 0 e θ 90 respectivamente para todos os tipos de lâmina Variação das Propriedades da Lâmina com a Orientação 0 20 40 60 80 000 005 010 015 020 025 030 Razão de Poisson graus vx vy Variação das Propriedades da Lâmina com a Orientação Razão de Poisson vxy em função do ângulo da lâmina para uma matriz de grafiteepóxi As variações do coeficiente de Poisson vx e vy com θ apresentam um comportamento inverso Razão de poisson vx varia monotonicamente de seu valor máximo v12 em θ 0 para seu valor mínimo v21 em θ 90 Variação das Propriedades da Lâmina com a Orientação 0 20 40 60 80 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 Módulo de cisalhamento graus Gxy Módulo de cisalhamento no plano xy em função do ângulo da lâmina para uma matriz de grafiteepóxi Módulo de cisalhamento Gxy alcança um valor máximo em em θ 45 Variação das Propriedades da Lâmina com a Orientação A partir das considerações sobre lâminas individuais com reforço unidirecional fica claro que a rigidez de uma lâmina compósita principalmente a de matriz polimérica será maior na direção paralela às fibras e menor na direção perpendicular às fibras e apresentará valores intermediários nas demais direções Ao se construir barras de um material compósito que trabalharam submetidos exclusivamente a carregamentos de tração ou compressão longitudinal é evidente que o melhor desempenho estrutural será obtido ao fabricarse laminados nos quais 100 do reforço está orientado na direção longitudinal da barra Entretanto ao se utilizar placas e cascas laminadas em aplicações estruturais podem surgir esforços mecânicos consideráveis em múltiplas direções E nestes casos fazse necessário orientar as fibras de reforço em várias direções em função da distribuição das solicitações mecânicas existentes Variação das Propriedades da Lâmina com a Orientação Variação das Propriedades da Lâmina com a Orientação Diagrama para análise de tensões e deformações e determinação das propriedades de uma lâmina Com orientação arbitrária em relação às direções principais da lâmina sistema local Relação tensãodeformação para uma lâmina com orientação arbitrária E1 E2 12 G12 Q12 S12 Qxy Sxy Ex Ey Gxy xy yx xs sx sy ys Resposta mecânica resumo Isotrópico Ortotrópico Carregado ao longo de uma das direções principais do material Anisotrópico ou Ortotrópico Carregado ao longo de direções não principais do material Transformação de tensões e deformações Resumo