Introdução à Macromecânica dos Compósitos Laminados

Uma Introdução à Macromecânica aplicada à Compósitos Laminados Universidade Federal de Itajubá UNIFEI Campus Itabira Um elemento estrutural compósito muito empregado na prática são as placas laminadas de parede fina Tais placas laminadas são constituídas por uma série de lâminas ortotrópicase ou anisotrópicas empilhadas Tipicamente em aplicações práticas tem sido construídos laminados nos quais o número total de lâminas compósitas N varia de cerca de 4 até 40 As camadas K destes laminados podem ser reforçadas por exemplo com fibras unidirecionais tecidos e mantas Podese construir laminados nos quais todas as camadas possuem o mesmo tipo de reforço porém com várias orientações e espessuras distintas bem como podese combinar diferentes tipos de reforços Comportamento elástico de laminados multidirecionais Como as lâminas usadas na prática são bastantes finas elas só apresentam rigidez estrutural efetivas quando solicitadas no seu próprio plano Tais solicitações são chamadas de tensões de membrana Em particular a rigidez a flexão e a torção de lâminas individuais é praticamente nula Entretanto ao se empilhar um número considerável de camadas para produzir um laminado por exemplo na forma de uma placa plana com seções transversais retangulares tanto a rigidez à flexão quando à torção aumentam significativamente porque tais grandezas são função da espessura total da placa elevada ao cubo t3 Assim na teoria de placas laminadas devese levar em conta tanto as tensões de membrana como as devidas a aplicação de momentos fletores e torçores Comportamento elástico de laminados multidirecionais Comportamento elástico de laminados multidirecionais Figura 1 Ilustração da justificativa para confeccionar um laminado que é proporcionar um aumento na rigidez à flexão a 2 vigas não coladas a 2 vigas coladas Assim ao projetar um laminado é importante conhecer a sua resistência mecânica resistência à tração compressão flexão etc e rigidez e controlar os possíveis efeitos de acoplamento Para isso uma teoria conhecida como Teoria Clássica da LaminaçãoCLT foi desenvolvida Esta teoria é muito adequada para calcular a tensão e deformação de cada lâmina submetida a cargas externas forças ou momentos A aplicação desta teoria requer cálculos bastante extensos e envolve o uso de álgebra linear Para cálculos manuais essa teoria não é adequada Comportamento elástico de laminados multidirecionais Usada para desenvolver equações que relacionam tensão e deformação em placas laminadas Suposições 1 As lâminas individuais são homogêneas e ortotrópicas Não é possível usar esta teoria para prever o que ocorre a nível microscópico 2 O laminado é fino e suas dimensões laterais são muito superiores à dimensão da espessura Tensões e deformações ao longo da espessura são desprezadas A análise é feita no estado plano de tensões z 0 xz yz 0 z xz yz 0 3 Todos os deslocamentos são pequenos 4 Deslocamentos são contínuos através do laminado 5 Deslocamentos no plano variam linearmente ao longo da espessura do laminado uv são função linear de z 6 As deformações de cisalhamento transversais são desprezadas xz e yz são iguais a zero as lâminas que compõem a seção transversal não deslizam umas sobre as outras perfeita ligação entre as lâminas Esta suposição e a suposição 5 implicam que linhas perpendiculares a superfície do laminado permanecem retas e perpendiculares a superfície após deformação 7 Relações deformaçãodeslocamento e tensãodeformação são lineares 8 O laminado tem uma espessura constante Teoria clássica de placas laminadas TCL Ligação na interface não é perfeita interface flexível Ligação na interface é perfeita interface rígida Não há cisalhamento entre as lâminas xz e yz 0 Teoria clássica de placas laminadas TCL A D A D Comprimento da linha AB não muda z 0 Obs A linha ABCD originalmente reta e perpendicular ao plano médio do laminado permanece reta e perpendicular ao plano médio após deformação B B Pelo modelo estabelecido pela Teoria Clássica de Placas Laminadas são obtidas as deformações e as tensões de qualquer das camadas do laminado por meio das deformações e curvaturas em relação à superfície média Para se determinar as relações entre tensão e deformação inicialmente são obtidos os deslocamentos considerandose a seção de um laminado delgado de comprimento dx sujeito a um esforço combinado de força axial e de flexão A figura 2 mostra os deslocamentos normais e de flexão em uma placa E a Figura 3 mostra os deslocamentos no plano xz de um elemento representativo de um laminado sujeito a um esforço combinado de força axial e de flexão Posteriormente as deformações são obtidas a partir dos deslocamentos Teoria clássica de placas laminadas TCL Relações tensãodeformação Deslocamentos u deslocamento da placa na direção x v deslocamento da placa na direção y w deslocamento da placa na direção z Figura 2 Deslocamentos normais e de flexão em uma placa Teoria clássica de placas laminadas TCL Deslocamentos e Deformações A figura abaixo ilustra os deslocamentos no plano xz resultante do alongamento axial e da flexão z a x Para a pequeno xza a inclinação dwdx Então Teoria clássica de placas laminadas TCL Deslocamentos e Deformações Observe que a figura mostra o efeito combinado das da deformação extensional e da deformação à flexão A deformação total de qualquer uma das camadas do compósito no plano xz é função da deformação e curvatura da linha média do laminado e da distância z da camada considerada à linha média do laminado Figura 3 Deslocamentos no plano xz de um elemento representativo de um laminado sujeito a um esforço combinado de força axial e de flexão z uA uo uD Considere a vista lateral de uma placa no sistema de coordenadas xyz como mostrado na Figura anterior A origem da placa está no plano médio da placa ou seja z 0 Nessa figura à esquerda podemos observar a placa laminada antes de ser submetida a um carregamento normal e de flexão e à direita podemos ver os deslocamentos que a placa sofre em relação as direções x y e z note que nesta figura está representado somente o plano xz uo é o deslocamento em relação à direção x vo é o deslocamento em relação à direção y e wo em relação à z no plano médio do laminado e u v e w são os deslocamentos em qualquer ponto distante do plano medio nas direções x y e z respectivamente Note que essa figura só esta mostrando os deslocamentos no plano xz Mesmo raciocínio é valido para o plano xy Observe que após o carregamento a linha reta A que é uma linha que foi traçada a um dado ponto ou dada distância em relação à linha média do laminado permanece reta A só que ela tem uma angulação em relação a A e essa angulação causada pelo momento de flexão força que provoca a rotação do laminado Esta é a suposição 6 Teoria clássica de placas laminadas TCL Deslocamentos e Deformações Teoria clássica de placas laminadas TCL Deslocamentos e Deformações Teoria clássica de placas laminadas TCL Deslocamentos e Deformações Em qualquer ponto a uma dada distância de z no plano xy Deformações A inclinação da placa sujeita a flexão é dada por ao longo da direção x ao longo da direção y Teoria clássica de placas laminadas TCL Deslocamentos e Deformações Quando se trata de deformações elásticas lineares existe uma relação linear entre os deslocamentos e as deformações Então as deformações são as derivadas dos deslocamentos Como E as deformações totais serão Considerando os deslocamentos do plano médio da placa nas direções x e y como u0 e v0 respectivamente e com a ajuda da Figura 3 os deslocamentos totais serão deslocamento total deslocamentos normais curvaturas Então Deformações no plano médio Curvaturas no plano médio Podemos escrever as equações anteriores da seguinte forma Teoria clássica de placas laminadas TCL Deslocamentos e Deformações Ou numa notação compacta como xy y x xy o y x xy y x k k k z 0 0 z k 0 Equação 1 Equação 2 Na forma matricial as equações de deformação podem escritas da seguinte maneira ou Equação 1 Então as deformações em qualquer ponto são estabelecidas em termos das deformações na linha média e das curvaturas e isso é decidido pela localização deste ponto em relação à linha média Teoria clássica de placas laminadas TCL Deslocamentos e Deformações As tensões em qualquer lâmina com angulação arbitrária por exemplo a Késima podem ser obtidas a partir da equação abaixo macromecânica da lâmina A equação para a determinação das tensão em uma dada camada do laminado pode então ser obtida multiplicandose a matriz Q no sistema de referência xy matriz Q barra pelas deformações no plano de referência e pelas curvaturas xy y x k xy y x k k xy y x k k k Q Q Q Q Q Q Q Q Q z Q Q Q Q Q Q Q Q Q 66 26 16 26 22 21 16 12 11 0 0 0 66 26 16 26 22 21 16 12 11 Equação 3 Teoria clássica de placas laminadas TCL Relações tensãodeformação k xy y x xy y x Q Q Q Q Q Q Q Q Q 66 26 16 26 22 21 16 12 11 Uma vez obtidas as deformações as relações entre tensão e deformação podem ser obtidas Distribuição das deformações e tensões no laminado Deformação varia linearmente ao longo da espessura do laminado Módulo de elasticidade dentro de uma camada é constante e ao longo da espessura do laminado tem uma variação descontínua Tensão Dentro de uma camada variação linear ao longo do laminado variação descontínua Suponha uma análise de variação de deformação e de tensão ao longo do plano xz de um laminado Como as tensões variam de camada a camada e há uma descontinuidade de tensão nas interfaces camadacamada é mais conveniente representar as tensões em termos de forças e momentos As equações constitutivas podem ser então obtidas relacionandose as forças e os momentos resultantes por unidade de comprimento com as deformações e curvaturas da linha média do laminado Essas forças e momentos podem ser determinados pela integração das correspondentes tensões em relação à espessura t do laminado pois as tensões variam de camada para camada ao longo da espessura pois são funções das propriedades e orientação de cada camada Figura 4 A tensão em uma dada camada é função do módulo de elasticidade daquela camada Tensão a uma deformação linear e contínua Teoria clássica de placas laminadas TCL Relações tensãodeformação 2 1 2 1 dz N x x 2 1 2 1 dz N y y 2 1 2 1 dz N xy xy Forças resultantes Momentos resultantes 2 1 2 1 zdz M x x 2 1 2 1 zdz M y y 2 1 2 1 zdz M xy xy Nx Ny forças normais Nxy forças de cisalhamento Mx My momento fletor Mxy momento torçor Equação 4 a b e c Equação 5 a b e c As equações constitutivas podem ser obtidas relacionandose as forças e os momentos resultantes por unidade de comprimento com as deformações e curvaturas da linha média do laminado Essas forças e momentos podem ser determinados pela integração das correspondentes tensões em relação à espessura t do laminado pois as tensões variam de camada para camada ao longo da espessura pois são funções das propriedades e orientação de cada camada Equações constitutivas do laminado Figura 5 Forças normais e momentos de curvatura agindo no plano de referência do laminado Figura 6 Disposição das camadas de um laminado com n camadas Obs Se integrar no intervalo de tk a tk1 vai obter informações sobre a camada k tktk1 é igual a espessura de k Equações constitutivas do laminado dz N N N N n k h h xy y x xy y x k k 1 1 dz z M M M M k n k h h xy y x xy y x k k 1 1 Equação 6 Equação 7 Considerando um laminado consistindo de n lâminas ortotrópicas camadas de acordo com a Figura 5 a contribuição de cada lâmina K para a força e o momento resultantes atuando no plano médio do laminado é dada por No caso de uma laminado multicamadas as forças e os momentos resultantes são obtidos pela soma dos efeitos para cada camada k k Equações constitutivas do laminado Observe que a integral contínua num intervalo de integração grande equações 4 e 5 foi substituída pelos somatórios das integrais em intervalos de integração mais curtos equações 6 e 7 Equações constitutivas do laminado Sabendo que dz N N N n k h h k xy y x xy y x k k 1 1 e que Equação 6 Sabendo que Na forma simplificada y x n k h h k x y y x n k h h k x y xy zdz k Q dz Q N k k k k 1 0 1 1 1 y x n k k k k x y y x n k k k k x y xy k h h Q h h Q N 1 2 1 2 0 1 1 2 1 x y x y x y x y xy k B A N 0 Equação 9 Equação 10 Equação 11 Equação 8 Na forma simplificada y x n k h h k x y y x n k h h k x y xy z dz k Q zdz Q M k k k k 1 2 0 1 1 1 y x n k k k k x y y x n k k k k x y xy k h h Q h h Q M 1 3 1 3 0 1 2 1 2 3 1 2 1 x y x y x y x y xy k D B M 0 Equação 12 Equação 13 Equação 14 Equação 15 dz z M M M M k n k h h xy y x xy y x k k 1 1 Sabendo que Equação 7 Então as matrizes A B e D podem ser escritas na forma Equação 16 hkhk1 0 h2 k h2 k1 0 h2 k h2 k1 0 h3 k h3 k1 0 Equações constitutivas do laminado Esta é uma situação muito mais complexa do que aquela observada em uma lâmina onde tensões normais provocam apenas deformações normais Em uma placa compósita laminada é possível haver acoplamento entre tração e cisalhamento tração e flexão e tração e torção por exemplo As relações forçadeformação podem ser escritas na seguinte forma E as relações momentodeformação podem ser escritas na seguinte forma Equação 17 Equação 18 Equações constitutivas do laminado Obs s xy Ks Kxy Na forma combinada as relações forçamomentodeformação podem ser escritas na seguinte forma Equação 19 Equações constitutivas do laminado Significado dos elementos da matriz ABBD Ilustração dos termos de acoplamento A16 D16 B16 B11 B12 B66 para um material compósito laminado Os termos de acoplamento A26 D26 B26 B22 podem ser ilustrados de maneira semelhante aplicando uma força Ny e um momento My no plano yz Significado dos elementos da matriz ABBD Significado dos elementos da matriz ABBD Ilustração dos termos de acoplamento A12 D12 que podem estar presentes tanto em materiais compósitos quanto em materiais isotrópicos Quando o elemento mostrado na última coluna é zero não há acoplamento Significado dos elementos da matriz ABBD Acoplamento extensãocisalhamento termos A16 e A26 acoplam carregamentos normais tração compressão com deformações de cisalhamento e carregamentos de cisalhamento com deformações normais Quando xxxx Acoplamento flexãotorção Termos D16 e D26 acoplam momentos de flexão com deformações de torção e momentos de torção com deformações de flexão Quando os elementos D16 D26 são diferentes de zero os momentos fletores Mx My causam torção no laminado κxy e um momento de torção Mxy causa curvaturas nos planos xz e yz Acoplamento extensãotorção e flexãocisalhamento termos B16 e B26 acoplam carregamentos normais com flexão e torção e momentos de flexão e torção com deformações normais e cisalhantes Quando os elementos Bij são diferentes de zero as forças normais no plano Nx Ny Nxy causam deformações fora do plano curvaturas do laminado e os momentos Mx My Mxy causam deformações no plano no plano x y Significado dos elementos da matriz ABBD Figura 7 Ilustração do significado dos elementos das matriz ABBD Como laminados multidirecionais são caracterizados por descontinuidades de tensão camada a camada é preferível trabalhar com deformações que são contínuas ao longo da espessura Por essa razão é necessário inverter as equações constituitivas do laminado equações 11 e 15 e expressar as deformações e curvaturas em função das forças e momentos aplicados Além disso na maioria dos experimentos as cargas são aplicadas e as deformações resultantes são medidas ou seja as deformações são as variáveis dependentes e não as forças Deste modo as equações que expressam as deformações extensionais e as curvaturas em função das forças e momentos resultantes são convenientes Equações constitutivas invertidas Retomando as equações 11 e 16 temse respectivamente As deformações centrais podem ser obtidas de 11 Que substituída em 15 fornece x y x y x y x y xy k B A N 0 x y x y x y x y xy k D B M 0 Equação 11 Equação 15 Equação 19 Equação 20 Equações constitutivas invertidas Estas equações podem ser combinadas para formar o que se denomina de equações constitutivas parcialmente invertidas Então temse Equação 21 Equação 19 Equação 20 A B C e D dadas por Equações constitutivas invertidas Agora as equações 19 e 20 podem ser reescritas na seguinte forma Resolvendo a equação 22 para K temse Equação 21 Equação 22 Que substituída na equação 21 Equação 23 Equação 24 a b c d Equações constitutivas invertidas Combinando as equações 23 e 24 obtémse as equações constitutivas completamente invertidas que são expressas como Equação 25 a b c e d dadas por Equações constitutivas invertidas Equação 26 A equação 26 é a inversa da equação 19 e é utilizada quando as resultantes de tensões e momentos são conhecidas e se necessita das deformações e curvaturas atuando no plano médio Equações constitutivas invertidas Equações constitutivas invertidas Forma compacta e o κ a1b N M Forma expandida a e o x κ αxx αxy αxs1 βxy βxs N x Aplicando uma única força de tração dependendo da sequência de laminação o material compósito pode apresentar Aumento no comprimento na direção do carregamento Contração na direção oposta ao carregamento Deformação de cisalhamento Flexão e Torção Classes de laminados Alguns exemplos Laminados simétricos Laminados simétricos Em um laminado simétrico a camada localizada numa posição z é idêntica à camada localizada na posição z Assim a matriz de rigidez Q barra da camada em z é idêntica à matriz de rigidez da camada em z Substituindo essas matrizes de rigidez na Equação 16 a matriz B se torna igual a zero e as Equações 17 e 18 se reduzem a Entretanto para certos arranjos de camadas layups alguns dos acoplamentos descritos não ocorrem e as matrizes A B D tornamse mais simples Eq 17 Eq 18 Laminados simétricos Quando o laminado é simétrico a matriz de flexibilidade é geralmente expressa como E as relações entre as deformações e curvaturas e as forças e momentos ficam da seguinte forma A simetria de localização dessas camadas resulta na seguinte relação Laminados simétricos Os termos Bij apresentam valores nulos se o laminado apresentar simetria geométrica em relação ao plano médio Em outras palavras os termos Bij apresentarão valores nulos se para cada camada em um lado do plano de referência médio houver uma outra camada idêntica mesma espessura orientação e propriedades mecânicas no outro lado do plano de referência a uma mesma distância do plano de referência Para cada termo na somatória correspondente a uma camada abaixo do plano de referência existe um termo correspondente à camada simétrica acima do plano de referência que tem a mesma magnitude mas sinal contrário hk hk As equações constitutivas dos laminados simétricos são consideravelmente mais fáceis de analisar mecanicamente Além disso devido à ausência de acoplamento de carregamentos no plano com flexão e torção os laminados simétricos não apresentam o problema de warpage deformação fora do plano devido a carregamentos térmicos durante a cura da resina e efeitos higroscópicos Para um laminado simétrico não há acoplamento entre deformações no plano e curvaturas O laminado não estará sujeito a curvaturas bij0 mas poderá estar sujeito a forças de cisalhamento Laminados simétricos Figura 8 Fotografia ilustrando a curvatura warpage de um laminado de poliamida com fibras de carbono Laminados assimétricos Neste laminado assimétrico crossply b11 0 então um corpo de prova plano com esta sequência de laminação sujeito a uma força de tração irá sofrer flexão Crossply laminado que contém somente lâminas orientadas a 0o e 90o podendo ser simétrico ou assimétrico Exemplo 0 90 90 0 ou 0 90 S Laminados assimétricos Neste laminado assimétrico angleply b16 0 então um corpo de prova plano com esta sequência de laminação sujeito a uma força de tração irá sofrer torção Angleply laminado que contém camadas nas direções Laminados Angleply não contém camadas na direções 0 e 90 Podem ser balanceados ou não simétricos ou assimétricos Exemplos simétrico 45 45 45 45 ou 45 S assimétrico 30 30 30 30 ou 30 2 Laminados assimétricos Laminados balanceados Em um laminado balanceado para cada camada unidirecional na direção medida no sentido antihorário a partir da coordenada x há uma camada idêntica na direção Os elementos da matriz Q barra das camadas nas direções e estão relacionados da seguinte forma Os termos Q11 Q12 Q22 e Q66 são sempre positivos Isto significa que os termos A11 A12 A22 e A66 serão sempre positivos Q16 e Q26 possuem valores nulos para as orientações a 00 e a 900 e podem possuir valores positivos ou negativos para entre 00 e 900 Com isso os termos A16eA26 possuem valores nulos para as orientações a 00 e a 900 Q16 e Q26 para uma orientação a apresentarão os mesmos valores de Q16e Q26para uma orientação a porém com sinal contrário Q16 Q16 Q26 Q26 Então se para cada camada com orientação existir uma outra camada idêntica de mesma espessura orientada a teremos o que é chamado de laminado especialmente ortotrópico A16 A26 0 não importando a posição relativa de tais camadas na sequência de empilhamento Como vimos os termos A16 e A26 são iguais a zero para laminados simétricos balanceados Correspondentemente para estes laminados os elementos a16 e a26 da matriz de flexibilidade serão iguais a zero a16 0 e a26 0 No entanto para laminados balanceados assimétricos nenhum dos elementos da matriz da equação 26 será igual a zero especialmente ortotrópico comportase como um material ortotrópico porém tem angulação diferente de 0 e 90o Laminados balanceados Para um laminado simétrico e balanceado uma força de tração causa apenas duas deformações normais 0 x e 0 y O laminado não estará sujeito a cisalhamento porque ele é balanceado A distorção angular causada pelo ângulo a 450 é cancelada pela distorção angular causada pelo ângulo 450 Laminados balanceados Balanceado laminado que apresenta para cada camada orientada à uma camada orientada à de mesmo material e espessura Exemplo 45 90 45 90 30 30 Neste laminado bij0 mas a160 então um corpo de prova plano com esta sequência de laminação sujeito a uma força de tração irá sofrer distorção angular Laminados simétricos não balanceados Laminados ortotrópicos Os termos Q16 e Q26 da matriz Q barra possuem valores nulos para as orientações a 00 e a 900 Dessa forma substituindo estes termos na Equação 16 os termos das matrizes A B e D se tornam iguais a zero A16 A26 0 B16 B26 0 D16 D26 0 Assim em um laminado ortotrópico não há acoplamento extensão cisalhamento flexãotorção ou extensãotorção Observe que os termos 16 e 26 das matrizes A B e D são iguais a zero apenas no sistema de coordenadas xy onde x e y são as direções de ortotropia Figura 10 Similarmente quando o layup é ortotrópico e simétrico os elementos das matrizes a16 e a26 e d16 e d26 se tornam iguais a zero As matrizes A B e D para laminados simétricos balanceados e ortotrópicos crossply Classes de laminados Classes de laminados Os termos D16 e D26 também podem ser nulos se para cada camada orientada a a uma dada distância acima do plano médio existir uma camada idêntica orientada a a uma igual distância abaixo do plano médio do laminado laminado antissimétrico Note que Q16 Q16 Q26 Q26 enquanto hk 3hk1 3 possui os mesmos valores para ambas as camadas Assim os termos D16 e D26 são nulos somente para laminados cross ply ou laminados antisimétricos É possível tornar os valores de D16 e D26 pequenos usando um número de camadas elevado empilhadas a porque a contribuição das camadas a para D16 e D26 possuem sinal oposto ao das camadas a embora as distâncias da linha média desta camadas sejam distintas para um número elevado de camadas elas cancelam umas as outras Trabalhe com laminados simétricos Em laminados simétricos os termos de acoplamento na matriz B são iguais a 0 Trabalhe com laminados balanceados Em laminados balanceados os termos A16 e A26 são iguais a 0 Um laminado pode ser simétrico e balanceado Evite saltos de rigidez entre camadas Uma maneira de evitar saltos de rigidez é limitar os ângulos das fibras a uma diferença de 600 Evite saltos abruptos de espessura Algumas regras simples para projetar laminados Analisando um laminado usando a TCL Resumo Cargas Nx Ny Nxy Mx My e Mxy são conhecidas Detalhes do laminado número de lâminas material e dimensões são conhecidos Para um laminado com n camadas tk tk1 E1 E2 12 G12K Qbarrak são conhecidos Com isso as matrizes Aij Bij e Dij podem ser obtidas Então as deformações e curvaturas na linha média podem ser obtidas Para qualquer camada fora da linha média são obtidas e Muitas vezes é necessário prever se um certo componente com um dado carregamento mecânico irá falhar isto é se uma ou mais lâminas do componente sofrerão fratura ou não Um critério de falha tem como finalidade estabelecer modelos matemáticos pelos quais podese por meio das propriedades do material obtidas a partir de ensaios de tração compressão e cisalhamento prever a condição de ruptura sob qualquer tipo de combinação de tensões Para definição de um modelo matemático é necessária a identificação das tensões aplicadas no material que induzem a ruptura e a identificação da resposta do material a essas tensões No casos dos compósitos laminados os critérios de falha são estabelecidos tendo como base as resistências da lâmina sujeitas aos carregamentos fundamentais de tração e compressão nas direções longitudinal e transversal e cisalhamento no plano Critérios de falha de compósitos laminados Um material isotrópico geralmente tem dois parâmetros de resistência resistência normal e resistência ao cisalhamento No caso de uma lâmina unidirecional os cinco parâmetros de resistência são Resistência à tração longitudinal Resistência à compressão longitudinal Resistência à tração transversal Resistência à compressão transversal Resistência ao cisalhamento no plano Critérios de falha de compósitos laminados Representação das resistências de uma lâmina unidirecional sujeita aos carregamentos fundamentais tração compressão e cisalhamento no plano Obter a resistência de uma lâmina em todas as orientações é fisicamente impossível Os critérios de falha mais utilizados para análise de materiais compósitos poliméricos são o da Tensão Máxima o da Deformação Máxima o do Máximo Trabalho TsaiHill e da Interação Quadrática TsaiWu sendo os dois primeiros de fácil e imediata aplicação e interpretação Há ainda os critérios da primeira camada a falhar first ply failure e última camada a falhar last ply failure critério de Hoffman etc Vamos abordar os quatro primeiros critérios Há vários critérios empíricos de falha como mencionado e muitos deles envolvem a comparação das tensões no sistema de coordenadas 12 1 2 e 12 com os limites de resistências da lâmina nestas direções Critérios de falha de compósitos laminados Uma vez conhecidas as tensões em uma lâmina k no sistema 12 1 2 e 12 se forem conhecidas as resistências à tração e à compressão nas direções 1 e 2 respectivamente e ao cisalhamento no plano 12 podese aplicar um critério de falha para avaliar se a referida lâmina irá falhar ou não Geralmente as falhas em compósitos ocorrem devido a uma combinação de vários mecanismos ou modos de falha sendo portanto o evento final de falha um processo complexo de acúmulo de danos no material Apesar da importância da compreensão dos mecanismos de falhas em muitas aplicações tornase útil detalhar cada etapa do processo de falha Assim em um ciclo de projeto estrutural uma das características marcantes na fase de análise de desempenho é a seleção apropriada de um critério de falha capaz de estimar se a estrutura está segura ou não sob um determinado estado de tensões ou deformações Critérios de falha de compósitos laminados Como selecionar um critério de falha para um material compósito Critérios de falha de compósitos laminados Curvas de tensãodeformação para um compósito e seus constituintes Curvas de tensãodeformação para um compósito e seus constituintes u ft u mt u mt u ft Critérios de falha não interativos os modos de falha são previstos comparando as tensões ou deformações individuais aos limites de tensões e deformações Entretanto tais critérios não consideram a interação entre os diferentes componentes de tensão ou deformação Exemplos Critério de tensão máxima e deformação máxima Critérios de falha interativos tais critérios levam em consideração a interação entre vários componentes de tensãodeformação Exemplos Tsai Wu e Tsai Hill Eles são capazes de prever a falha geral mas não podem prever o modo de falha exato Critérios baseados no modo de falha são aqueles escritos geralmente na forma polinomial onde as relações entre as tensões ou deformações são apresentadas numa forma quadrática e os coeficientes da expressão do critério dependem de parâmetros obtidos em testes uniaxiais biaxiais ou ambos consideram os efeitos e os modos ele falha no equacionamento Exemplos dessas teorias são as de Puck e Hashim Rotem Ciclo de um projeto estrutural para um material compósito Critérios de falha de compósitos laminados O critério de tensão máxima afirma que as tensões aplicadas nas direções principais do material devem ser menores que os respectivos limites de resistência da lâmina nestas direções Baseado no critério da máxima tensão para materiais isotrópicos frágeis Ou seja a falha ocorre quando pelo menos um dos componentes de tensão excede o valor correspondente à resistência àquele tipo de carregamento Essas relações podem ser traduzidas na forma de inequações levando em conta que as fibras estão alinhadas com os eixos de referência da estrutura eixos globais XY isto é as tensões nas direções principais estão nas mesmas direções dos eixos globais O critério da tensão máxima só pode ser aplicado nas direções principais da lâmina Critério da Tensão Máxima Nomenclatura para os limites de resistência da lâmina No caso de uma lâmina UD os cinco parâmetros de resistência são Critério da Tensão Máxima σ1 tensão normal aplicada na direção principal 1 direção da fibra σ2 tensão normal aplicada na direção principal 2 direção transversal à fibra 12 ou 6 tensão de cisalhamento no plano da lâmina F1t resistência à tração longitudinal F1c resistência à compressão longitudinal F2t resistência à tração transversal F2c resistência à compressão transversal F12 ou F6 resistência ao cisalhamento no plano da lâmina Equação 27 Desse modo para que não ocorram falhas as desigualdades das inequações deverão ser satisfeitas Os subscritos c e t representam respectivamente compressão e tração Ilustração do posicionamento da fibra alinhamento em relação aos eixos globais 5 subcritérios Critério da Tensão Máxima F1t 1450MPa F2t 40MPa F6 95MPa Se 1 1450 MPa irá falhar Se 2 40 MPa irá falhar Se 12 95 MPa irá falhar x x Critério da Tensão Máxima Para que não haja ocorrência de falha 1 F1t 2 F2t 1 F1c 2 F2c 12 F6 xy O critério da tensão máxima indica o tipo de falha 1 Falha por tração na direção longitudinal fratura de fibras 2 Falha por compressão na direção longitudinal fratura de fibras 3 Falha por tração na direção transversal trincas na matriz paralelas às fibras 4 Falha por compressão na direção transversal trincas na matriz por cisalhamento 5 Falha por cisalhamento trincas na matriz paralelas às fibras Indica o tipo de falha que é mais provável ocorrer Critério da Tensão Máxima Modos de falha intralaminar Ruptura de fibras Ruptura da matriz Descolamento fibramatriz Arrancamento de fibras Microflambagem de fibras Microbuckling of fibers Mas existem outros modos de falha em um laminado Modo de falha interlaminar Lâminas individuais estão em contato As propriedades destas lâminas podem ser diferentes Tensões interlaminares fora do plano são induzidas nas superfícies livres Estas tensões interlaminares podem causar a separação das lâminas delaminação Este modo de falha do laminado pode causar falha catastrófica Mas existem outros modos de falha em um laminado Ex Ey Gxy xy xy Ex Ey Gxy xy xy Diferentes z xz yz Responsáveis pela delaminação Diferentes Mas existem outros modos de falha em um laminado Mas existem outros modos de falha em um laminado No cálculo das tensões é importante ressaltar a situação em que as fibras não estão alinhadas com a tensão aplicada ou seja estando a tensão inclinada de um ângulo em relação as fibras em um compósito unidirecional Neste caso obtêmse as tensões nas direções principais do material através de relações trigonométricas adequadas em função do ângulo Considerando como exemplo uma lâmina em que um carregamento uniaxial na direção X produza a tensão normal σx temse que Critério da Tensão Máxima Ilustração do posicionamento da fibra deslocamento da fibra em relação aos eixos globais Logo o Critério da Tensão Máxima para as condições do carregamento fora das direções principais da lâmina é modificado obtendose as inequações dadas abaixo válidas somente quando θ for diferente de 00 e 900 Critério da Tensão Máxima Equação 28 Tensões biaxiais derivadas de um carregamento uniaxial com as fibras desalinhadas em relação às direções 12 Fazendo x F1t x F2t e x F6 E plotando os gráficos de x x obtemos Critério da Tensão Máxima 0 500 1000 1500 2000 2500 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 sx Angulo F1t F2t F6 Tensões normais na direção x em função do ângulo da lâmina usando o critério da tensão máxima Critério da Tensão Máxima A menor curva é aquela que controla a falha Critério da Tensão Máxima Critério da Tensão Máxima O critério da tensão máxima é ilustrado na figura abaixo onde o comportamento na tração e na compressão foram plotados simultaneamente para um material compósito baseado em fibras de vidroE e resina epóxi As resistências deste compósito foram plotadas também em função do ângulo para verificar a correlação entre os dados teóricos e os dados experimentais Tensões normais de tração e compressão na direção x em função do ângulo usando o critério da tensão máxima curvas sólidas curvas pontilhadas dados experimentais Xt resistência à tração longitudinal Xc resistência à compressão longitudinal Yt resistência à tração transversal Yc resistência à compressão transversal S resistência ao cisalhamento no plano O passoapasso para aplicação do critério da tensão máxima é 1 calcular as tensões na lâmina de interesse 2 fazer mudança de coordenadas das tensões para as direções principais da lâmina 3 comparar os componentes de tensões calculadas com os valores máximos admissíveis Critério da Tensão Máxima Encontre o valor máximo de S 0 se uma tensão de σx 2S σy 3S e xy 4S for aplicada à uma lâmina UD grafiteepóxi 60 Use o critério de falha da tensão máxima e as propriedades da lâmina unidirecional dadas na tabela 21 do livro Mechanics of Composite Materials by Autar Kaw Offaxis loading in the xdirection Critério da Tensão Máxima Exemplo 1 Critério da Tensão Máxima Resolução Exemplo 1 S S S S τ σ σ 4165 10 0 2714 10 0 1714 10 0 4 3 2 0 5000 0 4330 4330 0 08660 0 2500 7500 0 08660 0 7500 2500 0 1 1 1 12 2 1 As tensões nos eixos do material são 1500 MPa 1 ult T 1500 MPa 1 ult C 40 MPa 2 ult T 246 MPa 2 ult C 68 MPa 12 ult Os limites de resistência da lâmina UD são 𝜎1 𝜎2 𝜏12 𝑚2 𝑛2 2𝑚𝑛 𝑛2 𝑚2 2𝑚𝑛 𝑚𝑛 𝑚𝑛 𝑚2 𝑛2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 Critério da Tensão Máxima Resolução Exemplo 2 Usando as inequações da teoria da tensão máxima ou Todas as condições das inequações e a condição de que S 0 serão satisfeitas se 0 S 1633 MPa As desigualdades precedentes também mostram que a lâmina falhará por cisalhamento A tensão máxima que pode ser aplicada antes da falha é S τ σ σ 4165 10 0 2714 10 0 1714 10 0 1 1 1 12 2 1 Critério da Tensão Máxima Resolução Exemplo 1 Critério da Deformação Máxima Nomenclatura para os limites de deformação na ruptura da lâmina Por analogia com o critério da Tensão Máxima para que não ocorram falhas as desigualdades das inequações abaixo deverão ser satisfeitas supondo a condição de alinhamento das fibras em relação aos eixos globais Critério da Deformação Máxima Equação 29 1 deformação normal na direção longitudinal 2 deformação normal na direção transversal 12 deformação angular no plano da lâmina 1t u deformação normal na ruptura na tração longitudinal 1c u deformação normal na ruptura na compressão longitudinal 2t u deformação normal na ruptura na tração transversal 2c u deformação normal na ruptura na compressão transversal 12 u ou 6 u deformação angular na ruptura no plano da lâmina 5 subcritérios A falha ocorre quando pelo menos um dos componentes de deformação excede o valor correspondente à deformação máxima admissível para aquele tipo de carregamento O critério da deformação máxima só pode ser aplicado nas direções principais da lâmina T S Para se obter a expressão do critério de deformação máxima em termos de tensões usase as relações tensãodeformação nas direções principais da lâmina Assumindose que o comportamento da lâmina seja linear até a falha Critério da Deformação Máxima Substituindose na expressão do critério Equação 29 Critério da Deformação Máxima Critério de deformação máxima em termos das tensões Equação 30 O critério de falha por deformação para uma condição em que as direções principais não estão coincidentes com as direções de referência XY pode ser obtido por meio das inequações abaixo Equação 31 Equação 31 Critério da Deformação Máxima Equação 30 Única diferença com o critérios das tensões máximas é a inclusão da razão de Poisson x 0 y 0 e xy 0 Fazendo x F1c x F1t x F2c x F2t e x F6 e plotando os gráficos de x em função de Equação 31 Falhas em tração 1 F1t Modo de falha 1 ou 2 F2t Modo de falha 2 Falhas em compressão 1 F1c Modo de falha 1 ou 2 F2c Modo de falha 2 Fit 2280 MPa F1c 1440 MPa F2t 57 MPa F2c 228 MPa F6 71 MPa Critério da Deformação Máxima O critério da deformação máxima indica o tipo de falha 1 Falha por tração na direção longitudinal fratura de fibras 2 Falha por compressão na direção longitudinal fratura de fibras 3 Falha por tração na direção transversal trincas na matriz paralelas às fibras 4 Falha por compressão na direção transversal trincas na matriz por cisalhamento 5 Falha por cisalhamento trincas na matriz paralelas às fibras Critério da Deformação Máxima O passoapasso para aplicação do critério da deformação máxima é 1 calcular as deformações na lâmina de interesse 2 fazer mudança de coordenadas das deformações para as direções principais da lâmina 3 comparar os componentes de deformações calculadas com os valores máximos admissíveis Critério da Deformação Máxima Encontre o valor máximo de S 0 se uma tensão de σx 2S σy 3S e xy 4S for aplicada à uma lâmina UD grafiteepóxi 60 Use o critério de falha da deformação máxima e as propriedades da lâmina unidirecional dadas na tabela 21 do livro Mechanics of Composite Materials by Autar Kaw Offaxis loading in the xdirection Critério da Deformação Máxima Exemplo 2 Critério da Deformação Máxima Resolução Exemplo 2 Assumindo uma relação linear entre todas as tensões e deformações até a ruptura então Critério da Deformação Máxima Resolução Exemplo 2 Os valores para as deformações na ruptura foram obtidos assumindo também que a rigidez à compressão e à tração são idênticas Usando as desigualdades da teoria da máxima deformação e reconhecendo que S 0 Critério da Deformação Máxima Resolução Exemplo 2 O valor máximo de S antes da falha é 1633 MPa O mesmo valor máximo de S 1633 MPa também foi encontrado usando o critério de falha da tensão máxima Não há diferença entre os dois valores porque o modo de falha é o cisalhamento No entanto se o modo de ruptura fosse diferente do cisalhamento uma diferença na predição das cargas de ruptura estaria presente devido ao efeito da razão de Poisson que acopla as deformações e tensões normais nos eixos locais Critério da Deformação Máxima Resolução Exemplo 2 Critério de TsaiHill Hill propôs o seguinte critério de falha para materiais ortotrópicos baseado no critério de falha de von Misses para materiais dúcteis Em seguida os parâmetros de resistência deste critério F G H L e M foram relacionados aos parâmetros de resistência da lâmina resistências à tração e compressão longitudinal e transversal e resistência ao cisalhamento Considerando que apenas 12 0 e como o valor máximo de 12 F12 então 2𝑁 1 𝐹12 2 Considerando que apenas 1 0 e como o valor máximo de 1 F1t então G 𝐻 1 𝐹1𝑡 2 Considerando que apenas 2 0 e como o valor máximo de 2 F2t então F 𝐻 1 𝐹2𝑡 2 𝑮 𝑯 𝝈𝟏 𝟐 𝑭 𝑯 𝝈𝟐 𝟐 𝑭 𝑮 𝝈𝟑 𝟐 𝟐𝑯𝝈𝟏𝝈𝟐 𝟐𝑮𝝈𝟏𝝈𝟑 𝟐𝐅𝝈𝟐𝝈𝟑 𝟐𝑳𝝉𝟐𝟑 𝟐 𝟐𝑴𝝉𝟏𝟑 𝟐 𝟐𝑵𝝉𝟏𝟐 𝟐 1 Equação 32 Para uma lâmina ortotrópica submetida a um estado de tensão no plano 3 13 23 A seguinte equação Fica da seguinte forma 𝝈𝟏 𝟐 𝑭𝟏 𝟐 𝝈𝟏𝝈𝟐 𝑭𝟏 𝟐 𝝈𝟐 𝟐 𝑭𝟐 𝟐 𝝉𝟏𝟐 𝟐 𝑭𝟏𝟐 𝟐 𝟏 Critério de TsaiHill Esta equação não distingue resistências à tração e à compressão 𝑮 𝑯 𝝈𝟏 𝟐 𝑭 𝑯 𝝈𝟐 𝟐 𝑭 𝑮 𝝈𝟑 𝟐 𝟐𝑯𝝈𝟏𝝈𝟐 𝟐𝑮𝝈𝟏𝝈𝟑 𝟐𝐅𝝈𝟐𝝈𝟑 𝟐𝑳𝝉𝟐𝟑 𝟐 𝟐𝑴𝝉𝟏𝟑 𝟐 𝟐𝑵𝝉𝟏𝟐 𝟐 1 Equação 33 Critério de TsaiHill O critério de TsaiHill considera as interações entre as componentes de tensão termo 12 O critério de TsaiHill estabelece que a falha em uma das camadas de um material ortotrópico no estado plano de tensão ocorrerá quando a desigualdade estabelecida pela inequação geral abaixo for violada isto é quando a porção à esquerda da equação for igual ou maior que a unidade Portanto se a inequação for respeitada não ocorrerá falha no material Equação 33 Se a equação for satisfeita ou seja a expressão quadrática à esquerda for menor que 1 a lâmina não falha E se for igual ou maior que 1 a lâmina falha Este critério é interativo pois agrupa todas as tensões atuantes em uma lâmina 1 2 e 12 no numerador na mesma equação 𝝈𝟏 𝟐 𝑭𝟏 𝟐 𝝈𝟏𝝈𝟐 𝑭𝟏 𝟐 𝝈𝟐 𝟐 𝑭𝟐 𝟐 𝝉𝟏𝟐 𝟐 𝑭𝟏𝟐 𝟐 𝟏 A equação do critério de falha de TsaiHill pode ser modificada para especificar as resistências à tração ou à compressão correspondentes na seguinte forma 𝐹1 𝐹1𝑡 𝑠𝑒 𝜎1 0 𝐹1𝑐 𝑠𝑒 𝜎1 0 𝐹2 𝐹2𝑡 𝑠𝑒 𝜎2 0 𝐹2𝑐 𝑠𝑒 𝜎2 0 Uma limitação atribuída ao critério de TsaiHill é não identificar o tipo de falha trativa compressiva ou cisalhante associada às camadas que falharam Critério de TsaiHill 𝝈𝟏 𝟐 𝑭𝟏 𝟐 𝝈𝟏𝝈𝟐 𝑭𝟏 𝟐 𝝈𝟐 𝟐 𝑭𝟐 𝟐 𝝉𝟏𝟐 𝟐 𝑭𝟏𝟐 𝟐 𝟏 Como formulado o critério de TsaiHill pode ser aplicado considerando apenas as tensões nas direções principais da lâmina Assim para essa análise as tensões que atuam nas direções globais deverão ser transformadas para o sistema local Admitindo mais uma vez como exemplo uma tensão de tração na direção X σx as componentes da tensão nas direções principais são obtidas conforme a seguir As tensões nas direções principais da lâmina são Critério de TsaiHill Critério de TsaiHill Aplicando o critério de falha Plotando x em função de Critério de TsaiHill Uma única função para prever a resistência Uma única curva para prever a resistência Critério de TsaiHill Xt resistência à tração longitudinal Xc resistência à compressão longitudinal Yt resistência à tração transversal Yc resistência à compressão transversal S resistência ao cisalhamento no plano da lâmina Tensão normal na direção x em função do ângulo usando o critério de TsaiHill curvas sólidas curvas pontilhadas dados experimentais O passoapasso para aplicação do critério de TsaiHill é 1 calcular as tensões na lâmina de interesse 2 fazer a mudança de coordenadas das tensões para as direções principais da lâmina 3 aplicar a equação do critério se o valor for maior do que 1 ocorre a falha do laminado Critério de TsaiHill Encontre o valor máximo de S 0 se uma tensão de σx 2S σy 3S e xy 4S for aplicada a uma lâmina UD de grafiteepóxi de 60 Use a teoria de falha de TsaiHill e as propriedades da lâmina dadas na Tabela 21 Do exemplo 1 1 1714 S 2 2714 S 12 4165 S Usando a teoria da falha de TsaiHill da Equação 33 Critério de TsaiHill Exemplo 3 𝝈𝟏 𝟐 𝑭𝟏 𝟐 𝝈𝟏𝝈𝟐 𝑭𝟏 𝟐 𝝈𝟐 𝟐 𝑭𝟐 𝟐 𝝉𝟏𝟐 𝟐 𝑭𝟏𝟐 𝟐 𝟏 Critério de TsaiHill Resolução Exemplo 3 Usando a equação de TsaiHill modificada Este valor é mais próximo dos valores obtidos usando as teorias da tensão máxima e da deformação máxima 𝝈𝟏 𝟐 𝑭𝟏 𝟐 𝝈𝟏𝝈𝟐 𝑭𝟏 𝟐 𝝈𝟐 𝟐 𝑭𝟐 𝟐 𝝉𝟏𝟐 𝟐 𝑭𝟏𝟐 𝟐 𝟏 𝑭𝟏 𝑭𝟏𝒕 𝒔𝒆 𝝈𝟏 𝟎 𝑭𝟏𝒄 𝒔𝒆 𝝈𝟏 𝟎 𝑭𝟐 𝑭𝟐𝒕 𝒔𝒆 𝝈𝟐 𝟎 𝑭𝟐𝒄 𝒔𝒆 𝝈𝟐 𝟎 Critério de TsaiHill Resolução Exemplo 3 Critério de TsaiWu interação quadrática Critério de TsaiWu interação quadrática Os coeficientes F do critério de falha de TsaiWu ortotrópico são relacionados aos parâmetros de resistência de material da lâmina e são determinados experimentalmente Eles são calculados a partir das seguintes fórmulas Para uma lâmina 2D e transversalmente isotrópica 𝑭𝟏𝝈𝟏 𝑭𝟐𝝈𝟐 𝑭𝟔𝝉𝟏𝟐 𝑭𝟏𝟏𝝈𝟏 𝟐 𝑭𝟐𝟐𝝈𝟐 𝟐 𝑭𝟔𝟔𝝉𝟐 𝟐 𝟐𝑭𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 𝟏 Critério de TsaiWu interação quadrática Fazendo 1 F1t 2 12 0 e 1 F1c 2 12 0 𝑭𝟏𝝈𝟏 𝑭𝟐𝝈𝟐 𝑭𝟔𝝉𝟏𝟐 𝑭𝟏𝟏𝝈𝟏 𝟐 𝑭𝟐𝟐𝝈𝟐 𝟐 𝑭𝟔𝟔𝝉𝟐 𝟐 𝟐𝑭𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 𝟏 Critério de TsaiWu interação quadrática Fazendo 2 F2t 1 12 0 e 2 F2c 1 12 0 𝑭𝟏𝝈𝟏 𝑭𝟐𝝈𝟐 𝑭𝟔𝝉𝟏𝟐 𝑭𝟏𝟏𝝈𝟏 𝟐 𝑭𝟐𝟐𝝈𝟐 𝟐 𝑭𝟔𝟔𝝉𝟐 𝟐 𝟐𝑭𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 𝟏 Fazendo 12 F12 1 2 0 e 12 F12 1 2 0 Critério de TsaiWu interação quadrática 𝑭𝟔𝟔 𝑭𝟏𝟐 𝟐 𝟏 𝑭𝟔𝟔 𝑭𝟏𝟐 𝟐 𝟏 𝑭𝟔 𝑭𝟏𝟐 𝟏 𝑭𝟔 𝑭𝟏𝟐 𝟏 𝑭𝟏𝝈𝟏 𝑭𝟐𝝈𝟐 𝑭𝟔𝝉𝟏𝟐 𝑭𝟏𝟏𝝈𝟏 𝟐 𝑭𝟐𝟐𝝈𝟐 𝟐 𝑭𝟔𝟔𝝉𝟐 𝟐 𝟐𝑭𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 𝟏 Para igual resistência na tração e na compressão 𝑭𝟏 𝟎 𝑭𝟐 𝟎 𝑭𝟏𝟏 𝟏 𝑭𝟏𝒕 𝟐 𝑭𝟐𝟐 𝟏 𝑭𝟐𝒕 𝟐 Então 𝜎12 𝐹1𝑡 2 2𝐹12𝜎1𝜎2 𝜎22 𝐹2𝑡 2 𝜏122 𝐹122 1 Esta equação é similar a do critério de falha de Tsai Hill exceto pelo termo F12 Critério de TsaiWu interação quadrática 𝑭𝟏𝝈𝟏 𝑭𝟐𝝈𝟐 𝑭𝟔𝝉𝟏𝟐 𝑭𝟏𝟏𝝈𝟏 𝟐 𝑭𝟐𝟐𝝈𝟐 𝟐 𝑭𝟔𝟔𝝉𝟐 𝟐 𝟐𝑭𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 𝟏 Equação 34 𝐹1 𝐹2 𝜎 𝐹11 𝐹22 2𝐹12 𝜎2 1 O termo F12 deve ser encontrado F12 não pode ser obtido a partir de um ensaio uniaxial nas direções 1 e 2 ele deve ser encontrado a partir de um ensaio biaxial Podemos por exemplo impor um estado de tensão bidimensional descrito por 1 2 e todas as outras tensões sendo iguais a zero 𝑭𝟏𝝈𝟏 𝑭𝟐𝝈𝟐 𝑭𝟔𝝉𝟏𝟐 𝑭𝟏𝟏𝝈𝟏 𝟐 𝑭𝟐𝟐𝝈𝟐 𝟐 𝑭𝟔𝟔𝝉𝟐 𝟐 𝟐𝑭𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 𝟏 Substituindo pelas definições dadas para F1 F2 F11 e F22 𝐹12 1 2𝜎2 1 1 𝐹1𝑡 1 𝐹1𝑐 1 𝐹2𝑡 1 𝐹2𝑐 𝜎 1 𝐹1𝑡𝐹1𝑐 1 𝐹2𝑡𝐹2𝑐 𝜎2 Equação 35 Critério de TsaiWu interação quadrática Critério de TsaiWu interação quadrática Embora os valores determinados para F12 não sejam tão precisos Pipes and Cole obtiveram um excelente acordo entre os resultados obtidos usando o critério de falha de TsaiWu e os dados experimentais Tensão normal na direção x em função do ângulo da lâmina usando o critério de TsaiWu curvas sólidas curva pontilhada dados experimentais Os termos Fs podem ser determinados por ensaios mecânicos aplicando se individualmente tensões de tração e compressão longitudinais e transversais e cisalhamento no plano que são os valores estabelecidos como resistência No entanto observase na inequação que o critério de TsaiWu estabelece uma interação entre as tensões σ1 e σ2 por meio do termo F12 Por causa da dificuldade em obter um valor confiável para F12 e o fato de que F12 parece ter pouca influência no resultado final sugerese que F12 seja simplesmente igualado a zero Existem também as algumas equações empíricas que podem ser usadas para encontrar este termo 𝐹12 1 2 𝐹1𝑡 2 𝐹12 1 2 𝐹1𝑡 2𝐹1𝑐 𝐹12 1 2 1 𝐹1𝑡𝐹1𝑐𝐹2𝑡𝐹2𝑐 Critério de TsaiWu interação quadrática Do critério de TsaHill Do critério de Hoffman Do critério de MisesHencky Encontre o valor máximo de S 0 se uma tensão de σx 2S σy 3S e xy 4S for aplicada a uma lâmina UD de grafiteepóxi de 60 Use a teoria de falha de TsaiWu e as propriedades da lâmina dadas na Tabela 21 Do exemplo 1 1 1714 S 2 2714 S 12 4165 S Usando a equação de TsaiWu H1H2 H11H222H122 1 e a expressão de MissesHenchy para o cálculo de H12 Critério de TsaiWu Exemplo 4 Critério de TsaiWu Resolução Exemplo 4 Critério de TsaiWu Resolução Exemplo 4 Substituindo esses valores na equação do critério de TsaiWu obtemos 𝑯𝟏𝝈𝟏 𝑯𝟐𝝈𝟐 𝑯𝟔𝝉𝟏𝟐 𝑯𝟏𝟏𝝈𝟏 𝟐 𝑯𝟐𝟐𝝈𝟐 𝟐 𝑯𝝉𝟐 𝟐 𝟐𝑯𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 𝟏 Critério de TsaiWu Resolução Exemplo 4 Critérios de falha de compósitos laminados passo a passo Diagrama para análise de tensões e deformações e determinação das propriedades equivalentes de um laminado no sistema global Critérios de falha de compósitos laminados passo a passo